高三数学复习第一篇专题突破专题八系列第2讲不等式选讲理

第2讲不等式选讲1/21考情分析2/21总纲目录考点一

绝对值不等式考点二不等式证实考点三含绝对值不等式恒成立问题3/21考点一

绝对值不等式含有绝对值不等式解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;(2)|f(x)|<a(a>0)⇔-a<f(x)<a;(3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c不等式,可利用绝对值不等式

几何意义求解.4/21经典例题已知函数f(x)=|x+3|+|x-a|(a>0).(1)当a=4时,已知f(x)=7,求x取值范围;(2)若f(x)≥6解集为{x|x≤-4或x≥2},求a值.解析(1)因为|x+3|+|x-4|≥|x+3-x+4|=7,当且仅当(x+3)(x-4)≤0时等号成

立.所以f(x)=7时,-3≤x≤4,故x∈[-3,4].(2)由题意知f(x)=

当a+3≥6时,不等式f(x)≥6解集为R,不合题意;当a+3<6时,5/21不等式f(x)≥6可化为

或

即

或

又因为f(x)≥6解集为{x|x≤-4或x≥2},所以a=1.方法归纳用零点分段法解绝对值不等式步骤(1)求零点.(2)划区间,去绝对值符号.(3)分别解去掉绝对值符号不等式.(4)取每个结果并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间端点值.6/21跟踪集训(课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)图象;(2)求不等式|f(x)|>1解集.

7/21解析(1)由题意得,f(x)=

y=f(x)图象如图所表示.

8/21(2)由f(x)表示式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=

或x=5,故f(x)>1解集为{x|1<x<3};f(x)<-1解集为

.所以|f(x)|>1解集为

.9/21考点二

不等式证实1.含有绝对值不等式性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.2.算术-几何平均不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:假如a、b为正数,则

≥

,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:假如a、b、c为正数,则

≥

,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:(普通形式算术-几何平均不等式)假如a1,a2,…,an为n个正数,则

≥

,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.10/21经典例题(课标全国Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证实:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.解析(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+

·(a+b)=2+

,所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.11/21方法归纳不等式证实惯用方法不等式证实惯用方法有比较法、分析法、综正当、反证法等.假如已

知条件与待证结论直接联络不显著,可考虑用分析法;假如待证命题是

否定性命题、唯一性命题或以“最少”“至多”等方式给出,则考虑

用反证法.在必要情况下,可能还需要使用换元法、结构法等技巧简

化对问题表述和证实.12/21跟踪集训设a,b,c,d均为正数,且a-c=d-b,证实:(1)若ab>cd,则

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|充要条件.证实(1)因为(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.所以

+

>

+

.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.13/21由(1)得

+

>

+

.②若

+

>

+

,则(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.所以|a-b|<|c-d|.综上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|充要条件.14/21考点三

含绝对值不等式恒成立问题1.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)

max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.2.定理1:假如a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理2:假如a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,

等号成立.15/21经典例题(洛阳第一次统一考试)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)将f(x)解析式写成份段函数形式,并作出其图象;(2)若a+b=1,∀a,b∈(0,+∞),

+

≥3f(x)恒成立,求x取值范围.解析(1)由已知,得f(x)=

函数f(x)图象如图所表示.16/21(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,∴

+

=

(a+b)=5+

≥5+2

=9,当且仅当

=

,即a=

,b=

时等号成立.∵

+

≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立,∴|2x-1|-|x+1|≤3,结合图象知-1≤x≤5,∴x取值范围是[-1,5].17/21方法归纳处理含参数绝对值不等式问题惯用两种方法(1)对参数分类讨论,将其转化为分段函数问题处理;(2)借助于绝对值几何意义,先求出f(x)最值或值域,然后再依据题目

要求,求解参数取值范围.18/21跟踪集训(沈阳教学质量检测(一))已知函数f(x)=|x-a|-

x(a>0).(1)若a=3,解关于x不等式f(x)<0;(2)若对于任意实数x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+

恒成立,求实数a取值范围.解析(1)当a=3时,f(x)=|x-3|-

x,即|x-3|-

x<0,∴-

<x-3<

x,解得2<x<6,故不等式解集为{x|2<x<6}.(2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+

,原不等式等价于|x-a|-|x|<a2,由绝对值不等式性质,得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,原不等式等价于|a|<a2,又a>0,∴a<a2,解得a>1.19/211.(课标全国Ⅲ,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m解集非空,求m取值范围.随堂检测解析(1)f(x)=

当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-

+

≤

,且当x=

时,|x+1|-|x-2|-x2+x=

.故m取值范围为

.20/212.(宝鸡质量检测(一))已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a取值范围.解析(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,得不等式解集为{x|-2<x<4}.(2)因为对任