2025高考数学二轮复习：随机变量及其分布 专项训练【含答案】

微专题32随机变量及其分布

［考情分析］离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行

考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.

■思维导图

随机变量的分布列、均值、方差［

分布列的性质一一求随机变量的分布列

一求随机变量的均值、方差

两点分布一必备常见

—分布列的性质的应用

二项分布一知识题型

一-利用正态曲线的对称性求概率

超几何分布一随

正态分布一机一正态分布中利用3a原则求正态区间的概率

变

量

及

^Y=aX+b,则矶Y)=aE(X)+b,其

D(Y)=a2D(X)分

布

求离散型随机变量分布列时忽视所有事件

一

二项分布乂~55卬)，E(X)=nP,D(X)=np(l-p)

必备常见概率和为1

超几何分布E(XT解法误区

」混淆超几何分布和二项分布的概念

求正态分布的分布区间的概率时常用对称

性求解

考点一分布列的性质及应用

【典例1】(1)(多选)设oy<i,已知随机变量E的分布列如表所示，则下列结论正确的是()

012

P2p—p2P11—2〃

A.P《=2)的值最大

B.口。=0)>尸(<=1)

C.随着p的增大而减小

D.当°=；时，砥谭

答案BCD

解析当p=3时，尸《=2)=0,P《=l)=(,尸(。=1)>尸£=2),故A错误;

V0<p<l,

0)一尸(。=1)=2。-p2_p2=2p-2p2>0,

...尸《=o)>p(e=1),故B正确；

：£©=加+2—4“0g<l,

随着p的增大而减小，故C正确;

当P=：时，

3

012

511

P

993

5117

E©=0X：+lX：+2X：=j,

D©=(°—9)2X，+[1—9)2义1+[2—12义1=鱼，故D正确.

99381

(2)投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表：

投资甲种股票收益分布列投资乙种股票收益分布列

收益-102收益012

概率0.10.30.6概率0.20.50.3

则下列说法正确的是()

A.投资甲种股票收益的均值大

B.投资乙种股票收益的均值大

C.投资甲种股票的风险更高

D.投资乙种股票的风险更高

答案C

解析投资甲种股票收益的均值E(X)=-lX0.1+0X0.3+2X0.6=Ll,

方差。⑶=(-l—l.l)2X0.1+(0-l.l)2X0.3+(2-1.1)2X0.6=1.29,

投资乙种股票收益的均值£(y)=0X0.2+lX0.5+2X0.3=l.l,

方差。(y)=(0—l.l)2X0.2+(l—l.l)2X0.5+(2—1.1)2X0.3=0.49,

所以£(X)=£(7),D{X}>D(Y),则投资甲乙两种股票收益的均值相等，投资甲种股票比投资乙

种股票的风险高.

跟踪训练1(2023・桂林模拟)设0<a<l.若随机变量X的分布列是

X0a1

111

P

333

则当。在(0,1)内增大时，()

A.£(&不变

B.£(&减小

C.D(X)先增大后减小

D.O(X)先减小后增大

答案D

解析£(A)=OX-+aX-+lX-=^：tl,

3333

增大;

pz+f|[Q+1]fQ+1]

。(㈤=13J2X-+V3J2X-+13J2X-=^[(«+1)2+(2^z-1)2+(«-2)2]

33327

=2(层—a+l尸巾-4+1,

996

：OVa<l,先减小后增大.

考点二超几何分布与二项分布

【典例2】(2023・泰安模拟)某公司为活跃气氛提升士气，年终以通过抓阉兑奖的方式对所有员

工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阉的袋中一次性随机摸出2个阉，

阉上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.

⑴若袋中所装的4个阉中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求

①员工所获得的奖励额为1000元的概率；

②员工所获得的奖励额的分布列及均值；

(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阉只能由标有面值200元和800

元的两种阉或标有面值400元和600元的两种阉组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符

合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阉的面值给出一个合适

的设计，并说明理由.

解(1)设员工所获得的奖励额为X,

G1

①尸(X=l000)焉=；,

所以员工所获得的奖励额为1000元的概率为1

2

②X所有可能的取值为400,1000,

产(X=400)*=J尸(X=1000)=J

所以X的分布列为

X4001000

11

P

22

所以员工所获得的奖励额的均值E(X)=400xg+l000xg=700(元).

(2)根据公司预算，每位员工的平均奖励额为1000元，

所以先寻找均值为1000元的可能方案，

对于面值由800元和200元组成的情况，

如果选择(200,200,200,800)的方案，因为1000元是面值之和的最大值，

所以均值不可能为1000元；

如果选择(800,800,800,200)的方案，

因为1000元是面值之和的最小值，所以均值不可能为1000元；

因此可能的方案是(800,800,200,200),记为方案1.

对于面值600元和400元的情况，

同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，

所以可能的方案是(400,400,600,600),记为方案2.

对于方案1,设员工所获得的奖励额为X1,X可取400,1000,1600,

产(为=400尸箕=?

C46

尸(Xi=1000)=皆CJCJ=$2,

产(为=1600)=胃C4=g1

C46

101

所以X1的均值为£*(Jri)=400X-+l000X-+1600XA=1000,

636

i71

方差D(Xi)=(400—1000)2X-+(l000-1000)2X-+(l600-1000)2X-=120000.

636

对于方案2,设员工所获得的奖励额为生，法可取800/000/200,

C?1

产(莅=800)=胃=3

o

P(拓=1000)=^^=-,

C*3

产(莅=1200)=,=?

C46

171

所以莅的均值为£,(A)=800X-+l000X-+1200X-=l000,

2636

方差。(E)=1X(800—1000)2+-X(l000-1000)2+-X(l200—1000)2=也晒.

6363

由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，为使每位员工所获得

的奖励额均衡，应选择方案2.

跟踪训练2(2023・广州模拟)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器工作相互独立，

工作时发生故障的概率都是L且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、

4

丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；

方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器.

(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)；

(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断,

哪种方案能使工厂的生产效率更高？

解(1)由题意可知，x-5f2,

则p(x=o)=O』9,

16

1QQ

P(X=l)=CiXAX-=-,

448

尸(X=2)=02=」-,

所以，随机变量X的分布列为

X012

931

P

16816

所以即Q=2X冷.

(2)对于方案一，“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人

负责的2台机器同时发生故障”.

其概率为Pi=l—[l—P(X=2)]3=l

对于方案二，机器发生故障时不能及时维修的概率为

尸2=1-—c&X1义—CVXDX[J=l-36+6X35+15X34=J47_,

440962048

所以即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高.

考点三正态分布

【典例3](1)(2023•安庆市示范高中联考)某中学高一⑵班物理课外兴趣小组在最近一次课外

探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布N(10,0.04),则下列判断错误的是()

A.P(A>10)=0.5

B.尸(E>10.2)=P(督9.8)

C.尸©9.6)<尸*10.2)

D.P(9.4*10.2)=P(9.8*10.6)

答案C

解析因为正态分布N(10,0.04)图形关于X=10对称，

所以P(A>10)=P(^<10)=0.5,P©10.2)=尸(督9.8),

P(9.4<A<10.2)=JP(9.8<^<10.6),故A,B,D正确；

根据正态分布的对称性可得P(X>9.6)=尸(XD0.4)>尸(XU0.2),故C错误.

(2)(2023・聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为

身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x/=l,2,3,…，100),经

计算错误!户7200,错误!?=100X(722+36).若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布

N也,〃)，则估计该市高中生身体素质的合格率为.(用百分数作答，精确到0.1%)

参考数据：若随机变量X服从正态分布o2),则23—0忘年〃+<7)-0.6827,尸仍一

2o<XW〃+2<7)-0.9545,尸@-3o<XW〃+3。)-0.9973.

答案97.7%

解析因为100个数据Xi,X2,X3,X100的平均值X=个^错误!,.=72,

方差$2='错误!8—X)2=J_(错误!—100X2)=^-X[100X(722+36)-100X722]=

100100100

36,

所以〃的估计值为72,。的估计值为6.

设该市高中生的身体素质指标值为X,

由P(/，-2<7WXW〃+2(T)-0.95454^^P(72—12WXW72+12)=P(60WXW84)-0.9545,

尸©84)=P[X>n+2(7)=尸(督〃-2(=1-尸：-2—X4+2叽1-0；545,

所以P(X260)=尸(60WXW84)+PQ>84户0.9545+1x(l-0.9545)=0.97725^97.7%.

跟踪训练3(1)某校高二年级有1000名学生，一次考试后数学成绩X〜以110,102),若

产(100WXW110)=0.35,则估计高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数为()

A.130B.140C.150D.160

答案C

解析因为X〜N(110,102)且p(ioowxWllO)=O.35,

所以尸(110WXW120)=尸(100WXW110)=0.35,

贝UP(*>120)=0.5—P(U0<X<120)=0.15,

所以该校高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数约为1000X0.15=150(人).

(2)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184,2S).随机抽取1罐，

其净重在［179,186.5］之间的概率约为（）

（注：若X〜N（«,/），网/一〃良。）-0.6827,P（|X-//|^2（7）^0.9545,尸（任一”・3。）心0.9973）

A.0.8186B.0.84

C.0.9545D.0.9755

答案A

解析由题意可知，〃=184,（7=2.5,可得179=〃-2（T,186.5=〃+cr,

净重在［179,186.5］之间的概率为尸（179WXW186.5）=&u—〃+力

由正态分布的对称性可知，P3—2oWXW"+0）=尸（区一1［P（\X-fi\<2（7）-

尸（|X-"W<7）］

-0.6827+1（0.9545-0.6827）=0.8186,

所以净重在［179,186.5］之间的概率约为尸（179或於186.5）=0.8186.

［总结提升］

高考对此部分的考查较为稳定，以解答题为主.二项分布、超几何分布和正态分布是考查热

点，要掌握求随机变量的分布列、均值和方差，可用定义法直接求解.如果能分析出所给的

随机变量服从常用的分布（两点分布、二项分布等），则直接利用公式求解.

热点突破

1.设随机变量x,y满足y=3X—1,x〜BI2，31则D（y）等于（）

A.4B.5C.6D.7

答案A

解析因为x〜*寸，

1fl-A4

则7XR=2X：xl3j=3

4

又y=3X—1,所以。（y）=O（3X—1）=32。（㈤=32X：=4.

2.第19届亚运会在杭州举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了亚运会项目

科普活动.为了调查学生对足球项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10

所学校中了解足球项目的人数如图所示.

।人数，

401cc36

32:32,,、

3()/'、/'、、26

201-24V27支、,/

1818

1()

0八方cb总率校

若从这10所学校中随机选取2所学校进行足球项目的科普活动，记X为被选中的学校中了

解足球项目的人数在30以上的学校所数，则下列判断错误的是（）

A.尸哈2)=仁13

B.P(X=0)=；

C.E(X)=：3

32

D.D(X)=^

75

答案C

解析根据题意，X的可能取值为0,1,2,其中了解足球项目的人数在30以上的学校有4所,

了解足球项目的人数在30以下的学校有6所,

所以P(X=0)=*=；,

CfoJ

__m_24_A

RprXyTn)—C%—45—15,

尸(X=2)=|^=*=W

2-K2一

1575

1a

由分布列可得，P（右2）=1—P（X=2）=[,故A正确.

3.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内

从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如表所示.

时间/分钟10〜2020〜3030〜4040〜50

甲的频率0.10.40.20.3

乙的频率00.30.60.1

某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、

乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是

()

A.E(X)=1.5,。(㈤=0.36

B.E(X)=1A,。(㈤=0.36

C.E(X)=1.5,。⑶=0.34

D.£(R=1.4,。(㈤=0.34

答案D

解析设事件/表示甲在30分钟内到达，2表示乙在40分钟内到达，

则尸(4)=0.5,尸(3)=0.9,A,3相互独立，

.•.尸(X=0)=P(AB)=尸(A)p(B)=(i-o.5)X(l-O.9)=O.O5,

尸(X=1)=P(A8)+尸(/B)

=尸(A)P(B)+P(A)P(B)

=(l-0.5)X0.9+0.5X(l-0.9)=0.5,

P(X=2)=P(A8)=P(N)P(5)=0.5X0.9=0.45,

/.£(A)=0X0.05+lX0.5+2X0.45=1.4,

。⑶=(0—1.4)2X0.05+(1—1.4)2X0.5+(2—1.4)2X0.45=0.34.

4.随机变量X的分布列如表所示.

X123

pa2ba

则。(她的最大值为()

2121

A.-B.-C.—D—

992727

答案D

解析由题可知20+26=1,即a+6=l,

2

£(A)=a+4b+3a=4(a+b)=2,

£>(A)=(l-2)2a+(3-2)2a=2a,

则D(bX)=b2D(X)=2ab2=~2b3+b2,

令人6)=—2"+62,

则/(b)=~6l^+2b=-2b(3b-1),

则顺在(°y)上单调递增，在b力

I上单调递减,

所以人瓦岛

则D(AY)的最大值为，.

5.(多选)(2023•湛江模拟)廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品.设廉江地

区某种植园成熟的红橙单果质量M(单位：g)服从正态分布N(165,<72),且P(M<162)=0.15,

尸(165<M<167)=0.3.则下列说法正确的是()

A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7

B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g〜168g的概率为0.05

C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的均值为480

D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g〜168g的个数的方差为136.5

答案BCD

解析因为M〜N(165,4)，所以尸(V<167)=0.5+0.3=0.8,所以A错误；

因为P(165<A/<168)=P(162<A/<165)=0.5-0.15=0.35,

所以尸(167cAz<168)=0.35—0.3=0.05,所以B正确；

尸(M>163)=尸("<167)=0.8,若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的

个数X〜3(600,0.8),所以E(X)=600X0.8=480,所以C正确；

因为P(165<“<167)=0.3,所以尸(163<M<165)=0.3,

所以P(163<M<168)=P(163<M<165)+P(165<TW<168)=0.3+0.35=0.65,

若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g〜168g的个数Y〜2(600,0.65),

所以£>(y)=600X0.65X(1-0.65)=136.5,所以D正确.

6.(多选X2023・黄石模拟)乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参

赛者甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出

胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局胜出的概率为MOWpWl),

实际比赛局数的均值记为%)，则下列说法正确的是()

A.三局就结束比赛的概率为加+(1—p>

B.e)的常数项为3

C.函数%)在(°，J上单调递减

D./E)=Y

8

答案ABD

解析设实际比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,

所以P(X=3)=03+(1—p)3,

P(X=4)=C切(31—p)+c切(1-pf,

尸(X=5)=CQ2(1—p)2,

因此三局就结束比赛的概率为p3+(l—p)3,故A正确；

故加)=3X懒3+(1一03]+4X[C切3(1—p)+C步(1—p)3]+5XC瓶2(1_p)2

=6p4—12p3+3/22+372+3,

由负0)=3知常数项为3,故B正确；

由/'U=6义'—12X—+3X—+—+3=^,故D正确；

168428

由/(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-l)(4p2~4p-]),

因为OWpWl,所以4加一4°—1=(22—1)2—20,

所以令，。)>0，贝iJOOpg；令，(p)<0,则

则函数必)在(“』上单调递增，故C不正确.

7.已知随机变量却勺分布列如表所示：

ab

11

p

ba

则当。逐渐增大时，£(0—。(。=.

答案2

解析由题意可知

ab

h但+幻P+父

此时夙。=0+3D(?=E(3)—(£(。)2=〔6J-L曲,

ab

、H11

设冽=一,n=~,0<m<l,0<«<l,

ab

则加+〃=1,且£(?="+%

mn

m2~\-n2

mn

(m+〃)2—2mn

mn

mn

冽3+4

(mn)2

1-2)2

(加+n)[(m+ri)2—3mn]

jnn)

(mn)2

-4

mn

从而£(0—0(9=2.

8.毕业在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每

人在心愿盒中各取一封，不放回.设X为恰好取到自己祝福信的人数，则E(X)=

答案1

解析由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,5,

对应概率依次为尸(X=5)=2=3

A5120

尸(X=3)比10=1

12。―12,

尸(42)有20=1

12。一6,

产(41)=胃45=3

120-8

__1___1__1

尸(X=0)=l3=11

1201268一30,

111Q

则£(A)=5X—+3X—+2X-+1X-=1.

1201268

9.(2023・济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻

炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监

测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到体质测试成绩如下表所示.

序号，12345678910

成绩双分)38414451545658647480

记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为X,$2,经计算错误!8—X)2=1690.

⑴求x;

(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合

格的人数为X,求X的分布列；

(3)经统计，高中生体质测试成绩:近似服从正态分布a2),用x,S2的值分别作为〃，卓

的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体

质测试成绩恰好落在区间［30,82］的人数为匕求y的均值夙y).

附：若己〜NQi,〃)，则—+-0.6827,P(//-2(T^^+2(7)«0.9545,Pg

30<代〃+3。户0.9973.

解(1)x=^X(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.

(2)因为体质测试成绩不合格的学生有3名，

所以X的可能取值为0,1,2,3.

因为P(X=0)=m=2,P(X=1)=手=〃，P(x=2)=^=—,^(X=3)=^-=-.

CJo24C?o40C?o40C?o120

所以X的分布列为

X0123

7