2025高考数学二轮复习：函数的概念与性质 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第五讲-函数的概念与性质-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2023•新高考□卷，

4

幕、指、对函数的图像与性2023•新高考□卷，

质10

1.高考对函数的考查，重点是2023•新高考□卷，

函数的单调性、奇偶性、对称4

性、周期性，需要关注周期2022•新高考□卷，

性、对称性、奇偶性结合在一12

起，与函数图像、函数零点和2023•新高考□卷，

不等式相结合进行考查。11

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注2024•新高考口卷，

以基本初等函数组成的复合函8

数以及抽象函数为载体，对函2022•新高考□卷，

数内容和性质进行考查，考查8

函数的定义域、值域，函数的2024•新高考口卷，

函数与不等式结合

表示方法及性质（单调性、奇8

偶性、对称性、周期性）、图2024•新高考□卷，

像等。6

分段函数、三次函数的图像2024•新高考口卷，

与性质10

2024•新高考□卷，

11

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难

度处于适中及较难。口卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是

较难的。总体来说函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为

主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。

函数考查应关注：(1)指数函数、对数函数、嘉函数及一次函数、二次函数的图像和

性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握

函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的

变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训

练。

(2)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、

单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破

难点作好准备工作。

三：试题精讲

一、单选题

-X2——CLX<0

.,,,”c，在R上单调递增，则。

{eA+ln(x+1),%>0

取值的范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+»)

2.(2024新高考口卷-8)已知函数为Ax)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当

x<3时/(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024新高考口卷-8)设函数/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)N0,则八〃的最小值

为()

A.-B.—C.D.1

842

二、多选题

1.(2024新高考口卷TO)设函数/(x)=(x-l)2(x-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(x)

2.(2024新高考□卷T1)设函数/。)=2/-3加+1,则()

A.当。>1时，Ax)有三个零点

B.当。<0时，x=0是Ax)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,〃功为曲线>=/(元)的对称中心

高考真题练

一、单选题

1.(2023新高考□卷4)设函数〃x)=2"(i)在区间(0,1)上单调递减，贝心的取值范围

是()

A.(-co,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+a>)

2.(2022新高考口卷-8)已知函数Ax)的定义域为R,且

22

/(x+J)+/(x-=/(%)/(.y),/(I)=1,则()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

3.(2023新高考口卷4)若〃尤)=(尤+a)ln若为偶函数，则“=().

A.-1B.0C.1D.1

二、多选题

1.(2022新高考口卷T2)已知函数Ax)及其导函数/(X)的定义域均为R,记

g(x)=f(x),若/生2”，g(2+x)均为偶函数，则()

A./(O)=OB.g(-£|=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

2.(2023新高考□卷TO)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强

弱，定义声压级4=20xlg3，其中常数p°(p°>0)是听觉下限阈值，P是实际声

Po

压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为外外，科，

则()•

A.A>P2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.A<100p2

3.(2023新高考□卷Tl)已知函数的定义域为R,/(xy)=y7(x)+x2/(y)，则

().

A./（0）=0B."1）=0

C.〃尤)是偶函数D.x=0为的极小值点

知识点总结

一、函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次嘉或负指数次幕的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是且XW区+],左ez｝；

（6）已知/（%）的定义域求解/'[gaH的定义域，或已知/■口（£）]的定义域求

/（%）的定义域，遵循两点：□定义域是指自变量的取值范围；□在同一对应法则J下，

括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函

数的定义域.

二、基本初等函数的值域

（1）y=-+〃（左w0）的值域是我.

（2）、=g2+原+0（"*0）的值域是：当4>0时，值域为｛Ry24：：一｝；当"0时，

值域为如£*｝.

4a

k

（3）y=—（左。0）的值域是｛y|ywO｝.

（4）y=（4>0且awl）的值域是（0,+8）,

（5）y=logq1（a>0且aW1）的值域是尺.

三、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（x）的定义域为A,区间。UA：

如果对于O内的任意两个自变量的值不，x?当占＜三时，都有/'（演）＜/（电），那么就说

/（X）在区间。上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，/，当不＜尤2时，都有“占）＜〃三），那么就

说/（X）在区间。上是减函数.

□属于定义域A内某个区间上；

□任意两个自变量X],/且玉＜工2；

口都有/（王）＜/（工2）或/（占）＞/（工2）；

□图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

（2）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函

数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层

函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

四、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有

偶函数关于y轴对称

f（-X）=f（X）,那么函数/（X）就叫做偶函数

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

f（-X）=-/（%）,那么函数”x）就叫做奇函数

判断了（-X）与/（尤）的关系时，也可以使用如下结论：如果/（-幻-/0）=0或

与坦=l（7（x）wO）,则函数/（x）为偶函数；如果/（—x）+“x）=O或

f（x）

压辿=_1（/（X）HO）,则函数为奇函数.

/（无）

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内

的任意一个X,T也在定义域内(即定义域关于原点对称).

五、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=/(x)关于*=〃对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

(3)若f(x)=/(2a-x),则函数/(%)关于x=a对称.

(4)若f(x)+/(2a-x)=2"则函数f(x)关于点(“")对称.

六、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有

/(x+T)=/(%),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做

/(盼的最小正周期.

七、常见的幕函数图像及性质

-1

函数y—xy=x2y=x3y=x^y=x

V(|/JL

图象UV

TV-b-x0X

定义域RRR{x|x>0}{%|%w0}

值域RR{yly>0)3"。}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在R上单在(—00,0)上单调在R上单调在［0,+00)上单调在(-co,0)和

单调性

调递增递增

递减，在(0,+CO)递增(0,+8)上单调递

上单调递增减

公共点(1,1)

八、指数及指数运算

1、指数

(1)根式的定义：

一般地，如果尤"=a,那么％叫做。的“次方根，其中(〃>1,〃eN*),记为近，〃称

为根指数，。称为根底数.

(2)根式的性质:

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的“次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是嘉运算中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位

于底数的右上角，基运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幕的分类

〃个

□正整数指数型d=4-2*)；□零指数幕。°=1(»°)；

口负整数指数嘉=/(aw。，weN*)；口0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数

幕没有意义.

(5)有理数指数塞的性质

Uaman=am+n(a>0,m,〃eQ)；□(1)"=暧"(。>0,m,we。)；

nmnne

□{abS=ab\a>0,b>0,m&Q).□=a^(a>0>加，Q).

2、指数函数

0〈avla>l

图

象

4L

Ml

-o\1*o]IX

性□定义域R,值域（0，+8）

质

□a°=l,即时x=0,y=l,图象都经过（0，1）点

Qax=a,即x=l时，'等于底数。

□在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

□Xv0时，ax>1;%>0时，Ov/<1X<0时，0<优<1；%>0时，ax>1

□既不是奇函数，也不是偶函数

九、对数及对数运算

1、对数式的运算

（1）对数的定义：一般地，如果优=N（a>0且。#1）,那么数x叫做以。为底N的对数,

记作x=log.N,读作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）常见对数：

口一般对数：以a（a>。且。片1）为底，记为log〉读作以。为底N的对数；

口常用对数：以10为底，记为坨"；

□自然对数：以《为底，记为InN；

（3）对数的性质和运算法则：

□logj,=0;log>l；其中。>0且“wl；

仃=N（其中°>0且，N>0）；

口对数换底公式：bg4鲁I

□log"(MN)=lognM+log”；

M

□logfl—=logaM-logfl^；

fl

□logbn=—10gb(m,neR).

amma

□alogab=6和log40b=b；

,,1

□log,/='---；

lo1g/

2、对数函数的定义及图像

⑴对数函数的定义：函数k1吗了（"。且"1）叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<6Z<l

171IT

图象I\!(h0)

o\Z(l,o)

定义域：（0,+8）

值域：R

过定点（1，。），即x=l时，7=0

性质

在（0,+8）上增函数在（。，+s）上是减函数

当0Vx<1时，y<0,当x21时，当Ovxvl时，y＞。，当无之1时，y4。

y>o

十、函数与方程

1、函数的零点

对于函数y=/(x),我们把使/⑺=0的实数x叫做函数y=/⑺的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程〃尤)=0有实数根。函数y=的图像与x轴有公共点。函数y=/(x)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间［”例上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f{a)-f{b)<Q,那么函数y=〃尤)在区间(a,6)内有零点，即存在ce(a,6),使得

/(c)=0,c也就是方程=0的根.

4、二分法

对于区间［a,可上连续不断且"伍)<0的函数/(%),通过不断地把函数的

零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃尤)=0的近似解就是求函数零点的近似值.

5、用二分法求函数零点近似值的步骤

(1)确定区间可，验证〃伍)<0,给定精度£.

(2)求区间(a,6)的中点芯.

(3)计算〃占).若/(无］)=0,则占就是函数的零点；若/(a)"(尤i)<0,则令

6=玉(此时零点七e(a,xj).若/®"(而)<0,则令a=州(此时零点飞«%,匕))

(4)判断是否达到精确度£,即若|a-司<£,则函数零点的近似值为a(或6);否

则重复第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【函数性质常用结论】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

□取值：设X1,三是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且不<巧；

口变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

□定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

□得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

□定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判

断.

□图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

□直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

(3)记住几条常用的结论：

□若了(尤)是增函数，则-/(x)为减函数；若是减函数，则-/(X)为增函数；

□若于(X)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(X)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或

减)函数；

□若/(x)>0且为增函数，则函数J而为增函数，二—为减函数；

f(x)

□若/(x)>0且/(无)为减函数，则函数/而为减函数，二—为增函数.

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(X)是偶函数O函数/(X)的图象关于y轴对称；

函数了(盼是奇函数O函数/(x)的图象关于原点中心对称.

⑶若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0;

偶函数y=/(x)必满足/(x)=/(|xI).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数f［x｝的定义域关于原点对称，则函数于(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数

的和的形式.记g(X)=g"(尤)+/(—尤)］，〃(X)=g"(X)-/(T)］，贝lj/(X)=g(X)+/Z(X).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除

四则运算所得的函数，如/(x)+g(x),/(x)-g(x)J(x)xg(x),/(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇、(土)奇=偶；奇、(十)偶=奇；偶、(+)偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：□函数/(%)=租(巴士1)(彳*0)或函数/(x)=.

ax-1ax+\

□函数/(x)=土(a*-a-x).

□函数/(X)=log”=10g(1+或函数/(X)=log=log”(1---)

x—max—max+mx+m

22

□函数/(X)=loga(7-x+l+X)或函数/(X)=loga(7x+l-x).

注意：关于口式，可以写成函数/(x)=7〃+^^-(XHO)或函数=--也-(mwR).

ax-1ax+\

偶函数：□函数/(x)=±(a'+ar).

□函数〃力=1。&(武+1)-学.

口函数/(|x|)类型的一切函数.

□常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)IT

/(尤+T)=工"(x+T)=_12T

fM/(无)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

1/(a+x)=/(a-x)

2(b-a)

\f(b+x)=f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

1/(x)为偶函数2a

[于(a+x)=-f(a-x)

2(。—a)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+尤)=-f(a-x)

2a

了(•X)为奇函数

'f{a+x)=f{a-x)

4(0—a)

f(b+x)=-f{b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

4〃

[/(x)为奇函数

于(a+x)=-f(a-x)

4a

/(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且

T=2(b-a);

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),@,c)(a<»,则函数y=/(x)是周期

函数,且T=2(b—a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴、=“和一个对称中心(b,O)(a<b),则函数y=/(x)

是周期函数，且T=43—a).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(a+x)=/(a—x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,6)对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a—x)关于J轴对称，函数y=/(a+x)与y=-/(a-x)关于

原点对称.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•三模)若/(x)=LJ^sinx为偶函数，则。=()

1+e

A.1B.0C.-ID.2

2.(2024•湖南邵阳三模)是“函数=(a>0且awl)在R上单调递

减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.(2024・湖南长沙•三模)地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震

级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为

M=lgA-lg4,其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震

波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测

振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这

次地震的里氏震级约为()(参考数据：3220.3)

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

4.(2024•河北・二模)已知函数y=1)为奇函数，则函数y=〃x)+l的图象()

A.关于点(U)对称B.关于点(1,-1)对称

C.关于点(-U)对称D.关于点对称

x2-2ax,x>l

5.(2024•陕西渭南•二模)已知函数/(x)=°是R上的增函数，则实数a的

12

取值范围是（）

A.（0,1）B.（051]C.（0,1）D.（0,1]

6.（2024•湖北•二模）已知函数〃x）=log5（优-2）在[1,+8）上单调递增，则。的取值范

围是（）

A.（l,+oo）B.[in2,+oo）C.（2,+co）D.[2,+oo）

7.（2024•宁夏银川•三模）已知函数=则下列说法不正确的是（）

A.函数单调递增B.函数〃x）值域为（0,2）

C.函数/（X）的图象关于（0,1）对称D.函数的图象关于（1,1）对称

8.（2023•辽宁葫芦岛•二模）已知函数=/一x+i,则（）

A.Ax）有一个极值点

B.Ax）有两个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

9.（2024•宁夏银川三模）已知函数/（x）=x3_7/+14x-a有3个零点与，巧，

x3（xl<x2<x3）,有以下四种说法：

□%>0

□%3<4

口存在实数。，使得毛，4，当成等差数列

口存在实数。，使得耳，巧，X3成等比数列

则其中正确的说法有（）种.

A.1B.2C.3D.4

(a-l)r-pX<l

10.（2024•河北保定•三模）已知/（x）=a(。>1)的值域为〃,

XH-----1,X>1

X

+8）,贝!的取值范围是（）

337

A.[-,2]B-C.[-,2)D.炉

IL（2024•河南•三模）设函数/（%）的定义域为R,y=/（x-1）+1为奇函数，y=f（x-2）

为偶函数，若〃2024）=1,则/（-2）=（）

A.1B.-1C.0D.-3

12.（2024・四川・三模）已知定义在R上的函数〃尤）在区间上单调递增，且满足

/（4-x）=/（x）,/（2-x）=-/（%）,贝lj（）

10

A.一〃左）、B./（0.9）+/（1.2）＞0C./（2.5）＞/（log280）

k=\

D./（sinl）＜/^ln1^

13.（2024•四川三模）定义在R上的函数y=〃x）与y=g（x）的图象关于直线尤=1对

称，且函数y=g（2x-l）+l为奇函数，则函数y=〃x）图象的对称中心是（）

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

二、多选题

14.（2024•全国•模拟预测）已知函数/0）=丁+依2+6尤+。下列结论中正确的是（）

A.若尸（毛）=0,则，是/（X）的极值点

B.3x0eR,使得/(x°)=0

C.若X。是的极小值点，则/（X）在区间（-00,X。）上单调递减

D.函数>=/（x）的图象是中心对称图形

15.（2024•湖南长沙•模拟预测）氟，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由

一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生夕衰变，其半衰期是12.43年.样本

中晁的质量N随时间”单位:年）的衰变规律满足N=N。-2「金，其中小表示病原有的

质量，则（）（参考数据:坨2=0.301）

N

A.r=12.431og2—

N。

B.经过24.86年后，样本中的病元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的瓶元素变为原来的!

D.若x年后，样本中氟元素的含量为0.4N。，则x>16

16.（2024•福建厦门•模拟预测）已知函数“力的定义域为R,

/（x+y）=9+"^,且"1）=1,则（）

e'e

A./（0）=0B./（-l）=e2

C.e"（x）为奇函数D.〃尤）在（0,+s）上具有单调性

17.（2024•江西南昌•三模）已知函数/。）=内3+a2+5+1（。力0）,若y="（x）—2］的图

象关于直线x=l对称，则下列说法正确的是（）

A.y="5）1的图象也关于直线X=1对称B.y=/（尤）的图象关于（1,2）中心对称

C.a+Z?+c+d=2D.3cl+Z?—0

18.（2024•浙江绍兴•二模）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且

满足"4-尤）=〃x）,/（2-x）=-/（%）,则（）

A.E/W=0B./(0.9)+/(1.2)<0

%=1

c./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</|^ln^

19.(2024•湖北•二模)我们知道，函数y=/(尤)的图象关于坐标原点成中心对称图形的

充要条件是函数y=/(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象

关于点尸(°,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)-6为奇函数.已知函数

4

=则下列结论正确的有()

2+2

A.函数〃尤)的值域为Q2]

B.函数/(无)的图象关于点(1」)成中心对称图形

C.函数Ax)的导函数，(x)的图象关于直线x=l对称

D.若函数g。)满足y=g(x+l)-l为奇函数，且其图象与函数〃尤)的图象有2024

2024

个交点，记为A(x,,%)(i=l,2,…,2024),贝1]三(%+%)=4。48

4=1

20.(2024・湖北荆州•三模)已知函数的定义域为R,且

/(x+y)+/(》-，)=/(元)/(»),/(1)=1,则()

A."0)=2B.“X)关于(3,0)中心对称

C.是周期函数D.的解析式可能为〃x)=2cos：x

21.(2024•江苏宿迁•三模)已知定义在R上不为常数的函数/⑴满足

f(2x)+f(x+y)f(x-y)=0,则()

A./(0)=-1B.〃3)=[〃1)FC.f(x)f(-x)=2D.，(无)+f(-x)W—2

22.(2024•湖南衡阳三模)已知函数/⑺，g(x)的定义域为R,若函数g(x+l)-l是奇

函数，函数/(尤+1)是偶函数，/(3)=1,且/。)-g(l+x)=2.则下列结论正确的是

()

A.函数/⑺图像关于直线x=2对称

B.函数g(x)为偶函数

C.4是函数g(x)的一个周期

36

D.Zg伏)=36

k=l

23.(2024•河北邢台一模)已知函数〃x)和函数g(x)的定义域均为R,若〃2x-2)的

图象关于直线x=l对称，g(x)=f(x+l)+x-l,g(x+l)+/(T)=x+2,且"0)=0,

则下列说法正确的是()

A.为偶函数

B.g(x+4)=g(x)

C.若在区间(0,1)上的解析式为/(x)=log2(尤+1),则“X)在区间(2,3)上的解

析式为〃x)=l-log2(x-l)

20

D.2g«)=210

i=l

参考答案与详细解析

:考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对函数的考查，重点是2023•新高考□卷，

幕、指、对函数的图像与性

函数的单调性、奇偶性、对称4

质

性、周期性，需要关注周期2023•新高考口卷,

性、对称性、奇偶性结合在一10

起，与函数图像、函数零点和2023•新高考口卷，

不等式相结合进行考查。4

2.高考对函数的考查重点关注2022•新高考口卷，

以基本初等函数组成的复合函12

数以及抽象函数为载体，对函2023•新高考口卷，

数内容和性质进行考查，考查11

抽象函数的性质

函数的定义域、值域，函数的2024•新高考口卷，

表示方法及性质（单调性、奇8

偶性、对称性、周期性）、图2022•新高考口卷，

像等。8

2024•新高考口卷，

函数与不等式结合

8

2024•新高考口卷，

6

分段函数、三次函数的图像2024•新高考口卷，

与性质10

2024•新高考□卷，

11

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难

度处于适中及较难。口卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是

较难的。总体来说函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为

主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。

函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、嘉函数及一次函数、二次函数的图像和

性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握

函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的

变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训

练。

(2)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、

单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破

难点作好准备工作。

三：试题精讲

一、单选题

-x2—2ax—ay<■0

,,,八’c,在R上单调递增，则。

{e+ln(x+l),x>0

取值的范围是()

A.(-a),0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+«>)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为在R上单调递增，且20时，〃力=寸+皿彳+1)单调递增，

——^—>Q

则需满足2x(-1),解得-

-a<e°+In1

即a的范围是[TO].

故选：B.

2.(2024新高考口卷-8)已知函数为的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当

x<3时〃x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/⑴=1"(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可

判断.

【详解】因为当x<3时/(x)=x,所以/⑴=1/⑵=2,

又因为/(xA/Xx-D+Ax-Z),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/⑺>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(II)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(II)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知。(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用AD=1"(2)=2,再利用题目所给的函数性

质/(x)>/(x-l)+/■(尤-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3.(2024新高考口卷-8)设函数/(x)=(x+a)ln(x+»,若/(x)20,则/+〃的最小值

为()

A.-B.—C.gD.1

842

【答案】C

【分析】解法一：由题意可知：f(X)的定义域为分类讨论与-"1-6的大

小关系，结合符号分析判断，即可得6=4+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数

的性质分析In(尤+6)的符号，进而可得X+4的符号，即可得6=。+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：/⑺的定义域为(-瓦+8),

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+6)=0解得尤=1—b；

若-aW-b,当(-瓦1-人)时，可知x+〃>O,ln(x+b)vO,

此时，。)<。，不合题意；

若—bv—a<l-b,当％£(—。,1一人)时，可知x+a>O,ln(x+Z?)<。，

此时/(x)<0,不合题意；

若当l£(-"1-万)时，可知x+〃<0,ln(x+b)<0,此时/(%)>。；

当了w[l—"+“)时，可知x+a之O,ln(x+Z?)NO,此时/(x)20；

可知若-々=1-6,符合题意；

若一一b,当尤£(1一4一〃)时，可知x+a(0/n(x+Z?>0,

此时/(x)vO,不合题意；

综上所述：一〃=1—6,即。=〃+1,

贝!)/+62=/+(4+1)2=21+，1+1_2!，当且仅当a==1时，等号成立,

'，卜2)2222

所以a2+〃的最小值为3；

解法二：由题意可知：/(X)的定义域为(-4+8),

令x+a=。解得工二一〃；令山(％+〃)=。解得尤=1—6；

贝!|当％£(-"1一b)时，ln(x+Z?)<0,故I+aWO,所以1一/?+々40；

了£(1—仇+“)时，ln(x+Z?)>0,故x+aZO,所以1一人+々20；

故1一/?+。=0,贝!|Q2+62=4+向+琰=2(Q+g]+l>Lf

当且仅当时，等号成立，

所以/+〃的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=o、ln(x+6)=o的根，以根和函数定义域为临界，

比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.

二、多选题

1.(2024新高考□卷10)设函数/(尤)=(尤-1)25-4),则()

A.x=3是Ax)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【分析】求出函数“X)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断

B；根据函数“X)在。,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数〃尤)的定义域为R,而

-⑺=2(x-l)(x-4)+(x-l)-=3(x-l)(x-3),

易知当xe(l,3)时,/(x)<0,当xe(-oo,l)或xw(3,+8)时，/,(x)>0

函数”X)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在