2025高考数学二轮复习：函数的零点问题 专项训练【含答案】

微专题3函数的零点问题

［考情分析］本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围

等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大.

■思维导图

一解方程求函数的零点

基本初等函数的性质和图象」

必备常见-判断函数零点的个数

函数零点的定义一一

知识函题型-根据函数零点个数求参数取值范围

函数零点存在定理一数

的一嵌套函数的零点问题

零

点

定义法一问「忽略函数图象的画法

必备题常见

数形结合法一一-忽略参数范围端点值的取舍

解法一误区

利用零点存在定理求零点一—忽略等价转化的形式是否正确

______________________________________

考点一函数零点个数的判断

【典例1】(2023•扬州模拟)设函数40的定义域为R,火-x)=/(x),火x)=A2—x),当x£［0,l］

――13

时，人劝=必，则函数g(X)=|cOS7LX|—/(X)在区间L'2_J上零点的个数为()

A.4B.5C.6D.7

答案D

解析由八-工)=危)，得益)的图象关于》轴对称，由次x)=/(2—x),得人x)的图象关于直线

x=l对称，

令g(x)=|cosnx\―段)=0,得|cos7LY|=/(X)，

3

函数》=|cos必是周期为1的偶函数,当、引0,1］时，J(X)=X9

在同一坐标系内作出函数丁=/)在［-1,2］上的图象，函数》=|COS7LX|在］'2_1上的图象，如

图，

y

1

W/\//|\\y=lcos7Tx\

—1-

观察图象知，函数y=/(x)与＞=|cosM的图象在1'2」上有7个交点,

—1-

所以函数gG)=|C0S7Lx|一/)在区间［'2」上零点的个数为7.

跟踪训练1(2023•杭州模拟)已知函数夕=%)是定义在R上的偶函数，且"+1)=加-1),

当xG［0,l］时，/)=2工一1,则函数g(x)=/(x)—lgx的零点个数为()

A.6B.7C.8D.9

答案D

解析由Hx+l)=/(x—1),得次x+2)=/(x),所以“c)是以2为周期的函数.

又函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，当xe［0,l］时，危尸2」1,

根据已知，作出函数y=/(x)的图象，以及y=lgx的图象，

Z1246810*

7=lgx

因为lgl0=l,所以Ig8<lg9<l,由图象可知，y=/(x)与y=lgx的交点共有9个，

所以函数g(x)=/(x)—Igx的零点个数为9.

考点二根据函数零点个数求参数取值范围

【典例2】(2023•昆明模拟)已知函数人x)满足/(x+2)=Xx),当时，£0=炉.函数g(x)

(a>0且aW1),若函数〃(x)=兀0—g(x)在区间［-17,5］上恰有20个零点,

logfl(x—1),x>\

则实数a的取值范围为

答案(2,4)

解析因为函数〃(》)=加)一8(X)在区间［—17,5］上恰有20个零点,

则函数｛x)的图象与函数g(x)的图象在区间［-17,5］上有20个交点,

由人x+2)=Ax),知人x)是周期为2的函数，

作出函数人x)与函数g(x)的部分图象如图所示.

斗

2

1?2345%

易知当xG［—17,1］时，函数负#)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1,5］上有3个交

点，

显然0<°<1不满足题意，

a>\,

所以logfl(3-l)<l,解得2<a<4.

logfl(5—1)>1,

跟踪训练2(2023•银川模拟)已知函数/(x)满足人x)=/(x+2),且段)是偶函数，当xd［—1,0］

»=x2,若在区间［—1,3］内，函数g(x)=/a)—logR有2个零点，则实数。的取值范围

是.

答案［3,+°°)

解析当x£(O,l]时，一工£[—1,0),/(%)=/(—x)=(—x)2=X2;

故x£[—1,1]时，氏x)=x2,

当x£(l,3]时，x-2e(-l,l],即人工)=加-2)=。-2)2.

g(x)=/(x)—logaX=0，即/(X)=logaX,火3)=1,

画出函数图象，如图所示.

y=fix)yTogJ

23冗

当OVQVI时，y=/(x)与y=logM的图象最多有一个交点，不满足题意；

当a>\时，要使y=/(x)与y=logaX的图象在内有两个交点，则loga3〈l,即loga3^1og^,

。23.

综上所述，实数。的取值范围是［3,+8).

考点三嵌套函数的零点

4,2工％V0

【典例3】已知函数外)=,‘、'若关于x的方程顺x))=0有且仅有一个实数根，则

logzx,x>0,

实数。的取值范围是()

A.(—8,0)B.(一8,0)U(0,l)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+8)

答案B

解析令"=义的，则人式)=0.

①当a—0时，若"W0,人")=0；

若〃>o,由=iog2〃=0,得〃=i.

所以由欢x))=0可得/(x)W0或火x)=l.

如图所示，

“=於)

满足")W0的X有无数个，方程加)=1只有一个解，不满足题意；

②当aWO时，若“W0,则/(w)=a-2"W0；若〃>0,由人")=log2"=0,得z/=l.

所以由欢x))=0可得以)=1,

当X>0时，由fix)=log2X=1,可得X=2,

因为关于X的方程/(x))=0有且仅有一个实数根，则方程加)=1在(一8,0］上无解,

若0>0且xWO,於)=0-2工6(0,a］,故0<a<l；

若a<0且xWO,/(x)=a-2，y0,满足题意.

综上所述，实数。的取值范围是(一8,O)U(O,1).

跟踪训练3已知函数/(x)=-''若关于x的方程#(x)+y(x)+f=O有三个不同

lg(—x),x<0,

的实数根，贝心的取值范围为()

A.(-8,-2]

B.[1,+0°)

C.[-2,1]

D.(-8,-2]U[1,+°o)

答案A

解析作出人x)的图象，如图所示，令=

当m<l时，y=/(x)与y=m的图象有1个交点，即加)=机有1个根，

当机21时，y=/(x)与>=机的图象有2个交点，即加)=〃?有2个根,

y=m

O~~x

则关于x的方程/2(%)+火%)+/=()转化为m2+m+t=0,

由题意得4=12—4»0,解得《―,

=—1+#—4t

2==

方程m+m+/0的两根为mi，加2=

因为关于X的方程f\x)+Ax)+t=O有三个不同的实数根,

Z

-1~V14Z<1

2

解得fW—2,满足题意.

[总结提升]

关于已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函

数的图象，利用数形结合的方法求解.

热点突破

1.已知函数人x)=・''g(x)=X%)+x+Q.若g(x)存在2个零点，则。的取值范围是

Inx,x＞0,

()

A.［-1,0)B.［0,+8)

C.［-1,+8)D.［1,+°0)

答案C

解析令〃(x)=-x—a,

则g(x)=Ax)-A(x).

在同一坐标系中画出y=«x),y=/z(x)图象的示意图，如图所示.

若g(x)存在2个零点，则y=/(x)的图象与y=//(x)的图象有2个交点，平移了=〃任)的图象可

知，当直线y=-x-a过点(0,1)时，有2个交点，

此时1=10—a,a=-1.

当y=-x—a在y=—x+1上方，即a＜一1时，仅有1个交点，不符合题意；

当y=-x—a在y=-x+1下方，即。＞一1时，有2个交点，符合题意.

综上，。的取值范围为［-1,+0°).

2.(2023•成都模拟)已知定义域为R的奇函数｛x)满足人x+4)—/(x)=A2),当xd(0,2)时，»

=2x2—3x+l,则函数y=/(x)在［―4,4］上零点的个数为()

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析因为是定义域为R的奇函数，

所以人0)=0.

因为｛x+4)—Ax)=A2),

令x=—2,得八-2+4)=人-2)+人2),

即人2)=人一2)+人2),所以八一2)=0.

又因为外)为奇函数，

所以人2)=一八-2)=0,

所以"+4)=/(x)+/(2)=Ax),

所以外)是以4为周期的周期函数.

根据周期性及奇函数的性质画出函数了=加)在［—4,4］上的图象，如图.

由图可知,函数y=/(x)在［―4,4］上的零点有一4,—3.5,—3,—2,—1,—0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4,

共13个零点.

-X3

3.(2023•蚌埠二中模拟)已知xi+21=0,x2+log2X2=0,3-log2X3=0,贝ij()

A.Xl<X2<X3B.X2<X1<X3

C.X1<X3<X2D.X2<X3<Xl

答案A

解析设函数段)=x+2，，易知40在R上是增函数，

赦=1，

即人-1求0)<0，

由零点存在定理可知一1<处<0；

设函数g(x)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上单调递增，

U=_;g(i)=i,

即g[i]g(l)<0,

由零点存在定理可知!<X2<1；

2

设函数〃(%)=匕]—10g2X,

易知〃(x)在(0,+8)上单调递减，

h(X3)=0,

因为h(l)>h(X3),

由函数单调性可知143,

即—1<X1<0<X2<1<X3.

4.已知函数外)=•'/'若函数g(x)=/a)—依2—2可(左£R)恰有4个零点，则左的取

、—x,x<0.

值范围是()

A（—8,一）（2也,+co）

48,—1]「

B.lJU（O,2V2）

C.（—8,o）u（0,2^2）

D.（一8,0）U（2也，+°°）

答案D

解析方法一注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程原一2|=堂恰有3

恸

个实根即可.

令砥v)=©,即》=依一2|与7z(x)="助的图象有3个交点.

团kl

2

危）lx,x>0,

h（x）=

IM[1,x<0.

当左=0时，此时＞=也一2|=2,如图①，歹=2与％(%)="0的图象有1个交点，不满足题意；

恸

当左＜0时，如图②，此时y=|自一2|与〃(x)=©的图象恒有3个交点，满足题意；

恸

当左＞0时，如图③，由—2与＞=/联立，得/—Ax+2=0,令/＞0,得左之一8＞0,解得

综上，后的取值范围为(-8,0)U(2^,+°°).

方法二由方法一知y=|履一2|与/6)=回的图象有3个交点，令人=一』，检验知符合题意,

国2

可排除选项A,B；令左=1,检验知不符合题意，可排除选项C.

方法三函数g(x)有4个零点，即＞=/)与＞=依2—2x|的图象有4个交点，函数＞=信)的图

象如图④.

①若左=0,则^=依2-2X|=|-2X|=|2X],两函数图象不可能有4个交点，

②若左＞0,令》=收2—2%|=0,解得％=0或%=-,如图⑤.

当x〈0时，一］=点2-2%无解，此时两函数图象无交点.

当x＞—时，由后:?l2x=x3,得N—fcr+2=0.

k

由/＞0,得上2—8＞0,解得左＞2/或右一2/(舍去)，

此时有两实根X=MT.

2

当人＞2/时，两函数图象有2个交点.

当OWxW2时，由一kx2-\-2x=xi,

k

得x(x2+fa:-2)=0,

此时有两实根xi=O,也=—1+：)+8,两函数图象有2个交点.

2

因此，当人＞23时，两函数图象有4个交点，排除B,C.

③若后＜0,取左=—1验证，如图⑥，两函数图象有4个交点，排除A.

3

5.(多选)已知定义在R上的函数外)满足八一x)=/(x),{2一劝=—段)，且当xd［—1,0］时,

j［x)=~\~x,贝U()

A.段)的图象关于点(一1,0)对称

B.八x)在区间［5,6］上单调递减

C.若关于x的方程八》)=加在区间［0,6］上的所有实数根的和为g,则：

D.函数y=/(x)Tn|x|有4个零点

答案ACD

解析方法一由八一x)=«x)可得函数人X)为偶函数，图象关于y轴对称，

由大2—x)=-/(x)可得人x)图象关于点(1,0)对称，

:点(1,0)关于y轴的对称点为(一1,0),

A正确；

函数次x)的周期为T=4|l—0|=4,可得/(%)的图象如图，火x)在区间［5,6］上单调递增，B错误;

对于C,由题意可知冽的取值范围只可能是0＜冽＜1或一1＜冽＜0,

由图知方程外)=冽在区间［0,6］上有3个实数根，设从小到大依次为％1,X2,x3,

当0＜优＜1时，巨产=2,«£(5,6),

**.X1+工2+%3=2义2+工3，

os1a

由2义2+冷=?，解得乃=羊庄(5,6),则不符合题意，

当一1＜根＜0时，必产=4,xie(o,l),

**.X1H-X2-I-X3=2X4+xi,

7S1

由2X4+»=—,解得xi=一£(0,1),

33

...小亍日寸(J=一C正确；

对于D,易知y=x—1为y=lnx在点(1,0)处的切线，

数形结合可判断")的图象与y=ln|x|共有4个交点，D正确.

方法二八一的=加)，则於)为偶函数，｛2—x)=-/(x),则八2—x)+〃)=0,①

则八一2+x)十x)=0,可知於)关于点(-1,0)对称,A对；

1.•/2-x)=-Ax)=-X-x),

.-.^2+%)=-»,

.,./4+x)=-/(2+x)=Ax),则“c)是以4为周期的周期函数，

小)在［—1,0］上单调递减，则加0在［0,1］上单调递增，

又由①知於)关于点(1,0)对称,则火X)在［1,2］上单调递增,则於)在［5,6］上单调递增,B错;

当0WxW2时，y(x)=x-l；

当2Wx＜4时，flx)=~x+3；

当4WxW6时，於)=工一5,

当一1V初＜0时，方程/(%)=以有三个根xi,X2,X3,

,。1

X2十%3=8,Xl=~,

3

.112

..m=----1=-----,

33

当0＜冽＜1时，/(%)=加有三个根X4,X5,X6,

必+%5=4,.,・％6="，不满足题意，.,•冽=—2,C对；

33

y=x—l与y=lnx相切，只有一个交点，y=—x+3与y=lnx有且仅有一个交点,

・\Ax)与y=ln|x|在(0,+8)上有且仅有两个交点，

，歹=於)—ln|x|有且仅有四个零点，D对.

A.A-3)+X2019)=-3

B.八x)在区间［4,5］上单调递增

C.若方程｛x)=&+l恰有3个实数根，则』一5'T

D.若函数＞=段)一b在(一8,4)上有6个零点为(i=1,2,3,4,5,6),则错误!看心,)的取值范围是

(0,6)

答案BCD

解析因为八-3)=—3,人2019)=火1+2018)=｛1)=义-1)=1,

所以八一3)+八2019)=—2,所以A错误；

作出函数图象如图所示，

由图象知选项B正确;

若方程｛x)=Ax+l恰有3个实数根，则函数外)的图象与直线＞=履+1有3个交点，

又直线y=fcv+l过点(0,1),所以当直线位于过点(2,0)与点(4,0)之间(不含端点)时，有3个交

点，

1—011—01

又过点(2,0)时，k=----=——,过点(4,0)时，k=----=——,

0-220-44

所以若方程危)=履+1恰有3个实数根，则』一2’一力，所以C正确;

函数y=/(x)—6在(-8,4)上有6个零点，即函数於)的图象与直线y=6在(-8,4)上有6

个交点，

由函数人》)图象知0<6<1,%1+%2+X3+X4+%5+%6=2X(—1)+2X1+2义3=6,

所以错误!刈(为)=66£(0,6),所以D正确.

7.设於)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，危)的周期为4,g(x)的周期为2,且｛x)是奇

左(%+2),O〈xWL

函数.当xe(o,2］时，")=yi—(X—1)2,g(x)=,_1