2024学年佛山市顺德某中学高二数学上学期12月考试卷（附答案解析）

2024学年佛山市顺德一中高二数学上学期12月考试卷

本试卷满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若集合A={1,a,-2）,B={2,4},则“ACB={4}”是“a=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件

2.已知复数，（i为虚数单位），则（）

A.-iB.iC.0D.1

3.在棱长为2的正方体/BCD—中，点E是CC'的中点.设通在牙万上的投影向量为£

则同=（）

12

A.-B.-CD.V2

43.T

22

4.已知椭圆f:■+V£=1（小>0）与双曲线X亍72=1（">0）有共同的焦点，则直线s+"y=l必过定点（）

A.B.c.(1,-1)D.(3,-3)

5.。为坐标原点，尸为抛物线C:必=4x的焦点，尸为C上一点，若|尸尸|=4,贝隈尸。尸的面积为

A.41B.V3C.2D.3

22

6.已知双曲线C:三-==l（a>0,6>0）的离心率为右，。的一条渐近线与圆（x-2>+（尸3/=1交于/,

ab

3两点，贝力/0=（）

A45n2V5「3后n4V5

A.---D.---------C.--------U.--------

5555

7.已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，

则甲、乙分配猎物的比例应该是（）

A.2:7B.3:7C.4:7D.5:7

8.圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到

另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线

的左焦点.如图2,一个光学装置由有公共焦点片，耳的椭圆C与双曲线。构成，一光线从左焦点4发

出，依次经过C，与C的反射，又回到点耳路线长为加；若将装置中的C'去掉，则该光线从点片发出,

1

经过C两次反射后又回到点片路线长为”.若C与。的离心率之比为:，则'=（）

3n

图1图2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.在平面直角坐标系xQy中，直线/过原点。，且点/（-3,1）和点8（1,3）到直线/的距离相等，则直线

/的斜率可以是（）

11

A.—2B.---C.—D.2

22

10.已知S“为数列｛4｝的前"项和，且%+1=2N*）,则（）

a”

A.存在%,使得邑=2B.｛%｝可能是常数列

C.｛%｝可能是递增数列D.｛%｝可能是递减数列

22

11.已知双曲线C:拶-彳=1（°>0,6>0）,O为坐标原点，过C的右焦点尸作C的一条渐近线的平行线

ab

交C于点尸，交C的另T•条渐近线于点。，则（）

__.1—.

A.向量0尸在砺上的投影向量为］。尸

B.若4。。尸为直角三角形，则C为等轴双曲线

3

C.若tan/O0尸=一］，则C的离心率为加

D.若国=4而，则C的渐近线方程为x±2y=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

13.设片、鸟分别是椭圆C：土+匕=1的左、右焦点，在椭圆。上满足/片产耳=90°的点P的个数

42

为•

14.佛山是全国著名的工业城市，这里生产的部分产品通过水路运输到全国乃至全世界.下图1是佛山

一个货运码头的吊机，其作用是完成集装箱的装船或卸船.为了研究其结构的稳固性，工程师把一个吊

机的部分结构（图1中圈住部分）画成图2的空间几何体45co£F.若四边形Z8CD是矩形，AB//EF,

ZABF=NBAE,ZCBF=NDAE=60°>AD=2,AB=AE=BF=3,EF=1,则直线BF与DE

所成角的余弦值为.

四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知圆C:(x-a)2+e-2)2=4(a>0)及直线/：尤-y+3=0.直线/被圆C截得的弦长为2VL

⑴求。的值；

⑵求过点(3,5)并与圆C相切的切线的一般式方程.

16.如图，在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，E,尸分别为棱。52的中点.

(1)求证：平面&BE；(2)求直线4尸到平面43E的距离.

17.男子10米气步枪比赛规则如下：在资格赛中，射手在距离靶子10米处，采用立姿，在105分钟内

射击60发子弹，总环数排名前8名的射手进入决赛；在决赛中，每位射手仅射击10发子弹.已知甲乙

两名运动员均进入了决赛，资格赛中的环数情况整理得下表：

环数频数678910

甲2352327

乙5502525

以各人这60发子弹环数的频率作为决赛中各发子弹环数发生的概率，甲乙两人射击互不影响.

⑴求甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；

(2)决赛打完第9发子弹后，甲比乙落后2环，求最终甲能战胜乙(甲环数大于乙环数)的概率.

18.如图，三棱锥中，AM4c是边长为26的等边三角形，MB=4,V4BC中，ZACB=90°,

ABAC^30°,点Ne平面/3C,点。，口分别为线段/5、的中点，且。。口平面OOXLMN.

M

⑴证明：8C_L平面M4C；

(2)证明：四边形2C"W为矩形；

⑶求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值.

3

19.已知圆C:（x-2）2+F=4和定点-2,0）,尸为圆C上的任意一点，线段我的垂直平分线与直线尸C

交于点设点M的轨迹为曲线

（1）求曲线H的方程；

⑵若N是曲线H上的一点，过N的直线/与直线y=土后分别交于S,7两点，且N为线段S7的中点.

①求证：直线/与曲线H有且只有一个公共点;

21一

②求回f+何川的最小值（。为坐标原点）.

2024学年佛山市顺德一中高二数学上学期12月考试卷

本试卷满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若集合A={l,a,—2},8={2,4}»则208={4}"是七=2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

2.已知复数，（i为虚数单位），则zi=（）

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

3.在棱长为2的正方体48CD-中，点E是CC'的中点.设乐在彳万上的投影向量为£,

则口=（）

2

B.-C

3.T

【答案】C

【解析】

【分析】以点A为坐标原点，AB,AD、所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角坐标系，利

用空间向量数量积的坐标运算结合投影向量的定义可求得同的值.

【详解】以点A为坐标原点，AB、AD、44'所在直线分别为％、＞、z轴建立如下图所示的空间直

则/（0,0,0）、£（2,2,1）、H（O,O,2）、£＞（0,2,0）,

4

/=(2,2,1),ZD=(O,2,-2),

由题意可知，d=cos,

11L4D

,_..,,_.__\|,_..|2E-ZD||2E-ZD|2、历

所以，同=/E.cos(/E,H£>>=/£.匚_!』_L=日.

11111Z111同中叼pZ)|2V22

故选：C.

r2v2r2

4.已知椭圆亍+。=1(加>0)与双曲线'十=1(">0)有共同的焦点，则直线s+〃y=l必过定点()

A.B,Q,-1]C.(1,-1)D.(3,-3)

【答案】A

【分析】由双曲线方程可得°2=〃+1,且焦点在x轴上，由题意和椭圆方程可得：c2=m-4,m>4,即

可得〃+1=〃?-4,运算求解即可.

【详解】由双曲线二7、1(">0)可知：c2=〃+i,且焦点在x轴上，

n

由题意和椭圆方程可得：c2=m-4,m>4,

BPn+l=m-4,可得(加一!〃=1,

所以直线如C+即=1必过定点

故选：A.

5.O为坐标原点，尸为抛物线C:/=4x的焦点，尸为C上一点，若|尸刊=4,贝厂的面积为

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】B

【分析】由抛物线的标准方程/=4x可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出尸(x,y),由尸歹=4以及抛物

线的定义列式可得x-(-1)=4,即》=3,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标，再由三角形的面积公式

S=g|y|O尸可得.

【详解】由/=4x可得抛物线的焦点网1,0),准线方程为x=T,

如图:过点P作准线x=-l的垂线，垂足为根据抛物线的定义可知PM=PF=4,

设尸(x,y),则x-(-l)=4,解得x=3,将x=3代入「=4尤可得y=±2百，

所以△尸。尸的面积为，川。尸=；x2/xl=6.

故选B.

5

【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求尸点

的坐标;②利用。尸为三角形的底，点尸的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.

丫2,,2

6.已知双曲线C:三-4=1（。＞0,6＞0）的离心率为石，C的一条渐近线与圆（尤-2『+（尸3＞=1交于/,

ab

3两点，贝力/刃=（）

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由《=右，则[=之匕=1+4=5,

aaa

解得2=2,

a

所以双曲线的渐近线为＞=±2》，

当渐近线为N=-2x时，圆心（2,3）到该渐近线的距离，」2：2+3]=拽＞],不合题意；

VFZ15

当渐近线为了=2x时，则圆心（2,3）到渐近线的距离d=Pj3|="

V22+l5

所以弦长|=2d户-科=2^1--=—^—.

故选：D

7.已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，

则甲、乙分配猎物的比例应该是（）

A.2:7B.3:7C.4:7D.5:7

【答案】A

【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例.

【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7,

现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，

只有甲打中猎物的概率为04x0.3=0.12,只有乙打中猎物的概率为66x0.7=0.42

所以，甲、乙分配猎物的比例应该是0.12:0.42=2:7.

故选：A.

8.圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到

另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线

的左焦点.如图2,一个光学装置由有公共焦点片，片的椭圆C与双曲线。构成，一光线从左焦点片发

6

出，依次经过C，与C的反射，又回到点片路线长为机；若将装置中的C'去掉，则该光线从点片发出,

1m

经过C两次反射后又回到点片路线长为”.若C与。的离心率之比为：，则生=()

3n

【分析】设椭圆的长半轴长为生,双曲线的实半轴长为出，由椭圆与双曲线的定义求出两个图形中三角形

的周长，再出离心率的比值求得q=32，把丝转化为生，的的关系得答案.

n

【详解】设椭圆的长半轴长为q,双曲线的实半轴长为外,

在图2左边图形中，由椭圆定义可得：忸用+忸用=为①,

由双曲线定义可得：可-周=2出②，

由①②可得：\AF^+\AB\+\BF]=2ax-2a2

△ABFX的周长为24-2出.

在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线瓦)经过《，则

△EDF1的周长为4%,又椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为:，

所以为=3々，又两次所用时间分别为，而光线速度相同，

m_2%-2a2_6a2-2a2_1

所以—=A=—=7•

n4%\2a23

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.在平面直角坐标系中，直线/过原点。，且点/(-3,1)和点5(1,3)到直线/的距离相等，则直线

/的斜率可以是()

、11

A.—2B.----C.—D.2

22

【答案】AC

7

【分析】分析可知，〃/45或直线/过线段48的中点，即可得出直线/的斜率.

1-013-0

【详解】因为左------=—,k=--=3,所以，k^k,故A、。、8不共线，

—3—03OB1—0OAOB

因为直线/过原点O,且点/(-3,1)和点5(1,3)到直线I的距离相等，

1-31

(1)直线〃/48,则直线I的斜率为k=k=----=-；

AB-3-12

2—0

(2)直线/过线段A8的中点E(-1,2),则直线/的斜率为左=-----=-2.

_1_0

故选：AC.

10.已知为数列｛4｝的前〃项和，且%+1=2N*),则()

an

A.存在外,使得星=2B.｛4｝可能是常数列C.｛4｝可能是递增数列D.｛%｝可能是递减数列

【答案】ABD

【分析】取4=1,可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取4=2,求出数列｛4｝的通项公式,

结合数列的单调性可判断D选项.

【详解】因为51为数列｛4｝的前〃项和，且4+1=2-，(〃eN*),

an

‘c11

对于A选项，取%=1,则％=2-1=1,则52=。1+%=2,A对；

C1ICI1

对于B选项，取q=1,贝!］。2=2---=1,4=2----=1,L,

ax4

以此类推可知，对任意的〃EN*，%=1，所以，｛%｝可能是常数列，B对；

对于C选项，假设数列｛g｝为递增数列，则对任意的〃£N*，4+1=2-->%,

an

即a—2+L=(""一。<0，所以，氏<0对任意的〃eN*恒成立，

anan

但当％<0时，«„+1=2-->0,矛盾，故数列｛%｝不可能是递增数列，C错；

,1,1301024

对于D选项，取4=2,则出=2---=2--=-,a3=2----=2--=-fL,

ax22a233

8

n+\

猜想，见=

n

当〃=1时，猜想成立，

假设当〃=k（keN*）时，猜想成立，即劭=?,

c1c左左+1

则当〃=左+1时’^=2--=2-^T

k+2

这说明当〃=左+1时，猜想也成立，故对任意的〃eN*，。“=3=1+1，

nn

此时，数列｛%｝为单调递减数列，D对.

故选：ABD.

22

II.已知双曲线C:4=1（°>0,6>0）,O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线

ab

交C于点尸，交C的另一条渐近线于点。，则（）

___1—.

A,向量。厂在砺上的投影向量为］。厂

B.若4。。尸为直角三角形，则C为等轴双曲线

3

C.若tan/O。尸=一1，则C的离心率为加

D.若瓦=4而，则C的渐近线方程为x±2k0

【答案】ABD

【分析】由题意可得△。。尸是等腰三角形，S.\OQ\=\QF\,可判断A,由已知可得渐近线的倾斜角为45。，

可判断B,设/。妙=2a,解得tana=3,可得巳=上,可判断C,设尸（加,〃）,可得加=二,〃=-2—,

a31010。

代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D.

【详解】对于A,由题意可得4。。尸是等腰三角形，S.\OQ\=\QF\,

__1—.

在O尸上的投影为。尸的中点，尸在砺上的投影向量为］。尸，故A正确；

对于B,若A。。尸为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为45。，.•.2=1,.•/=/,,

a

；.C为等轴双曲线，故B正确；

对于C,若tan/OQF=-3,"OQF=2a,则=:，解得tana=3或tana=-：（舍去），设渐

41-tana43

近线y=2x的倾斜角为"，可得tan£=:,=...“=36,

a3a3

2222222

•\a=9b9a=9（c—a）9..10a=9c，=故C错误；

a3

对于D,设直线少的方程为y=2（%—°）,与渐近线X―纥的交点坐标为。（三—当，若网=4而，

aa22a

9

则丽=1匝，设尸（山,"）,.•.（加一储口二女一二一巧，

5522〃

QbAe8_1_c_2_b_2_c2_.4r2zb_]_

・•・加=布,〃=—k，丁尸在双曲线上，.100100。2•.「■=1

a2

ab

・•.c的渐近线方程为了=±；x,即x±2y=0,故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.设片、鸟分别是椭圆C：土+匕=1的左、右焦点，在椭圆。上满足/耳隼=90。的点P的个数

一42一

为.

【答案】2

【分析】分析可知，点尸在圆/+/=2上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可.

【详解】在椭圆C中，a=2,bf，则°=二下=，匚5=J5，

若/月/岑=90。，易知原点。为片片的中点，则|00|=。闺闾=c=拒，

所以，点P在以原点为圆心，半径为正的圆上，即点P在圆/+/=2上,

X2+/=2

x=0

,即点尸（0,、国或尸（0,—Jq,

联立《x2/可得《

——+—=1y=+s/2

[42

即满足条件的点尸的个数为2.

故答案为：2.

14.佛山是全国著名的工业城市，这里生产的部分产品通过水路运输到全国乃至全世界.下图1是佛山

一个货运码头的吊机，其作用是完成集装箱的装船或卸船.为了研究其结构的稳固性，工程师把一个吊

机的部分结构（图1中圈住部分）画成图2的空间几何体45COEF.若四边形Z8CD是矩形，AB//EF,

ZABF=NBAE,ZCBF=ZDAE=60°，4D=2,AB=AE=BF=3,EF=1,则直线BF与DE

所成角的余弦值为.

图1图2

【答案】见

2121

10

【分析】过点E作EG//BF交4B于点G,连接。G,分析可知，直线5厂与DE所成角为NOEG或

其补角，计算出△0£G三边边长，结合余弦定理即可得解.

【详解】在VADE中，ZDAE=60°，AD=2,AE=3,

由余弦定理可得DE=yjAD2+AE2-2AD-AEcos600=j+9-2x2x3xg=",

过运E作EG//BF交AB于点、G,连接£>G,

因为EFHBG,EG//BF,则四边形BG£厂为平行四边形，

则EG=8歹=3,BG=EF=T,则NG=N8—5G=3—1=2,

因为四边形4BCD为矩形，则4D_L/G,则£>G=J/D?+/G?=飞方+方=20，

因为EG//BF,则直线3尸与£)£所成角为ZDEG或其补角,

由余弦定理可得cos〃EG=三墨产7+9-8_477

277x3—21

因此，直线2尸与QE所成角的余弦值为也Z

21

故答案为：N.

21

四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C:(x-a)2+e-2)2=4(a>0)及直线/：尤-y+3=0.直线/被圆C截得的弦长为2VL

⑴求。的值；

⑵求过点(3,5)并与圆C相切的切线的一般式方程.

【答案】⑴。=1

(2)5%-12;；+45=0或l=3

【分析】(1)根据圆心到直线的距离，结合垂径定理可得解；

(2)易知点(3,5)在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为y-5=Mx-3),根据直线与圆相切，可得

k=^~,又当斜率不存在时，直线x=3与圆相切成立.

【详解】(1)由已知圆C:(x—a)2+(y-27=4(a>0),

11

即圆心C（a,2）,半径r=2,

则圆心到直线/：x7+3=0的距离1=啜，

所以弦长为2犷彳=21J=2夜，

解得4=1或。=-3（舍）；

（2）由（1）得Q=l,

则圆C:6-1）2+G-2）2=4,圆心C（l,2）,半径r=2,

则点（3,5）在圆C夕卜

当切线斜率存在时，设切线方程为了-5=左5-3）,即米一厂3无+5=0,

|左一2—3左+5]s

止匕时Q1r=2'解得上F'

贝I]直线方程为y—5=卷卜一3）,即5x-12y+45=0；

当切线斜率不存在时，直线方程为x=3,此时满足直线与圆C相切，

综上所述，切线方程为5x-12y+45=0或x=3.

16.如图，在棱长为2的正方体/88-44G4中，E,尸分别为棱。2，的中点.

（1）求证：BF//平面&BE；

（2）求直线用尸到平面43E的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵W

3

【分析】（1）以4为原点，AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系/-师,

求得平面48E的一个法向量为五=（x，y,z）,由率_L3证明；

（2）由（1）用尸//平面4成，将求直线用厂到平面4成的距离转化为点4到平面48E的距离，由

12

7B,B-n

d=J求解.

\n\

【详解】（1）以/为原点，AB,AD,ZU/所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系/-平.

由题意得8(2,0,0),4(0,0,2),男(2,0,2),£(0,2,1),F(1,2,2).

所以砺=(-2,2,1),A4；=(-2,0,2),而=(-1,2,2).

设平面的一个法向量为k=(x/,z).

BEii=0f-2x+2y+z=0

易知，--c_n，

BAX-n=0I-2x+2z=0

令x=2,得y=l,z=2,所以元=(2,1,2).

B[F-n=—2+2+0=0,

：.1^FVn,又3/0平面48E,

//平面4BE；

（2）由（1）可知用尸//平面48E,故求直线男尸到平面48E的距离可转化为点用到平面4BE的距离,

因为瓦百=（0,0,-2）,由（1）可知平面43E的一个法向量为元=（2,1,2）,

设直线B.F到平面AXBE的距离为d.

BB-n0+0-44

贝l]d=x

问-3-I

17.男子10米气步枪比赛规则如下：在资格赛中，射手在距离靶子10米处，采用立姿，在105分钟内

射击60发子弹，总环数排名前8名的射手进入决赛；在决赛中，每位射手仅射击10发子弹.已知甲乙

两名运动员均进入了决赛，资格赛中的环数懵况整理得下表：

环数频数678910

甲2352327

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乙5502525

以各人这60发子弹环数的频率作为决赛中各发子弹环数发生的概率，甲乙两人射击互不影响.

⑴求甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；

(2)决赛打完第9发子弹后，甲比乙落后2环，求最终甲能战胜乙(甲环数大于乙环数)的概率.

【答案】(1)急99

【分析】(1)先求出甲运动员打中10环的概率，从而可求出甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次

10环的概率；

(2)由于甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙6环，甲9环或10环，或者乙7环，甲10环，再利用

独立事件和互斥事件的概率公式求解即可

【详解】(1)由表中的数据可得甲运动员打中10环的概率为27二=工9，

6020

所以甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率为

(2)因为甲比乙落后2环，

所以甲要获胜，则乙打中6环，甲打中9环或10环，或者乙打中7环，甲打中10环，

因为由题意可得乙打中6环的概率和打中7环的概率均为二，

12

甲打中9环的概率为2荒3，打中10环的概率为59,且甲乙两人射击互不影响

所以最终甲能战胜乙的概率为

123191977

一X---1---X---1---X——=---

126012201220720

18.如图，三棱锥48c中，AM4c是边长为26的等边三角形，MB=4,V48c中，NACB=90°,

/8/C=30。，点N6平面4BC,点0,Q分别为线段/2、的中点，且OQ，平面NBC,OOJMN.

M

AO

⑴证明：8C_L平面建4C；

(2)证明：四边形8cMV为矩形；

(3)求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值.

【答案】Q)证明见解析(2)证明见解析(3)3雷

【分析】(1)结合已知条件，首先利用几何关系证明然后利用线面垂直判定定理证明即可；(2)

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利用线面垂直性质和判定定理证明平面N8C，进而得到四边形。为矩形，再结合V/2C的

中位线性质即可证明；(3)建立空间直角坐标系，分别求出平面M4c和平面M48的法向量，然后利用面

面夹角的向量公式求解即可.

【详解】

(1)VZACB=90°,NBAC=30°,AC=2y[i，

:.BC=2,AB=4=MB,

•.•△肪1C是边长为2月的等边三角形，即/C=MC=2g,

:.“ABC*MBC,故/801=乙65=90。，即8C_LMC,

又•.•8C_L4C,ACQMC=C,AC,MCu平面M4C,

8C_L平面M4c.

(2)取NC的中点。，连接。M、DO,如下图所示：

4c是边长为2。的等边三角形，MD

：8C_L平面腿4C,DWu平面M4C,

BC工DM,

VACHBC=C,：.DMABC,

又：001_L平面NBC,OMP。。，即。、M、O、。|四点共面，

•/OO.YMN,OOXVOD,

：.O,M\\OD,从而四边形。为矩形，O、M=OD,

：。为线段42的中点，；.。。〃8。，

从而OD」BC,OD1AC,

2

；为线段"N的中点，:.MN〃BC,MN=BC,

故四边形8C脑V为平行四边形，

又；BCLMC,

，四边形8cMN为矩形.

(3)由(1)(2)知。/、DO、DM两两垂直，以。为原点，D4为x轴，。。为了轴，DM■为z轴,

建立如下图所示的空间直角坐标系：

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由题意可得/解,0,0）,C（-V3,0,0）,S（-V3,2,0）,N（0,2,3）,

平面K4C的一个法向量为1=（0,1,0）.

设平面的一个法向量为J=（“/），/=12百,2,0）,=（-73,2,3）

•AB=0—2,y/3x+2y=01—_

由「一得r，令x=V3，贝!JP=3,z=-1,

n2•AN=0-y/3x+2y+3z=0

故平面NAB的一个法向量为n2=（6,

—>—>

«r«233岳

则平面K4c与平面N43的夹角。的余弦值为cos0=.一=/-----=——,

；；V3+9+1-113

"1〃2

故平面K4c和平面N43夹角的余弦值为士叵.

13

19.已知圆。:（工-2）2+必=4和定点-2,0）,P为圆。上的任意一点，线段我的垂直平分线与直线尸C

交于点设点M的轨迹为曲线

⑴求曲线H