2024年广东省东莞市长安某中学中考二模数学试题（含答案解析）

2024年广东省东莞市长安实验中学中考二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个数中，属于无理数的是（）

A.0.2B.五cID.2

2.单项式-5/y3的系数、次数分别为（)

A.5和3B.5和5C.-5和3D.-5和5

3.某正方体的平面展开图如图所示,则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（）

C.昌D.盛

4.正十二边形的内角和为（）

A.360°B.1800°C.1440°D.1080°

5.分式有意义的条件是（）

3+x

A.x=13B.洋—3C,D.#0

6.把y=-炉向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（）

A.y=-(x-l)2-3B.y=-(X+1)2-3

C.y=-(x-l)2+3D.J；=-(X+1)2+3

7.一个三角形的两边长分别为3cm和5cm,则第三边的长可能是()

A.1cmB.2cmC.7cmD.8cm

8.如图，点A、B、C都在。。上，。。的半径为2,ZACB=30°,则矗的长是（）

21

A.27rB.7iC.—KD.—兀

33

9.如图，VABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到VADE,点。在8C上，/EDC=40°,

则N3的度数为（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

10.如图，正方形A8CZ）中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将AAOE沿AE对折

至4AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:®BG=GC；

③AGHCF；@SAFGC=3.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.平面直角坐标系中，点尸（2,3）关于x轴对称的点的坐标是.

12.一组数据0,1,1,1,2的方差为.

13.关于x的一元二次方程d+8x+4=0有两个不相等的实数根，则夕的取值范围是一

14.如图，。。的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点，则的最小值为

试卷第2页，共6页

o

15.如图，NMON=30。，点Al、A2>A3、……在射线ON上，点Bj、B2、B3、……在射

线OM上，AAIBIA2>AA2B2A3>AA3B3A4,……均为等边三角形，若OAi=l,贝|

△A2019B2019A2020的边长为

三、解答题

16.计算：4cos30。一帽-2,后+.

17.如图，已知RtAABC中，ZACB=90°,AB=8,AC=5.

(1)作边的垂直平分线，分别交A3、BC于点D、H；(要求：尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹)

⑵在(1)的条件下，连接C。，则AAC。的周长为.

18.化简求值：2(。—份？+(―4a?+6a»)+2a6,其中。=1,b——l.

19.我校文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖，为了解本次竞赛获奖的分

布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级

为特等奖，8级为一等奖，C级为二等奖，。级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的

两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

学生获奖结果条形统计图学生获奖结果扇形统计图

24

21

18

15

12

9

6

3

01_1~~1_―_―_1_1------►XVZ

A级B级C级D级等级

(1)本次被抽取的部分人数是名，并把条形统计图补充完整；

(2)扇形统计图中表示8级的扇形圆心角的度数是.

(3)调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，

利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率.

20.某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个

简易测角仪，如图1所示.

尸工“____

7BCD

图1图2图3

(1)如图2,在点尸观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,8两点均在视线PC上

时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为a,设仰角为夕，请直接用含a的代数式表示4；

(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点8,C

分别测得气球A的仰角/ABD为37。，ZACD为45。，地面上点8,C,。在同一水平直线

上，BC=10m,求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin37°=0.60,cos37。=0.80,

tan37°«0.75)

21.近日，我校正在创建全国的“花香校园”.为了进一步美化校园，我校计划购买A,B两

种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆8种花需要13

元，购买3盆A种花和2盆8种花需要22元.

(1)A,B两种花的单价各为多少元？

(2)学校若购买48两种花共1000盆，设购买的8种花盆(5。。《〃让7。。)，总费用为皿元，

试卷第4页，共6页

请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？

22.如图，将矩形沿对角线8。翻折，点C落在C'处，BC'交AD于点、E.

(1)过点C'作C'产〃CD交3。于点p，连接C厂.求证：四边形CECD是菱形；

(2)若C£>=5,3C=7,求线段EC的长.

k

23.一次函数y=-x+4与反比例函数，=口》>0)的图象交于42两点，与芯轴交于点。,

⑴求反比例函数表达式；

k

(2)结合图象，直接写出+时，x的取值范围；

x

(3)若点尸在x轴上，且是直角三角形，求点尸的坐标.

24.如图，点。在NAP5的平分线上，。。与上4相切于点C.

⑴求证：直线网与。。相切；

(2)尸O的延长线与。0交于点E.若。。的半径为3,PC=4.求弦CE的长.

25.如图，二次函数,=尔-2x+c(a*0)的图象交x轴于点A(-3,0),B(1,O),交y轴于点

C,顶点为D

(1)求二次函数的解析式；

⑵点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接BP,CP,当BP+CP的长度最小时，求出点P

的坐标；

⑶在(2)的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点片使以B,C,E,

尸为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案BDDBBDCCAC

1.B

【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一

定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有

理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项.其中初中范围内学习的无理数有:

兀，2兀等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数.

【详解】解：A、0.2是小数，属于有理数，故本选项不符合题意；

B、&无理数，故本选项符合题意；

C、3是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；

D、2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.D

【分析】由单项式的系数，次数的概念，即可选择.

【详解】解：单项式-5/寸的系数、次数分别是-5和2+3=5,

故选：D.

【点睛】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式

的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.

3.D

【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方形的展开图是解题的关键.根据正方

形的展开图找到对立面即可得到答案.

【详解】解：正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是“盛”，

故选：D.

4.B

【分析】根据多边形内角和公式可得答案.

【详解】解：根据多边形的内角和公式为6-2)x180。,所以十二边形的内角和为(12-2)x

180°=1800°,

故本题正确答案为B.

答案第1页，共18页

【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式.

5.B

【分析】根据分式的分母不能为。即可得.

【详解】解：由分式的分母不能为0得：3+xwO,

解得g3,

即分式有意义的条件是工~3,

3+x

故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键.

6.D

【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解

答此题的关键.根据二次函数图象平移的方法即可得出结论.

【详解】解：把y=-Y向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，

平移后抛物线的解析式为y=-(x+l)2+3.

故选：D.

7.C

【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和.

【详解】解：设第三边的长为X。”，

由三角形的三边关系可得5-3<x<5+3,

即2<无<8,

所以它的第三边的长可能是1cm.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角

形的两边之差小于第三边.

8.C

【详解】：点A、B、C都在。。上，ZACB=3Q°,

：.ZAOB=60°,

'：0A=2,

,nyrr60TTX22

•.AB=-----------二-兀

18001803

答案第2页，共18页

故选：c.

9.A

【分析】此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等

边对等角”、三角形的内角和等于180。等知识，证明NE4C=NEDC=40°是解题的关键.设

AC交DE于点下，由NAFD=NE+/E4C=NC+/EDC,且NE=NC,得

ZEAC=ZEDC=40°,则ZDAB=NE4C=40。，由AD=AB,得ZADB=/B,而

ZADB+ZB+ZDAB=180。，则ZB+ZB+40。=180。，求得NB=70°,于是得到问题的答案.

【详解】解：设AC交DE于点产，

-,-ZAFD^ZE+ZEAC,ZAFD=NC+/EDC,

:.ZE+AEAC=ZC+NEDC,

由旋转得NE=NC,ZDAB=/EAC,AD=AB,

:.ZEAC=ZEDC=40°,ZADB=NB,

:.ZDAB=ZEAC=4O°,

ZADB+ZB+NDAB=180°,

.•.ZB+ZB+40°=180°,

.-.ZB=70°,

故选：A.

10.C

【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可.

【详解】①正确.因为AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

：.△ABG会△AFG；

②正确.因为：EF=DE=；CD=2,

设BG=FG=x,则CG=6-x.

在直角△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得户3.

答案第3页，共18页

所以BG=3=6-3=GC；

③正确.

因为CG=BG=GF,

所以△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

XZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=18Q°-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

：.AG//CF；④错误.

过尸作M_LOC,

"JBCLDH,

：.FH//GC,

.,.△EFHs^EGC,

.FHEF

••一~~，

GCEG

EF=DE=2,GF=3,

:・EG=5,

.FH_EF_2

**GC-EG-5?

[1（2、18

：.SAFGC=SAGCE-SAFEC=-^X4--X4X\-X3\=—,故④错误，

故选：c.

11.（2,-3）

【分析】本题考查了点关于x轴对称，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐

标互为相反数，熟记关于X轴对称的点的坐标是解题的关键.

【详解】解：：点尸（2,3）关于X轴对称，

该对称点的坐标是（2，-3）,

答案第4页，共18页

故答案为：(2,-3).

【分析】本题考查了求方差，先求出这组数据的平均数，再由方差的公式计算即可得出答案.

【详解】解：这组数据的平均数是：|x(O+l+l+l+2)=l,

则方差是：gx[(0-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(2-1)2^|=-1.

2

故答案为：—■

13.q<16

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于4的不等式，求出4的取值范围即可.

【详解】解：.•・关于x的一元二次方程f+8x+q=。有两个不相等的实数根，

A=82-4q>0,

解得：q<16.

故答案为：^<16.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式A

的关系“A>。时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

14.3

【分析】根据垂线段最短，可得弦心距最短.

【详解】•••〃是弦4B上的动点，

...当OMLAB时。”最短，

如图，连接Q4,

•半径为5,弦AB=8

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

答案第5页，共18页

是解答此题的关键.

15.22019

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1〃A2B2〃A3B3,以及

A2B2=2BIA2,得出A3B3=4BIA2=4,A4B4=8BIA2=8,ASB5=16BIA2…则△An-iBnAn+i的边长

为2a，即可得出答案.

【详解】

AIBI=A2BI,N3=N4=N12=60°,

AZ2=120°,

ZMON=30°,

••・/1=180。-120。-30。=300,

又,.・N3=60。

.•.Z5=180o-60°-30o=90°,

VZMON=Z1=30°,

OAi=AiBi=l,

A2BI=1,

•••△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,

.•.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

Z4=Z12=60°,

A1B1//A2B2//A3B3,B1A2//B2A3,

AZ1=Z6=Z7=3O°,Z5=Z8=90°,

A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,

答案第6页，共18页

A3B3=4B1A2=4,

A4B4=8BIA2=8,

A5B5=16BIA2=16,

以此类推：△An-lBnAn+l的边长为2n-1.则4A2OI9B2019A2020的边长为22019.

故答案是22019.

【点睛】本题考查等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2,

A4B4=8B1A2,ASB5=16B1A2进而发现规律是解题关键.

16.7

【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式、负

整数指数幕，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案.

【详解】解：4cos30。一|后一2卜历+

=4X^-（2->/3）-3A/3+9

=2痒2+6-36+9

=7.

17.⑴见解析

⑵13

【分析】本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质,

熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；

（2）由线段垂直平分线的性质可得=证明NA=NDC4得出OC=ZM,然后利用

线段等量代换和三角形周长公式计算即可得出答案.

【详解】（1）解：如图所示：。“即为所求；

答案第7页，共18页

(2)解：垂直平分BC,

/.DC=DB,

:.NB=NDCB,

vZB+ZA=90°,ZDCB-hZDCA=90°,

:.ZA=ZDCAf

DC=DA,

DA-DB，

：.DC=DA^DB=-AB=-x8=4,

22

.•.△AC。的周长=AC+ZM+DC=5+4+4=13,

故答案为：13.

18.-ab+2b2,3

【分析】本题考查了整式的混合运算一化简求值，先根据完全平方公式、多项式除以单项式

去括号，再合并同类项即可化简，代入a=l,b=-l计算即可得出答案.

【详解】解：2(a-b)2+(-4a3fo+6a2b2)-lab

—2-2ab+b~)-2a"+3ab

=2Q2—4ab+2H—+3cib

=-ab+2b2,

当〃=1,b=-l时，M^=-lx(-l)+2x(-l)2=1+2=3.

19.(1)60,图见解析

(2)108°

⑶2

3

【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图圆心角度数、用列表

法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(I)根据C级的人数和所占的百分比即可求解，再求出。级的人数，补全条形统计图即可；

(2)用360。乘以B级所占的比例即可；

(3)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求

解即可.

【详解】(1)解：本次被抽取的部分人数是24+40%=60(名).

答案第8页，共18页

。级的人数为60-3-18-24=15（人）.

补全条形统计图如图所示.

学生获奖结果条形统计图

（2）解：扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是360。、）=108。.

（3）解：列表如下:

甲乙丙

甲（甲，乙）（甲，丙）

乙（乙，甲）（乙，丙）

丙（丙，甲）（丙，乙）

共有6种等可能的结果，其中丙被选中的结果有：（甲，丙），（乙，丙），（丙，甲），（丙,

乙），共4种，

二丙被选中的概率为4;=：2.

63

20.⑴尸=90°-々

（2）30m

【分析】本题考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键.

（1）根据题意过点。向下的箭头延长与过点尸的水平延长线相交，再利用互余关系即可解

答；

（2）设AD=,mi,则GD=AD=.wn,得到3O=（10+x）m,在RtAlBO中，tanZABD=—,

BD

得到tan37。=-^―,解方程即可得答案.

【详解】（1）解：如图所示：

答案第9页，共18页

由题意知在RSPOD中，OD^PD,贝lJNc+N£=90。，即4=90。—a.

(2)解：设A£)=xm,

VZACD=45°,ZADB=9Q0,

・・・△ACD是等腰直角三角形，

CD=AD=xm,

"：5c=10m,

3£>=(10+x)m,

解得：x=30,

AD=30m.

答：气球A离地面的高度AD是30m.

21.(1)A种花的单价为4元，2种花的单价为5元；

(2)当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元.

【分析】(1)设A种花的单价为。元，8种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组,

解方程组即可求解；

(2)根据(1)的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结

合一次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：设A种花的单价为a元，2种花的单价为6元，

依题意得t12。+匕"=2132,

答案第10页，共18页

a=4

解得:

b=5

答：A种花的单价为4元，2种花的单价为5元;

(2)解：由题意可得，皿=5冽+4(1000-m)=〃?+4000,

Vl>0,

随机的增大而增大，

：5004机4700,

当根=500时，W取得最小值,

止匕时W=4500,1000—"2=500,

即当购买A种花500盆，8种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函

数关系式是解题的关键.

22.(1)见解析

(2)7

【分析】(1)证明四边形CNCD是平行四边形，根据翻折性质可得C'D=CD,进而可以解

决问题；

(2)先用矩形和折叠的性质证明E4=EC',£B=£D,设E4=EC'=x，贝U£B=£E>=7—x,

根据勾股定理列出方程即可解决问题.

【详解】(1)证明：CD,

:.ZC'FD=ZCDF,

•••将矩形"8沿对角线80翻折，

:.ZC'DF=ZCDF,C'D=CD,

:.ZC'FD=ZC'DF,

:.C'F=C'D,

C'F=CD,

1,：CF〃CD,

四边形CFCD是平行四边形，

■：CD=CD,

四边形CNCD是菱形；

答案第11页，共18页

(2)解：由矩形的性质可知：AD//BC,CB=AD

将矩形9CD沿对角线8。翻折，

:.ZCBD=ZC'BD,C'B=CB=AD,

■.■AD//BC,

:.ZADB=NCBD,

:.ZC'BD=ZADB,

EB=ED，

•:C'B=CB=AD,

:.EA=EC,

•;BC=7,CD=5,

设E4=EC'=x,贝!|£B=ED=7-x,

在RtA4BE中，根据勾股定理得：AB2+EA1=EB2>

即52+X2=(7-X)2,

解得尤=］，

・••EC'W

二线段EC的长为亍.

【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关

键是掌握翻折的性质.

23.(l)y=-

X

(2)l<x<3

⑶P(1,O)或尸(-2,0)

【分析】⑴把4。,。)代入/=一》+4求出4=3,再把4(1,3)代入y=:求出上的值即可；

y=-x+4

(2)联立方程组3求出B点坐标，结合图象即可得-X+4Z勺k时，x的取值范围；

y=­x

⑶当NAPC=9O。时，得到尸(1,0)；当/R4c=90。时，过点A作相>，无轴于点。，得到

ZADC=90°,根据直线A3的表达式为y=f+4和4(1,3),推出AD=OC=3,推出

答案第12页，共18页

ZAPC=ZACP,得到AP=AC,推出BD=OC=3,得到OP=2,得到P（-2,0）.

【详解】（1）将A（l,a）代入y=-x+4,

得，a=-1+4,

・.a—3,

A（l,3）,

将A（l,3）代入y=g得，3=1,

k=3,

a

...反比例函数表达式为y=±；

X

y=-x+4

（2）联立3,解得，

>=一

Ix

.••3（3,1）,

观察图象可得:当-x+4Ng时，1<%43；

（3）①当NAPC=90。时，AP〃y轴，

AP。,。）；

②当/PAC=90°时，

如图，过点A作ADLx轴于点。，

则ZADC=NB4c=90。，

VA（l,3）,

AD—3,OD=1,

,/直线AB的表达式为y=t+4,

答案第13页，共18页

・••当)=。时，%=4,

・・・C(4,0),

・•・OC=4,

：.DC=OC-OD=3,

：.AD=DC=3,

ADAC=ZACD=1(90°-ZADC)=45°

・•・NAPC=90。一NACD=45。，

・•・ZAPC=ZACP,

：.AP=AC,

：.PD=DC=3,

：.OP=2,

：.P(-2,0),

・・・2(1,0)或夕(—2,0).

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式,

函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键.

24.(1)证明见解析

(年

［分析X1)连接OC,过点。作OD_LPB,交尸3于点。，根据角平分线的性质，可得OD=oc,

即可得到尸8与。。相切；

(2)设PO交。。于点歹，连接CP,证明△PCVS^PEC,求出尸尸的长，利用相似比，

得到C尸=1CE,再利用勾股定理，进行求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC,过点。作交PB于点。，如图所示：

答案第14页，共18页

•••。。与A4相切于点C,

:.OC±PA9

•・•点。在的平分线上，

：.OC=OD,

・••点。在O。上，

工总与。。相切.

(2)解：设PO交于点尸，连接。尸,

则：NECF=90。,

,：OC.LPA,

：.ZOCP=ZECF=9Q°,

9：OC=OF,

：.NOCF=/OFC,

ZOCF+ZPCF=ZOFC+ZE=90°,

JNPCF=NE,

■:/CPF=/CPE,

：.Z\PCF^/\PEC,

.CFPF

**CE-PC*

•・・。。的半径为3,PC=4,ZPCO=90°,

：.EF=6,PO=1PC2+CO2=5,

:・PF=5—3=2,P£=5+3=8,

.CF_PF

**CE-PC-2?

CF=-CE,

2

答案第15页，共18页

在RtaCE厂中：EF2=CE2+CF2,即：36=CE2+-CE2,

4

CE>