2025高考数学题型专练：解答题组合练（b）专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题型专项练5解答题组合练(b)-专项训

练

1.已知正项等差数列｛布的前n项和为满足6s尸a〃a+i+2("CN*)0<2,

(1)求数列｛a„｝的通项公式；

(2)若6"=(-1)"炮(丽厩+1),记数列出“｝的前n项和为北,求四

2.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角

形的画法:先画等边三角形/BC,再分别以点4民C为圆心，线段长为半径画圆弧，便

得到莱洛三角形.如图，已知AB=2,0为BC中点，点P,Q分别在公,Q上,设/尸3C=N

ACQ=e.

⑴当时，求I而I;

⑵求丽•丽的取值范围.

3.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为

例,人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建最长

60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研

究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.

视频从业人员

Sora的应用情况合计

减少未减少

应用7075

没有应用15

合计100120

(1)根据所给数据完成上表,依据小概率值«=0.001的独立性检验，能否认为Sora的应用

与视频从业人员的减少有关？

(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至

第三轮培训达到“优秀”的概率分别为|弓力,每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员

工才能应用Sora.

①求员工经过培训能应用Sora的概率；

②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元;开展Sora培训后，能

应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元;Sora培训平均每人每年成本为

1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora

培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多

少人到其他部门？

2

_____-C)-_____其中bd

附：/(a+b)(c+d)(a+c)3+d)'火十

a0.0100.0050.001

6.6357.87910.828

4.定义:若椭圆C：^2+方=1(。>6>0)上的两个点/(犯了1)乃(》2,y2)满足，1^+丫；；2=0,则称

A,B为该椭圆的一个“共朝点对”，记作[4即已知椭圆C的一个焦点坐标为E(-2VX0),且

椭圆C过点/(3,1).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求“共枢点对”[4切中点B所在直线I的方程；

(3)设。为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且尸。〃。工,(2)中的直线/与椭圆C交于两点

S,4,且点Bi的纵坐标大于0,设四点BI,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列.证明:四边形

ByPB.Q的面积小于8V3.

5.已知函数/(x)=Q(x2-x)-lnx(a£R).

(1)讨论函数段)的单调性;

⑵证明:当X>1时，誓>耍.

InxxL-x

题型专项练5解答题组合练(B)答案

1.解(1)设等差数列｛斯｝的公差为4则由6sz=为5+1+2,得6y-1=斯-1%+2(〃22),

相减得6(5〃-8加1)=斯(诙+1-4〃.1),

即6%=%2"(〃22).

又恁>0,所以d=3.

由6s1=的乜2+2,得6。1="(。1+3)+2,

解得〃i=l(〃i=2舍去)，

由a〃=4i+(〃-l)d,得an=3n-2.

wn

(2)bn=(-1)lg(aw-tz«+i)=(-1)(lg斯+lg斯+1),

八3=4+岳+左+…+Z>33=-lgQl-lg&+lgz+lg〃3-lge-lg…-lgQ33-lgQ34=」g〃34=」g

100=-2.

2.解⑴当党时,AP与CQ交于点M连接。。,。尸,则ZQMP=ZBMC=^-,BM=^==

2A/3A/门,/八。2V3

—MP=MQ=2--

所以QP=b(2-婴)=2遍-2,即|而|=2jW-2.

(2)0P-OQ=(OB+~BPy(OC+CQ)=-｝+OB-CQ+JP-OC+BP-CQ=-l+2cos(^-0+2cos

(9+2x2x)-1)

=2(^cos6+fsin6)+2cos0-3=V3sin(9+3cos(9-3=2V3sin(<9+^)-3,i9G[0,^],

因为叫e碎,争，故sin(%)e停1],则诃.丽e[0,2A/3-3],即亦丽的取值范围是

[0,2V3-3].

3.解(1)依题意,2x2列联表如下.

视频从业人员

Sora的应用情况合计

减少未减少

应用70575

没有应用301545

合计10020120

零假设Ho：Sora的应用与视频从业人员的减少无关，

由列联表中数据得，/=嗤舞黑答=^=14.4>lO.828=xo.ooi,

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断见不成立，即认为Sora的应用与视频从业人

员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.

(2)①设4="员工第i轮获得优秀”0=1,2,3),且4相互独立，

设8=“员工经过培训能应用Sora”,

贝IP(B)=P(AlA2A3)+P(A1A2A3)+P(A!A2A3)+P(AI^2X3)=|xx1xx|+1xx|+

2121

3232’

故员工经过培训能应用Sora的概率是去

②设视频部调x人至其他部门,xGN立为培训后视频部能应用Sora的人数，则不/(100-

因此£(才)=詈，

调整后视频部的年利润为若xio+(l-|)(l00-x)x6-(100-x)=(700-7x)(万元)，

令700-7x2100x6,解得x(一句4.3,又xGN,所以Xmax=14.

因此，视频部最多可以调14人到其他部门.

4.(1)解依题意，椭圆C:，+，=l(a>6>0)的另一焦点为尸2(2鱼,0),

因此2a=|/尸1|+|46|=J(3+2V2)2+I2+J(3-2&)2+12=(2g+返)+(2次一

V6)=4V3,

I22

于是。=2旧力=、(2百)2一(2/)2=2,所以椭圆。的标准方程为三+一=1.

y124

22

(2)解设“共轲点对”[/,切中点B的坐标为3(x,y),由⑴知，点/(3,1)在椭圆。三+一=1上,

124

依题意，直线I的方程为工+台0,整理得x+y=O,所以直线I的方程为x+y=O.

(3)证明由(2)知，直线l-.x+y=O,

cy=・％,=-A/3,或=V3,

由[x2+3y2=12,解得

ly=V3[y=-V3,

则2g诉,

如图，设点P(xp9yp)9Q(XQ9yo),

(年现=1

45

则2两式相减得空组旦皿+空细"12@=o,

时改=1124

1124'

又「。〃。4于是"1

Xp-XQ3'

则抄+70=_(%尸+%0),有yp；yQ=_%p；%Q,线段尸。被直线i平分，

设点尸到直线x+y=O的距离为d,

则四边形B1PB2Q的面积s四边形BIPB2Q=2SAPBIB2=2XN囱砌xd,

而向民|=](-百-75)2+(V3+8)2=2述,则有5四边形空2?2(2=2乃4

设过点尸且与直线/平行的直线/i的方程为x+y=/«，则当/i与C相切时，〃取得最大值,

rx+y=m,

由)比2y2消去〉得4--6加x+3(能2-4)=0,

1(-12-1--4=1,'

令4=36加2_48(m2_4)=0,解得m=J54,

当m=±4时，此时方程为4d壬24x+36=0,即(x壬3)2=0,解得x=±3,

则此时点P或点。必有一个和点4(3,1)重合，不符合条件尸0〃。4,从而直线/i与。不可

能相切，即d小于平行直线x+y=O和x+y=4(或x+y=-4)的距离3=2近，

所以S四边形%p&Q=2代d<2述X2V2=8A/3.

5.(1)解函数次x)的定义域为(0,+8)/(%)=矶2'-1)-=

令g(x)=2ax2-ax-l.

①当a=0时,8@)=-1<0/@)=用<0,故於)在(0,+8)内单调递减;

②当中0时,g(x)为二次函数,/=/+8a

若/W0,即-8W。<0,则g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)W0,所以/(%)<0,故人的在

(0,+8)内单调递减；

若4>0,即a<-8或a>0.

a-ya2+8aa+Va2+8a

令g(x)=0,得xi4a

当a<-8时,g(x)图象为开口向下的抛物线,0<X2<xi,

所以当XG(0M2)或xG(xi,+co)时,g(x)<0,

所以八%)<0人x)单调递减；

当xeSr)时,g(x)>0,所以/(x)>0/)单调递增；

当«>0时,g(X)图象为开口向上的抛物线,X1<O<X2,

所以当x@(0眼)时,g(x)W0,所以/(x)〈0,故人x)单调递减；

当XG(X2,+o