2024学年厦门市某中学高二数学上学期12月考试卷（附答案解析）

2024学年厦门市双十中学高二数学上学期12月考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.等差数列｛4｝中，已知%+%+%=18,则该数列的前9项和为（）

A.54B.63C.66D.72

2.棱长为1的正四面体A3CD中，点E是4D的中点，则8A.e万=（）

D布

A1

,444

3.设Sn是等比数列｛时｝的前n项和，若S3=4。4++。6=6，则衿

)

19

D.

c16

4.已知两条直线4：元-gy+2=0与4：%-百y+6=0被圆。截得的线段长均为2,则圆。的面积为

()

A.2兀B.3兀C.4兀D.571

5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点K，尸2在X轴上，A,B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点,

且轴，PFJ/AB,则此椭圆的离心率是（）

1

C.一

3DT

6.已知四面体ABCD中，AB,BC,3D两两垂直，BC=BD=血，A3与平面AC。所成角的正

切值为g,则点B到平面ACZ）的距离为（）

1

.A/3R2A/3_V5□2非

2355

7.设meR,若过定点A的动直线x+%=0和过定点8的动直线〃式-y-m+2=0交于点P（x,y）,

则|酬.|尸3|的最大值是（）

5

A.-B.2C.3D.5

2

8.正方体的棱长为5,点“在棱A3上，且411=2,点尸是正方体下底面ABC。内

（含边界）的动点，且动点P到直线4。的距离与点P到点”的距离的平方差为25,则动点P到

5点的最小值是（）

A.2y/3B.76C.73D.血

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知S,,是等差数列｛4｝的前〃项和，％>0,且$=九，则（）

A.公差d>0B.46>°C.S32=0D.〃=17时，S“最大

10.在正方体中，超=2,点E是人4的中点，空间中一点尸满足

AP=xAB+yAAl（x,ye［0,l］）,贝!］（）

A.当x=l时，AB1CP

B.当y=i时，三棱锥尸-BCR的体积为定值

C.当无=；时，有且仅有一个点P,使得〃平面AC，

D.当x+y=l时，有且仅有一个点尸，使得CJ与CR所成角为60。

11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布•伯努利将其作为

椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由

到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努

利双纽线.曲线C：（炉+力2=4优一力是双纽线，则下列结论正确的是（）

2

A.曲线。经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

B.已知4卜忘,0),B(A/2,0),尸为双纽线上任意一点，则印+|即220

C.若直线丫="与曲线C只有一个交点，则实数%的取值范围为

D.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(丁+力2=4卜2-巧

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足S“=2"+2-3(〃eN*),则4=.

13.如图，在四棱柱A3CD-A耳G2中，底面A3C。是平行四边形，点E为3。的中点，若

\E=xA4,+yAB+zAD，贝！Jx+y+z=.

14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比

为常数2(2^1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点4(-7,0),8为直线/：

2尤+y+3=0上的动点，尸为圆C：(x—2y+y2=9上的动点，则|叫+3］阳的最小值为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.若数列｛4｝的前n项和为S“，且2s“=3a〃—l(〃wN*),等差数列也｝满足4=34,-4.

⑴求数列｛4｝,也“｝的通项公式；

⑵设%=今，求数列k｝的前“项和I.

16.如图，在四棱锥中，AD//BC,ABLBC,AB=BC^1,AD=a(a>\),R4_L平面ABCD,

尸£)与平面ABC。所成角为45。，E为PD中点,

P

C

(1)证明：BE±PD；

3

⑵若直线尸C与平面ABE所成角为60。，求。的值.

17.已知双曲线C：万一方=l(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x—y=0为双曲线C的一条渐近线.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线/交双曲线C于点N(点M在第

一象限)，记直线的斜率为七，直线NB的斜率为％2，求证：察为定值.

18.已知椭圆C:5+A=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳耳，离心率为导设P(xo，y0)是第一

象限内椭圆C上的一点，尸片1g的延长线分别交椭圆C于点A3,连接OP,AB,AK，若APg的

周长为4A/2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当尸入，x轴，求△尸4居的面积；

⑶若分别记的斜率分别为左，心，求:-2的最大值.

19.已知两个数列｛%｝和｛〃｝的项数均为P,且对于数列4M2，,4.，其中左=12,p,若存在外满

足：①VM｛1,2,-,耳，都有勾(4；②于《1,2,，耳，使得a,=4,则称数列也｝是｛%｝的单极数

列.

⑴已知%eN*,若｛%｝的单极数列为1,2,2,3,3,3,求满足条件的｛叫的个数.

(2)已知也｝是｛%,｝的单极数列.

(i)若见+i+2%Y=&，求％：-4.

n+1

2勿〃为奇数13

(ii)右见=｛n,当一<4<1时，证明：0<Z(4-q)<1263.

加2_(_］尸勿〃为偶数2«

4

参考答案

1.【答案】A

【详解】由等差数列的性质可知%+%+%=3%=18,贝！］生=6,

故前9项的和为5=^^=9%=9x6=54.

故选A.

2.【答案】A

【详解】因为CE=C4+AE，

所以BACE=BA-(CA+AE)=BACA+BAAE，

X|BA|=|CA|=I,|AE|=1,网的=(,网码=与，

TT19jr1

所以BACE=lxlxcos—+lx—xcos——=—.

3234

故选：A.

3.【答案】B

【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，求得q3的值，再利用等比数列的求和公式可求得

结果.

【详解】设等比数列｛an)的公比为q，若q=l，则a4+a5+a6=3at=S3,矛盾.

所以，qWl，故(14+(15+怒=)—。皿工［)=q3s3，贝!Iq3=I,

所以，S6=*2=(l+q3).号J1=|S3，

1—Q±-QZ

Sg=a^)=(1+Q3+£/6)a^)=^S3，

因此，包=强.三=".

S645s310

4.【答案】A

【详解】因为两条直线小龙—6y+2=0与%:X—岛+6=0,

所以

匕_

所以乙与4间的距离为h=］J==2，

所以圆心c到直线4的距离为I,

因为直线4被圆截得的弦长为2,

22

所以圆的半径为r=71+l=72.

5

所以圆C的面积为兀r=27t.

故选：A.

5.【答案】B

22

【详解】椭圆方程=+*=1(。>6>0),

ab

(八

则点P的坐标为一C,一,A(a,o),B(O,b),&(c,o),

\a.

bh2hh2

于是k=—,k=----,由^AB二得—=-----,即b=2c,

ABaPF22aca2ac

故a=y/5c，e=—=♦

a5

故选：B

6.【答案】D

【详解】以5为原点，BC,BD,B4所在直线分别为X、，、z轴建立空间直角坐标系，如图所

设BA=f,t>0,3(0,0,0),C(72,0,0),0(0,72,0),A(0,0,/).AB=(0,0,-/),C4=(-72,0,r),

CD=(-V2,A/2,0).

设平面AC£)的法向量为〃=(x,y,z),

n-CA==—yflx+tz=0'令i得"「产，故〃力(」,

则

t-

7

因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为

所以直线AB与平面AC。所成角的正弦值为好

5

\AB-^yf275

即F2-T>解得t=2.

AB\-\n〜Jl+1+工

6

(⑻

所以平面ACZ)的一个法向量〃=1』,一

“\^B-n\722A/5

故B到平面AC。的距离为“=同=J]]]=~T

故选：D

7.【答案】A

【分析】先确定两直线所过的定点A、8的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，

结合基本不等式求解即可.

【详解】依题意，直线无+〃9=。过定点4(0,0),直线〃zx-y-〃2+2=O可整理为1)+(2-y)=0,

故直线过定点8(1,2),

又因为直线x+畋=0和直线〃a-，-"?+2=0始终垂直，P为两直线交点,

所以R4_LPB,

则|AB|2=|PA|2+网'=(1-0)2+(2-0)2=5,

由基本不等式可得|R4|郴|1尸"哂="=|,

当且仅当|尸司=\PB\=®时取等号，所以4HpM的最大值是：

22

故选：A.

8.【答案】A

【详解】

如图所示，作PQ^AO,Q为垂足，则易知尸。上平面ADRA，

过点Q作QRLA。，交4。于R,则易知42,平面PQR,所以依即为P到直线4R的距离.

因为PR?—尸M2=25,J!LPR2-PQ2=RQ2=25,所以PM=PQ.

所以点P的轨迹是以AO为准线，点M为焦点的抛物线.

7

如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是V=4x(0VyW4),

点A(-L0),B(4,0),设pj：，d，所以|尸理=一4]+y^-/+16

=J—(y2-8)2+12,所以当丁=8,I即取得最小值2相.

V16

故选：A

9.【答案】BC

【详解】设等差数列也,｝的公差为",

由S13=Sig得％4+05+%6+47+%8+=3(^6+6^7)=0,

由于〃1>0,所以d<0,^16>0,«17<0,所以AD选项错误，B选项正确.

%=CX32=16(阳+%)=0,c选项正确.

故选：BC

10.【答案】AC

【详解】对于选项A,当x=l时，AP=AB+yAAi,

如图所示，

根据平面向量基本定理，此时P在线段8片上,

由于在正方体中，至，平面BBCC，CPu平面BBCC，

所以ABLCP,选项A正确；

对于选项B,当y=l时，AP=xAB+AAl,

8

如图所示,

由平面向量基本定理，此时P在线段A4上，

由图可知，三棱锥尸-3cA当以平面BC2为底面时SBCD,为定值，

但因为顶点p在线段4片上运动，所以P到底面BCR的高不确定,

故三棱锥尸-BCR的体积不是定值，选项B错误;

对于选项C,当x=g时，如图所示，

止匕时AP=^AB+yAA],

由平面向量基本定理，取AB与4耳中点/W,N,则P在线段/WN上运动,

由图可知，过B点且与平面AC，平行的平面为平面ABC-

MAO平面48cl=尸，所以此时8尸〃平面AC2，

又P是MN与交点,即当且仅当P是/WN中点时，有〃平面AC。，

故选项C正确；

对于选项D,如图所示,

以。为原点，DC,DA,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

9

则D(0,0,0),A(0,2,0),8(2,2,0),C(2,0,0),Dx(0,0,2),4(0,2,2),£(2,0,2),

因为x+y=l,则有APnxAB+Q—x)",

又AB=(2,0,0),胡=(0,0,2),

所以AP=(2x,0,2—2x),

所以P(2元,2,2-2x).

于是CjP=(2x—2,2,—2x),CDX=(-2,0,2),

所以GP,CR的夹角为60。时有，

CpC»|-2(2x-2)-4x|1

cos60°=

|C/I"CQI7(2X-2)2+4X2+4-2A/22

解得x=0或x=l,

即尸（0,2,2）或尸（2,2,0）都可以使得CRCQ的夹角为60。，

选项D错误.

故选：AC.

11.【答案】BCD

【详解】对于A,由（/+/『=4（/一丁），可得（/-2y+（/+2）2=8-2//,

所以-2<x<2,-2<y<2,

令y=0,解得x=0,尤=2或无=一2；

当、=±1时，得（丁+1丫=4（/-1）,无解；

当丫=±2时，得（无2+4）2=4（/一勺，无解；

所以曲线C经过整点（2,0）,（-2,0）,（0,0）,故A错;

对于B,由于&卜0,0）,B（6,0）,贝打期=2&,

所以尸为双纽线上任意一点，贝/以|+怛回22血，B正确；

对于C,直线>=区与曲线卜2+力2=4（/一力一定有公共点（o.。）,

若直线>=履与曲线C只有一个交点，

10

所以，（Y+V）=4（"一V）,整理得了4（1+k2y=4尤2（1一后2）无非零实数解，

y=kx

l-k2<0,实数上的取值范围为（为,-1][1,及），故C正确；

对于D,曲线方程中尤，y互换可得曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为

（x2+y2）2=4（y2-x2）,故D正确.

故选：BCD.

□•【答案】晨f5,,n在=1,2

【详解】根据题意，数列｛%｝满足S”=2"+2-3,

当心2时，有。“=S“-加=（2--3）-（2"+|-3）=2向；

当”=1时，有％=耳=8-3=5,不符合凡=2用，

|5,n=l,

故“"12向,心2.

故答案为：]f5评2=,l»

13.【答案】0

【详解】在四棱柱ABCD-A瓦G2中，底面A3C。是平行四边形，点E为8。的中点,

所以A^E=A^A.+AB+BE-AA+AB+—BD=AA+AB+—^BA+AZ））=—AA^+—AB+—AD

又\E=xA\+yAB+zAD

所以x=-Ly=g,z=；

即％+y+z=O.

故答案为：0.

14.【答案】3也

【详解】令照=3|即,则喝=3,

依题意，圆C：（x-2>+y2=9是由点A,£）确定的阿波罗尼斯圆，且4=3,

11

则叫而+7>+了

设点。坐标为D(m,n)

IP0yl(x-m)2+(y-n)2

整理得Xi-誓而该圆的方程为

9m+7.

--------=4

4

9nm=l

则—=0解得点。的坐标为0(1,0),

4n=Q

49-9m2-9n2

=5

8

2+3

因此照+3网=3|叫+3阀23因,当班)，/时，最小,最小值为

所以当时，|网+3|阳的值最小为36.

故答案为：375

15.【答案】⑴为=37"2n+l

(2)(=2一展

【详解】(1)25„=3«„-l(neN*

又25“_]=3%1-1(〃22),

两式相减得2%=3〃“-3al，

即区=3,故数列｛%,｝是以3为公比的等比数歹!],

an-\

又当〃=1时，2sl=2q=3%-1,得％=1,

%=3"、

=3%=3,&=%+4=3+4=7,

卜_卜A

.•.等差数列也｝的公差为勺?=?=2,

3—12

：.bn=2〃+1；

12

/、i/、_/=2〃+1

(2)由(1)可r得c,=一^,

2n-\2〃+1

+----------------

2n-\2〃+1

-------1----：-

3〃3向

1

2〃32n+l42n+4

上两式相减得I=|+>,++----2-+1=-1+2x

3〃+】7-

3〃31-13"|一百r'

3

•••--审

16.【答案】（1）证明见解析:

(2)a=2.

【详解】（1）因为AP//5C,AB.LBCf

所以AD/AB,因为PA_L平面ABCD,尸。与平面ABCD所成角为45。,

所以NPD4为尸。与平面ABCD所成角，即NPD4=45。,

则PD=AD=a[a>\),又AD,ABu平面ABCD,

所以PA_LAD,PA_LAB,

所以可建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则由题4（。，。，0），2（1,。，。），石[吟多尸（0，。，“）0（0,“,0）（（1,1,0）,

所以BE=1-1,彳,][,PD=（0,a,-a）,PC=（1,L-a）,AB=（1,0,0）,

所以底产/）=[-1,*小.（0«,一4）=£一£=0,

所以BE_LPr>，即助_i_ao.

（2）设平面ABE的法向量为元=（x,y,z）,

aac

nLBEn-BE=Q—x+—y+—z=0

则,所以，所以由(1)得22

n±ABn•AB

=0尤=0

取y=-l,贝U”=（O,-l,l）,又直线PC与平面ABE所成角为60。,

13

所以sin60°=|cosn,Pc|=nPCQ+1

HMJi?+仔+(_〃『^(-1)2+12

瑞T*‘解得

17.【答案】⑴V—9=1(2)证明见详解

【详解】(1)：虚轴长为4,...26=4,即6=2,

:直线2x—y=0为双曲线C的一条渐近线，

.b_._

..~=2,・・〃=1,

故双曲线c的标准方程为V—2=1.

(2)由题意知，A(-l,0),8(1,0),

Tx

N

由题可知，直线/的斜率不能为零，故可设直线/的方程为无2,

设Af(xi,yi),N(%2,%),

X2-4-1,

联立

x=几y+2,

得(4加2—l)y2+16ny+12=0,

・I_16孔

.•力+>2=一而二P

12

町i”=一孤i+%)，

•.•直线MA的斜率自=七7,

XI十1

直线NB的斜率k=~~-,

2X2~I

yi3

・kixi+1yi5y2+1)

P为定值.

'"2"丁2(伙+3)仪"+3广_/+均+3及

X2~1

18.【答案】⑴1+y*

14

⑵半

（3）-276

2

【详解】（1）由题意："一'=立,44=4近,

a2

可得：a=V2,b=\,

故椭圆方程］+丁=1；

（2）设43，%）,8（%2，%），

当尸耳，x时，由耳（—1,0）,乙。,0）1在第一象限，可得毛=1,%=等，

即P。,白），故求得直线24方程为2点y=x+l,

联立方程‘+1，得（2应＞-If+2/=2,

x+2y=2

整理得10丁-4应y-l=O,%+%=-：，

E一刃=+=噜=¥，

所以SPAF2=；僧阊回一%|=；*2*半=半；

（3）设/（%1，丫1）,8（%2，，2），因为「（%o，yo）在椭圆。上，故说+2y；=2,

由题意尸4:尸』^+1）,尸2:了=4（＞1）

y=%（x+1）

故将直线承与椭圆C联立方程.%o+l，

、/+2/=2

--i2

代入可得必+2上JQ+1）=2

_/+1_

二匚I、I3入0+4%

整理可得：（2%o+3）d+4丁2无一3片—4%=0,所以“为指

，即T

3xn+4%%

即芯=一年？%=一

2x+3

02x0+3

15

y=±（i）

同理：将直线P8与椭圆C联立方程Ao1

x2+2y2=2

--i2

代入可得V+2=2

/一1

整理可得：（3—2x0）f—490彳+4毛—3fo=O,所以/%=3；1-：。

3厮-4y'3^-4y

即％=j’％=力n,即80

、2%—32x0—3?

%।%

2XQ—32%0+34%%==%_

所以左2=k

3XQ—43XQ+412焉_24_3宙_2）'「/

2XQ—32XQ+3

..11

故-----

k2k]

风＞。」」=-他+如]=2跖

由P（%o，yo）在第一象限内，故

玉）