2025高考数学二轮复习：空间几何体 专项训练【含答案】

专题四立体几何

微专题25空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

思维导图

几何体的结构特征［一空间几何体的折展问题

空间几何体的表面积公式一_必备常见—空间几何体的表面积、体积问题

空间几何体的体积公式一知识题型一多面体与球

一

导数在求函数最值时的应用」空匚空间几何体表面积、体积的最值问题

间

几

何

体

一般求比较规则的几何体采用公式法］一厂空间几何体的表面积、体积公式记忆混淆

必备常见

对于不规则的几何体采用割补法一一——忽略组合体衔接部分的表面积

解法误区

求多面体体积时可采用等体积法—-几何体折展时点的位置、边的长度计算错误

考点一表面积与体积

【典例1］(1)(多选)(2023・新高考全国II)已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为为底面直径,

ZAPB=12O°,E4=2,点C在底面圆周上，且二面角尸一NC—。为45。，贝1］()

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为43兀

C.AC=2也

D.△HC的面积为他

答案AC

解析依题意，ZAPB=120°,PA=2,

所以OP=1,OA=OB=\H.

A项，圆锥的体积为羡义兀义(3)2*1=兀，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀*韵><2=23兀，故B错误；

C项，取NC的中点D,连接。D,PD,如图所示，

则/C_LOD,AC±PD,所以/PDO是二面角尸一NC—。的平面角,

则NPDO=45。，所以。P=OZ）=1,

故AD=CD=\l3^1=W

则/C=2也，故C正确；

D项，尸。=\"2+12=也

所以孔耻=；乂2也义也=2,故D错误.

（2）（2023•新高考全国I）在正四棱台NBCD-NiBiCQ中，AB=2,A\BX=\,AA\=^,则该

棱台的体积为.

答案八卜

6

解析如图，过小作〃ML4C,垂足为M,

易知A、M为四棱台/BCQ—4SC01的高，

因为45=2,451=1,AAi=也,

则/。=1/©=1义仍4向=也，

222

AO=-AC=-X\l2AB=\!29

22

故AM—^AC-T4ICI）=^-,

所以所求体积为r=1x（4+i+^4xl）x^=2^.

326

跟踪训练1（1）（2023•广州模拟）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴

截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

A.1：2B.1：^2C.1：3D.^3：1

答案C

解析设圆锥和圆柱的底面半径为广，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长/=2r,

则圆锥和圆柱的高h=\l4r2—r2=,\l3r,

所以圆锥的侧面积Si=nrl=2nr2,

圆柱的侧面积S2=2nrXh=2由nr2,

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为与：$2=1：43.

（2）（多选）（2022•新高考全国II）如图，四边形/BCD为正方形，£Z>_L平面N3CD,FB//ED,

/2=ED=2EB.记三棱锥E一/CD,F-ABC,尸一/CE的体积分别为片，Vi,匕，则（）

A.匕=2%B.匕=%

C.匕=片+%D.2匕=3%

答案CD

解析如图，连接3。交/C于。，连接。£,OF.

设AB=ED=2FB=2,

则AB=BC=CD=AD=2,

FB=1.

因为助_L平面4BCD,FB//ED,

所以用_L平面/gen,

所以%=%7co=CD-ED=-X-AD-CDED^-X-X2X2X2^-,

332323

Vi=VF.ABC^-SAABC-FB^-X1/2BCFB=1义IX2X2X1=2.

332323

因为££>_L平面/BCD,/CU平面/BCD,

所以£O_L4C,

又ACLBD,

且£DCAD=D,ED,BDU平面BDEF,所以NC_L平面5DER

因为OE,OFU平面BDEF,

所以/C_LOE,ACLOF.

易知AC=BD=/AB=2也

OB=OD=-BD=\{2,

2

0F=\{0B2+FB2=yJi,

0E=\j0D2+ED2=yj6,

EF=、JBD?+(ED—FB¥

=1(2也>+(2—1)2=3,

所以即=。四+。/，所以OFLOE.

又。EC/C=。，OE,/cu平面ZCE,

所以。/，平面/C£,

==

所以V3VF-ACE^SAACE-0F

=-X-ACOEOF

32

=-X-X2A/2X^6X^3=2,

32

所以匕W2%,HW%,匕=片+%,2匕=3匕,

所以选项A,B不正确，选项C,D正确.

考点二空间几何体的折展问题

【典例2】(1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢.”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨

炊漆公店》.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40km,山高为

40\15km,8是山坡山上一点，且/8=40km.为了发展旅游业，要建设一条从4到8的环

山观光公路，这条公路从N出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为()

A.60kmB.12加km

C.72kmD.12"i5km

答案C

解析该圆锥的母线长为y(4(h/H)2+402=160(km),

所以圆锥的侧面展开图是圆心角为吆让羽=匹的扇形,

1602

如图为圆锥的侧面展开图，连接H

由两点之间线段最短，知观光公路为图中的卬B,A'B=\jSA'2+SB2=\1602+1202=

200(km),

过点S作/'2的垂线，垂足为X,

记点P为/'3上任意一点，连接尸S,当上坡时，尸到山顶S的距离PS越来越小，当下坡

时，P到山顶S的距离PS越来越大，

则下坡路段为图中的上出，

由RtZ\S4'Bs母AHSB,

沪9SB21202、

行HB——,—=——=72(km).

A'5200

(2)(2023•黄山模拟)如图1,将一块边长为20的正方形纸片N2CO剪去四个全等的等腰

△PEE\,APFFi,△PGGi,XPHH\,再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥

使E与©重合，尸与尸1重合，G与Gi重合，X与M重合，点/,B,C,。重合于点。，

如图2.则正四棱锥尸一EFG8体积的最大值为()

A32vl0「645)cl28yTo6256而

A.D.C.D.

3333

答案D

解析根据题意，PG是侧棱，底面正方形EFG77的对角线的一半是GC,

设GC=x,0<x<10,则有PG2=(10—x)2+102,OF=OG=X,

四棱锥的高h=^PG2~OG2=^200-20%,

底面正方形EFGH的面积S—4S^OFG—2x2,

四棱锥P-EFGH的体积

r=-x2^200-20x,

3

令1=寸200-20X,则L2。。—。O«2<2oo,

20

2poM1

则忆=420yt,v'=-*-(200—5)(200—5/2),

3600

/200-a

当40<祥<200时，V'<0,%=420%单调递减;

3

poo-a

当0<d<40时，V>o,920%单调递增，

3

...当j=40时，%取最大值,

poo-40]

2

.,.%ax=：X120JX^40=256\10

—3,

跟踪训练2（1）（2023•广东大湾区联考）如图为三棱锥/一BCD的平面展开图，其中/C=CD

=CB=2,AELBD,垂足为C,则该三棱锥的体积为.

答案3

解析由三棱锥/—BCD的平面展开图可得其直观图，如图所示.

其中/C_LCD,ACLCB,CDLCB,AC=CD=CB=2,

又BCCCD=C,BC,COU平面8cD,所以/C_L平面BCD,

1114

所以VA-BCD=-SBCD-AC=-X-X2X2X2=-

3A323

（2）如图所示是一个底面半径和高分别为1和4的圆柱形开口容器（下表面密封），尸是母线BC

的中点，现有一只蚂蚁位于外壁N处，内壁尸处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边缘再

爬到点尸处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）

A.A/^2-I-36B.q兀16

C.44兀2+36D.\/47i2+1

答案A

解析依题意可得圆柱的底面半径r=l,高为=4,

/I

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形48CD,其中48=兀，40=4,

问题转化为在CD上找一点。，使AQ+PQ最短，

作尸关于CD的对称点E,连接4E,/£与CO交于点0,

则得/Q+P。的最小值就是

AE=1兀2+（4+2）2=1Tl2=36.

考点三多面体与球

【典例3】⑴（2022•新高考全国I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若

该球的体积为36兀，且3W/W33,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

二。811F278F

1O?,

A.L4」B.L44」

R2764]

[18,27]

答案C

解析方法一如图，设该球的球心为。，半径为几正四棱锥的底面边长为。，高为h,

依题意，得36兀=£尺3,

3

P

）

解得R=3.

由题意及图可得‘住]

催=（〃一尺）2+匠。1,

27?6

解得,/4

〃=2/一J

18

所以正四棱锥的体积V=~a2h

令/=0,得/=2加，

所以当3W/<2加时，V>0；

当2#<03幽时,V<0,

所以函数V=(3W/W343)在［3,2#)上单调递增，在(2#,3弋3］上单调递减,

又当1=3时，；

4

当7=2#时，；

3

当/=33时，K=―,

4

27641

所以该正四棱锥的体积的取值范围是14'3」.

方法二如图，设该球的球心为。，半径为上正四棱锥的底面边长为°,高为加

P

依题意，得36兀=4兀火3,

3

解得R=3.

由题意及图可得及2=(〃—R)2+d

[IP

2R6

解得/4

。2=2/2—\

L18

又3WIW30

所以该正四棱锥的体积V=~a2h

3

「当且仅当上=2—互，即/=2#时取等号]

I3618J,

所以正四棱锥的体积的最大值为号，排除A,B,D.

3

方法三如图，设该球的半径为R,球心为。，正四棱锥的底面边长为a,高为九正四棱锥

的侧棱与高所成的角为仇

P

依题意，得36兀=%1必，

3

解得R=3,所以正四棱锥的底面边长a=\[2lsm0,高/z=/cos0.

在△。尸。中，作。£_LPC,垂足为£,

则可得cos9=2=—£_2*2_,

R6

所以/=6cos0,

所以正四棱锥的体积

V—j6z2/z=1(^/sin027cos0

=-(6cos03sin20cos9=144(sin0cos20)2.

1回

设sin。一，易得，£但2J,

则尸sin0cos29=t(1—Z2)=/—Z3,

则y'=1—3月令，=0,得f=：，

所以当时，y'>0;

23

当匚4V工时，y'<0,

32

所以函数>=/一户上单调递增，在13，2）LE单调递减.

又当仁;时，尸了；当时，尸;;

当片?时，y=T,

所以；0小;，所以看w?.

-276£

所以该正四棱锥的体积的取值范围是14'3_

（2）（2023•南昌模拟）如图，在正四棱锥尸一/BCD框架内放一个球O,球。与侧棱刃，PB,

PC,PD均相切.若/APB=四,且OP=2,则球。的表面积为

3------------

P

答案8兀

解析在正四棱锥P-ABCD中,NAPB=%,则△F48是正三角形,

3

P

于是所以乙4尸。=匹,

2

因为球。与侧棱为，PB,PC,尸。均相切，

则由对称性知，平面RC截正四棱锥得等腰直角三角形，

截球。得球。的大圆，且圆。与直角边R4,PC都相切，如图,

显然OP平分N/PC,因此球O的半径R=O尸sin工=他，

4

所以球O的表面积为4兀穴2=8兀.

跟踪训练3（1）（2022•全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

答案C

解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.

设圆锥的高为人(0«1),底面半径为厂,

则圆锥的体积V=jnr2//=|n:(1—/z2)A,

则V'=$(1—3序)，

4V=4(l-3A2)=0,得〃=也,

33

所以％=$(1—盾)〃在t'吊上单调递增，

在1］上单调递减，

所以当〃=也时，四棱锥的体积最大.

3

(2)已知在三棱柱中，CG_L/C,AA\LBC,平面/i3C_L平面44/,4c=5,

若该三棱柱内存在体积为与的内切球，则三棱锥/—42C的体积为()

24

A.-B,-C.2D.4

33

答案D

解析如图所示，

因为CCi_L4C,AA!±BC^CCI±BC,ACHBC^C,AC,BCu平面A8C,

所以CC1，平面48C,

又因为平面/i2C_L平面AAiB,

平面NiBCPl平面AA\B=A\B,

过点/作4E_L作用,

则/£_L平面AiBC,

贝IAELBC,

又因为N4_L8C,AAinAE=A,AA\,ABU平面/38闻，

所以BC,平面482/1,

又48U平面闻，

所以4B_L3C

设NB=c,AC—b,BC—a,

则b2=a2+c2,

又因为三棱柱内切球的体积为题,

3

设内切球的半径为上

则电1=£尺3,

33

解得R=l,又&=-------,即c+a—6=2,

2

源+。2=25,

则.

a+c=7,

解得ac=12,因为棱柱的高等于内切球直径2,

所以匕I-4BC=〃TBC=；义金义12X2=4,

故三棱锥A-AxBC的体积为4.

［总结提升］

空间几何体在高考题中主要考查表面积、体积问题，常见题型求解思路有两种，一是对于规

则的几何体直接使用公式法求解，二是将不规则的几何体分解成基本的柱、锥、台体，先求

这些柱、锥、台体的表面积或体积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积或体积.

提醒：组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的

应用.

热点突破

1.（2023•深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。，底面圆的半径为8,则圆锥的侧面

积为（）

A.384兀B.392兀C.398兀D.404兀

答案A

解析设圆锥的半径为r,母线长为/,则r=8,

由题意知，2兀尸=巧，

3

解得7=48,

所以圆锥的侧面积为71/7=8*48兀=384兀.

2.（2023•惠州模拟）如图1,在高为人的直三棱柱容器/8C—481G中，AB=AC=2,ABLAC.

现往该容器内灌进一些水，水深为2,然后固定容器底面的一边N8于地面上，再将容器倾斜,

当倾斜到某一位置时，水面恰好为△45C（如图2）,则容器的高〃为（）

一J

图i图2

A.2/B.3C.4D.6

答案B

角牛^^'工'^92多口-—'^■^△451C1^，

其中h表示三棱柱的高，

故七一怒耳8—^45。一481G一乙一4片。1

=sh--Sh=-Sh

zczBc4

°A4B1c/°A4Ai20Mii，

因此，无水部分体积与有水部分体积之比为1：2,所以图1中高度之比为1：2,则h=3.

3.（2023・日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为力，则球冠的面积S=2.如图I,已知该灯笼的高

为58cln,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需

布料的面积为（)

所以两个球冠的面积为25=2X2^/?=2X2X7tX25Xl=1007r(cm2),

222

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为47tT?-2S=4X7TX25-1007I=24007t（cm）.

4.（2023•娄底模拟）如图，在三棱柱4SC—43cl中，/小！,底面/8C,AB=BC=CA=AAX,

点。是棱44i上的点，AD^-AAu若截面如G分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比

4

为（）

A.1：2B.4：5

C.4：9D.5：7

答案D

解析不妨令AB=BC=CA=AAi=4,且上、下底面为等边三角形，

又44],底面45C,易知三棱柱45C—45C1为直三棱柱，所以侧面为正方形,

2

所以三棱柱45。一/151cl的体积V=AAVSAABC=4X-X^X—=16^39

22

而/。=1,CCi=4,故S四边形4CGD=$C(/O+CCI)=10,

=283

所以七—ZCG。=］义22X10=——,故Vc-ABBD=P--B-ACCiD

XX—3

V

所以,B金2=5

v—7、

5.（2023・佛山模拟）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之

重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.截至2022年

5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050m,超

过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实

力.“极目一号”III型浮空艇长55m,高19m,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一

个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（参考数据：

9.52P90,9.53-857,315X1005心316600,兀仁3.14）（）

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m3

答案A

解析由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径R=5=9.5（m）,而圆台另一个底面

的半径r=l（m）,则心求三X：XTIX9.53心[题河），

2

KBtt=7tX9.5X14^=1260兀（m3）,

产园a=；X（9.5?兀+^912n^7t+兀）X31.5^,

所以％=修芈球+忆同相+%周台260n+np3I^9064（m3）.

6.（2023•西宁模拟）已知矩形48。的顶点都在球心为。的球面上，AB=3,5C=3，且四

棱锥。一N8CD的体积为4他，则球。的表面积为（）

A.76兀B.112兀

©76岳口224®

33

答案A

解析由题可知矩形/BCD所在截面圆的半径r即为矩形/8C〃的对角线长度的一半,

'：AB=3,BC=①

,r=j3EW=^；

2

又矩形ABCD的面积S=ABBC=30

则O到平面ABCD的距离ft满腔X3\[3h=45,

3

解得〃=4,故球的半径工》=寸自，故球的表面积为4;出2=76兀.

7.（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2,在轴截面/BCD

中，AB—AD—BC=2cm,且CD

A.该圆台的高为1cm

B.该圆台轴截面面积为33cm2

C.该圆台的体积为citf

3

D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到/。的中点，所经过的最短路程为5cm

答案BCD

解析如图1,作BELCD交CO于点E,易得CE=CD~AB=l（cm）,则BE=yj2^-L2=yj3（cm）,

则圆台的高为3cm,故A错误；

圆台的轴截面面积为;X（2+4）x3=3W（cm2）,故B正确;

圆台的体积为:><{3义（兀+4兀尸Z~『（cm3）,故C正确；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,侧面展开图的圆心角。=

2兀义2

4

设尸为40的中点，连接。尸，如图2,可得/。。。=四，OC=4cm,0P=3cm,

2

CBO

a

D

图2

则C尸=、42+32=5（cm）,从点。沿着该圆台的侧面爬行到4。的中点，所经过的最短路程为

5cm,故D正确.

8.（多选）（2023・新高考全国I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器

（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

答案ABD

解析对于A,因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于B,因为正方体的面对角线长为仍m,且仍>1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于C,因为正方体的体对角线长为弋3m,且73<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C错误;

对于D,

因为可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图,

过/G的中点。作

设OECAC=E,

0A

可知/c=3，CC1=1,ACI=3,=t

那么tanZG4Ci=-,

ACAO

解得OE=«,且2=-=—>—=0.62,

482425

*6,

所以以/Ci为轴可能对称放置底面直径为1.2in的圆柱,

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切,

设圆柱的底面圆心为。1,与正方体下底面的切点为

可知NG_LOiM,OiM=Q.6,

O\M

那么tanZC4Ci=-

ACAOi,

即

A/2AOi

解得/Oi=0.6也，

根据对称性可知圆柱的高为

他一2X0.6/F.732—1.2X1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，所以D正确.

9.(2023・辽阳模拟)将3个6cmX6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方

形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为3啦cm的正六边形上，如

图⑵所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为

cm3.

图⑴图⑵

答案108

解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体,

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积

为正方体体积的一半，即3x63=108(cm3).

10.棱长为2的正方体N2。一中，M,N分别为棱ABi,AB的中点，则三棱锥出

一DiMN的体积为_______.

答案1

解析如图，由正方体棱长为2,

得名语=2义2—2义餐2><1—*1X1

又易知为三棱锥。的高，且。遇1=2,

•V=v

y三棱锥4―乌跖vy三棱锥鼻一同又乂

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=3%刖•。4=3*/2