2025高考数学二轮复习：圆锥曲线综合（10大考向）专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十八讲-圆锥曲线综合(10大考向)-专项训

练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2024•新高考□卷，

椭圆的标准方程

16(1)

2022•新高考□卷，

双曲线中的双斜率

21(1)

2023•新高考□卷，

抛物线的轨迹方程

22(1)

2022•新高考□卷，

21(1)

双曲线的标准方程

2023•新高考□卷，

1.高考对圆锥曲线综合的考

21(1)

查，重点是直线与圆锥曲线关

椭圆中的弦长公式、三角形2024•新高考□卷，

系中的求弦长、面积及弦中

面积16(2)

点、定点、定值、参数取值范

2024•新高考口卷，

围和最值等问题。双曲线与数列的综合知识

19

双曲线中的弦长公式、三角2022•新高考□卷，

形面积21(2)

2023•新高考口卷,

抛物线中的弦长公式

22(2)

2022•新高考□卷，

双曲线中的斜率问题

21(2)

2023•新高考□卷，

双曲线中的定直线问题

21(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了椭圆的标准方程、弦长公式，注重的是基础公式和

计算能力，难度适中。口卷考查了直线与双曲线、数列知识的交汇，综合能力要求较

高，难度较难。但是每间的设计是环环相扣的，可以从第一问的设问中找到第二问的

求解思路。圆锥曲线综合是高考数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。

每年高考卷的必考题，一般是两小一大，是以课程学习情境与探索创新情境为主，注

重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑

思维能力。预计2025年高考还是主要考查圆锥曲线中的弦长、三角形(四边形)面

积、定值定点问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考口卷:16)已知A(O,3)和尸［3,|］为椭圆c：5■+，■=l(a>b>O)上两点.

(1)求C的离心率；

(2)若过尸的直线/交C于另一点'且的面积为9,求/的方程.

2.(2024新高考□卷49)已知双曲线2nMm>()),点4(5,4)在C上，上为常

数，0(人<1.按照如下方式依次构造点=2,3,...),过匕―作斜率为左的直线与C的

左支交于点。I，令尸,为关于>轴的对称点，记匕的坐标为(Z,%).

(1)若A=求尤2，丫2；

(2)证明：数歹U5〃-%｝是公比为坐的等比数列；

1-K

⑶设S"为匕月,+£+2的面积，证明：对任意的正整数“，s,=s心

高考真题练

一、解答题

22

1.(2022新高考口卷21)已知点42,1)在双曲线--=l(a>l)±,直线/交C

cia—1

于尸，0两点，直线的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

⑵若tanNPAQ=2后，求△PAQ的面积.

2.(2023新高考□卷22)在直角坐标系xOy中，点尸到x轴的距离等于点尸到点

的距离，记动点尸的轨迹为W.

⑴求W的方程；

(2)已知矩形ABC。有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3g.

22

3.(2022新高考口卷21)已知双曲线C：2=1(°>0b>0)的右焦点为/(2,0),渐近线

ab

方程为y=土石x.

(1)求C的方程；

(2)过尸的直线与c的两条渐近线分别交于a3两点，点尸(4乂),。(%,％)在c上，

且%>%>0,%>。.过尸且斜率为-73的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M从

下面口□□中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

在AB上；口尸。〃A3；口|MA|=|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

4.(2023新高考□卷21)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2石,0),离心

率为6.

(1)求。的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为4，4,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,

M在第二象限，直线MA与“交于点尸.证明:点尸在定直线上.

知识点总结

一、直线和曲线联立

22

1、椭圆■+2=l(a>b〉O)与直线=+相交于两点，设4%，%)，

ab

B(%，为)

(22

土+匕=1

22222222222

<ah,(b+ka)x+2akmx+«m-ab=0

y=kx+m

22

椭圆一+与=1(。>0,6>0)与过定点(〃?，0)的直线/相交于AB两点，设为x=fv+〃2,

ab

如此消去X,保留y,构造的方程如下：/+5一，

x=ty+m

2222

(〃2+tb)y2+2b2tmy+Z?2m2-ab=0

注意：

□如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般

都需要摆出A>0,满足此条件，才可以得到韦达定理的关系.

□焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘

述.

2、抛物线丁=2px(p>0)与直线x相交于A、8两点，设4(益，％),B(x2,y2)

联立可得y2=2p(<y+"2),△>()时，""

=-2pm

特殊地，当直线越过焦点的时候，即加="，

2

=一2Pm=一p2,玉々工•五」p2,因为4s为通径的时候也满足该式，根据此时

2p2p4

A,8坐标来记忆.

抛物线炉=2py(p>0)与直线y=Ax+相相交于C、£)两点，设C(玉，%)，D(%2，%)

联立可得尤2=2双依+附，A>。时，卜+%=2p"

［石马-12pm

注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低

计算量.开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情

况具体分析.

总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面

积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化

为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式.

二、根的判别式和韦达定理

22

5+斗=1(。>〃>0)与>=丘+相联立，两边同时乘上〃2b2即可得到

ab.

(a2k2+b2)x2+2kma2x+(m2-Z?2)=0,为了方便叙述，将上式简记为

加2+及+。=0.该式可以看成一个关于工的一元二次方程，判别式为

A=4a2b2(a2k2+廿-/)可简单记4a2b2(A-m2).

22

同理二+3=1(。>5>0)和x=h+相联立(/+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b~=0,为了方

ab

便叙述，将上式简记为Ay2+gy+c=0,A=4a2b2(a2+t2b2-m2),可简记

4a2b\A-m2).

/与。相离。A<0;/与C相切。A=0;/与C相交oA>0.

注意：(1)由韦达定理写出%+/=-£，V2=~,注意隐含条件△>().

AA

(2)求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意.

(3)如果是焦点在了轴上的椭圆，只需要把/互换位置即可.

(4)直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把/换成-加即可；

焦点在了轴的双曲线，把/换成-A?即可，/换成力即可.

(5)注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用△判断根的关

系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根(一般为交点横

纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分

析，或者解方程组，真正算出具体坐标.

三、弦长公式

设”（占，％）,N（X2,%）根据两点距离公式|ACV|=一些）2+（%-%）2.

1＞若M、N在直线y=fcr+加上，代入化简，得|MN|=4比-4].

2、若A/、N所在直线方程为x=（y+加，代入化简，得|跖V|=&+产回一%|

3、构造直角三角形求解弦长，|MN|=1fII.其中k为直线MN斜率，a

|cosa||sina|

为直线倾斜角.

注意：（1）上述表达式中，当为左wO,相wO时，mk—1.

（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用.

（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为及2+&+C=O（ANO）,判别式为

A=g2—4ACA>0时,I不一（占+%）2-4%马

=4,利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效

率.

（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加

简单.

（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式.

四、己知弦然的中点，研究钙的斜率和方程

1、Afi是椭圆£+=旧＞4°）的一条弦，中点〃（%,%），则钻的斜率为-"，

abay0

运用点差法求AB的斜率；设A（xqJ,8（%,%）（无产龙2），A,3都在椭圆上,

|22

,2L-i

22~-2222

所以、b一,两式相减得三二+%；及=。

a

制上%1~廿

L2*4b2

（%+%）口「々）+（%+%）（乂-必）=0

a2b2

b~（3+%）=b-x0，故人=厅-%

4%+%）一a%乂4厂。飞

22

2、运用类似的方法可以推出；若至是双曲线三-2=l（a>A0）的弦，中点

cib

1

A/（x0,y0）,则左.=军^；若曲线是抛物线V=2px（〃>0），贝J《B='・

〃%为

名校模拟练

一、解答题

22

1.（2024•山东济宁三模）已知椭圆E：T+与=1（“>。>0）的左焦点为F,上顶点为

ab

B,离心率e=变，直线抬过点P（l,2）.

2

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点/的直线/与椭圆E相交于/,N两点（M、N都不在坐标轴上），若

ZMPF=NNPF,求直线/的方程.

2

2.（2024•浙江绍兴三模）已知双曲线一/一乙=1与直线"y=x+l交于A、8两点

4

（A在8左侧），过点A的两条关于/对称的直线乙、4分别交双曲线「于C、。两点

（C在右支，。在左支）.

（1）设直线4的斜率为片,直线4的斜率为自，求/K的值；

（2）若直线8与双曲线r在点8处的切线交于点尸，求尸的面积.

3.（2024•天津北辰•三模）已知椭圆C：]+方=1（。>6>0）的离心率为向，左右焦

点分别为片，%,上下顶点分别为A,4，且四边形4耳右乙的面积为2VL

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/：y=履+加（根>（））与椭圆C交于尸，。两点，且P,。关于原点的对称点分别

为MN,若|0斤+|0。「是一个与加无关的常数，则当四边形尸QMN面积最大时，求

直线/的方程.

4.（2024•新疆喀什•三模）已知双曲线E：f-3y2=3的左、右焦点分别为耳，月，A

是直线/：y=-二无（其中。是实半轴长，。是半焦距）上不同于原点。的一个动点，

a

斜率为《的直线与双曲线E交于M,N两点，斜率为网的直线AF?与双曲线E交于

P,。两点.

⑴求的值；

（2）若直线加，ON,OP,。。的斜率分别为心”，k°N，k0P,kOQ,问是否存在点

A,满足后“+勺N+左”+心2=。，若存在,求出A点坐标；若不存在，说明理由.

5.（2024•江西九江•三模）在平面直角坐标系xOv中，已知抛物线2丁2=2R5>0）的

焦点为£A是E上第一象限内的动点.当直线转的倾斜角为:时，|AF|=4.

⑴求E的方程；

（2）已知点。（2,2）,3,C是E上不同两点.若四边形ABCD是平行四边形，证明：直线AC

过定点.

22

6.(2024•上海•三模)已知椭圆C：二+—=1,耳、后分别为左、右焦点，直线/

84

过公交椭圆于A、8两点.

(1)求椭圆的离心率；

(2)当N£AB=9O。，且点A在x轴上方时，求A、8两点的坐标；

⑶若直线然交)轴于“，直线8片交y轴于N,是否存在直线/,使得S/=S.N?

若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

7.(2024•湖南长沙•二模)已知椭圆E中心在原点，左焦点为爪-1,。)，其四个顶点的

连线围成的四边形面积为2夜.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过椭圆E的左焦点F作斜率存在的两直线A3、8分别交椭圆于A、B、C、D,

且线段A3、。的中点分别为M、N.求四边形3CWN面积的最小值.

22

8.(2024•北京西城三模)已知椭圆［+与=1(。>6>0)的左顶点为4上顶点为3,

ab

下顶点为C,若椭圆的e=3,三角形48c的面积为2.

2

(1)求椭圆的标准方程；

⑵已知点。(0,2),直线交椭圆于点瓦过点。的直线交椭圆于N两点，若

直线CM与x轴交于尸点，过E且平行于x轴的直线与3N交于。点，求隅的值.

9.(2024•湖南长沙三模)已知抛物线。:>2=2必(0>0),过点。(0,2)的直线/与C交

于不同的两点A8.当直线/的倾斜角为135。时，|=4回.

(1)求C的方程;

_IDA\AE

(2)在线段AB上取异于点AB的点E,且满足晨=Q,试问是否存在一条定直线，

L)DLD

使得点E恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.

22_

10.(2024・北京•三模)已知椭圆E:=+二=l(a>b>0)的短轴长为2君，左、右顶点

ab

分别为CD,过右焦点尸。,0)的直线/交椭圆E于两点(不与CD重合)，直线AC

与直线应>交于点T.

⑴求椭圆E的方程；

(2)求证：点T在定直线上.

2

11.(2024•上海浦东新三模)已知双曲线C:/-q=l,点月、外分别为双曲线的

左、右焦点，A&,yJ、3(与为)为双曲线上的点.

(1)求右焦点尸2到双曲线的渐近线的距离；

(2)若盟=383,求直线的方程；

⑶若AFJ/BF?,其中/、3两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求

四边形的面积的取值范围.

12.(2024・天津南开•二模)已知椭圆C：；+£=1(a>6>0)的离心率为无，

a2b22

且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8g.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点尸(1,0)的直线/与椭圆C交于43两点，过点/与x轴垂直的直线与椭圆C

的另一个交点为。.当VBPQ的面积取得最大值时，求直线I的方程.

13.（2024•贵州六盘水三模）在平面直角坐标系xOy中，点/,3分别是x轴和〉轴上

的动点，且IAB|=6,动点尸满足百OP=2OA+O2,记尸的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设曲线C与x轴的交点为出，A2（4在也的左边），过点。（1,0）且不与x轴平

行的直线/与C相交于N两点，记直线出4N的斜率分别为处和左2,求?的

值.

22

14.（2024・广东汕头•三模）已知双曲线C：的渐近线方程为

y=土与x,过点（4,0）的直线/交双曲线C于M,N两点，且当轴时，|"N卜6.

⑴求C的方程；

（2）记双曲线C的左右顶点分别为4，4,直线AM,4N的斜率分别为勺，k2,求?

的值.

⑶探究圆E：*+y2_4x-4y-l=0上是否存在点S,使得过S作双曲线的两条切线乙，

4互相垂直.

22

15.（2024•江西鹰潭•二模）设椭圆氏二+4=1（°>6>0）经过点尸（2,-1）,且离心率

ab

2=当,直线机：x=3垂直x轴交x轴于T,过T的直线h交椭圆E于A（XQJ,

5（程％）两点，连接Rl，PB,PT.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线B4,尸3的斜率分别为L，k2.

(□)求K+&的值;

(□)如图：过尸作x轴的垂线/,过/作尸T的平行线分别交P3,/于M,N,求

\MA\的值.

16.(2024•山东烟台•三模)已知抛物线C：y2=2px(。>0)过点(1,2),尸为C的焦

点，A,3为C上不同于原点。的两点.

(1)若OALO3,试探究直线A3是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理

由；

(2)若求△AEB面积的最小值.

17.(2024•山西阳泉•三模)已知圆0:炉+》2=4,8(-1,0),。(1,0).点一在圆。上,延长

CN到A,使ICMRM4I,点尸在线段AB上，满足(PA+PC>AC=0.

⑴求点P的轨迹E的方程；

(2)设。点在直线x=l上运动，2(-2,0),2(2,0).直线。口与轨迹E分别交于G,H

两点，求证：G”所在直线恒过定点.

18.（2024・湖南衡阳三模）已知椭圆C：1+y2=l.

（1）已知一加尸。的顶点均在椭圆C上，若坐标原点。为的重心，求点。到直线尸0

距离的最小值；

（2）已知定N（x0,%）在椭圆C上，直线/（与x轴不重合）与椭圆交于/、B两点,若直

线48,AN,8N的斜率均存在，且4VL3N,证明：直线48过定点（坐标用%,%

表示）.

19.（2024•四川攀枝花三模）已知抛物线。：/=2/（°>0）上一点0到焦点厂的距离

为2,点。到了轴的距离为6P.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过尸的直线交抛物线C于/,3两点，过点3作x轴的垂线交直线工。（。是坐标

原点）于。，过/作直线。尸的垂线与抛物线C的另一交点为E,直线3D与AE交于

八、、G.求Qi

22

20.（2024•新疆三模）已知椭圆G：a+方=1（稣6>0）的左右焦点分别为G，B，

离心率为过抛物线C?：必=2办焦点的直线交抛物线于M,N两点，|MN|的最小

值为4.连接MO,NO并延长分别交G于/,B两点,且点/与点点2与点N均

不在同一象限，OMN与OAB的面积分别记为SOAB.

⑴求G和C。的方程；

（2）记彳=沁匕求力的最小值.

^AOAB

22

21.(2024•浙江绍兴•三模)设双曲线C：2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为

ab

x-3y=0,焦点到渐近线的距离为1.4，4分别为双曲线C的左、右顶点，直线/过

点7(2,0)交双曲线于点N,记直线加4，N4的斜率为左，k2.

(1)求双曲线C的方程；

⑵求证■为定值.

22

22.(2024・浙江•三模)已知双曲线「十方=1(“>0,"0)的实轴长为4,左、右焦点

分别为百、其中F?到其渐近线的距离为1.

(1)求双曲线「的标准方程：

(2)若点尸是双曲线「在第一象限的动点，双曲线r在点尸处的切线乙与X轴相交于点

T.

(i)证明：射线尸T是/与P8的角平分线；

(ii)过坐标原点。的直线4与4垂直，与直线尸耳相交于点Q,求△。片工面积的取值

范围.

23.(2024•甘肃张掖三模)已知双曲线E的渐近线为y=土当x,左顶点为人一班,0).

⑴求双曲线E的方程；

⑵直线=t交x轴于点D,过。点的直线交双曲线E于8,C,直线A3,AC分别

交/于G,H,若。，A,G,//均在圆P上，

□求的GAOH的值，并求点D的横坐标；

□求圆P面积的取值范围

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2024•新高考□卷，

椭圆的标准方程

16(1)

2022•新高考□卷，

双曲线中的双斜率

21(1)

2023•新高考□卷，

抛物线的轨迹方程

22(1)

2022•新高考□卷，

21(1)

双曲线的标准方程

2023•新高考□卷，

1.高考对圆锥曲线综合的考

21(1)

查，重点是直线与圆锥曲线关

椭圆中的弦长公式、三角形2024•新高考□卷，

系中的求弦长、面积及弦中

面积16(2)

点、定点、定值、参数取值范

2024•新高考□卷，

围和最值等问题。双曲线与数列的综合知识

19

双曲线中的弦长公式、三角2022•新高考□卷，

形面积21(2)

2023•新高考口卷，

抛物线中的弦长公式

22(2)

2022•新高考□卷，

双曲线中的斜率问题

21(2)

2023•新高考□卷，

双曲线中的定直线问题

21(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了椭圆的标准方程、弦长公式，注重的是基础公式和

计算能力，难度适中。口卷考查了直线与双曲线、数列知识的交汇，综合能力要求较

高，难度较难。但是每问的设计是环环相扣的，可以从第一问的设问中找到第二问的

求解思路。圆锥曲线综合是高考数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。

每年高考卷的必考题，一般是两小一大，是以课程学习情境与探索创新情境为主，注

重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑

思维能力。预计2025年高考还是主要考查圆锥曲线中的弦长、三角形(四边形)面

积、定值定点问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考□卷T6)已知AQ3)和「(3,|)为椭圆C：5+.=l(a>b>0)上两点.

(1)求C的离心率；

(2)若过尸的直线/交C于另一点比且上/记尸的面积为9,求/的方程.

【答案】⑴3

(2)直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

【分析】(D代入两点得到关于。涉的方程，解出即可；

(2)方法一：以|AP|为底，求出三角形的高，即点8到直线"的距离，再利用平行

线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到8点坐标，则得到直线/的方

程；方法二：同法一得到点8到直线AP的距离，再设网飞,为),根据点到直线距离和

点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点8到直线AP的距离，利用椭

圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线

y=kx+3,联立椭圆方程，得到点3坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首

先考虑直线尸B斜率不存在的情况，再设P3：y-；=Mx-3),利用弦长公式和点到直线

的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘!表达

面积即可.

'b=3

CfA29

【详解】(1)由题意得Q2，解得,"=，

2苴=1=12

[a2b2~

(2)法一：,_,_2_1，则直线AP的方程为＞=—x+3,即％+2＞一6=0,

KAP——

AP0-32

加小一3)2+(3一|1=芈，由⑴知C：1+g

1,

“2x912石

设点8到直线AP的距离为d,则^='，

则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移约5单位即可,

5

此时该平行线与椭圆的交点即为点B,

设该平行线的方程为：x+2y+C=0,

贝!1U兽=呼，解得C=6或C=T8,

A/55

兰+匚1fx=0卜=-

当C=6时，联立129一，解得。或

[尤+2>6=03=一3卜=一

即3(0,-3)或

当8(0,-3)时，此时勺=：,直线/的方程为了=尹-3,即3x-2y-6=0,

当-3,-11时，此时勺=；,直线/的方程为y=；x,

即x-2y=0f

工+汇=1

当C=-18时，联立＜:129得2y2-27y+117=0,

尤+2y-18=0

A=272-4x2x117=-207＜0,此时该直线与椭圆无交点.

综上直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,

点B到直线AP的距离d=坦叵，

|x0+2y0-6|_12^/5

-------7=------=-------%=一3

设网玉,%）,贝）小，5,解得_3或

尤;+火T

129

即川0,-3）或13,-£|，以下同法一.

法三：同法一得到直线AP的方程为无+2y-6=0,

点2到直线针的距离八上叵，

5

设网2次cos3sin。），其中同0,2兀），则有2二一$。+6sme-61_二』,

cos0=0

联立侬2。+$出2。=1,解得'

sin0=-1

sin8=——

2

即3（0,-3）或13,-£|,以下同法一；

法四：当直线A2的斜率不存在时，此时3（0,-3）,

133

s小三X6X3=9,符合题意，此时左=；，直线/的方程为＞=会-3,即

3x—2y—6=0,

当线AB的斜率存在时，设直线A3的方程为y=kx+3,

y=kx+3

联立椭圆方程有*V则（仅2+3）尤2+24Ax=09其中kwkAP,即kw—彳，

---1---=12

1129

_24A1

解得x=0或无="八0,ZwO,k^--,

4A:+32

-24k-12公+9一42%-12k2+9

令尤=则y=,贝”

4左2+34左2+34左2+3’4左2+3

同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,

点B到直线"的距离人苧

-24kc-12k2+9,

+2x——------6

则4严+34r+312小，解得左三，

5

此时«-3,-1,则得到此时&=g,直线/的方程为y=；x,即x-2y=0,

综上直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=O.

法五：当/的斜率不存在时，/：x=3,Bh,-1』尸B|=3,A至！）.距离1=3,

19

此时=5x3x3=,。9不满足条件.

3

当/的斜率存在时，设P8：y-]=%（尤-3）,令尸（芯,乂）,3（9,%）,

3

y二%（冗一3）+一

‘222，消）可得（4左2+3）%2-（24左2-424）x+36左2—36左一27=0,

—+—=1

〔129

2]

△=（24左2—12到一4（4左2+3）（36%2一36%—27）＞0,且左wg,即％N-于

24k2-12k

_--------------463E+9k+g

2

勺4V+322

,\PB\=yjk+1J（玉+x2）一例々=---

36^-36^-274二+3

勺2=-4-左-2-+--39---

A到直线PB距离2|q_1v4|2|_,

d=g'S"&右及场=9Q

i313

/或5，均满足题意，；」：y=5X或y=5“-3,即3x-2y-6=0或无-2y=0.

法六：当/的斜率不存在时，/"=3《3,_/，忸同=34到尸3距离4=3,

19

此时s的=]X3X3=》9不满足条件.

3

当直线/斜率存在时，设/：y=Hx-3）+/,

设/与y轴的交点为。，令尤=0,则。。,-3左+j,

一3

联立「一履一次+5,则有（3+4左2卜2一8左（3左一31x+36左2-36左一27=0,

3d+4y2=36I之）

一|]工+36左2-36左一27=0,

其中A=8左213左-4（3+4左2）（36/_36%-27）>0,且左片一；,

36/-36左-2712左2-124-9

-,

'3+4工，B3+4公

113

则S=]|AQ||4一乙|=耳3左+,号岩=9,解的4=1或％=:，经代入判别式验证均

满足题意.

13

贝!I直线/为y=]X或y=万％_3,即3%—2y_6=0或%—2y=0.

2.（2024新高考口卷19）已知双曲线C:%2—y2=应m>o）,点耳g,4）在C上,人为常

数，0＜左＜1.按照如下方式依次构造点e5=2,3,...),过匕―作斜率为左的直线与C的

左支交于点2一，令尸“为。a关于y轴的对称点，记2的坐标为(乙,％).

(1)若A=—,求々,〉2；

(2)证明：数歹U{%-％}是公比为界的等比数列；

(3)设S“为匕七用+2的面积,证明：对任意的正整数"，《=5用.

【答案】⑴尤2=3,必=。

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出乙的坐标即可;

(2)根据等比数列的定义即可验证结论；

(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S”的取值为与〃无关的定值

即可.思路二：使用等差数列工具，证明S”的取值为与〃无关的定值即可.

【详解】(1)

由已知有机=52-42=9,故C的方程为f-y2=9.

当"=，时，过出5,4)且斜率为J的直线为、=与，与x=y'g联立得到

2

x+3

=9.

2

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于片的交点为Q"-3,0）,该点显然在C的左

支上.

故£（3,0）,从而％=3,%=0.

（2）由于过月（%,%）且斜率为左的直线为y=Mx-%）+%,与/一y=9联立，得到

方程尤2-优（尤-尤,）+%）"=9.

展开即得（1一二卜2-2耳％-立“八一（％-履"）2-9=0,由于月（五,%）已经是直线

y=可了一天）+%和尤2-丁=9的公共点，故方程必有一根x=无”.

从而根据韦达定理，另一根x=2.｝7M=2如丁丁飞,相应的

券+下3-2”

y=k{x-x)+y=

nn\-k2

所以该直线与c的不同于p,的交点为2双,,而注意到Q

（I-k1-kJ

一(%*J9

的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故。“一定在C的左支上.

，4+北/20%+万"-2为“)

所以月+i

,1-k2\-k2y

x“+/%―2处屋-2kx“

这就得到x用

l-k2\-k2

%+2ky,y“+左2y“一2日“

所以x用-券+i

l-k2l-k2

x“+k\+2kx“_%+/%+2松=1+/+2%z_x=1+k^

l-k21一/一l-k2I"y',,~l-k

再由x；-靖=9,就知道为一户0,所以数列｛居一%｝是公比为甘的等比数列.

（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点若〃=（。,6）,

LW=（c,d）,则5（^=3阿-可・（若。，匕皿在同一条直线上，约定$5=。）

}smUV,UW=-1\uv\'\lJW^2

证明：SUVW=^JV\--cosUV,UW

2

/、2

uvuw222

=：|叫H=1^|[/v|•|cw|-(uv-uw^

7

二；J(〃2+\2)卜2+d2)-(ac+bd)2

=—7c^c1+c^d2+b2c2+b1d1-c^c1-b1^-labed

2

-[yJa2d2+b2c2—2abcd=gQ(ad-be?=^\ad-bc\.

证毕，回到原题.

x“+Hx「2ky“笫+左2%2七

由于上一小问已经得到无用

1-k21-k2

2_1+22

%+左%-2机yn+k2yn2kxn左左1-k

故加+%+i=旦+

1-k21-k21-k2l+k

再由x：-y：=9,就知道玉+y户0,所以数列｛怎+%｝是公比为公的等比数歹!J.

所以对任意的正整数"J都有

XX

nyn+m-ynn+m

；（（%〃%+加—笫/+〃,）+（%〃券+相—％%〃+加））一；（（乙当%笫+,"）一〃+加））

\\-k

(无“-%)(%+

211+左Z\1-K

//m\

(1-k\+k

21+Z1—k

而又有a+6=(-(%+1-％)，-3+1-％))，月+£+；=(%+2-％+1，笫+2-％+1)，

故利用前面已经证明的结论即得