2024年中考数学题型突破：二次函数与矩形有关的问题（专项训练）

类型十二次函数与矩形有关的问题（专题训练）

1.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，抛物线过点0（0,0）,E。。,。），矩形A3CD的边

在线段OE上（点B在点A的左侧），点C,。在抛物线上，设8,0）,当f=2时，BC=4.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当r为何值时，矩形A3CO的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持/=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个

交点G,H,且直线G”平分矩形ABC。的面积时，求抛物线平移的距离.

1541

【答案】⑵当r=l时，矩形A3CO的周长有最大值，最大值为彳；（3）4

【分析】（1）设抛物线的函数表达式为＞=依（》-10）（。/0）,求出点C的坐标，将点C的

坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；

（2）由抛物线的对称性得==则AS=10-2f,再得出根据矩

42

形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；

（3）连接AC,8。相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接尸。，根据矩形的性质和

平移的性质推出四边形OCHG是平行四边形，则PQ=CH,PQ=^OA.求出f=2时，点A

的坐标为（8,0）,则CH=（OA=4,即可得出结论.

【详解】（1）解:设抛物线的函数表达式为、=依（工-10）（。/0）.

:当/=2时，BC=4,

•••点C的坐标为（2,T）.

将点C坐标代入表达式，得2a（2-10）=T,

解得”!•

，抛物线的函数表达式为>=［尤2-2-

42

(2)解：由抛物线的对称性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2r.

当x=7时，BC=--t2+-t.

42

，矩形"CD的周长为

2(AB+BC)=2(10-2?)+l-^2+|d

1,

=——t2+t+20

2

1/八241

=一«T)+V

2

41

当』时，矩形的周长有最大值’最大值为万.

(3)解：连接AC,BD相交于点尸，连接。C,取0c的中点。，连接PQ.

V直线GH平分矩形ABCD的面积，

直线GH过点P..

由平移的性质可知，四边形0cWG是平行四边形,

PQ=CH.

•.•四边形ABCD是矩形，

是AC的中点.

PQ=^OA.

当t=2时，点A的坐标为(8,0),

CH=-OA=4.

2

上抛物线平移的距离是4.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移

的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象

上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质.

2.（2023・山西・统考中考真题）如图，二次函数y=-d+4x的图象与x轴的正半轴交于点A,

经过点A的直线与该函数图象交于点3（1,3）,与y轴父于点C.

图3

⑵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点尸作直线轴于点E,与直线

交于点设点尸的横坐标为加.

①当尸。=，OC时，求机的值；

2

②当点?在直线A3上方时，连接。尸，过点B作轴于点Q,BQ与OP交于点F,连

接DF.设四边形F。即的面积为S,求S关于机的函数表达式，并求出S的最大值.

【答案】（l）y=-x+4,点c的坐标为（0,4）；（2）①2或3或②s=_/一鼻+（,

s的最大值为9:

【分析】（1）利用待定系数法可求得直线48的函数表达式，再求得点C的坐标即可；

（2）①分当点P在直线上方和点P在直线43下方时，两种情况讨论，根据尸£>=2列一

元二次方程求解即可；

②证明推出凡2=T〃+4,再证明四边形尸。即为矩形，利用矩形面积公

式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）解：由y=-d+4x得，当y=0时，-Y+4x=0.

解得％=0,%2=4.

•点A在x轴正半轴上.

.•.点A的坐标为（4,0）.

设直线的函数表达式为y=（左70）.

将48两点的坐标（4,0）,（1,3）分别代入丫=履+》，

得。⑷+t+66==30'

\k=-\

解得八，，

[b=4

；•直线A3的函数表达式为，=-》+4.

将x=0代入y=-x+4,得y=4.

•••点C的坐标为（0,4）；

（2）①解：-点P在第一象限内二次函数y=-尤2+以的图象上，且尸轴于点E,与直

线A8交于点D,其横坐标为机.

点P,D的坐标分别为P^m,-nr+4〃z）,D（m,-m+4）.

PE=-m2+4m,DE=-m+4,OE=m.

・・,点C的坐标为（0,4）,

・・・OC=4.

•：PD=-OC

2f

：・PD=2.

如图，当点尸在直线A3上方时，PD=PE-DE=-m1+4m-(-m+4)=-m2+5m-4.

PD=2,

-m2+5m-4=2.

解得叫=2,丐=3.

如图2,当点P在直线A3下方时，PD=DE-PE=-m+4-^-m2+4帆）=4-5帆+4.

m2—5m+4=2•

解得时呼

*.*0<m<1,

,5-V17

••m=-----

2

综上所述，加的值为2或3或¥

②解：如图3,由（1）得，OE=〃z,PE=-根？+4%OE=—%+4.

・・・5。，无轴于点。，交OP于点尸，点5的坐标为(1,3),

・・・OQ=1.

•・,点尸在直线AB上方，

EQ=m-1.

・・•轴于点E,

ZOQF=ZOEP=90°.

：.FQ//DEfZFOQ=ZPOEf

：.△FOQS&OE.

,FQ=OQ

••PE-OE•

.・・FQ=1

—m2+4mm

,「人-m2+4m/

..FQ=------------=—m+4.

一m

：.FQ=DE.

・••四边形/。皮>为平行四边形.

*.*P£_Lx轴，

・・・四边形/。皮>为矩形.

S=E2-F2=(m-l)(-m+4).

BPS=-m2+5m-4.

2u/C579

Sc=—m+5m-4=—m——+—

I2j4

Vl<m<4,

5Q

・・・当加=1时，S的最大值为彳.

24

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股

定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含机

的代数式表示出FQ是解题的关键.

3.(2023•辽宁大连•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线G：y=，上有两点

A.B,其中点A的横坐标为-2,点B的横坐标为1,抛物线：y=-尤?+bx+c过点4反过

备用图

⑴求抛物线C2的解析式；

⑵将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A!CD'E',点C的对应点C

落在抛物线Ci上.

①求”关于机的函数关系式，并直接写出自变量机的取值范围；

②直线AE'交抛物线于点尸，交抛物线C?于点Q.当点E'为线段P。的中点时，求加的

值；

③抛物线C?与边ED、AC分别相交于点/、N,点/、N在抛物线C2的对称轴同侧，当

时，求点C'的坐标.

3

25

【答案】(l)y=-f_2x+4；(2)@n=-m+4/n(0</n<4)；@tn=~^；③C'［庄,

21636I

【分析】(1)根据题意得出点人(-2,4),3(1,1),待定系数法求解析式即可求解；

(2)①根据平移的性质得出C'(2,4-〃)，根据点C的对应点C'落在抛物线G上，可得

(2-rnf=4-n,进而即可求解；

②根据题意得出网-2-私1+4m+4),2(-2-2m+4),求得中点坐标，根据题意

即可求解；

2

③连接MN,过点N作NGLED于点G,勾股定理求得MG=§,设N点的坐标为

—2a+4),贝ijMQ2—2a+6),将M—o2—2a+6)代入y=—x2-2,x+4,

求得。"，求得N僧,If],进而根据C'落在抛物线G上，将y=代入G：y=v,即可

6<636J36

求解.

【详解】(1)解：依题意，点A的横坐标为-2,点3的横坐标为1,代入抛物线G：y=，

，当尤=—2时，y=(—2)~=4,则A(-2,4),

当x=l时，y=l,贝U3(1,1),

2

将点4(-2,4),3(1,1),代入抛物线C2-.y=-x+bx+c,

.1-(-2)2-2/?+C=4

-l+b+c=1

[b=-2

解得：,

[c=4

A抛物线C2的解析式为y=-丁-2x+4；

(2)①解：：AC〃x轴交抛物线q：y=/另一点为点c,

当y=4时，x=±2,

/.C(2,4),

:矩形ACDE向左平移加个单位，向下平移”个单位得到矩形ACDE,点C的对应点C'落

在抛物线G上

C'(2—m,4—n),(2—m)2=4—n

整理得n=—m*2+4m

m>0,n>0

0<m<4

n=一>+4m（0<m<4）；

②如图所示，

\T

\ED

A

X

VA（-2,4）,C（2,4）

：.AC=4,

-：AE=-AC=2

2

：.£（-2,6）,

由①可得A（-2—m,m2-4机+4）,E'[-2—4m+6）

・'.P,。的横坐标为-2—机，分别代入G：>=—,y=—x2—2x+4

2—m,m2+4m+4）,Q（—2—根，—加之—2机+4）,

.m2+4m+4-m2-2m+4.

・・----------------=m+4

2

.tP0的中点坐标为（-2-私小+4）

・・,点£为线段尸。的中点，

m2—4m+6=m+4

解得：m=-"2或加=5+\/F7（大于％舍去）

22

③如图所示，连接过点N作NGLE'D于点G,

222

MG=yjMN-MG=4f-2=-,

t3J3

设N点的坐标为(a,—Y—2a+4),贝!]M^a——,—a2—2a+6

将Af(a-1,—/—2a+6)代入y=—x2—2x+4,

+4=-a2—2a+6

5，一2上+4=丝

当〃=:，—a1—2a+4=—

6I636

559

：.N

6'36「

59

将y=ff代入G：y=x2

36

屈

解得:

6

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性

质是解题的关键.

4.（2022•安徽）如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边

BC为12米，另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，

(2)在隧道截面内(含边界)修建“E”型或“R”型栅栏，如图2、图3中粗线段所

示，点片，巴在x轴上,MN与矩形《244的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段耳£,

%P3R，MN长度之和.请解决以下问题：

(i)修建一个“E”型栅栏，如图2,点尸2，乙在抛物线AED上.设点片的横坐标为

m(O<m<6),求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值；

(ii)现修建一个总长为is的栅栏，有如图3所示的修建“rn”型或“R”型栅型

两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形［巴4门面积的最大值，及取最大值

时点打的横坐标的取值范围(片在巴右侧).

【答案】(1)丫=一：(+8

6

(2)(i)l=-1m2+2m+24,1的最大值为26；(ii)方案一：-a+9WP1横坐标W同；

Q

方案二：-e+5WPl横坐标w期

【分析】(1)通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；

(2)(i)结合矩形性质分析得出P2的坐标为(m,—：而+8),然后列出函数关系式，利

O

用二次函数的性质分析最值；

(五)设1i支1=11,分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，

从而利用数形结合思想确定取值范围.

(1)由题意可得：A(—6,2),D(6,2),

又：E(0,8)是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为y=ax?+8,将A(-6,2)代入，

(—6)—+8=2,解得：a=--,

6

・・・抛物线对应的函数表达式为y=-9X?+8；

6

(2)(i),・,点Pi的横坐标为m(0VmW6),且四边形PF2P3P4为矩形，点P2,P3在抛物线AED

上，

二・P2的坐标为(m,--m2+8),

6

.1.PIP=PP4=MN=--III::+8,PP=2m,

23623

.*.1=3(-—m2+8)+2m=--m2+2m+24=(m—2)2+26,

622

<0,.•.当m=2时，1有最大值为26,

2

即栅栏总长1与m之间的函数表达式为l=-gm2+2m+24,1的最大值为26；

(ii)方案一：设P2Pi=n,则P2P3=18—3n,

：.矩形RP2P3P4面积为(18—3n)n=-3n2+18n=—3(n—3)2+27,

V-3<0,

.,.当n=3时，矩形面积有最大值为27,

此时P2Pl=3,P2P3=9,令-!x°+8=3,解得：x=±>/30,

6

止匕时Pi的横坐标的取值范围为-而+9WP1横坐标(同，

方案二：设P#j=n,则BP3=9—n,

Q81

22

...矩形PiP2P3P4面积为(9—n)n=-n+9n=—(n——)+一，

24

981

1<0,.•.当n=；时，矩形面积有最大值为号，

24

Qq1a

此时P2Pl=5,P2P3=万，令-7x2+8=],解得：x=±-721>

q

此时Pi的横坐标的取值范围为-72i+-^Pi横坐标wV21.

【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点

的坐标，利用数形结合思想解题是关键.

5.(2021•四川中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=-尤2+6x+c交x轴于点A

和C(1,O),交了轴于点3(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

A?

(i)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段。？，旋转角为(/(0。</<90。)，连接

AE',BE',求的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)恒；(3)存在，N点的横坐标分别为：2,-1,一"下

32

或上g

2

【分析】

(1)待定系数法求二次函数解析式，设解析式为yn-f+bx+c将C(1,O),3(0,3)两点代

入求得6,c的值即可；

(2)胡不归问题，要求BE'+gAE，的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化

为;OE,再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；

(3)分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得

N点的坐标；

②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=1AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的

坐标.

【详解】

解：（1）;y=-%2+6%+c过C（1,O）,3（0,3）

.{-l+b+c=0

・,〔c=3

Z?=—2,c=3

:•抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

(2)在OE上取一点。，使得OD=goE,连接BD

'：OD=-OE=-OE'

33

对称轴x='I=-1.

E（-1,0）,OE=1

OE'=OE=1,OA=3

.OE'OP_1

ZDOE'=ZE'OA

-OF-3

：.ADOE^AE'OA

：.DE^-AE1

3

...BE'+-AE'=BE'+DE'

3

当5,E',。三点在同一点直线上时，BE+DE最小为BD.

在RtABOD中，OD=~,OB=3

3

/.BD=y/OB2+OD2=

即工AE，最小值为恒.

33

(3)情形①如图，AB为矩形的一条边时，

fy=0

联立一29「

[y=—x—2x+3

得[[yx==o-3[\xy=o\

A(—3,0),OA=3

OB=3

.•.VABO是等腰尺八，2540=45。

分别过A8两点作AB的垂线，交y=-V-2x+3于点N”Nz，

过乂,但作轴，Njlx轴，

2QBN、=/PAN[=45°

△AMP也是等腰直角三角形

设。8=m，则N[Q=7",所以N](TW,〃Z+3)

代入＞=-X2-2X+3,解得叫=1,«2=。(不符题意，舍)

乂(-1,4)

同理，设。尸=〃，贝lJPN=〃+3,所以必(a-77-3)

代入y=-d-2x+3,解得n|=2,%=-3(不符题意，舍)

..・能(2,-5)

V

-

5

,0

B

p

T

345X

-5-4-\2

②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点，则&V=；AB

A(-3,0),B(0,3)

33______

-R(一,5)，AB=v32+32=3^/2

:.RB=-AB=^~

22

RN=-AB

2

「.RN二还

2

设N(X,-£—2x+3),贝lj

(X+|)2+(d+2x—|)2=(乎)2

整理得：x(x+3)，+D=0

解得：芯=0(不符题意，舍)，X2=-3(不符题意，舍)，

T+百-1-75

X=-----------，X.=-----------

22

•••综上所述：N点的横坐标分别为：2,-1,士@或土心.

22

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一

次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识,

能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键.

6.(2021•甘肃中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=gx2+bx+c与坐标轴交

于4(0,-2),3(4,0)两点，直线3C：y=-2x+8交》轴于点C.点。为直线A3下方抛物线上

一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,DG分别交直线于点E,尸.

(1)求抛物线y=g/+6尤+c的表达式；

(2)当GF=；,连接3。，求厅的面积；

(3)①“是y轴上一点，当四边形3EHF是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△尸”8周长的最小值.

【答案】(1)y=|x2-1x-2；⑵、；(3)①"(0,3)；②4行+7

【分析】

(1)直接利用待定系数法即可求出答案.

(2)由题意可求出05=4,OA=2.利用三角函数可知在及乃Q1和及—3G尸中，

tan/A20=g'=空，由此即可求出GB=1,从而可求出0G=3.即可求出D点坐标，继

OBGB

而求出G£>=2.再根据GP=1,即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最

2

后答案.

(3)①连接交所于点N.根据矩形的性质可知附=八反=128=]£？，

22

HFBC.由£F〃4c,可推出型=/=变=1.由“F8C,可推出里=空=1.再

OGCEAFAHAF

根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出0C的长，由此可求出AC的长，即可求出

CH的长，最后即得出0H的长，即可得出H点坐标.

②在Rt0BH中,利用勾股定理可求出的长，再根据。-皿二尸以+依+加结合

PH=PC+2可推出CWffl=PC+PB+7,即要使CWB最小，就要PC+P3最小，由题意可

知当点P在3c上时，PC+PB=BC为最小.即求出BC长即可.在Rf0BC中，利用勾股

定理求出BC的长，即得出汨周长的最小值为3C+7.

【详解】

解：(1)•.•抛物线、=；无2+灰+0过4(0,—2),3(4,0)两点，

Jc=-2

■■(8+4/?+c=0，

：3

u-------

解得，\2,

(2)3(4,0),

..03=4.

同理，OA=2.

又轴，轴，

在RtBOA和RtBGF中，tanNABO=---=---，即22

°BGB-=-

.\OG=OB-GB=4-1=3.

i3

当x=3时，y=-x32—x3—2=—2,

D22

...0(3,一2),即GD=2.

13

:.FD=GD-GF=2——=-,

22

1133

:.S汹=—FDBG=—x—xl=—.

BDF2224

(3)①如图，连接BH,交EF于点、N.

•・•四边形BEHF是矩形，

/.EF=BH,BN=NH=-BH.

2

又二EF//AC,,

.BN_BF

**AW-AF-'

BGBEBFi

,'OG~CE~~\F~,

•・•四边形5石"F是矩形，

/.HF//BC.

CHBF1

/.----=——=l,

AHAF

*.*当x=0时，/=8,

・•・OC=8,

AC=OC+AO=8+2=10,

:.CH=5,

:.OH=OC—CH=3—5=3,

.\H（0,3）.

②在心OBH中,HB=^OH2+OB1=A/32+42=5^

PH=PC+2.

.\CPHR=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7

，要使CpRB最小，就要PC+总最小.

PC+PB>BC,

...当点尸在BC上时，尸C+尸3=BC为最小.

在Rf08c中,BC=>]OC2+OB2=782+42=4A/5-

二一周长的最小值是4石+7.

【点睛】

本题为二次函数综合题.考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性

质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强,

较难.利用数形结合的思想是解答本题的关键.

7.(2021•山东中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线了=。尤2+桁-4交x轴

于4(-1,0),3(4,0)两点，交y轴于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸为第四象限内抛物线上一点，连接尸B,过点C作CQ//BP交X轴于点Q,连接尸。，

求△PB。面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线、=办2+法一4向右平移经过点(；,0)时，得到新抛物线

>9,点片在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点尸，使得以A、

P、E、产为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明

理由.

参考：若点片(/%)、2(%,%)，则线段44的中点4的坐标为[土产，，11

【答案】(1)该抛物线的表达式为：y=x2-3x-4；(2)△尸8。面积最大值为8,此时P

点的坐标为：P(2,-6)；(3)*-2,-3+省)或网一2,-3-班)或尸(6,T)或尸/g]

【分析】

(1)将两个点分别代入抛物线可得关于a,b的二元一次方程组，可解得a,b;

(2)设出P、Q两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函

数，求其最大值即可；

(3)抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F,应用中点坐标公式及矩形

特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案.

【详解】

解：(1)将A(-1,0),B(4,0)代入抛物线y=以2+力力一4可得：

(a-b-4=0

116a+48-4=0'

:•该抛物线的表达式为：y=f—3x-4；

(2)过点P作PN_Lx轴于点N,如图所示:

设尸（七,%）且（0<玉<4,弘<0）,0（%2,0）,

OQ=x2,BN=4-X],PN=lyi,OC=4,

・.・CQ//BP,

:.LCOQS.PNB,

即*，

BNPN4一々一%

_4^-16

X2=，

“4一3,

•'­SBPQ=；5Q.|4|=gx14_4x；16卜一yj,

•.•点P&,yJ在抛物线上，

%=x；-3x1-4,

SBPQ=—2才+8%,（0<jq<4）,

b8

根据抛物线的基本性质：对称轴为%=一五=-2x（-2）=2在。<%<4内,

••SBPQ在*=2取得最大值，代入得：SBPQ=8,

2

当再=2时，yx=2—3x2—4=—6,

，△心。面积的最大值为8,此时点P的坐标为：尸(2,-6).

(3)在(2)的条件下，原抛物线解析式为y=V-3x-4,将抛物线向右平移经过点

3

可知抛物线向右平移了I个单位长度,

化简得平移后的抛物线：y=x2-6x+^,

对称轴为：尤=一白b=一m—=63,

2a2x1

由(2)得：A(-1,0),P(2,—6),点E在对称轴上，

.,.设E(3,e),点F(m,n),矩形AEPF,

当以AP为矩形的对角线时，则AP的中点坐标为：［二宇，等；EF的中点坐标为:

根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得:

-1+23+m

2-2

<

0-6e+n

.丁・丁

fm=—2①

解得：3

[e+〃=-6②

:矩形AEPF,

&田为直角三角形，

AE2+AF-=EF2,③

AE2=(-l-3)2+(O-e)\

AF2=(加一(-1))~+(M-0)",

EF2=(m-3)2+(«-e)2,

代入③化简可得：en=4,④

.,•将②代入④可得：(-6-冷”=4,

化简得：/+6几+4=0,

根据判别式得：/_4〃c=62-4xlx4〉0,

勺=-3+A/S，4=—3_y/s

：.厂(-2,—3+如)或尸(一2,-3—君)；

当以AP为矩形的边时，如图所示：

过点P分别作PGLx轴于点G,PH〃x轴，过点F作PH的垂线，垂足为H,设抛物线的对称

轴与x轴的交点为M,如图，

・•・AG=3,尸G=6,ZAGP=ZEMA=ZFHP=90°,AM=4,

tanZGAP=—=2,

AG

•・,四边形"PE是矩形，

ZEAP^ZAPF=90°,AE=PF,

.・・ZGAP+ZAPG=ZGAP+ZEAM=ZAPG+ZGPF=ZFPH+Z.GPF=90°,

ZEAM=ZAPG=NFPH,

：.^AME^PHF^AAS},

：.AM=PH=4,EM=FH,

ZEAM+ZAEM=90°,

ZAEM=ZGAP,

tanZAEM=tanZ.GAP=2,

AM

JEM==2,

tanZAEM

・・・FH=2,

•••点P（2,-6）,

当以AP为矩形的边时，如图所示:

综上所述：以A、P、E、月为顶点的四边形为矩形，网-2,-3+⑹或网-2,-3-⑹或

尸（6,-4）或

【点睛】

题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图

像确定各点、线段间的关系，得出答案.

8.（2021•黑龙江中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+2x+c（aw0）与x轴交于点A、B,与y轴交于

点C,连接BC,OA=1,对称轴为尤=2,点D为此抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C,D两点之间的距离是

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE.求3CE面积的最大值；

(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,

请直接写出点Q的坐标.

125iOS73

【答案】(1)y=--x+2x+-:(2)20；(3)皆；(4)(7,4)或(-3,-R或(3,-R

或(3,4).

【分析】

(1)先根据对称轴可得。的值，再根据。4=1可得点A的坐标，代入抛物线的解析式即可

得；

(2)利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；

(3)过点E作x轴的垂线，交BC于点、F,先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设

点E的坐标为++从而可得0</<5和下的坐标，然后根据

S/XBCE=S^EF+S^BEF可得$BCE关于，的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；

(4)设点尸的坐标为P(2,根)，分①当8C为矩形BCP。的边时，②当3c为矩形BCQ尸的

边时，③当3C为矩形BPC。的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、

矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得.

【详解】

2

解：(1)■,抛物线y=Q%2+2x+c(QwO)的对称轴为x=---=2,

2a

1

a=—,

2

12c

/.y=——x+2x+c,

2

04=1,且点A在九轴负半轴上，

A(-1,0),

将点4一1,0)代入y=-g/+2x+c得：-1-2+c=0,解得c=g,

则抛物线的解析式为y=-1%2+2x+|；

i51Q

(2)y=——x2+2%+］化成顶点式为y=——(x—2)2+—,

9

则顶点。的坐标为。(2,万)，

当％=0时，y=-1,即c(o,|o,

22

则抛物线上c,。两点之间的距离是J(2-O)2+W-g)2=20,

故答案为：20;

(3)如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F,

3(5,0),

设直线BC的解析式为y=履+6,

5k+b=0k=--

将点2(5,0),C(0,今代入得：<2

■,5,解得*

b=—

[2b=-

2

则直线BC的解析式为y=-1x+|,

设点E的坐标为E(r,-g/+2f+|),则0<r<5,+

:.EF=--r+2t+--(--t+-)=--t2+-t,

222222

SBCE=SCEF+S=-t(----t"H-----t)H-----(5—f)(------t~H-----t),

CcrDBiELFr2、22，2、2，

5/5、2125

=——(t——了+——,

4216

由二次函数的性质得：在0<%<5内，当/5时，取最大值，最大值为1移25,

即“3CE面积的最大值为宁195；

1O

(4)设点尸的坐标为尸(2,根)，

由题意，分以下三种情况:

①当为矩形8CPQ的边时，则

设直线CP的解析式为y=2尤+〃，

将点C。；)代入得：〃=(

则直线CP的解析式为y=2x+|,

将点尸(2,㈤代入得：加=2x2+；5=]13,即尸(2芋13，

.­•将点C先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P,

四边形BCPQ是矩形，

点C平移至点P的方式与点5平移至点Q的方式相同，

8(5,0),

.•.0(5+2,0+4),即。(7,4)；

②当3c为矩形BCQ尸的边时，则BPLBC,

同(4)①的方法可得：点。的坐标为。(-3,-g)；

③当BC为矩形3PC0的对角线时，则

：.CP2+BP2=BC2,

即(2-0)2+(771-1)2+(2-5)2+(7W-0)2=(5-0)2+(0-1)2,

3

解得〃2=4或=,

.•.P(2,4)或尸(2,-中3,

当点尸的坐标为尸(2,4)时，

3

则将点P先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度可得到点C,

四边形8PCQ是矩形，

点尸平移至点C的方式与点B平移至点Q的方式相同，

33

2(5-2,0--),即。(3,-2)；

3

同理可得：当点尸的坐标为尸(2,-5)时，点。的坐标为。(3,4),

综上，点。的坐标为(7,4)或(-3,-曰7或(3,-：3)或(3,4).

【点睛】

本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的

是题(4),正确分三种情况讨论是解题关键

9.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线0A交二次函数y=；x?的图象于点A,/A0B=

4

90°，点B在该二次函数的图象上，设过点(0,m)(其中m>0)且平行于x轴的直线交直

线OA于点M,交直线OB于点N,以线段0M、ON为邻边作矩形0MPN.

(1)若点A的横坐标为8.

①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.

(2)当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直

【分析】(1)①求出点A的坐标，直线直线0A的解析式即可解决问题.

②求出直线0B的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定

系数法求出m的值即可.

(2)分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A(a,42),求出点P的坐标利用待定系

4

数法构建方程求出a即可.

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题.

【解析】(1)①•・,点A在y=；x?的图象上，横坐标为8,