2025高考数学二轮复习：统计与成对数据的统计分析 专项训练【含答案】

微专题33统计与成对数据的统计分析

［考情分析］高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总

体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度.

-思维导图

随机抽样一「一利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

统

频率分布直方图一斗酝函随机抽样与用样本估计总体

计L

数字特征一"|狗识与题应一经验回归方程的求解与运用

成

成对数据的统计分析一对—独立性检验问题

数

据

的频率分布直方图中纵坐标误以为是频率

利用最小二乘法求解经验回归方程—统

必备计常见通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真

比较X2与临界值的大小，判断两类—分误区「实值

解法析

变量的关系.

_在犯错误的概率不大于«的前提下认为两个变

一量有关，变量为a

典型例题

考点一图表、数字特征

【典例1］（1）（多选）（2023•南京模拟）新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力

汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年

来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源

汽车年产量和占比（占我国汽车年总产量的比例）情况，贝1（）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017〜2022年我国新能源汽车年产量逐年增加

B.2017-2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆

C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆

D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量

答案BCD

解析对于A,由图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错误;

对于B,2017〜2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8—79.4=626.4（万辆），故B正确;

对于C,2022年我国汽车年总产量约为线!g2757（万辆），故C正确；

1242

对于D,2019年我国汽车年总产量为5氤=2587.5（万辆）,

127

2018年我国汽车年总产量为万丽P2822.22（万辆）,

所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量，故D正确.

⑵（多选X2023•新高考全国I）有一组样本数据XI，X2,…，如其中为是最小值，X6是最大值,

则（)

A.X2,13,冗4,X5的平均数等于％1，X2,・，%6的平均数

B.X2,元3,%4,%5的中位数等于阳，工2,,X6的中位数

C.%2,工3,%4,%5的标准差不小于即，入2,•,，X6的标准差

D.%2,13,X4,X5的极差不大于,，%6的极差

答案BD

解析取为=1,%2=期=冗4=工5=2,%6=9,

22

则X2,X3,X4,X5的平均数等于2,标准差为0,XI,尤2,…，无6的平均数等于3,标准差为

哼,故A,C均不正确;

根据中位数的定义，将XI,X2,…，X6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的

算术平均数，由于即是最小值，X6是最大值，故％2,X3,%4,%5的中位数是将％2,%3,X4,%5

按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与XI,X2,…，入6的中位数相等，故B

正确;

根据极差的定义，知X2,X3,%4,%5的极差不大于Xl,X2,…，％6的极差，故D正确.

跟踪训练1（1）（多选）（2023・荷泽模拟）在某次数学竞赛活动中，学生得分在［35,95］之间，满

分100分，随机调查了200位学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图，则（）

A.图中x的值为0.029

B.参赛学生分数位于区间［45,75）上的概率约为0.85

C.样本数据的75%分位数约为79

D.参赛学生的平均分数约为69.4

答案AC

解析对于A,i（0.005+0.015+0.016+x+0.025+0.01）X10=l,解得x=0.029,A正确；

对于B,分数位于区间［45,75）上的频率为（0.015+0.016+0.029）X10=0.6,估计概率为0.60,

B错误；

对于C,由选项B知，样本数据的75%分位数根e（75,85）,由（小一75）X0.025=0.75—0.65,

解得加=79,C正确；

对于D,由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为0.05,0.15,0.16,0.29,0.25,0.1,

平均分数1=40X0.05+50X0.15+60X0.16+70）<0.29+80X0.25+90X0.1=68.4,D错误.

（2）（多选）有一组样本甲的数据如一组样本乙的数据2尤其中尤&=1,2,3,4,5,6,7,8）为不完

全相等的正数，则下列说法正确的是（）

A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是加，则样本乙的中位数是2%+1

D.若样本甲的平均数是小则样本乙的平均数是2w+l

答案ACD

解析不妨设样本甲的数据为CXXIWQW…（迎，且X1<X8,

则样本乙的数据为2xi+1W2尤2+1W…W2x&+1,且23+1<21+1-

对于选项A,样本甲的极差为X8—尤1>0,样本乙的极差为（2x8+1）—（2为+1）=2（尤8—尤1）,

因为2（迎—Xl）一（%8—尤1）=X8—Xl>0,

即2（耶—X1）>X8一处，

所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；

对于选项B,记样本甲的方差为另>0,则样本乙的方差为4竟，

因为4s卷一=3s蜚>0,即4s卷,

所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误;

对于选项C,因为样本甲的中位数是根=今热，

则样本乙的中位数是（2必+l）q（2X5+1）=X4+X5+1=2力+1,故C正确；

对于选项D,若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2〃+1,故D正确.

考点二回归分析

【典例21（2023•辽阳模拟）2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮

消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为M百万元）•某省

随机抽查的一些城市的数据如表所示.

X33455668

y1012131819212427

（1）根据表中的数据，请用样本相关系数说明y与尤有很强的线性相关关系，并求出y关于x

的经验回归方程；

（2）①若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券,利用（1）中求得

的线性回归方程，预计可以带动多少消费？

②当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助

力消费复苏是理想的.若该省A城市2023年2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过

一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否

理想？若不理想，请分析可能存在的原因.

X(智―尤)8—y)E(Xi-x)(y,—y)

Z=1A尸1AA

参考公式：----/,b=-------------,".当|厂|>0.75

A/S(x「x)2X(yi-y)2Ex尸

\/i=l产1尸1

时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.

参考数据：存处5.9.

3+3+4+5+5+6+6+8

解⑴x=8=5

—10+12+13+18+19+21+24+27

'=R=18.

8__

E(xt—x)(yz,—>)=16+12+5+0+0+3+6+27=69,

Z=1

8_

2(xz—x>=4+4+1+0+0+1+1+9=20,

i=l

8—

XCVz—y尸=64+36+25+°+1+9+36+81=252,

i=l

8——

E(XLX)8-y)

一69竿

8_8_^20X^2524yf35''

£(XLx)2X8-y)2

i=l尸1

由于IM>0.75且r非常接近1,所以y与x具有很强的线性相关关系.

E⑶一尤)8-y)

A

经计算可得2-1------------------------=§639=3.45,

X(X,-x)2

1=1

a=y~bx=18—3.45X5=0.75.

A

所以所求经验回归方程为y=3.45尤+0.75.

A

(2)①当x=10时，＞=3.45X10+0.75=35.25,所以预计能带动的消费达35.25百万元.

②因为的35卷25bl5%＞10%,所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.

发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素.

比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；

A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响

了消费总量.

跟踪训练2(2023・承德模拟)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过

实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，得下表：

浓度x(mol/L)10-12W1010-810~610-4

灭死率y0.10.240.460.760.94

(1)以x为解释变量，y为响应变量，在和y=a+c21gx中选一个作为灭死率y关于浓

度x(mol/L)的经验回归方程，不用说明理由；

(2)①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；

②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8,估计该灭草剂的浓度至少要达到多少

mol/L?

AAA

参考公式：对于一组数据(Xl,yD,(%2,J2),(xn,yn),其经验回归直线＞=/?X+〃的斜率

E(XLx)(y,­y)Er/y,—nxy

=

AZ1i=lA____A____

和截距的最小二乘估计公式分别为6=-------------------------=-----------------，a=~~b~.

£(x,—x产x2

尸1尸1

解(1)根据表格数据可知解释变量X呈指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增

加量大约相等，

AAA

故选y=ci+c21gx.

AAA

(2)①令%=lgXi,贝3=。1+。2〃，

所以可得如下数据：

U-12-10-8-6-4

y0.10.240.460.760.94

—1—1

则U=5义(-12—10—8—6—4)=—8,y(0.1+0.24+0.46+0.76+0.94)=0.5,

5

XM?=(-12)2+(-10)2+(-8)2+(-6)2+(-4)2=360,

i=l

5

E^=(-12)X0.H-(-10)X0.24+(-8)X0.46+(-6)X0.76+(-4)X0.94=-15.6,

i=l

匕一、J-15.6-5X(-8)X0.5A

所以。2=—360—5力/2—=0.11,ci=0.5-0.11X(-8)=1.38,

AA

所以y=1.38+0.11",即y=1.38+0.111g尤.

人58

②依题意y=1.38+Olllgx》O8,即O.lllgxM—0.58,即Igx去一五,

5858

所以即要使灭死率不低于0.8,则该灭草剂的浓度至少要达到10「五mol/L.

考点三独立性检验

【典例3](2023•长春模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与

活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布

表：

天数[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]

人数4153331116

(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(〃，/)，其中〃近

似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且。=6.1,若全校有3000名学生，求参加“每

天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；

(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中有30名男生，天

数在［0,15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生

授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：

活动天数

性别合计

[0,15)[15,30]

男生

女生

合计

并依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关

联？如果有关联，请解释它们之间如何相互影响.

参考数据：若随机变量X服从正态分布o2),

则尸5一0<XW〃+<7)-0.6827;

Pa-ZoWXW〃+2cr)-0.9545;

〃+3(7)-0.9973.

,_____n(ad-bc)2/.

X~(a+bXc+d)(a+cXb+dfn~a+b+c+d)'

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由频数分布表知〃=

4X2.5+15X7.5+33X12.5+31X17.5+11X22.5+6X27.5

100

=14.9,则X〜N(14.9,612),

yXW〃+Q-0.6827,

,1-0.6827

.•.P(X>21)=P(X>14.9+6.1)--------------=0.15865,

.•.3000X0.15865=475.952476,

参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476.

⑵由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15)的人数为4+15+33=52,

•••参加”每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15)的学生中有20名男生，

.•.参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15)的学生中女生人数为52-20=32,

由频数分布表知，锻炼活动的天数在［15,30］的人数为31+11+6=48,

•.•参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中有30名男生，

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中女生人数为48-30=18.

.•.列联表为

活动天数

性别合计

[0,15)[15,30]

男生203050

女生321850

合计5248100

零假设为豆：学生性别与获得“运动达人”称号无关，

,100X(20X18—30X32)2

L50X50X52X48^5,769>3.841=^o.o5-

依据a=0.05的独立性检验，我们推断为不成立，即可以认为学生性别与获得“运动达人”

称号有关，而且此推断犯错误的概率不大于0.05.

on1o

根据列联表中的数据得至U,男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为第=0.6和第=0.36,

可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的粽

心1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大

于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号.

跟踪训练3(2023•福州模拟)国内某大学为了了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样

的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该

校学生平均每天运动的时间范围是［0,3］,记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运

动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表：

运动时间

性别合计

运动达人非运动达人

男生11003001400

女生400200600

合/p>

零假设为Ho：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得/七31.746,根据小

概率值a=0.001的/独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于

0.001.

(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的古，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动

时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；

(2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时

间，统计数据为：男生运动时间的平均数为2.5,方差为1；女生运动时间的平均数为1.5,

方差为0.5,求这20名同学运动时间的均值与方差.

n(ad—be)?

其中几=〃+Z?+c+d.

(〃+Z?)(c++c)(b+4'

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解（1）方法一改变数据之后的列联表为

运动时间

性别合计

运动达人非运动达人

男生11030140

女生402060

合计15050200

200X(110X20—30X40)2200

则倜整后的9140X60X150X50=63—3,175<10.828=xo.ooi-

根据小概率值Q=o.ooi的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关，与之前结论

不一样，原因是每个数据都缩小为原来的击，相当于样本容量缩小为原来的导致推断结

论发生了变化，当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.

方法二调整后的

10(a+/?)(c+d)(a+c)(Jb+d)10

-3.175<lO.828=w.ooi,

根据小概率值。=0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关，与之前结论

不一样，原因是每个数据都缩小为原来的强，相当于样本容量缩小为原来的击，导致推断结

论发生了变化，当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.

（2）男生抽取另霁*20=14（人），女生抽取^^jX20=6（人）,

由已知，男生运动时间的平均数％=2.5,样本方差4=1；

女生运动时间的平均数y=1.5,样本方差$3=0.5.

14X2.5+6X1.5

所以样本均值a.=2.2,

20

记样本方差为$2,则$2=

14X[l+(2.5—2.2)2]+6X[0.5+(1.5—2.2)2]

=1.06,

20

所以这20名同学运动时间的均值为2.2,方差为1.06.

［总结提升］

1.对于回归分析主要考查求经验回归方程（非线性经验回归方程）和对变量值预测，用最小二

乘法来求解经验回归方程，对非线性经验回归方程选择恰当的拟合函数，作恰当的变换，将

其转化为线性函数.

2.对变量的预测，若已知经验回归方程（方程中无参数），可以直接将数值代入求得特定要求

下的预测值；若经验回归方程中有参数，则根据经验回归直线一定经过点（x,y）,求出参

数值，得到经验回归方程，进而完成预测.

热点突破

1.（2023•桂林模拟）某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名

学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行

调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图.

1人数

150----------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------►

演讲舞蹈航模合唱机器人社团

则选取的学生中参加机器人社团的学生人数为（）

A.50B.75C.100D.125

答案B

解析由题意，本次调查的人数为50勺0%=500,

其中合唱比赛所占的比例为第=0.4=40%,

所以机器人所占的比例为1一10%—20%—15%—40%=15%,

所以选取的学生中参加机器人社团的学生人数为500X15%=75.

2.(2023・潍坊质检)甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示(图1),茎

叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图(图2)完好，贝|()

A.甲的单场平均得分比乙低

B.乙的60%分位数为19

C.甲、乙的极差均为H

D.乙得分的中位数是16.5

答案D

解析对于A,由茎叶图和直方图,甲比赛得分为9,12,13,13,15,20,26,28,平均得分为

9+12+13+13+15+20+26+28_

9=17,

..,、9+14+15+16+17+18+19+20

乙比赛得分为9,14,15,16,17,18,19,20,平均得分为--------------g-----------------------=16,甲

高于乙，故A错误；

对于B,由8X60%=4.8,故乙的60%分位数为17,故B错误；

对于C,甲的极差为28—9=19,乙的极差为20—9=11,故C错误；

对于D,乙得分的中位数是丹”=16.5,故D正确.

3.(2023•杭州模拟)某兴趣小组研究光照时长尤(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系,

采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉0(10,2)后，下列说法正确的是()

y

•£(8,11)

B⑵6)

/•C(3,5)

么(1，4).£>(10,2)

0|x

A.样本相关系数r变小

B.决定系数配变小

C.残差平方和变大

D.解释变量x与响应变量y的相关性变强

答案D

解析从图中可以看出。(10,2)较其他点，偏离直线远，故去掉0(10,2)后，回归效果更好,

对于A,样本相关系数H越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉。（10,2）后，样本相关系

数r变大，故A错误；

对于B,决定系数相越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉0（10,2）后，决定系数F变

大，故B错误；

对于C,残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉。（10,2）后，残差平方和变小，故C

错误；

对于D,若去掉0（10,2）后，解释变量x与响应变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确.

4.（2023・杭州模拟）有一组样本数据xi，愈，…，斯，由这组数据得到新样本数据Xl+k,愈

+k,xn+k,左为非零常数.则下列说法不正确的是（）

A.两组样本数据的极差相同

B.两组样本数据的标准差相同

C.两组样本数据的方差相同

D.两组样本数据的平均数相同

答案D

解析设样本数据制，X2,…，沏的平均数为三，方差为心

样本数据Xl+左，X2+鼠…，斯+反左为非零常数）的平均数为X,,方差为总

对于A选项，不妨设X1WX2W…Wx”，则样本数据打，了2,…，斯的极差为期—X1,

对于样本数据X1+左，M+鼠…,左为非零常数）,

则/+左或&+左＜…Wx”+人，

所以样本数据Xl+左，X2~\~k,•••,X'+网人为非零常数）的极差为（X"+A）—（X1+A）=X"—X1,

所以两组样本数据的极差相同，A正确；

对于D选项，

―;—（Xl+©+（X2+Z）+…+（无”+%）

X—n

Xl+x2-\-----\-Xn,,—,,

=---------n---------+k=x+k,

所以两组样本数据的平均数不相同，D错误；

对于B,C选项，s3=

［｛©l+Z）_（x+A：）］2+1（X2+k）-（X+左）］2

H-----H［（x„+^）—（x+^）］21

（尤1—X）2+（%2-x）2H-----h（无“-X）2

所以两组样本数据的方差相同，这两组数据的标准差也相同，B,C正确.

5.（多选）（2023・广州模拟）某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数

据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A.频率分布直方图中。的值为0.07

B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60

C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62

D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

答案AC

解析对于A,因为5X（0.01+a+0.06+0.04+0,02）=l,解得。=0.07,故A正确；

对于B,（0.01+0.07+0.06）X5X100=70（人），故B错误；

对于C,因为0.01X5+0.07X5+0.06X5=0.7,

0.01X5+0,07X5+0.06X5+0.04X5=0.9,0.7<0.78<0.9,所以第78百分位数位于[60,65）之

间，

设第78百分位数为x,则0,01X5+0.07X5+0.06X5+（x—60）X0.04=0.78,解得x=62,故

C正确；

对于D,因为0.01X5X47.5+0.07X5X52.5+0.06X5X57.5+0.04X5X62.5+0.02X5X67.5

=57.25,

即估计该校学生体重的平均数约为57.25,故D错误.

6.（多选）（2023•华南师大附中模拟）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度

有关.为了建立茶水温度y随时间无变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，

___1n___1n

得到若干组数据（即，yD，（必刈，…，%）（其中％>=[£%），绘制了如图所

示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度y随时间x的变化情况，回归模

型一：y=kx+b（k<0,x20）；回归模型二：y=kef+b（k>0fi<a<1,x20）,下列说法正确的是

y

90

80

W••・•.

4...........

o12345X

A.茶水温度与时间这两个变量负相关

B.由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度

随时间的变化情况

C.若选择回归模型二，利用最小二乘法求得的图象一定经过点（"，7）

D.当尤=5时，通过回归模型二计算得y=65.1,用温度计测得实际茶水温度为65.2,则残

差为一0.1

答案AB

解析由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型

二拟合效果更好，故A,B正确；

根据非线性回归模型的拟合方法，先令/=4，则/=公+乩此时拟合为一元线性回归模型，

对应的经验回归直线过点（7,7）,原曲线不一定经过（。工，7）,故c错误；

残差为观测值减估计值，即为65.2—65.1=0.1,故D错误.

7.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率x（单位：次数/分钟）与气温

y（单位：。C）有较强的线性相关关系.某同学在当地通过观测，得到如下数据，并利用最小二

乘法建立了y关于x的经验回归方程尸*二.当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温

预测值为.

x（次数/分钟）24364060

M℃)2628.63035.4

答案33

——1

角翠析x=w><(24+36+40+60)=40,

——1

y=4义(26+28.6+30+35.4)=30,

人1A一一

又〃必过点(%，V)，

1AA

.•.30=wX40+〃，解得。=20,

A1

.*.y=^x+20,

A1

.•.当x=52时，j=^X52+20=33.

8.某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.为了获得全体高中生身高的信

息，按照比例分配分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32,女生样本量为18,通过计

算得男生身高样本平均数为173.5cm,方差为17,女生身高样本平均数为163.83cm,方差

为30.03,则所有数据的样本平均数为cm,方差为.

答案170.0243.24

__3212

解析由题意得。=5QX173.5+^OX163.83^170.02（cm）,

{[32X17+32X（173.5-170.02）2]

+[18X30.03+18X（163.83-170.02）2]}

心43.24.

9.（2023•滁州模拟）大气污染物PM2.5（大气中直径小于或等于2.5（im的颗粒物）的浓度超过一

定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研

究人员选择了20个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，

统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测

点空气中PM2.5的平均浓度（单位：[ig/m3）,得到的数据如下表：

城市编号汽车流量PM2.5浓度城市编号汽车流量PM2.5浓度

11.3066111.82135

21.4476121.4399

30.7821130.9235

41.65170141.4458

51.75156151.1029

61.75120161.84140

71.2072171.1143

81.51120181.6569

91.20100191.5387

101.47129200.9145

（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，PM2.5大于等于

75ng/m3属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为

车流量大小与空气污染有关联？

（2）设PM2.5浓度为y,汽车流量为尤.根据这些数据建立PM2.5浓度关于汽车流量的线性回归模

型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.

n(ad-bcf

附：p=

(。+Z?)(c+4)(。+c)(Z?+的'

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

2020202020A

5>Z=27.8,ZM=1770,2>?=40.537,ZM=193694,5>M=2680.48,在经验回归方程y=

i=\i=\i=li=lz=l

n____

E(为一无)8一y)

=

Ai\

AAb=

Zzx+o中，Vz(%j_x)2

i=l

AA__

』=y—bx.

解(1)由表格，可得如下列联表，

车流量小车流量大合计

空气无污染819

空气污染4711

合计12820

零假设为%:车流量大小与空气污染无关,

,2OX(8X7-4X1)2

L-12X8X9X11--5-690>3-841>

故依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，即能认为车流量大小与空气污

染有关联.

—12027.8—1201770

(2)由x=与》尸(o=L39,y=而工》==88.5,

i=li=l~

20—_20_____

工(XLx)(yt—>)=5>必一20%y=2680.48-20X1.39X88.5=220.18,

i=li=l

20—20—

Z(H—x)2=2>?—20x2=40.537—20X1.392=1.895,

i=li=l

A22018A

所以b=