2024苏科版七年级数学下册《幂的运算与新定义问题》强化训练30题（含答案）

哥的运算与新定义问题强化训练30题

解答题(共30小题)

1.定义:如果〃=6,那么c为(a,b)的“幸福指数”，记为L(a,b)=c.例如32=9,那么2为(3,

9)的“幸福指数”，记为L(3,9)=2.

(1)填空：L(2,8)=,L(-4,)=2；

(2)若(-3,尤)的“幸福指数”为3,(y,-8)的“幸福指数”也为3,求x+y的值.

2.如果那么我们记为：(x,y)=〃.例如32=9,则(3,9)—2.

(1)根据上述规定，填空：(2,8)=,(-3,9)=

(2)若(x,64)=2,则工=；

(3)若(4,。)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.

3.【定义新知】

如果a,b,c是整数，且L=6,那么我们规定一种记号(a,6)=c，例如42=16,那么记作(4,16)

=2.

【尝试应用】

(1)(2,8)=；

【拓展提升】

(2)若k、m、n、p均为整数，且(.k,9)=m,(k,27)=n,(k,243)=p,求证：m+n=p.

4.如果那么我们规定(x,y\—n.例如：因为3?=9,所以(3,9]=2.

(1)(2,32]=；若(-2,幻=3,贝|左=；

(2)已知(4,13]=a,(2,3]=b,(2,78]=c,试求a,b,c满足的数量关系.

5.一般地，w个相同的因数。相乘少。•a,记为其中。称为底数，”称为指数；若己知#=32,易

知x=5,若2*=33,则该如何表示无？一般地，如果〃=N(。>0且。=1),那么x叫做以。为底N的

对数logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.如34=81,则4叫做以3为底

81的对数，记为log381=4；故2*=33中，x=log233.

(1)熟悉下列表示法，并填空：

'：21=2,.*.log22=l,

V22=4,.-.log24=2,

V23=8,；.log28=3,

V24=16)Iog216=,计算：log232=；

(2)观察(1)中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现Iog24+log28=；(用对数表

示结果)

(3)于是我们猜想：logaM+log«2V=(cz>0且aWl,M>0,N>0).请你请根据累的运

算法则及对数的含义证明你的结论；

(4)根据之前的探究，直接写出10goM-logJV=.

6.如果a、b、c是整数，且那么我们规定一种记号(a,b)=c,例如42=16,那么记作(4,16)

—2.

(1)(2,8)=.

(2)若k、m、n、p均为整数，且(k,9)=m,Qk,27)=n,Qk,243)=p,探究办n、p之间满足

的等量关系，并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律：(a",〃)=(a,b)("是正整数)，请你帮他完成证明.

7.阅读理解：规定两数〃，人之间的一种运算，若〃。=儿记作(a,b)=C.例如：因为23=8,所以(2,

8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

①若(3,x)=3,则％=；

②若(y,4)=2,则丁=.

(2)若(2,5)=a,(2,3)=b,(4,15)=c,请推理o,b,c三个量的数量关系.

8.规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b),如果那么(a,b)—c,例如：因为2^=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(3,27)=,(5,1)=；

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象，(3%4")=(3,4),小明给出了如下的证明:

设(3",4")=无,则(3Dx=4",即⑶)"=4",

3X=4,即(3,4)=x,

：.(3",4")=(3,4).

请你尝试用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20).

9.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果不=从则(°,b)=c.我们叫(a,b)为“雅对”.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.证明如下：

设(3,3)—m,(3,5)—n,则3m—3,3n—5,

故3〃7.3〃=3"'+"=3X5=15,

贝！j(3,15)—m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(2%3")=(2,3),对于任意自然数〃都成立.

10.规定新运算"*"：1%=2咏2幺如：1*3=2X23=16.

(1)求(-2)*5的值；

(2)若2*(2x+l)=64,求x的值.

11.规定两正数a,b之间的一种运算记作L(a,b),如果那么L(a,b)—c.

例如：因为32=9,所以L(3,9)=2.

请你解决下列问题：

(1)填空：L(2,16)=,L(_,36)=-2；

(2)如果正数n,满足L(a,m)=x-2,L(a,n)—3x-6,L(a,mn)=2x+2,求x.

12.规定：尤•y=3C3>.

(1)求2・5的值；

(2)若l・(4x-3)=81,求无的值；

(3)判断，x・(y+z)与(x+y)・z是否相等，并说明理由.

13.阅读下列材料：

若。，万两数满足则称无为匕的“对数”，记作(a,b)=尤，如42=16,所以(4,16)=2.

请根据以上规定，回答下列问题：

(1)根据上述规定要求，请完成填空：

(3,27)=,(-2,16)=,(->)=3.

(2)计算(5,10)-(5,2).

14.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)；如果那么(a,b)=c.例如：因为23=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

①(3,27)=,(-2,-32)=；

②若(无，而)=—4,则X—.

(2)若(3,5)—a,(3,6)—b,(3,30)—c,试说明下列等式成立的理由：a+b—c.

15.在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识.其中有一个数学知识引起了同学们的

兴趣.根据。〃=儿知道。，〃可以求6的值.如果知道〃，b可以求〃的值吗？他们为此进行了研究，规

定：若0n=b,那么/(a,/?)=n.例如：*=27,则/(3,27)=3.

(1)填空：f(2,4)=,/(4,64)=；

(2)计算：/(-3,81)-f(5,125)；

(3)若f(a,-32)=5,f(4,b)=3,求/(〃，b)的值.

16.如果如=y,那么我们规定(x,y]=n.例如：因为4?=16,所以(4,16]=2.

(1)(-2,16]=；若(3,y]=27,贝ijy=；

(2)已知(4,12]=a,(4,5]=/?,(4,y]=c9若a+b=c,求y的值；

17.阅读理解：①根据嘉的意义，表示〃个。相乘；贝J机•〃"；②0n=m,知道〃和〃可以求相，

我们不妨思考：如果知道mm,能否求〃呢？对于〃"=根，规定［。，用］=〃，例如：因为6?=36,所以

［6,36］=2.

(1)［2,4］=,［-4，一克］=；

(2)分别计算［2,16］、［2,64］的值，试猜想［2,4］、［2,16］、［2,64］之间的等量关系式;

(3)若记［3,x］=5m,［3,y+l］=5根+1,请用含x的代数式表示y.

18.规定两数b之间的一种运算，记作(mZ?)：如果/=/?,那么(〃，/?)=c.例如：因为2，=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(5,125)=,(-2,-32)=；

(2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试探究a,b,c之间存在的数量关系；

(3)若(m,8)+(m,3)=(m,t),求/的值.

19.定义：如果2"=〃(处几为正数)，那么我们把根叫做〃的。数，记作机=£)(〃).

(1)根据。数的定义，填空：D(2)=,D(16)=.

a

(2)。数有如下运算性质：D(s•力=D(s)+D⑺，D(-)=D(q)-D(p),其中q>p.

V

根据运算性质，计算：

①若。(a)=1,求。(a3)；

527

②若已知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,试求。(15),D(一)，D(108),D(―)的值(用a、b、c

320

表示).

20.规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b)：如果那么(a,b)=c.例如：因为23=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(4,64)=,(,-27)=3；

(2)若(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,请你尝试运用上述运算证明：a+b=c；

(3)进一步探究这种运算时发现一个结论：(/,=(无，y),

证明：

设(/,=m,：.(/)'"=》"，(严)』力

即(x,y)—m.

(V,=(无，y).

结合(2)、(3)探索的结论，计算：(8,125)+(4,第=.

21.观察下列两个等式：2-1方=12*好1,5—71=5x71+1,给出定义如下：我们称使a-6=ab+l成立

的一对有理数a,b为''共生有理数对"，记为(a,b),如数对(2,》，(5,刍都是“共生有理数对”.

(1)判断数对(-2,1)是否为“共生有理数对"，并说明理由；

(2)若Gn,w)是“共生有理数对”，且机-〃=4,求(4加)”的值；

(3)若(m,n)是“共生有理数对"，且相〃=3,求(-2)"厂"的值.

22.定义一种募的新运算：/㊉/=”+产".如：3㊉32=3ix2+3"2=32+33=9+27=36,请利用这种运算规

则解决下列问题：

(1)求2?㊉23的值；

(2)2P=3,2^=5,3，=6,求2P㊉2g的值.

23.规定两数mb之间的一种运算，记作(a,b)：如果那么(a,b)=c.例如：因为23=8,所

以(2,8)=3.

,.1

(1)根据上述规定，填空：(4,16)=,(8,1)=,(,-)=-2.

---------------------------------9

(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：(3",4")=(3,4),

小明给出了如下的证明：

设(3%4")=尤，则(3Dx=4",即(3D

所以3x—4,即(3,4)=尤，

所以(3n,40=(3,4).

试解决下列问题：

①计算(32,100000)-(8,1000)；

②请尝试运用这种方法证明(2024,15)=(2024,3)+(2024,5).

24.规定两数m6之间的一种运算，记作【a,bl如果那么【a,b]=c.例如：因为？3=8,所

以【2,8]=3.

(1)根据上述规定，填空：[4,64]=,[5,1]=,【,81]=4.

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：[3",4"】=【3,4】，小明的理由如下：

设【3”,43=x,则(3Dx=4n,即(3X)n=4n,所以3*=4,即【3,4]=x,所以【3",4〃[=[3,

4],

请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①试说明：[7,5]+17,91=[7,451；

②猜想：[(尤+1)n,(厂1)”】+[(龙+1)n,(y+2)"】=[,](x>-1,J>1).

25.对于整数a,方定义新运算；a»b=(或)"4(b。)n(其中机，a为常数)，如3X2=(32)m+(23)

(1)当机=1,〃=100时，2X1的值为；

(2)若4江”=3,1X4=7,求2X2的值.

26.定义一种幕的新运算：x"㊉请利用这种运算规则解决下列问题:

(1>22023=；

(2)2P=3,24=5,34=6,求2P㊉2"的值；

27.当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十

分常见.为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2,例如101102.

(1)类比十进制的计数原理：12035=1X104+2X103+0X102+3X1()1+5,把一个二进制数转化为十进制

数的方法为：101102=lX24+0X23+lX22+lX21+0=22.

请你将二进制数100112转化为十进制数：则100112=；

(2)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,

4,5,6,7,8,9,满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1,满二进一.

二进制的四则运算口诀如下：

加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=102.

减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,102-1=1(同一数位不够减时，向高一位借1当2).

请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空：

①101102+11012=2;

②1101012-111102=2.

28.教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《事的

运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话：

规定了零指数塞、负整数指数累的意义后，同底数幕的除法运算性质扩展为：

(a¥0,m、〃是整数).

小明注意到当初、”是正整数，相＞〃时，教材给出根据察的定义证明，"­(。70,nt、”是正

整数，相＞〃)成立，但对于某运算性质适用一切整数指数塞，并未给出相应的解释.

为此，小明进行了如下的探究：

(1)根据幕的定义证明同底数幕的除法法则：am^-an=amn(aWO,m、〃是正整数，相＞〃).

(2)当机=3,〃=-2时，根据负整数指数幕的定义，

俎万3二八-2一一-3.「2一一

a.Q—a•—a♦a—a,

(3)当办”是正整数时，根据负整数指数累的定义，证明：am-an^amnQ#0).

29.规定两正数a,b之间的一种运算记作乙(a,b),如果那么L(a,6)=c.

例如：因为3?=9,所以乙(3,9)=2.

m

小明在研究这种运算时发现一个结论：L(a,-)=L(4,m)-L(〃，n).

n

小明给出了如下的证明：

设L(。，机)=x,L(〃，n)=y,

由规定，得/=m，ay=n,

m(_)

n

.m

(a,­)=x-y,

n

.m

:・L(a,-)=L(a,m)-L(a,〃).

n

请你解决下列问题：

(1)填空：L(2,16)=,L(,36)=-2；

(2)证明：L(3,5)+L(3,8)=L(3,40)；

(3)如果正数a、m>n,满足£(a,m)=x-2,L(。，及)=3%-6,L(〃，mn)=2x+2,求x.

30.规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b),如果a"'=b,则(a,b)=m.我们叫(a,b)为“雅

对”.例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)

=(3,15)成立.证明如下：

设(3,3)=m,(3,5)=n,则3"=3,3〃=5,故3"♦3"=3"N=3X5=15,则(3,15)=m+n,即

(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(3,81)=；(,-125)=3；

(2)求证：(5,4)+(5,9)=(5,36).

参考答案与试题解析

塞的运算与新定义问题强化训练30题

—.解答题(共30小题)

1.定义：如果不=6,那么c为(a,b)的“幸福指数”，记为L(a,b)=c.例如32=9,那么2为(3,

9)的“幸福指数”，记为L(3,9)=2.

(1)填空：L(2,8)=3,Z,(-4,16)=2；

(2)若(-3,无)的“幸福指数”为3,(»-8)的“幸福指数”也为3,求尤+y的值.

【分析】(1)根据/=6,那么c为(a,b)的“幸福指数”，记为L(a,b)=c直接求解即可得到答案；

(2)根据那么c为(a,b)的“幸福指数”，记为L(a,b)=c直接求解即可得到答案；

【详解】(1)W：V23=8,(-4)2=16,

：.L(2,8)=3,L(-4,16)=2,

故答案为：3,16；

(2)•；(-3,x)的“幸福指数”为3,

'.x=(-3)3=-27,

•；⑶，-8)的“幸福指数”也为3,

.”=-8,

-2,

***x+y—~27+(-2)—_29.

2.如果/=y,那么我们记为：(x,y)=n.例如3?=9,则(3,9)=2.

(1)根据上述规定，填空：(2,8)=3,(-3,9)=2；

(2)若(％,64)=2,贝！Jx=±8；

(3)若(4,a)=2,Qb,8)=3,求(b,a)的值.

【分析】(1)据题意，由23=8,(-3)2=9可求得此题结果；

(2)由(±8)2=64可得(±8,64)=2,从而得到此题结果是±4；

(3)由4?=16,23=8可得，〃=16,。=2,又由24=16,可求得此题结果为4.

【详解】解：由已知：如果?=),那么我们记为：(％,y)=〃.例如32=9,贝I」(3,9)=2.

(1)V23=8,(-3)2=9,

(2,8)=3,(-3,9)=2,

故答案为：3,2；

(2)(±8)2=64,

(8,64)=2或(-8,64)=2,

;・％=±8,

故答案为：士8；

(3)V42=16,23=8,

(4,16)=2,(2,8)=3,

••4=16,。=2,

又：24=16,

(b,a)=(2,16)=4.

3.【定义新知】

如果a,b,c是整数，且那么我们规定一种记号(a,b)—c,例如4?=16,那么记作(4,16)

=2.

【尝试应用】

⑴(2,8)=3；

【拓展提升】

(2)若k、m、ri、p均为整数，且Qk,9)=m,(k,27)=n,(k,243)=p,求证：m+n=p.

【分析】(1)根据新定义求解即可；

(2)根据新定义得到M=9,H=27,好'=243,则可证明k,71,kn=kP,再由同底数哥乘法计算法则得到

心即可证明加+"=0

【详解】解：(1)V23=8,

(2,8)=3,

故答案为：3；

(2)(左，9)=m,Ck,27)=n,(k,243)=p,

：.ien=9,F=27,F=243,

，-M=9X27=243,

:.即，/=城,即"计"=好，

m+n=p.

4.如果那么我们规定(x,y]=/i.例如：因为32=9,所以(3,9]=2.

(1)(2,32]=5；若(-2,川=3,贝！]k=-8；

(2)已知(4,13]=a,(2,3]=b,(2,78]=c,试求a,b,c满足的数量关系.

【分析】(1)4a=13,2"=3,2c=78,根据已知条件中的新定义得到25=32,(-2)3-8,再求出答

案即可；

(2)根据已知条件中的新定义得到4。=13,2匕=3,2c=78,再根据78=13X3X2,利用同底数幕相乘

法则求出答案即可.

【详解】解：(1),.*y=y,我们规定(x,y\=n,25=32,

(2,32]=5,k=(-2)3=-8,

故答案为：5,-8；

(2)—y,我们规定(x,y]=n,

.•.4。=13,2b=3,2c=78,

；78=13X3X2,

/.4a*2/,*2=2c,

22〃+/?+1—2。

.\c=2a+b+l.

5.一般地，w个相同的因数a相乘da•a,记为a",其中。称为底数，〃称为指数；若己知#=32,易

知x=5,若2》=33,则该如何表示无？一般地，如果优=N(。>0且。=1),那么x叫做以。为底N的

对数(logarithm),记作x=log°N,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.如34=81,则4叫做以3为底

81的对数，记为log381=4；故2工=33中，尤=log233.

(1)熟悉下列表示法，并填空：

'：21=2,

Iog22=l,

V22=4,

Iog24=2,

V23=8,

Iog28=3,

:24=16,

/.Iog216—4,计算：log232—5；

(2)观察(1)中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+lo&28=1。32；(用对数表示结

果)

(3)于是我们猜想：logaM+logJV=logaMN(a>0且aWl,M>0,N>0).请你请根据事的运算法

则及对数的含义证明你的结论；

(4)根据之前的探究，直接写出10£aM-10£jV=10吟■.

【分析】(1)根据指数和对数的定义进行解答即可；

(2)由(1)中结果可得答案；

(3)利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幕的乘法进行计算即可；

(4)利用(3)中的方法以及同底数基的除法进行计算即可.

【详解】解：⑴•••24=16,

Iog216=4,

V25=32,

/.Iog232=5,

故答案为：4,5；

(2)由(1)可得，Iog24+log28=2+3=5=log232,

故答案为：log232；

(3)logaM+logJV=\ogaMN,

证明：设x=logaM,y=logJV,则〃=M,ay=N,

.\aX9ay=MN,

即dc+y=MN,

，x+y=logaMN,

\ogaM+logaN=\ogaMN;

M

(4)\ogaM-loglog%，

证明：设x=logJVLy=logaN,则中=Af,W=N,

即户=冬

M

：.x-y=\oga—,

M

•MogaM-\ogaN=\oga—.

6.如果a、b、c是整数，且那么我们规定一种记号(a,b')—c,例如4?=16,那么记作(4,16)

=2.

(1)(2,8)=3.

(2)若左、加、〃、p均为整数，且(k,9)=m,Qk,27)=n,Qk,243)=p,探究办n、p之间满足

的等量关系，并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律：(/,〃)=(a,b)(w是正整数)，请你帮他完成证明.

【分析】(1)设(2,8)=x,根据这种记号的定义列关于x的方程并求解即可；

(2)根据这种记号的定义得到三个等式，再根据同底数事的乘法运算法则证明即可；

(3)设(/,bn)=s,(a,b)=t,根据这种记号的定义得到两个等式，再利用塞的乘方运算法则证明

s=t即可.

【详解】(1)解：设(2,8)=x,则2、=8,

V2A=8=23,

，x=3,

・•・(2,8)=3.

故答案为：3.

(2)m+n=p.

证明：*.*(%,9)=m,(左，27)=n,Qk,243)=p,

：・M=9,H=27,"=243,

•・・-/=S=9X27=243,

：tkm+n=kpf

m+n—p.

(3)证明：设(。"，bn)=s,(〃，b)=t,

则(〃")s=ZAat=b,

：.(an)s=ans=bn=(储)n=ant,

•*ns~~nt,

•.”是正整数，

••S-tf

/.(〃"，bn)=(〃，0).

7.阅读理解：规定两数a,b之间的一种运算，若ac=b,记作(a,b)=c.例如：因为23=8,所以(2,

8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

①若(3,x)=3,则x=27；

②若(y,4)=2,则尸±2.

(2)若(2,5)=a,(2,3)=b,(4,15)=c,请推理a,b,c三个量的数量关系.

【分析】(1)根据新运算，得到x=33,廿=4,进行求解即可；

(2)根据新运算，2。=5,20=3,4c=15,根据同底数幕的乘法，塞的乘方的逆用进行判断即可.

【详解】解:(1)①X=33=27；

故答案为：27；

②：22=4,(-2)2=4,

；.y=±2；

故答案为：士2；

(2)(2,5)=a,(2,3)=b,(4,15)=c,

；.20=5,2^=3,22c=15,

.•.2a«2z>=2o+fc=22c,

・・〃+/72c.

8.规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b),如果不=%,那么(a,b)=c,例如：因为23=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(3,27)=3,(5,1)=0；

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象，(3%4")=(3,4),小明给出了如下的证明：

设(3",4")=无,则(3")一=4",即⑶)"=4",

3X=4,即(3,4)=x,

：.(3",4")=(3,4).

请你尝试用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20).

【分析】(1)根据规定的运算规则即可求解.

(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,则3X=4,3y=5,可得3^=3x-3-v=20,贝U(3,20)=x+y,即可

证得结果.

【详解】(1)解：；33=27,

(3,27)=3.

(5,1)=0.

故答案为：3；0.

(2)证明：设(3,4)—X,(3,5)—y,

则3*=4,3y=5,

.•.3户>=343>=4*5=20,

(3,20)—x+y,

：.(3,4)+(3,5)=(3,20).

9.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果则(a,b)=c.我们叫(a,b)为“雅对”.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.证明如下：

设(3,3)—m,(3,5)—n,则3m—3,3n—5,

故3〃7.3〃=3"'+"=3X5=15,

贝！j(3,15)—m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=2；(5,1)=0；(3,27)=3.

(2)计算(5,2)+(5,7)=(5,14),并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(2%3")=(2,3),对于任意自然数”都成立.

【分析】(1)根据上述规定即可得到结论；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=»根据同底数幕的乘法法则即可求解；

(3)设(2",3")=无，于是得到(2")x=3",即(2D"=3"根据“雅对”定义即可得到结论.

【详解】解：(1)V22=4,

(2,4)=2；

：50=1,

(5,1)=0；

-3』27,

(3,27)=3；

故答案为：2,0,3；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=»

则5"=2,5y=7,

：.5x+y=5x*5y=l4,

(5,14)=x+y,

：.(5,2)+(5,7)=(5,14),

故答案为：(5,14)；

(3)设(2",3")=尤，贝U(2")x=3",即(2D"=3"

所以2*=3,即(2,3)=x,

所以(2",3")=(2,3).

10.规定新运算“*”：a*b=2aX2b,如:1*3=2X23=16.

(1)求(-2)*5的值；

(2)若2*(2x+l)=64,求尤的值.

【分析】(1)根据定义的新运算可得(-2)*5=2-2x25,然后进行计算即可解答；

(2)根据定义的新运算可得2*(2尤+1)=22户3,从而可得2元+3=6,然后进行计算即可解答.

【详解】解：(1)由。*方=2。/2〃可得

(-2)*5=2-2x25=23=8.

(2)由4*6=20X2”可得2*(2x+l)=22X22%+1=22%+3.

因为2*(2x+l)=64=26,

所以2x+3=6,

解得x=|.

11.规定两正数a,b之间的一种运算记作L(a,b),如果那么L(a,b)=c.

例如：因为3?=9,所以L(3,9)=2.

请你解决下列问题：

(1)填空：L(2,16)=4,L(_,36)=-2；

(2)如果正数a、m、n,满足L(a,加)=x-2,L(a,n)=3x-6,L(a,mn)=2x+2,求x.

【分析】(1)根据新定义进行求解即可；

(2)先根据新定义得到〃一2=根，。3厂6=“，於叶2=根小进而得到加"=。4厂8,进而得到2x+2=4x-8,

解方程即可得到答案.

【详解】解：(1)V24=16,

：.L(2,16)=4；

••,(±12=36,

1

；,L(土三,36)=-2；

1

故答案为：4；士不

(2),:L(〃，m)=x-2,L(a,n)=3x-6,L(a,mn)=2x+2,

2=13x6=〃2%+2=根〃,

/.a〃=/2・〃3%-6=〃4厂8,

/一8=〃2%+2,

；・2x+2=4x-8,

••x—~5.

12.规定：x・y=3x・31.

(1)求2・5的值；

(2)若l・(4x-3)=81,求x的值；

(3)判断，x・(y+z)与(x+y)・z是否相等，并说明理由.

【分析】(1)根据规定和同底数幕的乘法计算即可；

(2)根据规定和同底数塞的乘法得到一个关于x的一元一次方程，然后解方程即可求得x的值；

(3)根据规定和同底数累的乘法计算即可.

【详解】解：⑴..”•>=3八3〉，

.,.2*5=32.35=37=2187；

(2)Vl»(4x-3)=81,

...31.3(4x3=34,

/.4x-2=4,

•••x_—23；

(3)x・(y+z)=(x+y)・z,

理由：・.”・(y+z)=3%・3y+z=3%+y+z,

(x+y)・z=3尸43z=3Wz,

.,.x*(y+x)=(x+y)*z.

13.阅读下列材料：

若a,b两数满足则称无为。的“对数”，记作(a,b)=x,如42=16,所以(4,16)=2.

请根据以上规定，回答下列问题：

(1)根据上述规定要求，请完成填空：

(3,27)=3,(-2,16)=4,(-|,-X)=3.

(2)计算(5,10)-(5,2).

【分析】(1)根据题中所给新定义运算可进行求解；

(2)根据题中所给新定义运算及同底数幕除法的逆用可进行求解.

【详解】解：(1)V33=27,(-2)4=16,

(3,27)=3,(-2,16)=4,

(、

•■•(一2,3―_一方8，

|,—襟)=3；

故答案为3；4；-搭；

(2)设(5,10)=p,(5,2)=q,则有5P=10,54=2,

10

.,.5p+5勺=5P-q=号=5,

••p~q=1,

(5,10)-(5,2)=1.

14.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)；如果那么(a,b)=c.例如：因为2，=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

①(3,27)=3,(-2,-32)=5；

②若(x,白)=—4,则x~+2

(2)若(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,试说明下列等式成立的理由：a+b=c.

【分析】(1)①由33=27,(-2)5=-32,以及题意可知，(3,27)=3,(-2,-32)=5,然后作答

即可；②由(%，金)=一4,以及题意可知，%-4=计算求解即可；

(2)由题意知，3。=5,3》=6,3。=30,由5义6=30,可得3匹3“=3。，即3"。=3。，进而结论得证.

【详解】(1)①解：V33=27,(-2)5=-32,

・・・由题意知，(3,27)=3,(-2,-32)=5,

故答案为：3,5；

②解：,**(x/.)=-4,

111

由题意知，x~4=即—Z=一，解得，％=±2,

1616

故答案为：±2；

(2)证明：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,

・••由题意知，3"=5,3"=6,3。=30,

•••5X6=30,

：.3a-3b=3c,即3"。=3°,

・・a+b~~c.

15.在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识.其中有一个数学知识引起了同学们的

兴趣.根据知道a,w可以求b的值.如果知道a,6可以求〃的值吗？他们为此进行了研究，规

定：若a"=b,那么/(a,b)=小例如：33=27,则/(3,27)=3.

(1)填空：f(2,4)=2,f(4,64)=3；

(2)计算：/(-3,81)-f(5,125)；

(3)若/(a,-32)=5,f(4,b)=3,求/Q,b)的值.

【分析】根据“若a"=b,那么/(a,b)=n”的意义，逐项进行计算即可.

【详解】解：(1)V22=4,

：.f(2,4)=2,

•/43=4X4X4=64,

：.f(4,64)=3,

故答案为：2,3；

(2)(-3)4=81,53=125,

：.f(-3,81)=4,f(5,125)=3,

.,.原式=4-3=1；

(3),/(-2)5=-32,43=64,而/(a,-32)=5,/(4,b)=3,

••6z-2,。=64,

又；(-2)6=64,

/./(a,b)

=/(-2,64)

=6.

16.如果如=y,那么我们规定(x,y]=n.例如：因为4?=16,所以(4,16]=2.

(1)(-2,161=4；若(3,y]=27,则尸327；

(2)已知(4,12]=a,(4,5]=6,(4,y]=c,若a+6=c,求y的值；

【分析】(1)根据新定义运算的含义可得答案；

(2)由新定义可得：4。=12,4"=5,4c=y,再结合a+b=c,进一步可得答案.

【详解】解：(1)由题意可得：(-2,16]=4,

(3,y]=27,

•••内；

故答案为:4,327；

(2)二•如果V=y,那么我们规定(x,y]~n,

・,・由(4,12]=。，可得4"=12,

(4,5]=b,可得心=5,

(4,y]=c,可得4，=y,

a+b—c,

・・・4。+。=平，

u：4c=y,4a•a=4"+/?=12X5=60,

**•y—60.

17.阅读理解：①根据基的意义，表示〃个〃相乘；则加•/；②〃〃=根，知道〃和九可以求相，

我们不妨思考：如果知道〃，m,能否求〃呢？对于/=相，规定[〃，m\=n,例如：因为6?=36,所以

[6,36]=2.

(1)[2,4]=2,1一-27]=3；

(2)分别计算⑵16]、[2,64]的值,试猜想[2,4]、[2,16]>[2,64]之间的等量关系式；

(3)若记[3,x]=5m,[3,y+Y\=5m+l,请用含x的代数式表示y.

【分析】(1)根据新定义进行计算即可求解；

(2)根据新定义分别计算[2,16]、[2,64]的值，即可求解；

(3)由题意得％=35%y+l=35村I然后根据同底数基的乘法的逆运算即可求得答案.

【详解】解：(1)[2,4]=2,

[-卜一克]=3，

故答案为：2,3.

(2)依题意，[2,4]=2,[2,16]=4、[2,64]=6,

；.[2,4]+[2,16]=[2,64]；

(3)根据题意得：

x=35m,j+l=35m+1,

.,.^+l=35m+1=35mX3=3x,

.\y=3x-1.

18.规定两数〃，b之间的一种运算，记作(〃，/?)：如果4。=/?,那么(a,b)=c.例如：因为2^=8,所

以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(5,125)=3,(-2,-32)=5；

(2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试探究a,b,c之间存在的数量关系；

(3)若(m,8)+(m,3)=(m,力，求/的值.

【分析】(1)根据新定义运算，求解即可；

(2)根据新定义运算，对式子进行变形，再根据5X6=30,即可求解；

(3)根据新定义运算对式子进行变形，即可求解.

【详解】解：(1)V53=125,(-2)5=-32,

(5,125)=3,(-2,-32)=5,

故答案为：3,5；

(2)a+b—c,理由如下：

(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,

：.4a=5,4b=6,4c=30,

V5X6=30,

：.^X4b^4c,即4°+b=4c,

(3)设(m,8)=x,(m,3)=y,(m,t)=z,