2024年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型-等积模型（原卷版+解析）

专题07三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当ABHCD,则=反之，如果=则可知直线A3”。。。

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时，则SAABO：：OC。

如图3,当点。是BC边上的动点，BE±AD,时，贝|以人加：&AOC=BE：CT。

例L（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，3D是_ABC边AC的中线，点E在BC上，gE=：EC,

△ABD的面积是3,则—BED的面积是（）

A.4B.3C.2D.1

例2.（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是J1BC的边AC上的中线，AE是

的边上的中线，8F是一4汨的边AE上的中线，若，ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

A.9B.12C.18D.20

例3.（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为ABC的重心，D,E,b分别为3C,

C4,的中点，具有性质：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.己知一AFG的面积为2,则AABC的面积为.

例4.（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，。是二ABC的一条中线,

E为边上一点且BE=2CE,AE、CD相交于E四边形BDFE的面积为6,则ABC的面积是.

例5.（2023春•江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图1,AD是ABC边上的中线，则入谢=5谶8=；工即一

理由：因为AO是ABC边BC上的中线，所以BD=CD.

又因为SABD=g8OxA”，SACD^^CDXAH,所以5%»=%48=京4枷-

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：在如图2至图4中，—ABC的面积为a.

⑴如图2,延长一ABC的边BC到点。，使连接ZM.若一ACD的面积为航，则*=（用

含。的代数式表示）；

（2）如图3,延长，ABC的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若aOEC的

面积为邑,则S?=（用含a的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长A3到点尸，使BF=AB,连接ED,FE,得到/JEF（如图4）.若阴影部分的面

积为$3,则S3=（用含a的代数式表示）；

拓展应用：

（4）如图5,点。是ABC的边BC上任意一点，点E,尸分别是线段AD,CE的中点，且ABC的面积为8a,

则△BEF的面积为一（用含。的代数式表示），并写出理由.

例6.（2023春•上海•九年级期中）解答下列各题

（1）如图1,已知直线机〃"，点A、B在直线w上，点C、P在直线小上，当点P在直线机上移动时，总有

______与ABC的面积相等.

⑵解答下题.①如图2,在ABC中，己知BC=6,且3C边上的高为5,若过C作CE〃AB,连接AE、

BE,则54E的面积为.

②如图3,A、5、E三点在同一直线上，JBH，AC,垂足为/f.若AC=4,JBH=0T，NABC=NACB=6O。，

ZG=ZGBF=60°,求△ACF的面积.

（3）如图4,在四边形ABCD中，与CO不平行，AB^CD,且过点A画一条直线平分四

边形ABC。的面积（简单说明理由）.

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系

如图1,结论：①S[：邑=邑：$3或HXS3=S2XS4；②AO：OC=(S]+S2)：(S4+S3)。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系

如图2,结论：①51@="份；②S、：S3:S2：S&=a?:b2:ab:ab；③梯形S的对应份数为(a+bj。

例L在四边形ABCD中，AC和8。互相垂直并相交于。点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分

三角形BCO的面积为

例2、如图，SAACB=24平方厘米，SAAO=16平方厘米，S&ABZ>=25平方厘米，则SACOB为平方厘米。

例3、如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知八位汨与△BOC的面积分别

为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是.・平方厘米.

AB

25

券、35

DC

例4、如图，梯形A5CD中，MOB.ACOD的面积分别为1.2和2.7,则梯形MCD的面积为.

例5、梯形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,AB垂直AC,并且已知A0=6厘米，80=10厘米，则三

角形DOC的面积是平方厘米。

例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为

模型3.燕尾（定理）模型

条件：如图，在"BC中，E分别是3c上的点，G在AE上一点，结论：51：52=53：S4=S1+S3:S2+S4=BE

：ECo

例1、如图，AABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM,BN相交于点。，己知ABOM的面

积为2,则四边形MCN0的面积为。

A

例2.（2023•山东•八年级专题练习）如图，在回ABC中，己知点P、Q分别在边AC、BC±,BP与AQ相交

于点O,若EIBOQ、0ABO,0APO的面积分别为1、2、3,则I3PQC的面积为（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

例3.如下图，三角形ABC中，瓶:£8=班＞:£＞。=匿:/归=3:2,且三角形Gm的面积是1,则三角形ABC

的面积为.

例4.（2023江苏淮安九年级月考）已知ABC的面积是60,请完成下列问题：

⑴如图1,若AD是一ABC的BC边上的中线，则的面积_ACD的面积.（填“

（2）如图2,若C。、3E分别是ABC的A3、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法，连

=

接A。，由AD=DB得：,ADOSBDO，同I理：S.CEO=S.AEO,设S4Ao。=x,S^CEO=y,则SBDO=x,,AEO=y

11f2x+y=30

由题意得：S^=-8ABC=30,s^=-8^=30,可列方程组为：/,解得______,则可得

221[x+2y=30

四边形ADOE的面积为.⑶如图3,AD:/）3=1:3,CE:AE=1:2,则四边形ADOE的面积为.（4）

如图4,D,尸是A3的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与BE交于O,且％迎=60,则四边形ADOE

的面积为.

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

图1图2

共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，£»,E分别是AB,AC上的点（如图1）或。在54的延长线上，E在AC上（如图2）,则

S&ABC:SAADE=xAC):(ADXAE)

例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且ADAB=2:5,AE：AC=4：7,三角形ADE的

面积是16平方厘米，则ABC的面积为0

例2.（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等

于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比,

S4八尸AD,AE

例：在图1中，点。，E分别在A8和AC上，"山和"BC是共角三角形，则

证明：分别过点及。作EG0AB于点G,于点尸，得到图2,

「EGAE

回她GE=她尸C,又丽A二酎,瓯GAEfflMC,团——=——

CFAC

ADEG

\'.SAADE_AD，EG_ADAES^ADE_ADAE

------------=•.——•RJ一•

SMBCLAB.CF---^AABCAB・CFABACSAABCABAC

2

SADEAD,AE

任务:(1)如图3,已知团8AC+团DA氏180。，请你参照材料的证明方法，求证:

SABCA.B,A.C

⑵在⑴的条件下，若匕4如卜…则心

例3.(2023•重庆・九年级专题练习)问题提出：如图1,D、E分别在SABC的边AB、AC上，连接。E,已

知线段AO=a,DB=b,AE=c,EC=d,则SADE,S4ABe和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

E

图4

问题解决：探究一：(1)看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若。丸BC,

则且所以EAOEfflABC,可得比例式：一^=-^而根据相似三角形面积之比等于相

a+bc+d

S

似比的平方.可得根据上述这两个式子，可以推出：

3ABC\a+b)

2

SADE_a_aa_ac_ac

S.(Q+b/a+ba+ba+bc+d(a+/?)(c+d)，

(2)如图3,若她。£=团。，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

SQC

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：rr=g+b)(c+4)?方法回顾：

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

S-BDAHRD

解决.如图4,。在回ABC的边上，做于H,可得：-------=".借用这个结论，请你

3Aoe-DC-AHDC

2

解决最初的问题.

延伸探究：（1）如图5,D、E分别在0ABe的边A8、AC反向延长线上，连接。E,已知线段A£）=a,AB

S

=b,AE=c,AC=d,则三屿=.（2）如图6,£在0ABe的边AC上，。在AB反向延长线上，连

s

接。E,已知线段4。=。，AB=b,AE=c,AC=d,.

3ABC

结论应用：如图7,在平行四边形ABC。中，G是BC边上的中点，延长GA到E,连接。E交朋的延长线

于尸，若AB=5,AG=4,AE=2,0ABe。的面积为30,则0AEF的面积是

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

条件：①空=钻=DE=

ABACHC^G'②SAADE.S拉由c=AF2:AG\

例1.（2023秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）如图，已知点。、E分别是AB、AC边上的点，且

△ADEsAABC,面积比为1:9,AGLBC交DE于点F.则AF:AG=（）

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

例2.（2023•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，,ABC中，DE//BC,仍与8相交于点尸.如果

DGR?=1:3,那么S.E：SABC等于（）

A

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

例3.（2023•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与8。相交

于点0,则的面积与工CDO的面积的比为（）

A.1：2B.72:2C.1：4D.72:4

例4.（2023春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，A3被截成

三等分，EH//BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCGb的面积为（）

A.8B.9C.10D.11

例5.（2023•辽宁•九年级校考期中）如图，所为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面篦的距离为1.6

米,车头FACD可近似看成一个矩形,且满3FD=2E4,盲区班的长度是6米，车宽E4的长度为米.

例6.（2023•四川成都•九年级成都实外校考期中）如图，一ABC中，点P。分别在AB,AC上，且尸。〃3C,

PM13c于点M,QNIBC于点、N,AZ>13C于点。，交PQ于点E,且AD:3c=2:3,连接M。，若..，至。

的面积等于75,则MQ的最小值为.

例7.（2022秋・河南郑州•九年级校考期中）如图，矩形EPG”内接于一ABC（矩形各顶点在三角形边上），

E,尸在3C上，H,G分别在AB,AC上，且AD13C于点。，交庞于点N.

⑴求证：△AHGs^ABC（2）若AD=3,BC=9,设EH=x,则当x取何值时，矩形EFG8的面积最大?

最大面积是多少？

课后专项训练

1.（2023山西八年级期末）如图在2ABe中，D、E分别是边8C、AD的中点.CF=^EF,5^=12cm2,

则图中阴影部分的面积为（）

A

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

2.（2023•江苏扬州•八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形

面积的15%,黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为平方厘米.

3.（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在一ABC中，D,E,尸分别是8C,AD,CE的中点，且5凶吹=8cn?,

贝IS阴影=--------------

4.（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，。是一ABC的一条中线，E为BC

边上一点且BE=2CE,AE、CD相交于尸，四边形BDFE的面积为6,则ABC的面积是.

5.（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图，一ABC的面积为《Ocn?,

DE=2AE,CD=3BD,则四边形比）EF的面积等于cm2.

6.如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、3c上，3M与AN相交于O,若AAQW、A/RO和ABON

的面积分别是3、2、1,则AWC的面积是

8.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形的面积等于三角形BCD的面积

的工，且AO=2,DO=3,那么CO的长度是。。的长度的倍。

3

9.如图，△ABC三边的中线A。，BE,CF的公共点为G,且AG：GD=2：1,若S4wc=12,则图中阴影

部分的面积是.

10.如图，三角形A3C的面积是1,E是AC的中点，点。在BC上，S.BD:DC=1:2,AD与8E交于点尸.则

四边形DFEC的面积等于

11、如图所示，在△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍?

D

G

B

12、如图，SAACB=48平方厘米，SAAO=32平方厘米，&ABD=45平方厘米，则以COB为多少平方厘米？

13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多

少？

14如图，某公园的外轮廓是四边形A3CD,被对角线AC8。分成四个部分，△A03面积为1平方千米,

△8OC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,

求人工湖的面积是多少平方千米？

15.（2023春•北京西城•七年级校考期中）阅读与理解:

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1,AO是AABC中边上的中线，则

理由：BD=CD,：.=^BDxAH=^CDxAH=SMCD,

即：等底同高的三角形面积相等.

操作与探索：在如图2至图4中，AABC的面积为

⑴如图2,延长AABC的边BC到点。，使CD=3C,连接D4.若AACD的面积为'，贝|=

（用含。的代数式表示）；

（2）如图3,延长AABC的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,连接。E.若ADEC的

面积为邑，则邑=（用含。的代数式表示），并写出理由;

积为S3,则S3=；（用含。的代数式表示）

拓展与应用：（4）如图5,已知四边形ABCD的面积是。，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、ZM的中

点，连接切，召G交于点。求图中阴影部分的面积？

图5

16.（2022秋•陕西西安•七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知ABC的面积为

（1）如图1,延长，ABC的边BC到点。，使CD=3C,连接DA若..ACD的面积为跖，则5尸.（用含。

的代数式表示）

（2汝口图2,延长，出C的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,连接£>E.若—DEC的

面积为邑，则s?=.（用含。的代数式表示）

⑶在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB，连接ED,FE,得到」）£F（如图）若阴影部分的面积为

邑，则$3=.（用含。的代数式表示）

⑷发现：像上面那样，将二ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△。斯（如图3）,此时，我们称

MC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的4湖的面积是原来ABC面积的倍.

⑸应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在aABC的空地上种

红花，然后将,ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）.在第一次扩展区域内种黄花，第二次

扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域（即ABC的面积是10平方米，请你运用

上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积.

17.（2022•河南郑州•校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系.

如图1,一ABC中，8为AB边的中线，可得AD=BD,过点C作◎/_L4?于M,则“«c=

-ADCM=-BDCM=8^

22△力

在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务:

⑴如图2,矩形ABCD中，点”，N分别为CD,AB上的动点，且。0=AN,AM与DN交于点E.连

接CE.①判断D4E与⑺腔的面积关系；②若AD=3,AB=4,当点M为。的中点时，求四边形3C£N

的面积；（2）..ABC中，ZA=3O°,AB=6,点。为A3的中点，连接8,将ACE）沿。折叠，点A的对

应点为点E,若ECD与ABC重合部分的面积为ABC面积的;，直接写出ABC的面积.

4

18.（2。22秋・浙江•九年级专题练习）如图］，点C将线段A3分成两部分，如果崂=£，那么称点C为

线段AB的黄金分割点.

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到"黄金分割线"，类似地给出"黄金分割线”的定义：直线

/将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为耳，邑，如果3=年，那么称直线/为该图形

kJ

的黄金分割线.

图1图2图3图4

（1）研究小组猜想：在，ABC中，若点。为A8边上的黄金分割点（如图2）,则直线C。是的黄金

分割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交A3于点E,再过点。作直线DF〃CE,交AC

于点F,连接EF（如图3）,则直线EF也是ABC的黄金分割线.请你说明理由.

（4）如图4,点E是YABCD的边AB的黄金分割点，过点E作砂〃AD,交DC于点尸，显然直线所是

YABCD的黄金分割线.请你画一条YABCD的黄金分割线，使它不经过YABCD各边黄金分割点.

19.（2023春・江苏南京•七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要

线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

（1）①如图LABC中，ZA=90°,贝IABC的三条高所在直线交于点.

②如图2,一ABC中，ABAC>900,已知两条高8E、AD,请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两

点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出，ABC的第三条高.（不写画法，保留作图痕迹）

【综合应用】⑵如图3,在‘ABC中，ZABC>Z.C,平分NA4C,过点8作BE,AD于点E.

①若ZABC=80。，NC=30。，则N£BD=；②请写出NEBD与—A5C,/C之间的数量关系,并

说明理由.

【拓展延伸】⑶三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积

比等于对应底边的比.如图4,,中，又是5c上一点，则有黑爆黑=篝如图5,ABC中,

M是上一点，S.BM=^BC,N是AC的中点，若ABC的面积是加，请直接写出四边形&WOV的面

积一.（用含加的代数式表示）

20.（2023春•江苏盐城•七年级统考期末）【问题情境】

苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，AD是「.ABC的中线，ABC与的面积有怎样

的数量关系？

小旭同学在图1中作边上的高AE,根据中线的定义可知3D=CD.又因为高AE相同，所以SAB。=SA。。

于是SAABC=2SM。.据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.

【深入探究】（1）如图2,点。在..ABC的边BC上，点尸在AD上.

①若AD是ABC的中线，求证：SAAPB=SAAPC；②若BD=3DC,贝USAAPB：S^c=

【拓展延伸】（2）如图3,分别延长四边形ABC。的各边，使得点A、B、C、。分别为斯、AE,BF、

CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFG”.

①求证：S△HOG+S△尸BE=2S四边形ABCD；②若S四边形=3,贝（J,四边形EFGH二

21.（2023秋・广西柳州•八年级校考开学考试）阅读下面资料:

小明遇到这样一个问题：如图1,对面积为a的EIABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至Ai、Bi、

Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,顺次连接Ai、BI、Ci,得到ElAiBG,记其面积为Si,求Si的值.

小明是这样思考和解决这个问题的:BiC=2BC,CiA=2CA,根

据等高两三角形的面积比等于底之比，所以鼠9。=SMCA=S"8C==2SAABC=2a,由此继续推理，从而

解决了这个问题.（1）直接写出Si=（用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题:

图4

（2）如图3,P为回ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把回ABC

分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求回ABC的面积.

（3）如图4,若点P为回ABC的边AB上的中线CF的中点，求SAAPE与SABPF的比直

22.（2023・江苏盐城•统考二模）（1）如图1,0ABe中，。是8C边上一点，则MM与0AOC有一个相同的

SRD

高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为^^=不力她的、MOC的面积分别用SAAB。、SAAOC表

»ADCDC

示）.现有则SAAB。：SAAOC=_；

（2）如图2,a48c中，E、尸分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE与8歹相交

于点G、现作EHEIBF交4c于点H、依次求FH：HC、AG；GE、BG：GF的值；

（3）如图3,S48c中，点尸在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=P8,AM=MN=NC,BM、BN与CP

分别相交于点R、Q,现已知0ABe的面积为1,求SBR。的面积.

23.（2023•四川成都•八年级统考期末）如图，已知正方形。所G的边EE在0ABe的边BC上，顶点£>,G分别

在边上,A/fflBC于H.BC=1S,AH=1O.求正方形。EFG的边长和面积.

24.（2023广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF3\MN3\BC.求：&AEF

的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积.

A

ML--------\N

c

25.(2023•河南信阳•九年级统考期末)将一副直角三角板按右图叠放.

(1)证明：EIAOBH3cOD；(2)求MOB与EIOOC的面积之比.

D

专题07三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当ABHCD,贝IJ=S^BCD；反之，如果=ZBCD，贝I可知直线A3〃CD。

图1图2图3

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是边上的动点时，则SAAB。：S△ADC=BD:DCO

如图3,当点。是3。边上的动点，BELAD,时，贝U品&：。/。

例1.（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，3。是一ABC边AC的中线，点E在上，BE=；EC,

△ABD的面积是3,贝!!.BED的面积是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出

0.BDC、0BED•

【详解】解：回8。是边AC的中线，的面积是3,SSBDC=SABD=3,

回哈*c,MEL京…1，故选:D.

【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分

成面积相等的两部分.

例2.（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是△ARD

的边上的中线，8F是一ABE的边AE上的中线，若，ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

A.9B.12C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：回3。是一ABC的边AC上的中线，回$BCD=；SABC=；*32=16,

国AE是△视的边加上的中线‘回5-5『3""6=8,

又EIB尸是LABE的边AE上的中线，则Cb是ZSACE的边AE■上的中线，

回SBEF=S.ABF=]SABE=-x8=4,SCEF=SACF=SiAD£=SCED=—S^ACE=8,

则S阴影=SBEF+S.CEF=4+8=12，故选：B.

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

例3.（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为，ABC的重心，D,E,b分别为BC,

C4,AB的中点，具有性质：AG:GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.己知一AFG的面积为2,则AABC的面积为.

A

【答案】12

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案.

【详解】解：CG:GF=2A,MG的面积为2,

[ACG的面积为4,.[△Ab的面积为2+4=6,

，点厂为AB的中点，.•.△ACF的面积的面积，

ABC的面积为6+6=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比

等于底之比是解题的关键.

例4.(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CO是二ABC的一条中线,

E为BC边上一点、且BE=2CE,AE、CD相交于F,四边形BDFE的面积为6,贝IABC的面积是.

【答案】14.4

【分析】连接设SBDF=。，则S班尸=6-根据CD为AB边上中线，可得S,陋尸=S加尸=a,

1112

BEF

S、BDC=/SABC；根据3E=2CE,可得SCEF=5S=5(6—a)，SME=]SABC-进而，SABC的面积可表

33

2SB%E，

示为和5sAs由此建立方程18-。=]。+9,解出a的值即可得到3ABe的面积.

【详解】解：连接3n如图所示：设SBDF=4,则S,BEF=6-。，

EIC。为A3边上中线，，s皿=5加尸=a，SBDC=^S

112

⑦BE=2CE，••S.CEF=eSBEF=万（6_。｝SABE=]SABC'

SMC=2S3℃=2[a+（6—a）a+5（6—a）]=18—a,

333

s=s

ABC~ABE=-（2a+6-a）=-a+9f

3

即18—a=3+9.解得：〃=3.6..•.SABc=18—。=18—3.6=14.4,故答案为：14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面

积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

例5.（2023春,江西萍乡,八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图1,AD是一ABC边上的中线，则以加=5"0=3%«-

理由：因为AD是ABC边BC上的中线，所以3D=CD.

又因为SABD=-BDxAH,SACD=-CDxAH,所以S^ABD=S^ACD=-S^ABC.

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，ABC的面积为a.

⑴如图2,延长，ABC的边BC到点。，使CD=BC,连接ZM.若ACD的面积为航，则*=（用

含。的代数式表示）；

（2）如图3,延长，ABC的边8C到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若.DEC的

面积为邑,则$2=（用含a的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长A3到点忆使BF=AB,连接ED,FE,得到_。即（如图4）.若阴影部分的面

积为邑，则$3=（用含a的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是ABC的边BC上任意一点，点E,尸分别是线段AD,CE的中点，且ABC的面积为8a,

则△BEF的面积为一（用含。的代数式表示），并写出理由.

【答案】（1）。（2）2。（3）6a（4）2A,见解析

【分析】（1）直接根据"等底同高的三角形面积相等"即可得出答案；

（2）连接AD,运用"等底同高的三角形面积相等"得出5.°=2鼠期，即可得解;

（3）由（2）结论即可得出&=鼠改。+&EfA+5八3尸£），从而得解;

（4）点E是线段AD的中点，可得SABE=SBDE，$XACE=^ADCE•SBCE=；5ABe•点P是线段CE的中点,

可得SBEF=SBCF=3SBCE・从而可得答案.

【详解】（1）解：如图2,延长ABC的边BC到点O,使CD=BC,

AC为aABD的中线，sAS=s"c即，=a；

（2）如图3,连接AD,

图3

延长BBC的边3C到点D,延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,

==

…SAACD=^AAED=5SAECD'^AACD^AABC>…^AECD2$AABC=2。，即S?=2";

(3)由(2)得S.CD=2sMsc=2a,

===

问理：^AEFA2sA—2。，S.CD=^BFD=2a，,,^3^AECD+^AEFA+^ABFD6。；

（4）SABEF=2a，理由如下：理由：回点E是线段4Z）的中点,

回SABE=SBDE，S4ACE~^ADCE•回S=-SABC•

BCE2

团S婀=；SABc=2a.

回点尸是线段CE的中点，回SBEF=SBCF-2°BCE•

【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并

适当添加辅助线是解答此题的关键.

例6.（2023春•上海•九年级期中）解答下列各题

⑴如图1,已知直线切〃〃，点A、3在直线〃上，点。、P在直线加上，当点P在直线加上移动时，总有

与，ABC的面积相等.

EA

GB

（2）解答下题.①如图2,在‘ABC中，己知3c=6,且边上的高为5,若过C作CE〃钻，连接AE、

BE,则54E的面积为.

②如图3,A、3、E三点在同一直线上，9/，AC,垂足为a.若AC=4,出7="i',N/RC=NACB=60。，

ZG=ZGBF=60°,求△ACF的面积.

（3）如图4,在四边形ABCD中，AB与CO不平行，AB^CD,且过点A画一条直线平分四

边形ABCD的面积（简单说明理由）.

【答案】⑴一抽「⑵①15；②2用■⑶图见解析，理由见解析

【分析】（1）根据〃〃/”,可得一MC和sAB尸同底等高，即可求解；

（2）①先求出^^=15,再由CE〃Afi,可得EABC和aBAE是同底等高的两个三角形，即可求解；

②先求出5AABC=2721，再由ZABC=ZACB=60°,ZG=NGBF=60°,可得AC^BF,从而得到SAAB=^BC,

即可求解；（3）过点B作BEEL4c交OC延长线于点E,连接AE,取OE的中点/，作直线AF,则直线A尸

即为所求，可得，ABC=S^^EC，从而得到S四边形ABCD=SAACD+‘AA3C=8AAe0+8AAEC=SMED，即可求解.

【详解】（]）解：Bm//n,回，ABC和AB尸同底等高，则ABC与尸的面积相等；

（2）解：①回3C=6,且8C边上的高为5,05^=1x6x5=15,

SCE//AB,fflABC和SB4E是同底等高的两个三角形，0^==15;

@IUBH±AC,AC=4,BH=y/21，^^ABC=~X^X=2^21,

团NABC=/ACB=60。,ZG=ZGBF=60°f

^ZABC=ZACB=ZBAC=60°,ZG=Z.GBF=ZBFG=60°,

O

团团ESG=120°,0[?]EBF=6O,团回尸二团BAC,0ACWBF,回5MB=5AAsc=2®；

（3）解：如图，过点8作3国AC交。。延长线于点E,连接AE,取。E的中点尸，作直线A凡则直线

A尸即为所求，理由如下：

A

B

0BE0AC,丽ABC和她EC的公共边AC上的高也相等,

=+=+

团SMBC=S^EC，回S四边形A5CD^AACD^AABCAACDAAEC~M.ED，

国S四边形ABC/=SMDF-2ED=万$四边形ABC。，回*^AACD〉>^AABC，

团所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形ABC。的面积等分线.

【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题

的关键.

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定