2024苏科版七年级数学下册综合训练：乘法公式与几何背景问题（含答案）

乘法公式与几何背景问题综合训练

一、解答题

1.完全平方公式：(a±b)2=。2±2帅+62经过适当的变形，可以解决很多数学问题，

(1)①若x+y=6,x2+y2—28,贝Uxy=；

②若2a+b=6,ab=4,贝！］(2a—b)2=；

⑵如图，C是线段AB上的一点，以力C、BC为边向两边作正方形，设=8,两正方形的面积和S1+S2=44,

求AZFC的面积.

2.(23-24七年级下•贵州贵阳•阶段练习)如图，用4个长是a,宽是6的长方形拼成了一个如图2所示的"回

形"正方形.

b

图1

⑴由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：；

(2)利用(1)中得到的恒等式，解决下面的问题：已知2(x+y)=10,2(x-y)=2,求久y的值.

3.(23-24七年级下•全国•单元测试)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，力种纸片是边长

为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并用4种纸片一张，B种纸

片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：:

⑵观察图2,请你写出代数式：(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系；

⑶根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知(2020—a)2+(a—2019)2=5；求(2020-a)(a-2019)的值；

4.(23-24七年级下•全国•单元测试)如图①是长为a,宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同

的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分).

⑴请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：

方法一：S小正方形=------------------；方法一•：S小正方形=-------------------

⑵根据(1)中小正方形面积的两种不同的表示方法,下列等式中：①(a+b)(a-b)=a2-b2；②(a+b)2=

(a-b)2+4ab,能够验证成立的是(填序号).

⑶应用⑵中验证成立的等式，解决问题：已知m+n=12,mn=11,求小一九的值.

5.(23-24七年级下•浙江宁波•期中)如图1是一个长为2机、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四

块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

图2

⑴你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于；

⑵请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

①；

②.

⑶观察图2你能写山（ni+n）2,（m-n）2,nm三个代数式之间的等量_______.

⑷用完全平方公式和非负数的性质求代数式2/+4x+3y2—18y+32的最小值.

6.（22-23七年级下•浙江温州•期中）如图1,是一个宽为a,长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）.

图1图2

⑴观察图2,请你用等式表示（a-8/，（a+b）2,ab之间的数量关系：

⑵根据（1）中的结论，如果x+y=5,xy=p求代数式（x-y）?的值.

4

7.（22-23七年级下•江苏常州•期末）如图1,已知纸片4是边长为acm的正方形，纸片B是相邻两边长分别

为久cm,ycm的长方形，且纸片48的周长相等.

EJ

⑴当a=5时.

①若%>6,求y的取值范围；

②如图2,以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C,D,若纸片B的面积比纸片4的面积小10cm2,求

C,D的面积之和；

⑵如图3,将纸片4B叠合在一起，记阴影部分的周长为

=（用含x,a的代数式表示）；

②若关于x的不等式M<12恰有3个正整数解，贝b的取值范围是

8.（22-23七年级下•四川成都•期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等

式.

D

图I图2图3图4

如图1是一个长为4a、宽为。的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形

拼成一个"回形"正方形（如图2）.

⑴根据上述过程，写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系：_；

⑵类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.观察图3,把一个大正方

体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式：

⑶两个正方形2BCD,CEFG如图4摆放，边长分别为>y）,若这两个正方形面积之和为34,且BE=8,

求图中阴影部分面积.

9.（23-24七年级下•广东佛山•阶段练习）如图1,4纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，

C纸片是长为b,宽为a的长方形.现用4种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方

形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：;方法2：；

⑵观察图2,请你写出下列三个代数式：（a+6）2,。2+b2,M之间的等量关系

⑶①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知（x—2023）2+（x-2025）2=52，求久一2024的值.

10.（2025七年级下•全国•专题练习）【阅读学习】

做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论.

例1：如图1,可得等式+c）=ab+ac.

例2：如图2,可得等式（a+2b）（a+b）=a?+3ab+2b2.

【问题解决】

（1）如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知

a+b+c=11,ab+be+ac=38.求a?+b2+c?的值.

【拓展应用】

（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图4

图4,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，8,C,G三点在同一直线上，连接若这两个正方形

的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.

11.（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式

是常见的办法.如图1,边长为a+b的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如

图2）,且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题.

a

\Ia

b

Si

【探索归纳】

①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是（用含a,匕的式子表示）；

②图2中4个部分的面积之和是（用含a,b的式子表示）；

③因此，可以得到等式：.

【学以致用】简便计算：

①1052；

03.142+6.28x6.86+6.862.

【拓展应用】若图2中的长方形的长（b）与宽（a）的值分别为12—巾和巾-3,且满足（12-巾）（机-3）=18,

请求出（12-nt）2+（m-3）2的值.

。囚b

12.（23-24七年级下•江苏淮安・期末）如图，AB=a,P是线段上任意一点，在4B同一侧分别以4P,BP为

边作正方形4PCD、正方形PBEF.设4P=x.解答下列问题（用含a、x的代数式表示）

⑴①正方形PBEF的边长为二

②求这两个正方形的面积之和S；（需化简）

（2）若x（工a,连接DF、BD、BF,求图中阴影部分的面积.

13.（23-24七年级下•辽宁沈阳•期末）（1）如图L是一个长和宽分别为"的长方形纸片，如果它的长

和宽分别增加a,b,所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为(m+a)S+

b)=_:

(2)①如图3,是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+6+c的大正方形，用不同的方法表示这个

大正方形的面积，得到的等式为(a+b+c)2=_

②已知a+6+c=15,a2+b2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代数式ab+be+ac的值.

(3)如图4,是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这

个大正方体的体积，求当a+b=5.9,ab=4.5时，代数式a3+/的值.

14.(23-24七年级下•河北沧州•期末)如图a是一个长为2祖、宽为2〃的长方形(m＞几)，沿图中虚线用剪

刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形.

⑴请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：;方法二：

(2)观察图b,直接写出代数式(zn+八/，(m-n)2,nm之间的关系；

⑶利用(2)的结论，尝试解决以下问题：

①已知m+ri=7,mn=6,求(m—n)2的值；

②已知：(4—%)(5-%)=6,求(9-2x)2的值.

15.(23-24七年级下•四川成都•期末)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式.

图①图②

⑴如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形及长宽分别为a和b的两个长方形，利用

这个图形的面积可以验证公式」

⑵若盯=8,X+y=6,求％2+y2的值；

⑶如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形2BCD、DEFG,连接BG、CG、EG.若阴

影部分的面积和为9,ACDG的面积为3.求CE的长度.

16.（23-24七年级下•江西九江•阶段练习）实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方

形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

图I图2

（1）上述操作能验证的等式是二（请选择正确的一个）

A.a2—2ab+b2=（a—b）2B.b2+ab=b（a+b）

C.a2—b2=（a+b）（a—b）D.a2+ab=a（a+b）

启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题:

⑵计算：5）x（1—…x（l—右）

（3）计算1017一2x992+972

W.（23-24七年级下•浙江杭州•阶段练习）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2

是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2.

⑴请直接用含a和b的代数式表示S]=,S2=；写出利用图形的面积关系所得到的公式

（用式子表达）；

⑵应用公式计算：（1_3（1—*）（1—/）…（1—募）（1—感）；

⑶应用公式计算：（5+1）（52+1）（54+1）…。32+1）（564+1）+£

18.（23-24七年级下•广东佛山•期中）乘法公式的探究及应用:

图①图②

⑴如图①，可以求出阴影部分的面积是_（写成两数平方差的形式）:

如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是」（写成多项式乘法的形式）:

比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式一（用式子表达）

⑵运用你所得到的公式，计算1003x997的值:

19.(21-22七年级下•江西抚州,期中)阅读材料：

已知:%满足(9—x)(x—4)=4,求(9—久)2+(%—4尸的值.

设9一久=a,x—4=b,

则ab=(9一久)(x—4)=4,a+b=(9—x)+(%—4)=5,

因此(9—x)2+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2x4=17.

用上面的方法解下列问题：

⑴已知：(5-x)(x—2)=2,求(5—x)2+(%—2)2的值;

(2)如图，已知正方形力BCD的边长为x,E、尸分别是边2D、DC上的点，AE=1,CF=3,分别以MF、DF为

边作正方形.

①MF=,DF=(用含％的式子表示)；

②若长方形EMFD的面积是48,试求阴影部分的面积.

20.(22-23八年级下•广东佛山•期中)材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得

到一个数学等式.

⑴如图1,将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为6的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个

关于a,b的等式：.

图1

请类比上述探究过程，解答下列问题：

⑵如图2,将一个棱长为。的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等

式：a3—b3=,将等式右边因式分解，即a3—/=；

图2

⑶根据以上探究的结果，

①如图3所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数.•.，按此规律拼叠到正方形4BCD,其边长为19,

求阴影部分的面积.

_____O_____O

②计算：(申+1)-(VH-1)

AD

图3

21.（22-23七年级下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图1是长为4a,宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分

成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）.

图1图3

⑴观察图2,请你写出（a+b）2、（a—。/、ab之间的等量关系：；

（2）根据（1）中的结论，若x+y=5,xy=],求（x—y/的值；

（3）请求解下面实际问题：

如图3,已知正方形2BCD的边长为x,E,F分别是4。、DC上的点，且2E=1,CF=3,长方形EMFD的面

积是48,分别以MF、。尸为边长作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.

22.（21-22七年级下•辽宁铁岭•期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形

②得到图乙.

（1）S甲=，S乙=（用含〃、b的代数式分别表示）;

⑵利用（1）的结果,说明小、（2、（a+b）（a—b）的等量关系：

⑶应用所得的公式计算:（1一套）（1一京）（1一制…（1一专）（1一系）

⑷如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形,

画出图形，利用图形说明（a+6）2、（a-b）2、ab三者的等量关系.

2a

2b

丙

23.（24-25八年级上•辽宁•阶段练习）【问题初探】对于两个正数a,b（a丰1）,定义一种新的运算，记作〃（a,b）,

即：如果如那么〃(a,b)=c.例如：34=81,则〃(3,81)=4.

(1)根据上述运算填空：〃(2,4)=；〃(2,16)=；77(2,64)=.

【归纳猜想】

(2)先观察僦2,4),〃(2,16)与〃(2,64)的结果之间的关系.再观察(1)中的三个数4,16,64之间的关系.试

着归纳：r){a,m)+7](a,n)=；

【初步应用】

(3)4BCC的边长为m,小正方形CGFE的边长为n,若〃(a,m)+77(a,n)=〃(a,p),r)(2,m+n)=4,4(2,p)=

5.求图中阴影部分的面积.

【拓展延伸】

(4)如图②：四边形2BED,CGHD是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形HFED沿着

DE翻折得到矩形DEMM若爪a,m)==2,矩形4BMN的面积是5,AN=4,a+b=2.5,求a,b的

值.

24.（24-25八年级上•福建福州,期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时

难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休."可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着

重要的作用.在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘.

情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a,b的式子分别表示

图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式;

bCb

情境二：乙同学用1块4木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形,请直接写出所拼正方形的边长

（用含a,b的式子表示），并求所用C木片的数量；

情境三：丙同学声称自己用以上的4B,C三种木片拼出了一个面积为2a2+6帅+3炉的长方形；丁同学

认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形.

你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、

宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）.

25.（23-24八年级上•福建福州,期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过："数缺形时少直观，形少数时

难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休."可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥

着重要的作用.在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘.

情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示

图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；

情境一

情境二乙同学用1块4木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形,请直接写出所拼正方形的边长（用

含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；

情境二

情境三丙同学声称自己用以上的4B,C三种木片拼出了一个面积为2a2+7防+钻2的长方形；丁同学认

为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形.

你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形.（要求：所画图形的长、

宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）.

参考答案与试题解析

乘法公式与几何背景问题综合训练

一、解答题

1.（21-22七年级下•江西抚州•阶段练习）完全平方公式：（a±6）2=a2±2ab+炉经过适当的变形，可以

解决很多数学问题，

（1）①若%+y=6,x2+y2=28,则%y=；

②若2a+b=6,ab=4,则（2a—h）2=；

⑵如图，C是线段AB上的一点，以AC、为边向两边作正方形，设48=8,两正方形的面积和S1+S2=44,

求△AFC的面积.

【答案】⑴①4；②20

(2)5

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：

(1)先求出(X+y)2=62,则为2+2xy+y2=36,再由/+y2=28即可得到答案；

(2)根据(2a-b)2=(2a+b)2-4ab进行求解即可；

2

(3)设4c=a,BC=b,根据£+S2=44,得到a?+b=44,根据48=8,得到a+b=8,据此得到

a2+2ab+b2=64,贝咛ab=5,可得图中△AFC的面积为5.

【详解】(1)解:①..”+y=6,

(x+y)?=62,

.,.X2+2xy+y2=36

x2+y2=28,

/.28+2xy=36

xy=4；

故答案为：4；

(2)*.*2a+6=6,ab=4,

J(2a—b/=(2a+fo)2—4ab=62—4x4=20,

故答案为：20；

(2)解：设4c=a,BC=b,

22

二•Si=a,S2=bf

・.・Si+S2=44,

/.a2+b2=44,

9JAB=8,

a+6=8,

/.(a+b)2=82

/.a2+2ab+h2=64

/.2ab+44=64,

/.ab=10

-ab=5

2

二图中△AFC的面积为5.

2.(23-24七年级下•贵州贵阳•阶段练习)如图，用4个长是a,宽是b的长方形拼成了一个如图2所示的"回

形"正方形.

b

图1

⑴由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：；

⑵利用(1)中得到的恒等式，解决下面的问题：已知2(x+y)=10,2(%-y)=2,求孙的值.

【答案】⑴4ab=(a+ft)2-(a-b)2

(2)6

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积的关系证明勾股定理.

通过观察可以得大正方形边长为a+b,小正方形的面积为a-b,利用大正方形面积减去小正方形面积即为

阴影部分的面积，得出答案；

(2)由(1)的结论变形后即可得出町的值.

【详解】(1)解：由拼图前后4个长方形的面积不变，可得4ab=(a+b)2-(a-b)2,

故答案为：4ab=(a+b)2-(a—b-)2.

(2)解：根据条件可得：x+y=5,x-y=1,

4xy=(x+y)2—(x—y)2=25—1=24,

故xy=6.

3.(23-24七年级下•全国・单元测试)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边长

为a的正方形，8种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并用4种纸片一张，B种纸

片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：

(2)观察图2,请你写出代数式：(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系；

⑶根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知(2020-a)2+(a-2019)2=5,求(2020-a)(a-2019)的值；

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+bp=+炉+2ab

⑶①ab=6；②-2

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变

形求值，解题的关键是掌握完全平方公式.

(1)正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；

(2)根据两种方法所表示的面积相等可解答；

(3)①利用完全平方公式的变形求解即可；

②设2020-。=%,a-2019=y,贝h+y=l,然后利用完全平方公式的变形求解即可.

【详解】(1)解：方法1：大正方形的面积为(a+b)2；

方法2：大正方形的面积为M+F+zab,

故答案为：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)解：由(1)可知(a+b)2=q2+b2+2ab；

故答案为：(a+b)2=a2+62+2ab；

(3)①•:a+b=5,

・•.(a+b}2=25,

a2+b2+2ab=25,

又a2+炉=13,

・•・ab=6；

②设2020—a=%,a—2019=y,则％+y=l,

v(2020-a)2+(a-2019)2=5,

：,%2+y2=5,

(%+y)2=/+2xy+y2,

.”7-(%+y)2T%2+y2)_1-5_

,•孙一~一——乙，

即(2020-a)(a-2019)=xy=-2.

4.(23-24七年级下•全国•单元测试)如图①是长为a,宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同

的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分).

b

图①

⑴请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：

方法一：S小正方形二------------------；方法二：S小正方形=-------------------

⑵根据(1)中小正方形面积的两种不同的表示方法,下列等式中：①(a+b)(a-b)=a2-b2；②(a+b)2=

(Q-b)2+4a力，能够验证成立的是(填序号).

⑶应用⑵中验证成立的等式，解决问题：已知??1+几=12,mn=11,求TH-几的值.

【答案】⑴(a+b)2-4ab,(a-h)2

⑵②

(3)m—n=+10

【分析】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在

一起，要学会观察图形.

(1)观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为(a+b)2,四个小长方形的面积为4ab,中间阴影部分的

面积为S=(a+b)2-4ab；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为a-b,所以其面积为(a-b＞；

(2)由(1)中表示的两种方法相等即可求解；

(3)根据(2)的关系式代入计算即可求解.

【详解】(1)解：方法一：S小正方形=(a+6)2—4ab.

方法二:S小正方形=(a—b)2；

(2)由(1)得，(a+-)2—4ab=(a—b)2

(a+b)2=(a-b)2+4ab.

能够验证成立的是②；

(3)由(2)得，(zn+n)2—4nm=(m—n)2

m+n=12,mn=11,

122—4x11=(m—n)2,

(m—ri)2=100

.,.m—n=+10.

5.(23-24七年级下•浙江宁波・期中)如图1是一个长为2爪、宽为2几的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四

块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

⑴你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于；

⑵请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

①；

②.

⑶观察图2你能写山(租+71)2,(加-71)2,nm三个代数式之间的等量______.

⑷用完全平方公式和非负数的性质求代数式2/+4x+3y2—18y+32的最小值.

【答案】(1)巾—n

(2)①(巾—ri)2@(m+n)2—4mn

(3)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(4)3

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到

的代数式的值相等列式是解题的关键.

(1)根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；

(2)①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可.

(3)阴影部分的面积相等，结合(2)可得出答案.

(4)利用完全平方公式将原式变形为2(%+l)2+3(y-3)2+3,再根据非负数的性质可求出最小值为3.

【详解】(1)解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；

(2)①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为(巾-02,

②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为(m+n)2-4mn；

(3)阴影部分的面积相等，结合(2)可得出(加一TI)2=(m+正>一4小几；

(4)2x2+4x+3y2-18y+32

=2x2+4x+2+3y2-18y+27+3

=2(%+1)2+3。-3)2+3

V2(x+l)2>0,3(y-3)2>0,

A2(x+l)2+3(y-3)2+323,即最小值为3.

6.(22-23七年级下•浙江温州•期中)如图1,是一个宽为a,长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形(如图2).

bbbbb

图1图2

⑴观察图2,请你用等式表示(a-b)2,(a+6)2,ab之间的数量关系：

(2)根据(1)中的结论，如果x+y=5,xy=p求代数式(久一y)2的值.

【答案】⑴(a+b}2=(a-b)2+4ab

⑵16

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全

平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键.

(1)表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论;

(2)由(1)的结论得(％+y)2=(%—y)2+4xy,再整体代入即可.

【详解】(1)由图2可知，大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为(a-切，大正方形的面积可以表示

为：(a+b)2或(a—b)2+4ab,

(a+b)2=(a—b)2+4abf

故答案为：(a+by=(a-b)2+4ab；

(2)由(1)得:(%+y)2=(%-y)2+4xy,

52=(x—y)2+4x

4

(x—y)2=16.

7.(22-23七年级下•江苏常州•期末)如图1,已知纸片4是边长为acm的正方形，纸片B是相邻两边长分别

为xcm,ycm的长方形，且纸片48的周长相等.

(1)当a=5时.

①若x>6,求y的取值范围；

②如图2,以纸片8的相邻两边为边长分别向外作正方形C,。，若纸片B的面积比纸片4的面积小10cm2,求

C,。的面积之和；

(2)如图3,将纸片4B叠合在一起，记阴影部分的周长为

®M=(用含x,a的代数式表示)；

②若关于x的不等式M<12恰有3个正整数解，贝b的取值范围是

【答案】(1)0<y<14；370

(2)2a+2%；2<a<3

【分析】本题主要考查了代数式表示数，不等式的应用，对于(1)①，根据A,2的周长相等，可得4a=

2(%+y)=20,再结合x>6可得答案；②，由题意可得xy=a2-10,再结合％+y=10可得解；

对于(2)①，先表示阴影部分周长，可得解；

②，由①得2x+2a<12,再结合不等式M<12有3个正整数解可得答案.

【详解】(1)①B的周长相等，a=5,

/.4a=2(%+y)=20,

.*.%=10—y.

Vx>6,

•**10-y>6,

・・.y<4.

Vy>0,

/.0<y<4；

②由题意，得%y=a2-10=25—10=15.

*.<%+y=10,

.*.x2+y2=(%+y)2—2xy=100-30=70,

AC,。的面积之和为70；

(2)①由题意，阴影部分周长M=2a+2(a—y)+2y+2(%—Q)=2Q+2a—2y+2y+2%-2a=2a+

2x.

故答案为：2a+2%；

②由①得，2x+2a<12,

x+a<6,

%<6—a.

又不等式M<12恰好有3个正整数解，

Ax<6-a恰好有3个正整数解，

**.3<6—aW4,

/.2<a<3.

故答案为：2<a<3.

8.(22-23七年级下•四川成者B•期末)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等

式.

如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形

拼成一个"回形"正方形(如图2).

⑴根据上述过程，写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系：

(2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.观察图3,把一个大正方

体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式：

⑶两个正方形2BCD,CEFG如图4摆放，边长分别为＞y),若这两个正方形面积之和为34,且BE=8,

求图中阴影部分面积.

2

【答案】⑴(a+bp=(a-b)+4ab

(2)(a+b)3-a3+3a2b+3ab2+b3

【分析】本题考查了完全平方公式，

(1)从"整体"和"部分"两个方面分别用代数式表示图2的面积即可；

(2)从"整体"和"部分"两个方面分别用代数式表示图3的面积即可；

(3)设正方形4BCD的边长加，正方形CEFG的边长为“由于两个正方形面积之和为34,且BE=8得+

4=34,m+n=8,用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得；

掌握完全平方公式的结构是解题的关键.

【详解】(1)解：图2"整体"上是边长为a+b的正方形，因此面积为(a+b)2,图2中间“小正方形"的边长

为a-b,因此面积为(a-6)2,四个小长方形的面积和为4ab,

所以有(a+b)2=(a-b)2+4ab,

故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；

(2)解：图3"整体"上是棱长为a+b的正方体，因此体积为(a+6)3,分割成的8个部分的体积和为a3+

3a2b+3ab2+b3,

所以有(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

故答案为：(a+b)3—a3+3a2b+3ab2+b3；

(3)解：设正方形4BCD的边长如正方形CEFG的边长为小

由于两个正方形面积之和为34,且BE=8,

/.m2+n2=34,m+n=8,

(m+n)2=m2+n2+2mn,

即64=34+2mn,

mn=15,

(m+n)2=(m+n)2—4nm=64-60=4,

/.m-n=2或nr—n=-2(舍去)，

'S阴影部分=S4BCD+SDFG

11

=4-?-n(m—n)

11

=-(m+n)(m—n)+-mn

11

==x8x2+二x15

22

_31

2°

9.(23-24七年级下•广东佛山•阶段练习)如图1,/纸片是边长为。的正方形，B纸片是边长为b的正方形，

C纸片是长为b,宽为a的长方形.现用4种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方

形.

图1图2

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：;方法2：;

(2)观察图2,请你写出下列三个代数式：(a+6)2,a2+b2,必之间的等量关系

⑶①根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：若a+6=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(久—2023)2+(X-2025)2=52,求x-2024的值.

【答案】⑴(a+炉,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2=a2+b2+2ab

(3)①ab=7；②x-2024=±5.

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是突破本题的关键.

(1)根据面积的两种算法求解即可；

(2)利用(1)的结论列出等式即可；

(3)根据完全平方公式变形代入即可.

【详解】(])解：大正方形面积按照边长的平方可得：(a+6)2,

按照大正方形的组成可得：a2+b2+2ab.

故答案为：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)解：由图②可得：(a+力y=a?+62+2时.

故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab；

(3)解：@'：a+b=5,a2+b2=11,

2ab=(a+b)2—(a2+h2)=52-11=14,

•••ab=7.

(2)V(x-2023)2+(X-2025)2=52,

•••(x-2024+I)2+(x-2024-l)2=52,

设m=x—2024,贝！|(m+l)2+(m—I)2=52,

m2=25,

(x-2024)2=25.

Ax-2024=±5.

10.(2025七年级下•全国•专题练习)【阅读学习】

做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论.

例1：如图1,可得等式a(b+c)=a6+ac.

例2：如图2,可得等式(a+2b)(a+b)=a?+3ab+2b2.

【问题解决】

(1)如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11,ab+be+ac=38.求a?+b?+©2的

值.

【拓展应用】

(3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图4,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，

B,C,G三点在同一直线上，连接若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分

的面积.

abh

图1图2

b

图3图4

【答案】(])(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；(2)45；(3)20

【分析】(工)先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形

的面积，由两个结果相等即可得出结论.

(2)由(1)可知，a2+b2+c2=(a+b+c)2—(2ab+2bc+2ac),代入数值计算即可；

(3)根据题意得到a2+b2=60,再采用数形结合得到阴影部分的面积为S正方形.CD+S正方形ECGF-SAABD-

S"FG，计算即可；

本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系，通过等面积法理解因式分

解结果以及规律.

【详解】解：(1)•.•正方形面积为(a+b+c)2,

小块四边形面积总和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(a+b+c)?—a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

(2)由(1)可知，

a2+b2+c2={a+b+c)2—(2ab+2bc+2ac)=121—2x38=45.

(3)a+b=10,ab=20,

(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+40=100,

/.a2+b2=60,

•,阴影部分的面积为：S正方形4BCD+S正方形ECGF—SAABD—S&BFG

=a2+b2—|a2—+b)=1(cz2+b2—ab)=|x(60—20)=20.

11.(22-23七年级下•陕西咸阳•期中)【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式

是常见的办法.如图1,边长为a+b的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形(如

【探索归纳】

①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是(用含a,b的式子表示);

②图2中4个部分的面积之和是(用含a,b的式子表示)；

③因此，可以得到等式：.

【学以致用】简便计算：

①1052；

@3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展应用】若图2中的长方形的长(瓦)与宽(a)的值分别为12—m和m—3,且满足(12-爪)(租-3)=18,

请求出(12-zn)2+(m-3)?的值.

【答案】探索归纳：①(a+b)2；@a2+2ab+b2；(3)(a+h)2=a2+2ab+b2；学以致用：①11025；

②100；拓展应用：45

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解答本题的关键.

探索归纳：①根据图形列式即可；

②根据图形列式即可；

③结合①和②以及图形列式计算即可；

学以致用：

①运用完全平方公式简便运算即可；

②运用完全平方公式简便运算即可；

拓展应用：逆用完全平方公式即可解答.

【详解】解：探索归纳：①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是(a+b)2,

故答案为：(a+b)2；

②a?+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；

故答案为:a2+2ab+bz；

③(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；

学以致用：

①1052=(100+5)2=1002+2x100x5+52=10000+1000+25=11025

222

②3.142+628*6.86+6.86=(3.14+6.86)=10=100；

拓展应用：由b=12—TH,a=m—3,则a+b=12-zn+m-3=9,ab-(12—m)(m-3)=18,

所以a?+fa2=(a+bp-2ab=92—2X18=45.

12.(23-24七年级下•江苏淮安•期末)如图，AB=a,P是线段4B上任意一点，在4B同一侧分别以4P,BP为

边作正方形4PCD、正方形PBEF.设4P=x.解答下列问题(用含a、x的代数式表示)

(1)①正方形PBEF的边长为二

②求这两个正方形的面积之和S；(需化简)

⑵若连接DF、BD、BF,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴①a—x；②S=2x2—2ax+a2；

(2)|x2+1a2—ax

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景.

(1)①直接求得a-x；②根据正方形的面积公式进行计算即可；

(2)利用阴影部分的面积=S正方形.PCD+S正方形PBEF+SAFCD—S-BD—SAEFB，据此计算即可得出答案.

【详解】([)解：①由于4P=x,4B=a,贝!]BP=a-x,

故答案为：a—x；

②所以两个正方形的面积之和为S=%2+(a-x)2=2x2-2ax+a2；

(2)解：•.•正方形4PCD、正方形PBEF,AP=%,BP=a-x,

/.CF=PF—PC=a—x—x=a—2x,

・・阴影部分的面积=SE^^APCD+S正方形PREF+S"CD-^LABD-S&EFB

=x2+(a—%)2+-%•(a—2%)--x-a--(a—%)2

_1,11

=xz+-(a—+-x•(a—2x)--x-a

1111

=%2+-a2—ax+-%2+-ax—%2--ax

2222

=一1行2+।一1。乙2一ax.

22

1