2025高考数学二轮复习：导数综合（五大考向）含答案

2025高考数学考二轮专题复习-第十九讲-导数综合(五大考向)-专项训练

-：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，

22(1)

2024•新高考I卷，

18(1)

导数与函数最值

2024•新高考I卷，

18(3)

2022•新高考n卷，

22(2)

1.高考中，导数是必考内容。

2022•新高考I卷,

难度、广度和深度较大。常规导数与函数零点

22(2)

基础考查求导公式与几何意

2023•新高考I卷，

义；中等难度考查求单调区

19(1)

间、极值、最值等；压轴题考导数与函数单调性

2022•新高考n卷,

查零点、不等式证明、恒成立

22(1)

或者存在问题、分类讨论求参

2023•新高考I卷，

数等，和数列、不等式、函数

19(2)

等知识结合。

2022•新高考n卷,

导数与不等式证明

22(3)

2023•新高考n卷,

22(1)

2023•新高考n卷,

22(2)

导数与函数极值

2024•新高考n卷,

16(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综

合运用，难度较难。n卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适

中。导数的高频考点有：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调

性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性

结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求

不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成

立、求参问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考I卷•18)已知函数〃x)=ln'L+办+6a-以

2-x

(1)若6=0,且八求。的最小值;

(2)证明：曲线>=/(x)是中心对称图形；

⑶若当且仅当l<x<2,求b的取值范围.

2.(2024新高考n卷T6)已知函数=e*-ox-”'.

⑴当。=1时，求曲线>=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若Ax)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

高考真题练

一、解答题

1.(2022新高考I卷,22)已知函数/(>)=/-◎和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2.（2023新高考I卷-19）已知函数/（x）=a（e，+a）-x.

(1)讨论/(尤)的单调性;

3

(2)证明：当。>0时，/(x)>21na+-.

3.（2022新高考D卷-22）已知函数/'（x）=xe"'-e"

(1)当a=l时，讨论“X)的单调性；

⑵当x>0时，/«<-1,求。的取值范围；

111,,,、

(3)设“eN",证明：]2+]三+…+/2>ln(〃+D.

4.(2023新高考n卷-22)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x；

(2)已知函数/(x)=cosax-ln(l-x2),若》=。是/(x)的极大值点，求。的取值范

围.

知识点总结

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数/(X)的值域为伍力)或[。,可，或仅,回或[凡6)中之一种，则

①若让/(X)恒成立(即2</(X)无解)，则42[/(x)]max;

②若4V/(x)恒成立(即皆〉/(x)无解)，则XW[/(x)]mm；

③若於/(X)有解(即存在X使得A>/(x)成立)，则於[/(x)]min；

④若2</(X)有解(即存在X使得2<f(x)成立)，则4V[/(x)]max；

⑤若2=fix)有解(即2w/(x)无解)，则4e｛团y=f(x)｝；

⑥若X=/(x)无解(即4H/(%)有解)，则AeCu{y\y=/(%)}.

【说明】(1)一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.

(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号

的取舍！(即端点值的取舍)

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如4/(x)=g(x)=>2=史2；

/(x)

②倒数法分离参数：如4/(x)=g(x)nL=3；

Ag(x)

【当f(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不为0时，可用倒数法分离参数.】

£-:，g(x)〉o

③讨论法分离参数:如:2g(x)>/(%)«::

花笑g(x)<0

[g(x)

2</(〃),〃为正偶数

(—1"V/(〃)(〃eN*)<

-2</(〃),〃为正奇数

④整体法分离参数：如万+4=/(x)；

⑤不完全分离参数法：如2=lnx+x-x2；

x

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

(1)分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但

如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含

参转化法.

(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉

这一部分或端点，再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题

三、其他恒成立类型一

①/(x)在[。,切上是增函数，则20恒成立.(等号不能漏掉).

②/(x)在[a,可上是减函数，则/8)<0恒成立.(等号不能漏掉).

③/(x)在[2口上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①VX]e4mx2e8,使得方程g(x2)=/(^)成立

=5y=/(x),x"}u{my=g(x),XEB}.

②eA,Bx2EB,使得方程g(x2)=/(xj成

o3y=/(x),xeA}c{y\y^g(x),xeB}^0.

五、其他恒成立类型三

①VX]eA,\/x2eB,/a)2g(*2)O/(X])min2g(%2)max；

②VX]e4*2e8，/(再)，g(%)of(xjmin>g(%Un；

③叫&A,Xfx2eB,/(X])2g(%2)o/(%)max2g(%2)max；

®叫e4%2e8,/(X])2g(%)O/a)max之g(》2)min-

六、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式

来求解，方法是：

(1)把不等式转化为/[g(x)]>/["x)]；

(2)判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得

到具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

七、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下

面是常见函数的变形

模型1.对于/'(x)〉g'(x),构造〃(x)=/(x)-g(x)

模型2.对于不等式/(6>左丁#0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.

模型3.对于不等式/(x)+/(x)>0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式/(x)+4f(x)〉0,构造函数g(x)=*/(x)

模型4.对于不等式/'(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=堂

e

模型5.对于不等式xf'[x)+/(x)>0,构造函数g(x)=xf[x}

拓展：对于不等式犷''(x)+7/(x)〉0,构造函数g(x)=x"(x)

模型6.对于不等式V"(x)-/(x)>0，构造函数g(x)=®(x中0)

X

拓展：对于不等式力⑴-4(x)〉。，构造函数g(x)=/学

f'(\

模型7.对于今Mx〉0,分类讨论：(1)若/(x)〉0,则构造〃(x)=ln/(x);

/(x)

(2)若/(x)<0,则构造〃(x)=ln[—/(x)]

模型8.对于f'(x)+In模(x)>0(<0),构造h(x)=axf(x).

模型9.对于/'(x)lnx+区D〉0(<0),构造〃(x)=/(x)lnx.

模型10.(1)对于/'(x)〉/(x)tanx(^/-,(x)</(x)tanx),即

f\x)cosx-/(x)sinx>0(<0),

构造/z(x)=f(x)cosx.

(2)f'(x)cosx+f(x)sinx>0(<0),构造〃(x)=/也.

cosx

模型11.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)

f'(x)sinx-f(x)cosx_r/(x)r

sin2xsinx

名校模拟练

一、解答题

eT+x-l

1.(2024•浙江•三模)

e'

(1)求函数的单调区间；

⑵若曲线>=〃x)在点(0,0)处的切线与二次曲线>="2+(2。+5.-2只有一个公共

点，求实数a的值.

2.(2024・河北张家口•三模)已知函数/(x)=lnx+5x-4.

⑴求曲线J=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

3

(2)证明：/«>---2.

5x

2

3.(2024•广东汕头•三模)已知函数〃x)=lirr-ax,g(x)=/,aw0.

(1)求函数〃x)的单调区间；

⑵若〃x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

4.(2024•山西吕梁•三模)已知函数f(x)=x2-2x+alnx,(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

⑵若对任意的士,%«0,+向户户工2,使)＞。恒成立,则实数。的取值范

玉~X2

围.

5.(2024•广西钦州•三模)已知函数/(x)=asinx+xcosjf.

(1)若。=o,求曲线y=f(x)在点(0,〃0))处的切线方程;

(2)若。＞-1,证明:/卜)在(-兀，兀)上有3个零点.

29

6.(2024•天津河西・三模)已知函数/(x)=-2alnx--,g(x)=ax-(2a+l)lnx―-,其

xx

中Q£R.

⑴若/'(2)=0,求实数。的值

⑵当。＞0时，求函数g(x)的单调区间；

⑶若存在xe%，使得不等式〃x)Vg(x)成立，求实数a的取值范围.

7.(2024•河北•三模)已知函数/(x)=cosx+2x.

(1)当xe(-oo,0)时,证明:/(x)＜e\

(2)若函数g(x)=ln(x+l)+e―/(x),试问:函数g(x)是否存在极小值？若存在，求出

极小值；若不存在，请说明理由.

8.(2024・四川南充・模拟预测)已知函数/(x)=l二一ainx,aeR.

X

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)当。＞0时,函数/㈤与函数g(x)=a(l-ef-x+1有相同的最大值,求。的值.

9.(2024广东汕头三模)已知函数"x)=xe-办2),

(1)若曲线〉=/(》)在％=-1处的切线与了轴垂直，求y=的极值.

(2)若/(X)在(0,+co)只有一个零点，求a.

10.(2024・北京•三模)已知函数/(x)=ln(x+l)+Mx+l).

⑴求〃x)的单调区间；

⑵若恒成立，求实数上的取值范围；

⑶求证：名皿＜3.("N且心2)

,=2，+14

11.(2024•四川自贡•三模)已知函数/(x)=l+'+alnx(〃＞0)

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)函数/(x)有唯一零点X],函数g(x)=x-sinx-：•在R上的零点为入2.证明:

e

再＜马.

12.(2024•四川南充•三模)已知函数/(x)=g/一sinx+ax.

(1)当a=l时,求f(x)的最小值;

(2)①求证：有且仅有一个极值点；

②当。«-1-兀,1］时，设〃x)的极值点为七,若8(苫)=-1/+2$加-2》.求证：

/(x0)＞g(x0)

2

13.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+——〃a+l)(a£R).

x

(1)当Q=-1时，讨论/(%)的单调性；

(2)若王,々(玉＜匕)是/(x)的两个极值点，证明：.

14.(2024・北京•模拟预测)已知函数f(x)=ln(l+x)+cosx+a(x3+x2)-x,xe(-1,^).

(1)当a=0时；

(i)求曲线＞=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(ii)求/(x)零点的个数；

⑵当a＞0时，直接写出。的一个值，使得x=0不是/(x)的极值点，并证明.

15.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=ax-lnx-a,若/⑴的最小值为0,

⑴求。的值；

⑵若g(x)=MXx),证明:g(x)存在唯一的极大值点％,且g(Xo)＜；.

16.(2024・四川成都・模拟预测)已知函数"x)=lnx-,

(1)当。=一1时,求/(X)的极值;

(2)若“X)20恒成立，求实数。的取值范围；

3n+\

(3)证明：e，〃>(〃+1)，£N*).

cinV

17.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(尤)=#-巩龙e(0,兀).

e

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若X1<%,满足/(%)=/(%)=。.

(i)求小的取值范围；

(ii)证明：再+々<7i.

18.(2024•湖北荆州•三模)已知函数〃x)=xe*-“(lnx+x),其中e是自然对数的底数.

(1)当。=1时，求曲线y=在点(1，/⑴)处的切线的斜截式方程；

⑵当a=e时，求出函数的所有零点；

(3)证明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

19.(2024•北京顺义•三模)已知函数〃x)=xln(2x+l)-加.

⑴求曲线y=在点(0,〃0))处的切线方程；

⑵当"0时，求证：函数/(x)存在极小值；

(3)求函数“X)的零点个数.

20.(2024・广东茂名•一■模)设函数〃%)=/+公2，xe[0,+co).

⑴当.=-1时，+l在[0,+“)上恒成立，求实数6的取值范围；

(2)若。>0J(x)在[0,+功上存在零点，求实数。的取值范围.

21.(2024•青海•模拟预测)已知函数(aeR).

⑴当a=1时，求f(x)的最值;

(2)当。目一1』时，证明：对任意的占，x2e[-2,2],都有|/(再)一〃X2)|We2T.

22.(2024・新疆•三模)已知函数

⑴讨论〃x)的单调性;

⑵若有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

23.(2024・北京•三模)已知/(x)=(2x-l)e*-x在》=0处的切线方程为x+y+6=0.

⑴求实数的值；

(2)证明：〃x)仅有一个极值点%,且/(%)<-“

⑶若g(x)=(丘T)/-x,是否存在上使得g(x"T恒成立，存在请求出左的取值范

围，不存在请说明理由

参考答案与详细解析

考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，

22(1)

2024•新高考I卷,

18(1)

导数与函数最值

2024•新高考I卷，

18(3)

2022•新高考n卷，

22(2)

1.高考中，导数是必考内容。

2022•新高考I卷，

难度、广度和深度较大。常规导数与函数零点

22(2)

基础考查求导公式与几何意

2023•新高考I卷，

义；中等难度考查求单调区

19(1)

间、极值、最值等；压轴题考导数与函数单调性

2022•新高考n卷，

查零点、不等式证明、恒成立

22(1)

或者存在问题、分类讨论求参

2023•新高考I卷，

数等，和数列、不等式、函数

19(2)

等知识结合。

2022•新高考n卷,

导数与不等式证明

22⑶

2023•新高考n卷，

22(1)

2023•新高考n卷,

22(2)

导数与函数极值

2024•新高考n卷,

16(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综

合运用，难度较难。n卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适

中。导数的高频考点有：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调

性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性

结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求

不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成

立、求参问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考I卷•18)已知函数〃x)=ln」」+办+/工-1)3

2-x

(1)若6=0,且匿x)N0,求。的最小值;

(2)证明：曲线>=/(幻是中心对称图形；

(3)若/(x)>-2当且仅当l<x<2,求6的取值范围.

【答案】⑴-2

⑵证明见解析

2

(3)62一§

【分析】(1)求出/■'(x)a=2+“后根据八X”0可求。的最小值；

(2)设尸(加,〃)为了=/(x)图象上任意一点，可证尸(私成关于(1,。)的对称点为

0(2-刃,2a-〃)也在函数的图像上，从而可证对称性；

(3)根据题设可判断了⑴=-2即0=一2,再根据〃x)>-2在(1,2)上恒成立可求得

【详解】(1)6=0时，/(x)=ln-^+ox,其中xe(O,2),

2—x

112

则，'(x)\+—=k^+a，xe(O,2),

因为x(2-x)《上产：=1,当且仅当尤=1时等号成立，

故r(x)1nm=2+4,而/'(x"0成立，故a+220即北-2,

所以。的最小值为-2.,

(2)〃x)=ln——+a无+/x-l)3的定义域为伍,2),

设尸(加为>="X)图象上任意一点，

尸("")关于(1,。)的对称点为。(2-加

因为尸(加,小在y=/(x)图象上，故〃=lnj--+am+b^m-1^,

2-m

JfJ/(2-m)=In-~~—+tz(2-m)+6(2-m-l)3=-In———+2a,

m[_2—m_

=-n+2a9

所以0(2-加,2a-〃)也在y=/(x)图象上，

由P的任意性可得y=〃x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1,。).

(3)因为/(*)>-2当且仅当1<》<2,故x=l为〃x)=-2的一个解，

所以/(1)=-2即。=一2,

先考虑l<x<2时，〃x)>-2恒成立.

此时即为In白+2(l-x)+6(x-l)3>0在(1,2)上恒成立，

设/=x-l«0,l),则In岩-2/+次>o在(01)上恒成立,

设g⑺=lnp~+,

„?t2(-3bt2+2+3b)

贝n!Ig，⑺=二_2+3bti=」------——』，

'71-t21-t2

当620,-3疗+2+3Z?N-3b+2+36=2>0,

故g'«)>0恒成立,故g⑴在(0』)上为增函数,

故g0>g(O)=O即〃x)>-2在(1,2)上恒成立.

2

当-时，-3bt2+2+3b>2+3b>0,

故g®N0恒成立,故g⑴在(0,1)上为增函数,

故g(f)>g(O)=O即/(力>-2在(1,2)上恒成立.

当贝！)当0</<^17^<1时，g，(0<0

故在卜行京］上g(。为减函数，故g(O<g(o)=o,不合题意，舍;

7

综上，〃尤)>-2在(1,2)上恒成立时心-；.

2

而当时，

而时，由上述过程可得g«)在(0,1)递增，故g⑺>。的解为(0,1),

即/(尤)>-2的解为(1,2).

2

综上，6"一

【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，

而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定

参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等

式的解的情况.

2.(2024新高考n卷•16)已知函数/(x)=e，-⑪-/.

⑴当。=1时,求曲线y=f(x)在点(1J(l))处的切线方程；

(2)若/(X)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

【答案】⑴(e-l)x-y-1=0

⑵(1，+°°)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析。<0和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析

可得/+lna-l>0,构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/(x)=e=a有零

点，可得a>0,进而利用导数求“X)的单调性和极值，分析可得d!2+lntz—1>0,构建

函数解不等式即可.

【详解】(1)当。=1时，则〃x)=ex-x-l,/,(x)=ev-l,

可得〃l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为y-(e-2)=(e-l)(x-l),gp(e-l)x-j；-l=0.

(2)解法一：因为/⑴的定义域为R,且/'(x)=e=a,

若aW0,则1(x)N0对任意xeR恒成立，

可知/⑴在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-8,In<7)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增,

则/(x)有极小值/(Ina)=a-aIna-a，,无极大值，

由题意可得：/(Ina)-a-alna-a3<0,gpa2+lna-l>0,

构建g(q)=/+lnq-l,q>0,贝!)g，(a)=2a+工>0,

可知g(a)在(0,+s)内单调递增，且g⑴=0,

不等式/+出”1>0等价于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范围为(1,+8)；

解法二：因为/(x)的定义域为R,且1(x)=e，-a,

若/(x)有极小值，则/'(xhex-a有零点，

令/1<x)=e*-a=0,可得e*=a,

可知…与y=”有交点，则。>0,

若。>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-叫Ina)内单调递减，在(Ina,+功内单调递增，

则/(刈有极小值/。110)="01110-/,无极大值，符合题意，

2

由题意可得：/(lna)=a-alna-/<0,gpa+lna-l>0,

构建g(q)="+lnq_l,q>0,

因为则V=a2,y=Ina-1在(0,+℃)内单调递增，

可知g(a)在(0,+s)内单调递增,且g⑴=0,

不等式J+ina-l〉。等价于g(〃)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范围为(1,+s).

高考真题练

一、解答题

1.(2022新高考I卷-22)已知函数=和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)证明：存在直线V=6,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】⑴。=1

(2)见解析

【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等

可求a.注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当6>1时，e-x=6的解的个数、x-lnx=6的解的个数均为2,

构建新函数/心)=e"+Inx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的

大小关系，根据存在直线歹=6与曲线7=/(X)、y=g(x)有三个不同的交点可得6的取

值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【详解】(1)/⑺=二-⑪的定义域为尺，而八x)=e*-a,

若aVO,则/'(x)>0,此时/(x)无最小值，故。>0.

8。)="-111%的定义域为(0,+8),而g(x)="L=竺」.

XX

当x<lna时，f\x)<0,故/G)在(-8,Ina)上为减函数,

当x>lna时,f\x)>0,故f(分在(Ina,+e)上为增函数,

r^/Wmin=f(lnfl)=a-alna.

当0<x/时，g'(x)<0,故g(x)在(()/］上为减函数，

a<a)

当x>!时，g'(x)>0,故g(x)在(—,+00］上为增函数，

a\aJ

故g(x)而n=gt］=1TnL

因为/(x)=e*-办和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，

1/J—1

故1—In—=a—alna整理得至！j----=lna,其中。>0,

a91+a

设g(a)=FLlna,a>0,则g，(a)=(、2=3―

1+6Z(1+a)aa(l+a)

故g(a)为(0,+s)上的减函数，而g⑴=。，

故g(a)=0的唯一解为。=1,故j^Tna的解为a=l.

综上，。=1.

(2)［方法一］:

由(1)可得/(x)=e*-X和g(x)=x-lnx的最小值为1-lnl=l-ln；=l.

当b〉l时，考虑e-x=6的解的个数、x-lnx=b的解的个数.

xrx

设S(x)=e-x-b9S(x)=e-19

当xvO时，5r(x)<0,当x>0时，>0,

故S（x）在（-8,0）上为减函数，在（0,+8）上为增函数，

所以S（x）mM=S（0）=lj<0，

而S（-6）=e">0,S0）=e1-26,

设〃（6）=e"-2b,其中6>1,则/（6）=e&-2>0,

故"（6）在（,+8）上为增函数,故"伍）>w（l）=e-2>0,

故S伍）>0,故S（x）=e-x-6有两个不同的零点，即e，-x=6的解的个数为2.

设T（x）=x-lnx-b,=---,

当0<x<l时，T'^x）<0,当x>l时，T[x）>0,

故T（x）在（0,1）上为减函数，在（1,+”）上为增函数，

所以7（工g=7（1）=1一6<°，

而？（『）=『>0,T（eb）=eb-2b>0,

7（x）=工-111》-6有两个不同的零点即工-111%=6的解的个数为2.

当6=1,由（1）讨论可得x-lnx=6、仅有一个解，

当6<1时，由（1）讨论可得x-lnx=6、e"-x=6均无根，

故若存在直线>=6与曲线>=/（x）、>=g（x）有三个不同的交点，

则6>1.

设〃（x）=e*+lnx-2x,其中x>0,故、（x）=e*+,-2,

设s(x)=eX-x-l,x>0,贝！Js<x)=e*T>0,

故S(x)在(o,+e)上为增函数，故s(x)>s(o)=o即e，>x+l,

所以/x)>x+』-122-l>0,所以双x)在(0,+”)上为增函数，

？

而以l)=e-2>0,/；(.1)=e-3-4-<e-3-4<0»

故力⑺。(0,+动上有且只有一个零点%,5</<1且：

当O<x<Xo时，〃(x)<0即e*-x<x-lnx即/(x)<g(x),

当时，〃(x)>0即e*_x>x-lnx即/(x)>g(x),

因此若存在直线了=6与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，

故6=/(Xo)=g(x0)>l,

此时e,-x=6有两个不同的根国广0(再<0<x(,),

此时x-lnx=6有两个不同的根Xo，X4(O<x°<l<X4),

x

故11一西=6,e°-x0=b,x4-]nx4-b=0,xo-lnxo-/?=O

所以X4-b=lnx4gpX4即e…一(七一9一6=0,

故招-6为方程e*-x=b的解，同理/-6也为方程e*-x=6的解

又e4-X]=6可化为e*，=%+6即占一111(%+6)=0即(再+6)-111(网+b)-b=0,

故国+6为方程x-lnx=6的解，同理x°+6也为方程x—lnx=6的解，

所以{占,/}="0-6,匕-6},而b>l,

故"一:即―•

［方法二］:

由⑴知，f(x)=ex-X,g(x)=x-lnx,

且/(x)在(-*0)上单调递减，在(0,+«0上单调递增；

g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+℃)上单调递增，且=g(x)血”=L

①6<1时，此时/(X)血n=g(X)m„,=l>b,显然>=6与两条曲线.V=/(》)和〉=g(工)

共有0个交点，不符合题意；

②6=1时，此时/。濡=g(X)mM=1=6,

故y=6与两条曲线V=〃x)和y=g(x)共有2个交点,交点的横坐标分别为0和1；

③6>1时，首先，证明>=6与曲线了=/(无)有2个交点，

即证明产(x)=/(X)-6有2个零点，F'(x)=f'(x)=ex-1,

所以尸(x)在(Y>,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又因为尸(-6)=/>0,F(0)=l-Z><0,F(b)=eb-2b>0,

(令f(b)=e"-2b,贝“S)=e，-2>0,t(b)>t(T)=e-2>0)

所以歹(x)=〃x)-6在(-*0)上存在且只存在1个零点，设为多，在(0,+8)上存在且只

存在1个零点，设为X2.

其次，证明)=6与曲线和y=g(x)有2个交点，

即证明G(X)=g(x)-有2个零点，G'(x)=g'(x)=1--,

X

所以G(x)(0,l)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又因为G("")=e-“>0,G(l)=l—6<0,G(2b)=b-ln2b>0,

(令〃(b)=b-ln2b,则〃@=l」>0,/J(b)>//(I)=1-In2>0)

所以G(x)=g(x)-b在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为马,在(1,+=°)上存在且只存在

1个零点，设为乙.

再次，证明存在b,使得％=三：

因为尸(工2)=6(三)=。,所以6=*-x2=x3-lnx3,

若4=X3，贝！11一/—In%，即*_2X2+Inx2=0,

所以只需证明ex—2x+\nx=o在(0,1)上有解即可，

即(p(x)="-2%+Inx在(0,1)上有零点，

1_L9

因为夕(\)=e/---3<0,°(l)=e-2>0,

eer

所以0(x)=e，-2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为％,令x?=%=%即可，

此时取6=淖-%

则此时存在直线>=6,其与两条曲线了=/(x)和kg(x)共有三个不同的交点,

最后证明再+X4=2x0,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为尸(占)=F(X2)=F(x0)=0=G(X3)=G(x。)=G(X4)

所以尸(Xi)=G(x。)=尸(In%),

又因为尸(x)在(-8,0)上单调递减，X1<0,0</<1即In/cO,所以xi=lnx0,

同理，因为尸(%)=G(e'0)=G(x4),

又因为G(x)在(1,+功上单调递增，％>0即1>1,%>1,所以x产建,

又因为涉-2%+Inx0=0,所以玉+%=e"+lnx0=2x0,

即直线y=6与两条曲线昨/(x)和kg(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注

意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间

的关系.

2.(2023新高考I卷-19)已知函数f(x)=a(e，+a)-x.

⑴讨论的单调性；

3

(2)证明：当”>0时，/(x)>21na+-.

【答案】⑴答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论。40与。>0两种情况，结合导数与函数单调性的关

系即可得解；

(2)方法一：结合(D中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函

数g(a)=a2_；_lna(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数Mx)=e*-x-l,证得e*2x+l,从而得到了(尤)2尤+lna+l+/-x,

进而将问题转化为/>0的恒成立问题，由此得证.

【详解】⑴因为〃x)=a(e'+a)-x,定义域为R,所以广(x)=*-1,

当aWO时，由于e，>0,贝|“e，40,故/'⑺=ae'T<0恒成立，

所以〃x)在R上单调递减;

当a>0时，令/''(x)=ae*-l=O,解得x=-lna,

当x<-lna时,r(x)<0,则f(x)在(-8,-Ina)上单调递减;

当x>-Ina时,/«(%)>0,则/(x)在(-Ina,+s)上单调递增;

综上：当aWO时，“X)在R上单调递减；

当a>0时，“X)在(-叫-Ina)上单调递减，“可在㈠僦件⑹上单调递增.

(2)方法一:

由(1)得，/口%正u/X-lnabMe-111"+a)+lna=1+/+lna,

331

/(x)>2In(2+—,艮［J证1+/+inq>2111。+,,艮fl证。之一,一Ina>0,恒成立,

令g(a)=/_；_lnQ(a>0),贝！|g(a)=2a——=——-,

2aa

令g'(a)<0,则0<a<#；令g'⑷>0,则a>白；

所以g(a)在0,苗上单调递减，在］,+8上单调递增，

万丫r-

所以g(a)min=g,用

学"I"1112=ln^>()，贝Ug(a)>°恒成立,

3

所以当a>0时，〃x)>21na+5恒成立，证毕.

方法二:

令〃(丁)=1—x—1,贝！］,

由于y=e，在R上单调递增，所以"(无)=e-1在R上单调递增,

又〃(0)=6。-1=0,

所以当x<0时，A,(x)<0；当x>0时，/z,(x)>0；

所以〃(x)在0)上单调递减，在(0,+动上单调递增，

故Mx"40)=0,则e—x+1,当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(x)=a(e*+°)-x=ae*+/-x=产111"+a2-x>x+Inq+l+q2—x,

当且仅当x+lna=0,即x=-Ina时，等号成立，

331

所以要证/(%)>21na+,,即证x+lnq+l+q2>21114+5,即证"一,一lna>0,

令g(q)=Q2_7_lnq(q〉0),贝(Jg，(q)=2Q_,=———-，

2aa

令g'(a)<0,贝!)0<a(等；令g'(a)>。，贝！la>等；

所以g(a)在0,手上单调递减，在拳,+8上单调递增，

所以g(a)mm=gV=V-，ln与=ln亚>0,则8伍)>0恒成立，

I27<2J22

所以当a>0时，〃x)>21na+1恒成立，证毕.

3.(2022新高考n卷22)已知函数/(x)=xe"，e".

⑴当a=l时，讨论/(x)的单调性；

⑵当x>0时，求a的取值范围；

,11।,,,、

(3)设〃eN*,证明：I2+/2+…+/,>+D.

VI+112?+2

【答案】⑴"X)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).

(2)。《

⑶见解析

【分析】(1)求出了'(x),讨论其符号后可得〃X)的单调性.

(2)设〃(x)=xe"-e、+l,求出/(x),先讨论a时题设中的不等式不成立，再就

0<«<|结合放缩法讨论"(X)符号，最后就a<0结合放缩法讨论”x)的范围后可得参

数的取值范围.

/j1对任

(3)由(2)可得如对任意的"1恒成立,从而可得ln("+l)Tn〃<

7n+n

意的〃eN*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=(x-l)e\则〃x)=xex,

当尤<0时，r(x)<0,当x>。时，/心)>0,

故〃x)的减区间为(-8,0),增区间为(。，+功.