2024苏科版七年级数学下册活用乘法公式的九种技巧（含答案）

活用乘法公式的九种技巧

题型一、巧用乘法公式计算整式的乘法

1.（2025七年级下•全国•专题练习）计算：

（1）（2x+3y）（4x+7y）；（2）（—3a+2Z?）（—3“一2Z?）；

2.（2025七年级下•全国•专题练习）化简：

⑴无（3x-y）-（3x-2y）2；（2）（2a-3Z?）2（2a+3fo）2；

(3)(a+2Z>+3c)(a+2b-3c).

3.（24-25七年级上•上海徐汇・期中）计算：（x+4+2y）（x-4+2，）-（3x-y）（x+3y）.

4.（24-25七年级上•上海杨浦•阶段练习）计算：（x+2y）（-x-2y）-（2x+y）（-2x+y）

题型二、巧用乘法公式进行简便计算

5.（24-25七年级上•上海•期中）简便运算：20242-2020x2028.

72

6.（24-25七年级上•上海•期中）简便计算：-19§x20§.

31

7.（24-25七年级上•上海松江・期中）简便计算：222+44x18+182+19r2。“

8（24-25七年级上.上海虹口期中）用简便方法计算：入5。62-2。24”。232

题型三、巧用乘法公式进行变形求值

9.（23-24七年级下•广东揭阳•阶段练习）同学们在学习《整式的乘法》时，学习了重要的公式一一完全平方

公式，解答下列各题：

【基础公式】请写出完全平方公式（。+6）2=；

【公式变形】公式可以变形为4+从=；

【应用】

（1）已知：a+b=8,aZ?=15,求/+〃的值；

（2）已知：aH—=3,求6rH—7的值.

10.（24-25八年级上•四川泸州•阶段练习）已知a+b=4,ab=-5,求:

⑴/+b2的值；

⑵（4-6）2的值.

11.（24-25八年级上•北京•期中）已知（尤+y）2=44,孙=2,求:

⑴2d+2/的值；

（2）（%-y）2-xy的值.

题型四、巧用乘法公式解方程

12.（24-25七年级上•上海•期中）解方程：（1-3%）2+（2X-1）2=13（x-l）（^+l）.

13.（23-24七年级上•湖北•阶段练习）计算

⑴解方程：（3x—2）（2x-3）=（6x+5）（x—l）T；⑵解方程：⑺一以+（2x-l）2=13（尤-1）（尤+1）.

题型五、巧用乘法公式解决换元问题

14.（2025七年级下•全国•专题练习）在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来

解决.

例如：若x=l23456789x123456786,y=123456788x123456787,试比较了，》的大小.

解：设123456788=a,则x=（a+l）（a—2）=a2—口-2,y=a（a—1）=片一a.

因为X—y=^a~—G—2^—（a--aj=—2<0,所以无<y.

看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你准行！

问题：计算3.456x2.456x5.456-3.4563-1.456?的值.

20202024

15.（2025七年级下•全国•专题练习）计算：（1）

202020232+202020252-2

+-+—

567

题型六、巧用乘法公式解决最值问题

16.(23-24七年级下•安徽合肥•期末)阅读材料：形如4±2仍+〃的式子叫做完全平方式.有些多项式虽

然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方

法叫做配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用.

示例：用配方法求代数式片+60+8的最小值，

解：原式=4+6“+9-1

=(4+3)2-1

(a+3)2>0,(a+3)"—1>—I,.'.<?2+6a+8的最小值为-1.

⑴若代数式/-8x+%是完全平方式，则常数k的值为；

⑵用配方法求代数式4x2+4x+3的最小值；

⑶若实数a,b满足。2-70-/7+13=0,求a+6的最小值.

17.(22-23七年级下•湖南郴州•期中)阅读下列材料：

a2±2ab+b2=(a±b)2,我们把形如"片+2"+/"或/"+尸”的多项式叫做完全平方式，因为(〃土方了

是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法.例

如炉+4尤+6=(尤？+4x+4)+2=(尤+2)~+2.可矢口当(x+2)2=0,即》=一2时，；1?+4彳+6有最小值，最小

值是2,根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)nr—4m+7有最小值____.

⑵当。，b为何值时，多项式1+62—44+66+18有最小值，并求出这个最小值.

(3)已知a,b,c为VA3C的三边，且满足/+c?—%(a+c)=0,试判断此三角形的形状.

题型七、巧用乘法公式进行规律探索

18.(23-24七年级下•广西崇左・期中)阅读材料后解决问题.

小明遇到下面一个问题：计算(2+D(22+DQ4+l),经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以

出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：

(2+1)(22+1)(24+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=（22-1）（22+1）（24+1）=（24-1）（24+1）=28-1.

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

计算：⑴（2+1）（2?+1）（2,+1）（2'+1）（2/1）；（2）1+/+11+3卜+3]+白.

题型八、乘法公式及几何背景问题

19.（21-22七年级下•江西抚州•期中）阅读材料：

已知：了满足（9-x）（x-4）=4,求（9-x『+（x-4『的值.

设9—X=Q,x—4=bf

贝ij"=（9-x）（x-4）=4,〃+人=（9一％）+（%—4）=5,

因止匕（9一%）2+（彳-4）2=储+k=（a+6）2—2.6=5?—2x4=17.

用上面的方法解下列问题：

⑴己知：（5—力卜―2）=2,求（5-x，+（x-2＞的值;

（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x,E、尸分别是边AD、DC上的点，AE=1、CF=3,分别以

。户为边作正方形.

①MF=,DF=（用含x的式子表示）；

②若长方形的面积是48,试求阴影部分的面积.

20.（22-23七年级下•陕西西安•阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部

分（阴影）面积为跖；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小

正方形叠合部分（阴影）面积为S?.

a

图①图②图③

⑴用含。、b的代数式分别表示跖、S2.

⑵若a—6=8,ab=13,求5+邑的值；

⑶用a、b的代数式表示S3,并当H+$2=36时，求出图③中阴影部分的面积S3.

题型九、巧用乘法公式解决新定义问题

21.(2025七年级下•全国•专题练习)我们规定：(a,b)*(c,d)=Y+c2—仇/.例如:

(1,2)*(3,4)=12+32-2X4=2.

⑴求(一3,2)*(2,T)的值.

⑵若(x,丘)*(3y,-y)是一个完全平方式，则左=.

⑶若2x+y=10,且(3x+y,2/+3y2)*(x—3y,3)=80,求孙的值.

22.(22-23七年级下•广东佛山•期中)对于任意四个有理数a、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,6)与(c,d),

我们规定：(a,b)^(c,d)=a2+d2-bc.例如：(1,2蟀(3,4)=『+42-2x3=11.

⑴若(x,履)※(y,-y)是一个完全平方式，求常数k的值；

(2)若2w+y=10,且(3x+y,2d+3力※(3,x-3y)=84,求个的值.

23.(23-24七年级下•江苏泰州•期中)小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式办2+bx+c

若能分解成两个一次整式相乘的形式(〃a+。)(北+4),当〃优+。=。或％+q=。时，原多项式的值为0,则

定义.一“和x=-2为多项式/+6x+c的"零值"，两个"零值"的平均值为多项式的"对称值".例如：

mn

3x2—5x—2=(3x+l)(x—2),当3x+l=0或x-2=0时，3/一5%一2的值为0,则多项式—5%-2的"零值"

为％=-；和％=2,3/一5无一2的"对称值"为2+［一］

5.

x=----------

26

根据上述材料，解决下列问题：

⑴多项式9-4f的〃零值〃为，〃对称直为；

⑵若关于冗的多项式(%+以+袱%+1)+9的两个〃零直相等，求加的值以及多项式(％+1『+袱%+1)+9的

“对称值〃；

⑶若关于%的多项式％之一必有一个〃零值〃为九=6,关于1的另一个多项式f+6%+c与多项式％2一狈的〃对

称值〃相同，且多项式Y+fcc+c的两个〃零值〃之比是2:1,求〃也C的值.

参考答案与试题解析

活用乘法公式的九种技巧

题型一、巧用乘法公式计算整式的乘法

1.(2025七年级下•全国•专题练习)计算：

(1)(2尤+3y)(4久+7y)；

(2)(—3a+2b)(—3a—2b)；

【答案】⑴8/+26xy+21y2

⑵9a2-4b2

【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

(1)原式利用多项式乘以多项式法则计算即可；

(2)直接利用平方差公式求解即可；

【详解】(1)解：原式=8%2+14xy+12xy+21y2=8x2+26xy+21y2；

(2)解：原式=(-3a)2-(2b)2=9a2-4b2；

2.(2025七年级下•全国・专题练习)化简：

(1)x(3%—y)—(3x—2y产；

⑵(2a—3b)2(2a+3b/；

(3)(a+2b+3c)(a+2b—3c).

【答案】⑴9%5y6

(2)-6x2+llxy—4y2

⑶16a4-72a2b2+81^4

(4)a2+4ab+4b2-9c2

【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键.

(1)先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可；

(2)根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算即可；

(3)根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可；

(4)根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可.

[详解](1)解：|x3y2-(-|xy2)2

232924

=—XV­—XV

3J4J

=-3x5°y6D.

2)

(2)解：%(3x—y)—(3%—2y)2

=3%2—xy—9%2+12%y—4y2

=-6x2+llxy—4y2.

(3)解：(2a—3b)2(2@+3b¥

=[(2a—3b)(2a+3fo)]2

=(4a2-9b2)2

=16a4-72a2b2+81〃

(4)解：(a+2b+3c)(a+2b—3c)

=[(a+2b)+3c][(a+2b)-3c]

=(a+2b)2—(3c)2

=a2+4ab+4b2—9c2.

3.(24-25七年级上•上海徐汇・期中)计算：(%+4+2y)(x-4+2y)-(3%-y)(x+3y).

【答案】-2x2—4xy+7y2—16

【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是

解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可.

【详解】解：(%+4+2y)(%-4+2y)-(3%-y)(x+3y)

=(%+2y/—16—(3%2+8xy-3y2)

=x2+4xy+4y2—16—3x2—Sxy+3y2

=—2x2—4xy+7y2—16.

4.(24-25七年级上•上海杨浦•阶段练习)计算：(%+2y)(-X-2y)-(2%+y)(-2%+y)

【答案】3x2—4xy—5y2

【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、熟练掌握公式是解题的关键.先根据完全平方公式、平

方差公式进行计算，再合并即可.

【详解】解：(%+2y)(-x-2y)-(2%+y)(-2x+y)

=—(x+2y)(x+2y)—(2x+y)(—2x+y)

=-(%+2y¥-(y+2x)(y-2x)

=—(x2+4xy+4y2)—(y2—4x2)

=—x2—4xy—4y2—y2+4x2

--3x2—4xy—5y2.

题型二、巧用乘法公式进行简便计算

5.(24-25七年级上•上海,期中)简便运算：20242-2020x2028.

【答案】16

【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，灵活运用平方差公式是解题关键.

将原式整理为20242_(2024-4)x(2024+4),然后利用平方差公式进行运算即可.

【详解】解：=20242_2020x2028

=20242-(2024-4)x(2024+4)

=20242_(20242-42)

=20242-20242+16

=16.

6.(24-25七年级上•上海•期中)简便计算：—

【答案】一39小

81

【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为-侬-目x(20+f,再利用平方差公式求解即可.

【详解】解：-19^x20^

=-(20-|)x(20+|)

4

=-400H---

81

77

=-399—

81

7.(24-25七年级上•上海松江•期中)简便计算：222+44义18+182+19三*202；

44

【答案】1999-

16

【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为

(20-i)X(20+i),再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案.

【详解】解：222+44X18+182+19-X20i

44

=222+2x22x18+182+(20-x(20+

=(22+18)2+202-(：)

,1

=402+400———

16

1

=1600+400———

16

1

=2000--

16

=1999—.

16

8.(24-25七年级上•上海虹口•期中)用简便方法计算：42X5062-2024-X2023-.

77

【答案N

【分析】本题考查了平方差公式以及积的乘方逆运算，先整理得出(4x506)2-0024+枳2024-＞再

运算乘方和平方差公式，最后去括号，进行加减运算，即可作答.

【详解】解：42x5062-2024-x2023-

77

=(4x506)2-(2024+(2024-

=20242—(20242-3)

1

―49'

题型三、巧用乘法公式进行变形求值

9.(23-24七年级下•广东揭阳•阶段练习)同学们在学习《整式的乘法》时，学习了重要的公式一一完全平方

公式，解答下列各题：

【基础公式】请写出完全平方公式(a+6)2=；

【公式变形】公式可以变形为a?+b2=；

【应用】

(1)已知：a+6=8,ab=15,求a?+的值；

(2)已知：a+工=3,求a?+吃的值.

【答案】［基础公式］a2+2ab+/

［公式变形］(a+bY-2ab

［应用］(1)34

(2)7

【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键.

［基础公式］由完全平方和公式即可求解；

［公式变形］根据完全平方公式的变形即可求解；

［应用］(1)根据完全平方公式的变形得到+炉=g+b)2_2ab,代入计算即可；

(2)运用完全平方公式变形得到+2=缶+工丫-2,代入计算即可.

【详解】解：［基础公式］(a+b)2=小+2ab+炉，

故答案为：a2+2ab+b2；

［公式变形］小+>2=(a+炉_2ab,

故答案为：(a+b)2-2ab；

［应用］(1)a2+&2=(a+&)2-2ab,a+b=8,ab=15,

原式=82-2x15=64-30=34；

(2)o?H--=(aT—)—2,CLd—=3,

\aja

原式=32—2=7.

10.(24-25八年级上•四川泸州•阶段练习)已知a+b=4,ab=-5,求：

⑴a?+炉的值;

(2)(a—的值.

【答案］⑴26

⑵36

【分析】(1)把a?+匕2变形为(a+匕尸—2ab,再把a+b=4,ab=-5代入计算；

(2)把(a-b)2变形为(a+b)2-4ab,再把a+b=4,ab=-5代入计算.

本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2+2ab+所是解答本题的关键.

【详解】(1)解：a+h=4,ab=—5,

a2+b2=(a+b)2—2ab=42—2x(—5)=16+10=26；

(2)解：ra+bu%ab--5,

(a—b)2=(a+b)2-4ab=42—4x(—5)=16+20=36.

11.(24-25八年级上•北京•期中)已知(x+y)2=44,xy=2,求：

⑴2/+2V的值；

(2)(%-y)2-xy的值.

【答案】(1)80

(2)34

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键.

(1)原式提取2变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值；

(2)原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值.

【详解】(1)解：：(x+y)2=44,xy=2,

2x2+2y2=2(x2+y2)=2［(x+y)2—2xy］=2X(44—2x2)=80；

(2)解：:(x+y)2=44,xy=2,

(x—y)2—xy=x2—2xy+y2—xy=x2+y2—3xy=(%+y)2—5xy=44—5X2=34.

题型四、巧用乘法公式解方程

12.(24-25七年级上•上海,期中)解方程：(1-3%)2+(2X-I)2=13(%-1)(%+1).

【答案】x=|

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，先根据乘法公式去括号，然后按照移项，合并同类

项，系数化为1的步骤解方程即可.

【详解】解:•••(1-3%)2+(2X-I)2=13(x-l)(x+1),

9x2—6%+1+4x2-4x+1=13(无2—1)

13X2-10X+2=13X2-13,

「•一10%=-15,

解得久=|.

13.(23-24七年级上•湖北•阶段练习)计算

⑴解方程：(3%-2)(2%-3)=(6%+5)(%-1)-1；

⑵解不等式：(3%-I)2+(2%-I)2=13(%-1)(%+1).

【答案】⑴%=1;

(2)x=|.

【详解】([)解：(3%-2)(2%—3)=(6x+5)(%-1)-1,

去括号得：6x2—4%—9%+6=6%2+5%—6%—5—1,

整理得：一4%-9%-5%+6%=-5-1-6,

—12%=-12,

解得：x=1；

(2)解：(3%-I)2+(2%-I)2=13(%-1)(%+1),

去括号得：9%2-6%+1+4%2-4%+1=13%2-13,

整理得：一6%-4%=-13-2,

-10x=-15,

解得：X=|.

题型五、巧用乘法公式解决换元问题

14.(2025七年级下•全国•专题练习)在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来

解决.

例如：若％=123456789X123456786,y=123456788X123456787,试比较％,y的大小.

解：设123456788=a,贝!J%=(a+l)(a-2)=a2—a—2,y=a(a-1)=a2—a.

因为％—y=(a?—CL—2)—(小—a)=-2V0,所以％Vy.

看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你准行！

问题：计算3.456X2.456X5.456-3.4563-1.4562的值.

【答案】2.912

【分析】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键.

根据题意,设3.456=a,则2.456=a-l,5.456=a+2,1.456=a-2,则原数化简得2a-4,把3.456=a

代入计算即可求解.

【详解】解：设3.456=a,贝！|2.456=a-35.456=a+2,1.456=a-2,

.1.原式=a(a—l)(a+2)——(a—2)2=+a?—2a—M—a?+4a—4=2a—4.

a=3.456,

原式=2a-4=2X3.456-4=2.912.

______202020242_______

15.(2025七年级下•全国•专题练习)计算

20202023Z+202020252-2,

X/I+,1+,1+,1x(2+：+/打。

+1+1+1(s6?8

567,+*

【分析】(1)本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用.设20202024=0将原式转换成

02

,再利用完全平方公式计算即可求解.

(a-l)2+(a+l)2-2

⑵设a=■1+[+｝原式变为(2+a)-(a+/—a(2+a+»再利用多项式乘以多项式法则计算即可.

【详解】解：(1)设20202024=a,

则原式=

(a-l)2+(a+l)2-2

—2a+1+a2+2a4~1-2

_a2_1

-2a2-2,

(2)解：设0=；+；+3

567

原式=(2+a),(a+鼻)-a(2+a+j

111

=2a+a9+—2a—ct7——■a

488

1

题型六、巧用乘法公式解决最值问题

16.(23-24七年级下•安徽合肥・期末)阅读材料：形如。2±2仍+。2的式子叫做完全平方式.有些多项式虽

然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方

法叫做配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用.

示例：用配方法求代数式a?+6a+8的最小值，

解：原式=a2+6a+9—1

=(a+3)2—1

丁(a+3/>0,.**(a+3)2—1>-I,，a2+6a+8的最小值为-1.

⑴若代数式/-8%+k是完全平方式，则常数k的值为；

⑵用配方法求代数式4/+4%+3的最小值；

⑶若实数a,b满足小—7a—b+13=0,求a+b的最小值.

【答案】⑴16

⑵2

⑶4

【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键.

(1)利用完全平方公式即可得；

(2)利用配方法把4/+4%+3配凑成(2%+1尸+2,由此即可得；

(3)将小—7ci—b+13=0配凑成(a—3)之一(a+b—4)=0,由此即可得.

【详解】(1)解：•.•代数式/—8%+k是完全平方式，

・,・%2—8%+fc=(x—4)2,

・•・%2-8%+fc=%2—8%+16,

・•・k=16；

(2)解：4%2+4%+3=4%2+4%+1+2

=(2%+l)2+2,

v(2x+l)2>0,

/.(2X+1)2+2>2,

4%2+4%+3的最小值为2；

(3)解：a?-7CL—b+13=a?-6a—a—b+13

=(a—3)2—a—b+4,

a2-7a—h+13=0,

:.(a—3)2—(a+b—4)=0,

・•・a+b—4=(a—3)2>0,

a+&>4,

a+b的最小值为4.

17.(22-23七年级下•湖南郴州•期中)阅读下列材料：

a2±2ab+炉=(a±&)2,我们把形如+2ab+匠或〃标_2ab+炉〃的多项式叫做完全平方式，因为

(a±b)2是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方

法.例如％2+4%+6=(%2+4%+4)+2=(%+2)2+2.可知当(％+2)2=0,即汽=—2时，%2+4%+6有

最小值，最小值是2,根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(l)m2—4m+7有最小值______.

⑵当a,b为何值时，多项式小+垓一4。+6b+18有最小值，并求出这个最小值.

(3)已知o,b,c为△ABC的三边，且满足小+2/+C?-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.

【答案】⑴3

(2)当a=2,匕=一3时，多项式a2+62-4a+6b+18有最小值5

(3)A4BC是等边三角形

【分析】(1)将m?-4m+7化为(m-2y+3,即可求解；

(2)将a2+b2-4a+6b+18化为(a-2)2+(b+3)2+5,即可求解；

(3)可得(a-b)2+(b—c¥=0,即可求解.

【详解】(])解：m2-4m+7

=m2—4m+4+3

—(m-2)2+3

(m-2)2=0,即m=2时，-47n+7有最小值，最小值是3；

故答案：3.

(2)解：由题意得

a2+b2-4a+6b+18

—(CL—2)2+(b+3)2+5,

；.当(1=2,6=-3时，多项式。2+炉一4a+6b+18有最小值5；

(3)解：由题意得

a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,

(a—b)?+(b—c)2=0,

a—b=0,b—c=0,

a=b,b=c,

■■■a=b=c,

△ABC是等边三角形.

【点睛】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键.

题型七、巧用乘法公式进行规律探索

18.(23-24七年级下•广西崇左・期中)阅读材料后解决问题.

小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1),经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后

可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：

(2+1)(22+1)(24+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1.

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

计算：

(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)；

(2)(1+0(1+或)(1+或)(1+或)+亲

【答案】(1)232-1

(2)2

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.

(1)结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以(2-1),根据平方差公式运算即可；

(2)结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以2x(1-|),根据平方差公式运算即可；.

【详解】(1)解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(28-1)(28+1)(216+1)

=(216-1)(216+1)

=232—1；

(2)解:原式=2x(1-3(1+与(1+5)(1+蠢)(1+5)+会

=2*(1-翅1+/(1+/(1+9)+击

=2x(1-到1+白(1+/)+奈

=2x(1一5)(1+扑东

=2x(—』)+东

=2.

题型八、乘法公式及几何背景问题

19.(21-22七年级下•江西抚州•期中)阅读材料：

已知：%满足(9—%)(%—4)=4,求(9一%)2+(%—47的值.

设9—%=。，％—4=b,

则ab=(9—%)(%—4)=4,a+b=(9—%)+(%—4)=5,

因此(9—x)2+(%—4)2=a2+62=(a+b)2—2ab=52—2x4=17.

用上面的方法解下列问题：

⑴已知：(5-%)(%-2)=2,求(5-%)2+(%-2)2的值;

(2)如图，已知正方形/BCD的边长为％,E、F分另1J是边/。、DC上的点，AE=1,CF=3,分别以MF、DF为

边作正方形.

①MF=,DF=(用含x的式子表示)；

②若长方形EMFD的面积是48,试求阴影部分的面积.

【答案】⑴5

(2)①％-l,x-3；②32

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式.应从整体和部分两方面来理解完全平方公式

的几何意义；主要围绕图形面积展开分析.

(1)设5—x=a,X—2=b,贝！jab=2,a+b—3,再根据(5—x)2+(%—2)2—a2+b2=(a+Z?)2—2ab

进行求解即可；

(2)①正方形4BCD边长为x,贝1MD=CD=BC=%,再由DE=MF结合图形可以表示出MF与DF；

②设x—1=a,X—3=b,则ab=48,a—b=2,据此可得(a+b')2=(a—b)2+4ab=196,贝!ja+b=16,

阴影部分面积=(x-I)2-(%-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b),据此代值计算即可.

【详解】(1)解：设5-x=a,x-2=b,

ab=(5—x)(x—2)=2,a+b=(5—汽)+(%—2)=5—%+%—2=3,

•.(5—%)?+(%—2)2

=a2+b2

=(a+b)2—2ab

=32-2x2

=9-4

=5；

(2)解：①四边形EMFO是长方形、AE=1、四边形4BCD是正方形、

AD=CD=BC=x,DE=MF,

MF=DE=AD-AE=x-l9DF=CD-CF=x-3,

②...长方形EMFD的面积是48,

•••MF-DF=(x-1)(%-3)=48,

设％—1=a,x—3=bf

ab=•,.MF•DF=(%—1)(%—3)=48,a-&=(%—1)—(%—3)=x—1—%+3=2,

・•・(a+fo)2=(a—b)2+4ab=22+4x48=196,

・•・a+b=±16,

又•・,a+b>0,

・•・a+b=16,

阴影部分面积=MF2—DF2=(%—l)2—(x—3)2=a2—b2=(a4-6)(a—b)=16x2=32

即阴影部分的面积是32.

20.(22-23七年级下•陕西西安•阶段练习)两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图①)，其未叠合部

分(阴影)面积为Si；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图②)，两个小

正方形叠合部分(阴影)面积为52.

⑴用含a、b的代数式分别表示£、S2；

(2)若a—b=8,ab=13,求S1+S2的值；

⑶用。、b的代数式表示S3,并当£+$2=36时，求出图③中阴影部分的面积S3.

22

【答案】⑴Si=a?—b,S2=2b-ab；

(2)S[+S2=77；

(3)S3=18.

【分析】(1)图①中阴影部分的面积是边长为b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为

b的正方形面积减去边长为b和(a-b)的矩形面积的差；

(2)由(1)用a、b表示出S]+S21然后将其配方后把a—b=8,ab=13代入即可得解；

(3)由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示S3,然后再代入计算即可.

【详解】(1)解：由题意可得：

22

Sr=a—b,

2

S2=b—(a—b)b

-b2—ab+b2

-2b2—ab；

(2)由(1)可得：

22

Si+S2=a—b+2b2—ab

-a2+b2—ab

=(a—by+ab,

2

当a—b=8,ab=13时,Sr+S2=8+13=77；

(3)由题意可得：

_a2+b2-ab

~2'

22

当Si4-S2=36时，a+b-ab=36,

32

【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题

关键.

题型九、巧用乘法公式解决新定义问题

21.(2025七年级下■全国■专题练习)我们规定：(a,b)*(c,d)=a?+c?-bd.例如:(1,2)*(3,4)=l2+32-

2X4=2.

⑴求(一3,2)*(2,-1)的值.

(2)若(久,kx)*(3y,-y)是一个完全平方式，则k=.

(3)若2x+y=10,且(3x+y,2久2+3y2)*Q-3%3)=80,求xy的值.

【答案】⑴15

(2)k=±6

(3)xy=5

【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键.

(1)根据规定直接计算求值；

(2)先利用新定义计算(x,kx)*(3y,-y),之后配方成完全平方公式，即可得到答案；

(3)根据新定义，求出(3万+/2/+33/2)*(久一3/3)=80的左边，从而得出方程，再配方将2x+y=10

整体代入，即可求出

【详解】(1)解：(一3,2)*(2,-1)=(-3)3+22-2*(-1)=9+4+2=15；

(2)解：(x,fcx)*(3y,—y)=x2+(3y)2—fcx(—y)=x2+kxy+9y2,

x2+kxy+9y2是完全平方式，

k=+6；

(3)解：(3%+y,2x2+3y2)*(%—3y,3)

=(3x+y)2+(x-3y>—3(2x2+3y2)

2

=9x+6xy+y2+%2_gXy+9y2_g%2_9y2

=4%2+y2

=4x2+y2+4%y—4xy

=(2%+y)2—4xy=80,

v2x+y=10,

•••102—4xy=80,

4xy=20,

・••xy=5.

22.(22-23七年级下•广东佛山•期中)对于任意四个有理数o、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d),

我们规定：(a^)l2(c,d)=a2+d2-&c.例如：(1,2)0(34)=I2+42-2X3=11.

⑴若(居k%)目(y,-y)是一个完全平方式，求常数k的值；

⑵若2%+y=10,且(3%+y,2x2+3y2)^\(3,x—3y)=84,求%y的值.

［答案】⑴±2

⑵4

【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键：

(1)根据定义的公式得到(%,奴)团(％-y)==%2一依y+y2,由完全平方式即可得到常数k的值；

(2)由定义得到原式=4/+y2,由(2%+y)2=4/+4%y+y2=io。求出4%y=100—84=16,即可得

到％y的值.

【详解】(1)解：由题意得@依)团(必一y)=汽2+(_y)2一口.y

=x2-kxy+y2,

二图(y,-y)是一个完全平方式，

—kxy=±2xy,

解得％=±2；

(2)由题意得(3%+y,2/+3y2)团(3,%-3y)

=(3%+y)2+(%—3y尸—3(2x2+