2025高考数学二轮复习：双曲线 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十六讲-双曲线-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对双曲线的考查，重点

是

(1)双曲线的定义、几何图

2023•新高考口卷，

形和标准方程。

16

(2)双曲线的几何性质(范双曲线的离心率2024•新高考□卷，

围、对称性、顶点、离心率、

12

渐近线)。

(3)直线和双曲线的位置关

系及综合应用。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。口卷是双

曲线与数列的综合问题，后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体

上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在双曲线的试题中，最为重要的是三

点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线的定义和离心

率、渐近线。

三：试题精讲

一、填空题

22

1.(2024新高考□卷T2)设双曲线C:\方=1(°>0,"0)的左右焦点分别为4%,过

尸2作平行于，轴的直线交C于A,B两点，若|呼41=13,||=1。，则C的离心率

为.

高考真题练

一、填空题

22

1.（2023新高考口卷16）已知双曲线C言-（=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

2

片,点A在C上，点8在y轴上，FlArFiB,F2A^--F2B,则C的离心率

为.

知识点总结

一、双曲线的定义

平面内与两个定点耳，耳的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于⑶心|）的点的轨

迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

[M\||Mf；|-|A^||=2a（0<2a<|^^|））

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=|耳列时，点的轨迹是以耳和F?为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨

迹是线段的8的垂直平分线.

（3）2a>|耳段时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

口条件"怩工|>2a”是否成立；口要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的

值），注意储+¥=c2的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

2222

斗-〃匕>。)

标准方程—7-=1(^>0,&>0)7Y=1(>0,

abab

b

*

图形

y=~-x1

焦点坐标骂(-c,0),F2(C,0)耳(0,-c),F2(0,C)

对称性关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A（—〃,o）,4（。,0）A(0,ci),4

范围\x\>a3”

实轴、虚

实轴长为2a,虚轴长为26

轴

回e>l)

离心率

人y%2

令■一2=0ny=±"，a

令二下=0ny=±1x,

渐近线方abaabb

程

焦点到渐近线的距离为。焦点到渐近线的距离为》

点和双曲

>1,点（x。,%）在双曲线内’>1,点（%,%）在双曲线内

线

X2/（含焦点部分）反_工（含焦点部分）

------《

«2b2=1,点（X。,%）在双曲线上a2b2=1,点（%,为堆双曲线上

的位置关

<1,点（尤0,%）在双曲线外<1,点（%,为）在双曲线外

系

共焦点的

2222

双曲线方—-------—=l(-a2<k<b1)—-----；——=l(-a2<k<b2)

a2+kb2-ka2+kb'—k

程

共渐近线

2222

的双曲线♦一与■="2w0)5-2-wO)

abab

方程

2/一=],（%,%）为切点

切线方程碧=1，（%，%）为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程,只需将双曲线方程中Y换为瓦X,丁换成为y

切线方程

便得.

誓-等=1,®,%）为双曲线外一

切点弦所ab誓-苦=1,（%,%）为双曲线外一点

ab

在直线方点

程

点（X。,%）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为Aa，x）,B（x2,j2）,kAB=k.

贝ij弦长=，1+公=Ji+'.|必一%|（左w。），

弦长公式

上-马|=J（玉+%）2-4%尤2=费，其中是消“y”后关于“X”的一元二次方程的

“小”系数.

2h2

通径通径（过焦点且垂直于耳尸2的弦）是同支中的最短弦，其长为工

a

双曲线上一点P（%,%）与两焦点耳，鸟构成的AP片居成为焦点三角形，

2b2

设/F】PF2=e,|尸凰=仆\PF2\=r2,贝Ucos8=l-----,

wo）

焦点三角yk^

形

fyofy

。1.八sin。,b2[c%,焦点在%轴上

%“=2性】"=]_侬/2'an。I/。，焦点在,轴上‘

2

焦点三角形中一般要用到的关系是

」尸用_|PK||=2a(2a>2c)

«

国欧=|尸耳『+归国2一2阀归阊©osN耳尸工

等轴双曲等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率e=^=

线两渐近线互相垂直。渐近线方程为y=±x0方程可设为x2-/=2(2w0).

【双曲线常用结论】

1、双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通

2

径长为2h

a

2、点与双曲线的位置关系

对于双曲线W-W=im>b>o),点口无。，为)在双曲线内部，等价于再一当.>1.

abab

点P(x。，%)在双曲线外部，等价于可一』•<1结合线性规划的知识点来分析.

ab

3、双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6；顶点到两条渐近线的距离为常数

ab

c

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数

a2bZ

丁；

h2

4、双曲线焦点三角形面积为、（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越

tan—C7

2

小，面积越大）

5、双曲线的切线

22

点〃（%,%）在双曲线0-与=1（°>02>0）上，过点M作双曲线的切线方程为

ab

22

¥一绰=1.若点在双曲线二-当=l（a>0,6>0）外，则点M对应切点弦方

abab

程为誓-岑=1

crb2

名校模拟练

一、单选题

22

1.（2024甘肃兰州•三模）已知双曲线C:“一-二=1（机>0）的实轴长等于虚轴长的2

3m+2m

倍，则C的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±包XC.y=±2尤D.y=±^x

22

22

2.（2024•浙江绍兴•三模）已知月，F2为曲线C：,+\=1（m中4）的焦点，则下列说

法错误的是（）

A.若“7=1,则曲线C的离心率e=3

2

B.若机=-1,则曲线C的离心率e=^

2

C.若曲线C上恰有两个不同的点尸，使得/耳尸工=90。，贝）?=2

D.若相<0,则曲线C上存在四个不同的点P,使得/耳尸舄=90°

22

3.（2024•安徽•三模）过双曲线C:与-，=l（a>6>0）的下顶点/作某一条渐近线的垂

线，分别与两条渐近线相交于M，N两点，若加=2FM,则C的离心率为（）

A.当B.V3C.2币D.3

22

4.（2024•全国•三模）已知双曲线C：=一［=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为小

ab

F2,且离心率为e=6，过点FZ的直线/与C的一条渐近线垂直相交于点。，则

tanZDT^T^=（）

A.-B,二C.2D.3

32

22

5.（2024•四川成都三模）已知双曲线二一2=1（°>0,b>0）的左焦点为%点。

ab

为坐标原点，点M为双曲线渐近线上一点且满足W*|=|OM|,过片作x轴的垂线交渐

近线于点N,已知眼团=f|N£|,则其离心率为（）

A.2B.V3C日D.75

22

6.（2024•山西阳泉三模）已知双曲线C：^珠=1（°>0,10）的左、右焦点分别为

F1,F〉双曲线的右支上有一点AA片与双曲线的左支交于点8,线段4F2的中点为

TT

M,且满足A月，若/耳4g=g,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.76C.V?D.V13

22

7.（2024•宁夏银川三模）已知双曲线氏鼻-与=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为

au

K，F］,过点用的直线与双曲线£的右支交于43两点，若|AB卜|时|,且双曲线E

的离心率为血，则cos/BAE=（）

A.—B.--C.-D.--

8488

22

8.（2024•湖南永州三模）已知耳,尸2分别是双曲线十］=1（。>0,6>。）的左、右

焦点，点。为坐标原点，过百的直线分别交双曲线左、右两支于A,8两点，点C在无

轴上，CB=3KA,BF,平分"BC,其中一条渐近线与线段A3交于点P,则

sin/POg=()

741V42V43八2A/1T

AA.-----DR.-----Cr.-----U.------

7777

9.(2024•天津河西•三模)已知百，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公

共点，且/片尸耳=],若椭圆的离心率为，，双曲线的离心率为《2,则e；+e；的最小值

为()

A.3+后B.C.D.4

22

10.(2024•浙江杭州•三模)已知双曲线，■-/■=l(a,6>0)上存在关于原点中心对称的

两点aB,以及双曲线上的另一点C,使得一ABC为正三角形，则该双曲线离心率的

取值范围是()

C.(2,+8)D.

二、多选题

22

11.(2024•河北邯郸•三模)已知双曲线C:」----匚=1,贝[J()

A+63-A

A.4的取值范围是(-6,3)B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6D.C的离心率2的取值范围为(L3)

12.(2024・河北保定•三模)已知双曲线C：，■-/■=1(°>0,6>0)的左、右焦点分别为

耳,B，过点片的直线与C的左支相交于尸，。两点，若且

4闸=3|明,则()

A.|PQ|=2aB.PFi=-2QK

C.c的离心率为姮D.直线尸。的斜率为±4

3

13.（2024•贵州贵阳三模）双曲线C：W-1=l（a>0,10）的左、右焦点分别为点耳,心，

斜率为正的渐近线为乙，过点工作直线乙的垂线，垂足为点A,交双曲线于点P,设点

24

M是双曲线C上任意一点，若|尸阊=14词,5叼2="贝I（）

A.双曲线C的离心率为行

B.双曲线C的共辗双曲线方程为丁-片=1

4

C.当点M位于双曲线C右支时，史苴

M用I2J

D.点M到两渐近线的距离之积为：

，V2

14.（2024•山西吕梁•三模）已知椭圆二十2=1（4〉4>。）的离心率为竹，双曲线

q4

22

。-为=1（%>0也>0）的离心率为出，两曲线有公共焦点片,8,尸是椭圆与双曲线的一

a?2

个公共点，/耳尸歹2=60,以下结论正确的是（）

A.=b；一/2

13।

B.荷+福句

C.厅=3优

D.若e2c[百,2],则”噜,g

22

15.（2024•重庆•三模）已知双曲线C:二-上=l（a>0）的左，右焦点分别为4,8,尸为双

a16

曲线C上点，且△2£月的内切圆圆心为/（3,1）,则下列说法正确的是（）

B

A.a=3-直线尸B的斜率为:

64

c.尸/花的周长为苫D.鸟的外接圆半径为£

三、填空题

16.（2024•湖北荆州三模）已知双曲线C:y2=i（q>o）经过点（2,1）,则C的渐近线

a

方程为.

22

17.（2024•宁夏石嘴山•三模）已知双曲线C:台方=1（°>0,"0）的左右焦点分别为耳、

.__.TT

尸2，曲线C上的点〃满足，耳M•玛M=0,ZMFfi=~,则双曲线的离心率

O

为.

22

18.（2024•安徽马鞍山•三模）已知双曲线「=-2=1（°>0力>0）的左、右焦点分别为

ab

K，F2,过点工的直线与「的右支交于A,6两点，若|M|=8,忸耳|=5,NA7/=60°,

则a=.

22

19.（2024•浙江金华•三模）若圆C:d+y2-5y+4=0被双曲线氏三-==1（。>0,6>0）

cib

的一条渐近线截得的弦长为2,则双曲线E的离心率为.

22

20.（2024・山东烟台三模）已知双曲线「：^-4=1（a>0,b>0）的渐近线方程

ab

为y=土底，其右焦点为尸，若直线y=区与「在第一象限的交点为P且尸尸，X轴，

则实数k的值为.

22

21.（2024•河南郑州三模）已知双曲线C:十方=l（a>0,b>0）的离心率为0,43分别

是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点。重合），点尸在双曲线C上且

OA+OB=2OP,A03的面积为6,则该双曲线的实轴长为.

22.（2024•上海奉贤•三模）若曲线/=1（彳>0）得右顶点人，若对线段Q4上任意

一点。端点除外，在r上存在关于无轴对称得两点。、R使得三角形尸QR为等边三角

形，则正数。得取值范围是.

23.(2024•四川南充三模)已知点厂是双曲线二-1=l(a>0,10)的左焦点，点E是该

ab

双曲线的右顶点，过点尸且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,2两点，若

ZAEB<nO°,则该双曲线离心率的取值范围为

参考答案与详细解析

-：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对双曲线的考查，重点

是

(1)双曲线的定义、几何图

2023•新高考□卷，

形和标准方程。

16

(2)双曲线的几何性质(范双曲线的离心率2024•新高考口卷，

围、对称性、顶点、离心率、

12

渐近线)。

(3)直线和双曲线的位置关

系及综合应用。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。口卷是双

曲线与数列的综合问题，后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体

上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在双曲线的试题中，最为重要的是三

点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线的定义和离心

率、渐近线。

三：试题精讲

一、填空题

r22

1.（2024新高考□卷T2）设双曲线C京-==1（°>0,"0）的左右焦点分别为斗F2,过

入作平行于>轴的直线交C于A,B两点，若1KAi=13,||=10,则C的离心率

为.

3

【答案】I

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|A闾，结合双曲线第一定义求出|的|,即

可得到a,b,c的值，从而求出离心率.

22

【详解】由题可知A，民心三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入二一与=1

ab

得）=±生，即，。，一3；故［A同=^-=10,—=59

X\AF}\-\AF2\=2a9得|然|=|盟|+2〃=2，+5=13,解得〃=4,代入/=5得〃=20,

a

「63

故。2=4+/=36,,即c=6,所以e=—=：=彳.

a42

3

故答案为：j

Tff

高考真题练

一、填空题

22

1.（2023新高考口卷T6）已知双曲线C*-/=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

2

片，工.点A在C上，点5在y轴上，FlA±FlB,F2A=--F2B,则C的离心率

为.

【答案】拽/1V5

53

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到|然|,忸阊，忸耳|,|丑|

关于a,的表达式，从而利用勾股定理求得。=加，进而利用余弦定理得到的齐次

方程，从而得解.

52

22

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得％=-c,y0=-^t,t=4c,

将点A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设n阊=2m,贝忸阊=3根=忸耳川⑷=2a+2zn,

在RtA8耳中，9m2+（2a+2m）2=25m2,贝（a+3机）（a—机）=0,故〃=机或a=—3m（舍

去），

所以|M|=4a,|M|=2a,忸闾=忸凰=3〃，则|AB|=5a,

A尸4£_4

故cos/4他二六

5a5

16a2+4a2-4c24^整理得5c2=9/,

所以在A4耳旦中，cosNf；AK==

2x4。x2。

方法二:

依题意，得耳（fO），B（c,O）,令4（%,%）,3（0,力,

2?52

因为84=_］屿3,所以（尤o_G%）=_］（-cJ），则Xo=gc，%=_］f，

又与所以居=-j）（d）=1°2一|产=0,贝（|产=4，，

生/£9s*4"?5r216r2

又点A在C上，则/一（2=1，整理得■%"则券-崇"

ab

C2222222

所以25c2〃-1622=9a2b2,即25c2（c-a）-16ac=9a（c-a）,

整理得25c，一5042c2+9/=0,则（5C2-9/）（5C2_4）=0,解得5c?=9^或5c2=〃,

又e>l,所以e=土叵或e=@（舍去），故《=地.

555

故答案为：哼.

知识点总结

一、双曲线的定义

平面内与两个定点耳，耳的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于闺工|）的点的轨

迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

[M\||Mf；|-|A^||=2a（0<2a<|^^|））

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=|耳用时，点的轨迹是以耳和F?为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨

迹是线段月月的垂直平分线.

（3）2a>|耳用时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

□条件“忸8|>2a”是否成立；□要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的

值），注意合+1二c2的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

2222

标准方程--77=1(^>0,Z?>0)

ab

图形

.a

焦点坐标耳(-c,0),月(c,0)£(0,-c),1(0,c)

对称性关于X,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A(—〃,o),4(〃,0)4(0,ci),4

范围\x\>a\y\^a

实轴、虚

实轴长为2a,虚轴长为26

轴

qe>l)

离心率

22

令==土”，Ayxa

渐近线方令m=0ny=±[X,

abaabb

程

焦点到渐近线的距离为6焦点到渐近线的距离为6

点和双曲

>1,点（%,%）在双曲线内[>1,点（X。,%）在双曲线内

线

X2V（含焦点部分）（含焦点部分）

--—---<

/b2=1,点（%,%）在双曲线上a2b1=1,点（%,%）在双曲线上

的位置关

<1,点（尤0,%）在双曲线外点（尤0,%）在双曲线外

系

共焦点的

2222

双曲线方二---芭一=l(-a2<k<b2)—r-----n——=1(-«2<k<b1)

a1+kb2-kcr+kb--k

程

共渐近线

的双曲线

方程

切线方程碧=1,(%(),%)为切点“亭-=1，（%0,%）为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中V换为毛X,丁换成为y

切线方程

便得.

誓-等=1,（%,%）为双曲线外一

ab誓-誓=1,5,%）为双曲线外一点

ab

点

切点弦所

在直线方点(尤0，%)为双曲线与两渐近线之间的点

程

设直线与双曲线两交点为A(不，x),B(x2,j2),kAB=k.

则弦长|A3|=Jl+/-Xj-x2=^l+p--|^-^2(fc^O),

弦长公式

人-x?|=J(%+马『-4.g=音，其中““”是消“y”后关于“尤”的一元二次方程的

14x2”系数.

2b2

通径通径(过焦点且垂直于耳居的弦)是同支中的最短弦，其长为生

a

双曲线上一点P(%,%)与两焦点RE构成的“耳鸟成为焦点三角形，

24

设/月时=8,1「用=4，忱6|=々，贝I」cos8=l----，

yk^wo)

rjofy

焦点三角

形

1.八sin。,,b2焦点在增由上

5c叩=2心mdhjos/=‘an厂1闯，焦点在，轴上‘

2

焦点三角形中一般要用到的关系是

，|附|-|*|=2a(2a>2c)

，S.LJP周［P周sinqPK

后周2=归川+|尸可\21P周|尸g|cos4P为

等轴双曲等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率e=^o

线两渐近线互相垂直。渐近线方程为y=±xo方程可设为x2-/=2(2N0).

【双曲线常用结论】

1、双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通

2

径长为2生b.

a

2、点与双曲线的位置关系

对于双曲线，一4=1(。>匕>0),点P(尤0,%)在双曲线内部，等价于¥一西>1.

abab

点P(%,%)在双曲线外部，等价于与一或<1结合线性规划的知识点来分析.

ab

3、双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6；顶点到两条渐近线的距离为常数

ab

c，

性质2：双曲线上的任意点尸到双曲线。的两条渐近线的距离的乘积是一个常数

a2b2

2；

2

4、双曲线焦点三角形面积为、h(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越

tan—C7

2

小，面积越大)

5、双曲线的切线

22

点在双曲线［-1=1(a>0,6>0)上，过点加作双曲线的切线方程为

ab

22

口-绰=1.若点在双曲线二-与=1(°>02>0)外，则点M对应切点弦方

abab

程为学一晔=1

ab

名校模拟练

一、单选题

22

1.（2024甘肃兰州三模）已知双曲线C:二--土=1（相>0）的实轴长等于虚轴长的2

3m+2m

倍，则。的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±—xC.y=±2xD.y=±y[2x

22

【答案】C

【分析】先得到方程，求出〃?=2,得到双曲线方程和渐近线方程.

【详解】由题意得j3m+2=2而,解得〃?=2,

22

C:^--=l,故渐近线方程为》=±2匕

82

故选：C

22

2.（2024・浙江绍兴三模）已知百，尸?为曲线C：>+'=1（〃-4）的焦点，则下列说

法错误的是（）

A.若m=1,则曲线C的离心率6=且

2

B.若〃?=-1,则曲线C的离心率6=走

2

C.若曲线C上恰有两个不同的点尸，使得/片「耳=90。，贝1]优=2

D.若M<0,则曲线C上存在四个不同的点尸，使得N居P8=90°

【答案】C

【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.

【详解】对于A,当〃,=1时，曲线C是椭圆，离心率《=匹=且，A正确；

22

对于B,当机=-1时，曲线C是双曲线，离心率6=3亘=且，B正确；

22

对于C,当机=8时，曲线C是椭圆，其短半轴长6=2,半焦距C=V^K=2,

显然以线段片为为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的小可以是8,C错

误；

对于D,当机<0时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则1单管>4,

以线段月入为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点P有4个，D正确.

故选：C

22

3.（2024・安徽•三模）过双曲线C:与-，=l（a>6>0）的下顶点b作某一条渐近线的垂

ab

线，分别与两条渐近线相交于M，N两点，若NF=2FM,则C的离心率为（）

A.竿B.6C.2A/3D.3

【答案】A

【分析】过点尸作另一条渐近线的垂线以，于借助双曲线的对称性计算可得

b

即可得离心率.

【详解】过点尸作另一条渐近线的垂线W于由对称性可得|FN|=|FN'|,

由NF=2FM,则有|N尸|=2|F"|,则

O

故故NNOF=g故/tang_[]=tang=百，

故选:A.

4.（2024・全国•三模）已知双曲线C：去一/=的左、右焦点分别为小

外,且离心率为e=«,过点F2的直线/与C的一条渐近线垂直相交于点。，则

tanNZ万遥=（）

A.-B.3C.2D.3

32

【答案】A

A

【分析】设焦点用（GO）,根据题意求点。的坐标和/的值，进而画出图象即可解决.

【详解】不妨设焦点耳（G0）,其中一条渐近线为＞=?无，则直线1的方程为

站一会…），

b\a2

=

y-x,x=—,口

由“解得：即4

a（\ab

y=y=一,

Ic

因为〃辱尸何,=百，所以2=2,

a

过点。作X轴的垂线，垂足为a,如下图：

abb

zpBtanZDFF°”ca2_1

于是£一阳M/-274-3-

/2+U

故选：A.

22

5.（2024・四川成都・三模）已知双曲线二-4=1（a>0,b>0）的左焦点为6，点。

ab

为坐标原点，点加为双曲线渐近线上一点且满足|吗|=|0"|,过月作x轴的垂线交渐

近线于点N,已知|*|=手的制，则其离心率为（）

A.2B.后C.日D.45

【答案】D

【分析】设/，N两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可.

【详解】

\MF\=\OM\,故点M在。耳的垂直平分线上,

则点M的横坐标为-且过片作x轴的垂线交渐近线于点N,

故设点%）,

不妨设均在y="上，则H=_"％=-"，

a2aa

胸|=口烟,F（-C,0）,

一=2,故离心率为e=£=A/1+4=y/5・

aa

故选：D.

22

6.（2024•山西阳泉三模）已知双曲线C：*-方=1（°＞。,10）的左、右焦点分别为

片,尸2,双曲线的右支上有一点AAG与双曲线的左支交于点B，线段AF2的中点为

TT

M,且满足A居，若/耳48=],则双曲线C的离心率为（）

A.2B.76C.不D.V13

【答案】C

【分析】根据条件得居是等边三角形，设8的边长为加，结合双曲线定义得

|A^|=6o,|A^|=4o,在△从耳心中，由余弦定理求得离心率.

【详解】

因为M是线段A8的中点，且所以|A5|=|廖

又所以4AB8是等边三角形，

设△ABE的边长为加，由双曲线的定义知，IMHA阊=2°,忸玛-忸耳|=2a,

所以|A£|=〃?+2。,忸=〃?一2。，

yC\AF^-\BF^=\AB\=m,所以〃2+2a-(〃z-2a)=加，gpm=4«,

所以|然|=6a,|M|=4〃,

在中，由余弦定理知，|^|2=|A^|2+|A^|2-2|A^||A^|cosp

所以(2c)2=36a2+16a2—2x6Qx4axg=28/

BPc=V7a9所以离心、率e=—=V7.

a

故选：c

22

7.(2024•宁夏银川三模)已知双曲线E：三-与=l(a>0,10)的左、右焦点分别为

ab

Ft,F2,过点F?的直线与双曲线£的右支交于4B两点,若|AB卜|州|,且双曲线£

的离心率为0,贝Ijcos/BAG=()

A.辽B.--C.-D.--

8488

【答案】D

【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得忸闾=2%从而再得忸5=4〃，由余弦定

理求得cos/B鸟居，由诱导公式得cos/A耳耳，设|隹仁机，则|*|=加+2匹再由余弦

定理求得加，从而利用余弦定理求解即可.

【详解】因为双曲线E的离心率为所以c=0a,因为|械=|明|,

所以忸局=|闻一|延卜明卜|盟|=2,

由双曲线的定义可得|跖|-忸我引跖卜2a=2a,

所以忸/=4。=2忸闾,

在42居居中,

忸名『+闺周2_忸周2=4。2+8。2一16/__V|

由余弦定理得cos/8区片

2忸工〃£用2x2ax2y/la