2025高考数学一轮复习 第九章 计数原理、统计与概率之随机事件、频率与概率

第04讲随机事件、频率与概率

（3类核心考点精讲精练）

12.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

抽样比、样本总量、各层总数、分步乘法计数原理及简单应用

2023年新II卷，第3题,5分

总体容量的计算实际问题中的组合计数问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解随机事件的定义

2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件

3.理解频率与概率的意义

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算

一起考查，需强化概念理解

EIN•考点梳理

知识讲解

i.事件的分类

必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件

确定事件

不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件

随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事里A（或A三

包含关系

件A包含于事件8）B）

相等关系若22A且4=3

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与4口2(或&+

并事件（和事件）

事件B的并事件（或和事件）B)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生,则称此事件为事件A

交事件（积事件）

与事件B的交事件（或积事件）

互斥事件若AC8为不可能事件，则称事件A与事件8互斥AHB=0

Anj5=0；

若为不可能事件，AU8为必然事件，那么称事件A与事件B互为P(AUB)=

对立事件

对立事件P(A)+P(B)

二1

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有

一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.

3.频率与概率

（1）在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中事件A出现的次数“A为事件

A出现的频数，称事件A出现的比例为（4）=皆为事件A出现的频率.

（2）对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率%（A）稳定在某个常数上，把这个

常数记作P（A）,称为事件A的概率，简称为A的概率.

考点一、事件的判断

典例引领

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生

【答案】B

【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解.

【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，

故选：B.

2

2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压

下，水在PC结冰；④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有（）

A.①②B.①④C,①③④D.②④

【答案】B

【分析】根据事件的知识求得正确答案.

【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.

故选：B

即时悒测

1.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）抛掷一块石子，下落；.

（2）在标准大气压下且温度低于0回时，冰融化；

（3）某人射击一次，中靶；

（4）如果那么。一6>0；

（5）掷两枚硬币，均出现反面；

（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；

（7）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；

（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

（9）绿叶植物，不会光合作用；

（10）在常温下，焊锡熔化；

（11）若。为实数,则同“；

（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；

其中必然事件有;不可能事件有;随机事件有

【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）

【分析】由必然事件，不可能事件以及随机事件的概念逐一判断即可.

【详解】。）抛掷一块石子，下落，是必然事件；

（2）在标准大气压下且温度低于0回时，冰不可能融化，是不可能事件；

（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；

（4）如果那么。-。>0必然成立，是必然事件；

（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；

（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12,所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；

（7）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件；

（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；

（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；

3

（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；

（11）若。为实数，则同2。必然成立，是必然事件；

（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；

故答案为:⑴、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）

考点二、事件的关系和运算

典例引领

1.（2024・重庆•模拟预测）对于两个事件A,2,则事件A3表示的含义是（）

A.A与8同时发生B.A与8有且仅有一个发生

C.A与3至少一个发生D.A与8不能同时发生

【答案】C

【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案.

【详解】由A3表示的是A与8中至少一个发生.

故选：C.

2.（2023・四川宜宾•三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数"，事件2表

示“骰子向上的点数为偶数"，事件3表示“骰子向上的点数大于3",事件4表示“骰子向上的点数小于3"则

（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

【详解】由题可知，事件1可表示为：A={1,3,5},事件2可表示为：5={2,4,6）,

事件3可表示为：C={4,5,6},事件4可表示为：。={1,2},

因为AC={5},所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为AcB为不可能事件，A3为必然事件，

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为3C={4,6},所以事件2与事件3不互斥，C错误;

因为Cc。为不可能事件，CuD不为必然事件，

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；

故选：B.

3.（21-22高一下•河南安阳,期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全

不是次品"，事件3为“三件产品全是次品"，事件C为“三件产品不全是次品"，事件。为"第一件是次品"则

下列结论正确的是（）

4

A.8与。相互独立B.8与C相互对立

C.AcDD.AcC=0

【答案】B

【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.

【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，

8为三件全是次品，

C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，

。为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.

由此可知A与3是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，B与C对立

故选:B.

4.（21-22高一下•全国•开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3

件产品，设事件A"3件产品都是次品"，事件至少有1件是次品"，事件C"至少有1件是正品"，则下列

结论正确的是（）

A.A与C为对立事件B.8与C不是互斥事件

C.AB=AD,P（3）+尸（C）=l

【答案】ABC

【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.

【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正

品，3件产品都是正品.

事件8的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

事件C的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.

A与C为对立事件，故A正确；

3cC={2件次品1件正品，1件次品2件正品},则B与C不是互斥事件，故B正确；

AcB,;.Ac~\B=A,故C正确；

由上知尸（3）+尸（C）>1,故D错误.

故选：ABC

5.（2024•河北沧州•一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科

技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A:只参加科技游艺活动；事件8：至少参加两种科普活

动；事件C：只参加一种科普活动；事件D:一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，

则下列说法正确的是（）

A.A与D是互斥事件B.8与E是对立事件

C.E=C<JDD.A=Cc\E

【答案】ABC

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.

【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A：只参加科技游艺活动，

5

与事件。：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；

对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件8和事件E满足两个特点，故B正确；

对C：CuO表示：至多参加一种科普活动，即为事件E,故C正确；

对D：CE表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.

故选：ABC

即时检测

1.（24-25高三上•江苏南通・阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒

子里随机取2个球.记事件至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（）

A.M+N=NB.MN=N

C.M与N互斥D.M与N独立

【答案】B

【分析】根据事件至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件N：

一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解N发生，M一定发生，M发生，N不一定发生即可判断和

事件，积事件，互斥关系，独立关系.

【详解】解：现从盒子里随机取2个球.记事件至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个

白球，有两个红球；

A.M+N=M,故选项错误，不符合题意；

B.MN=N,故选项正确，符合题意；

C.QMN=N,故M与N不互斥，故选项错误，不符合题意；

D.QMN=N,即N发生，M一定发生，M发生，N不一定发生，故”与N不独立，故选项错误，不符

合题意；

故选：B.

2.（2023•四川内江•三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A.事件"两次均击中"与事件"至少一次击中"互为对立事件

B.事件“第一次击中"与事件"第二次击中"为互斥事件

C.事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"互为对立事件

D.事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件

【答案】D

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.

【详解】一个人连续射击2次，其可能结果为击中0次，击中1次，击中2次，

其中“至少一次击中"包括击中一次和击中两次，

事件"两次均击中"包含于事件"至少一次击中"，故A错误；

事件“第一次击中"包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，

事件“第二次击中"包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；

6

事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"可以同时发生，故C错误；

事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件，故D正确；

故选：D

3.（2023•广西柳州•模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不

对立的两个事件是（）

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

【答案】D

【分析】总的可能的结果为"两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治"，然后写出各个事件包含的事件，

结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.

【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，

可能的结果有："两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治"，

“至少有一本政治”包含事件：“两本政治"，"一本数学一本政治”.

对于A,事件“至少有一本政治"与事件"都是数学”是对立事件，故A错误；

对于B,事件“至少有一本政治"包含事件"都是政治"，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；

对于C,事件“至少有一本数学"包含事件："两本数学"，"一本数学一本政治"，因此两个事件都包含事件"一

本数学一本政治"，不是互斥事件，故C错误；

对于D,“恰有1本政治"表示事件"一本数学一本政治"，与事件"恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，

故D正确.

故选:D.

4.（2024・全国•模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记"点数之和为5”是事件A,"点数之和为

4的倍数”是事件8,贝|（）

A.A+5为不可能事件B.A与B为互斥事件

C.为必然事件D.A与B为对立事件

【答案】B

【分析】利用事件的基本关系判断即可.

【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

"点数之和为5"是事件A有（L4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,共有4种情况;

“点数之和为4的倍数"是事件B有。,3）,（3,1）,（2,2）,（2,6）,（6,2卜（3,5）,（5,3）,（4,4）,（6,6）,共有9种情况；

对于选项A:A+B表示"点数之和为5或是4的倍数”，不是不可能事件.故A错误；

对于选项B：A与2不可能同时发生.故B正确；

对于选项C：A3表示"点数之和为5且是4的倍数"，是不可能事件，故C错误；

对于选项D：A与B不能包含全部基本事件，故D错误.

故选:B.

5.（23-24高二上•四川攀枝花•期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A为"第一次中靶"，事件8为

“至少一次中靶"，事件C为"至多一次中靶"，事件。为"两次都没中靶”.下列说法正确的是（）

7

A.AB=AB.8与C是互斥事件

C.CD=QD.B与。是互斥事件，且是对立事件

【答案】AD

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.

【详解】由题意可知，事件。为"第一次中靶且第二次没有中靶'“'第一次没有中靶且第二次中靶""两次都中

靶”"两次都没有中靶”；

事件B为“至少一次中靶"，即"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都中靶”;

事件C为"至多一次中靶〃，即“第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都没有

中靶"；

事件。为"两次都没中靶”；

故AB=A,8与C不是互斥事件，8与。是互斥事件，且是对立事件，C0*0.

故选:：AD.

考点三、频率与概率

典例引领

1.（2022•山东威海•三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评

价.甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站8查到共有1260人参与评价，其

中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根据已知数据直接计算可得.

【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为84°*95%+1260*85%=89%

840+1260

故选：B.

2.（22-23高二上•湖北武汉•期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，

发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.55,0.55B.0.55,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.55

【答案】B

【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，

440

那么出现正面朝上的频率为—^=0.55,

X。。

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是:，

8

故出现正面朝上的概率为1=0.5,

故选：B.

3.（2021•全国•模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温

（单位：回）有关.如果最高气温不低于25回，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20℃,25℃）,需求

量为300瓶；如果最高气温低于20回，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份

各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数45253818

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过尤

瓶的概率估计值为0.1，则x=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【分析】根据频数分布表确定概率

【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于250,

由表格数据知，最高气温低于25回的频率为备4+5=0.1,

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.L

故选：B.

即时检测

1.（23-24高二上•四川达州•阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件

A,则事件A出现的概率为一.

【答案】1/0.5

【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.

43

【详解】由题意可知事件A出现的频率为嬴，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，

80

由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为1,

故答案为：~

2

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝•期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3

局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机

产生：T5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了

如下20组随机数：

9

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

【答案】0.65

【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.

【详解】20组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13组数据表示甲获得冠军,

故估计甲获得冠军的概率为=0.65.

故答案为：0.65

3.（2023•陕西西安•模拟预测）在一个口袋中放有机个白球和〃个红球，这些球除颜色外都相同，某班50

名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次,

以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一位小

数）

【答案】0.7

【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.

【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，

所以摸到红球概率的估计值为端》0.7.

故答案为：0.7

IA.好题冲关

基础过关

1.（22-23高二下•湖北荆州•阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次

试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.56,0.56B.0.56,0.5

C.0.5,0.5D.0.5,0.56

【答案】B

【分析】根据频率和概率的定义求解.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，

那么出现正面朝上的频率为意=0.56,

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是

2

故出现正面朝上的概率为1=0.5.

2

10

故选:B.

2.（24-25高三上•重庆•开学考试）某池塘中饲养了48两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀

分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品

种A约有（）

采样点品种A品种B

东209

南73

西178

A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾

【答案】C

【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.

【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，

20+7+1711

所以品种A约所占比为:

20+7+17+9+3+8-正

所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有77义20”13尾，

16

故选：C

3.（23-24高二上•广东清远•阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为1.②如果某种彩票的中奖概率为七，

那么买10张这种彩票一定能中奖.③某事件的概率为1.1.④互斥事件一定是对立事件.其中正确的说法

是（）

A.①②③④B.①C.③④D.①④

【答案】B

【分析】由必然事件的概念即可判断①；根据互斥事件概率的计算公式即可判断②；由随机事件概率的性

质即可判断③；根据互斥事件和对立事件的区别与联系即可判断④；

【详解】根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故①正确；

根据随机事件的概率可知，买io张这种彩票也会有［1的可能性不中奖，所以②错误；

根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为［0,1］,即③错误；

互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生其他情况，

所以互斥事件不一定是对立事件，即④错误；

故选：B

4.（23-24高二上•河南信阳•阶段练习）同时掷两枚硬币，"向上的面都是正面"为事件A,"向上的面至少有

一枚是正面"为事件8,则有（）

A.A=BB.A^BC.A^BD.A与8之间没有关系

11

【答案】c

【分析】根据题意，结合列举法求得事件A和事件B,进而得到两事件的关系，得到答案.

【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为。=｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝,

其中事件A=｛（正，正）｝,事件3=｛（正，正），（正，反），（反，正）｝,

所以AuB.

故选：C.

5.（2023・山东•模拟预测）已知事件A,B满足P（A）=Q5,P（B）=0.2,则（）

A.若8=A,则尸（AB）=0.5

B.若A与B互斥，则P（A+B）=0.7

C.若A与B相互独立，贝”（瓦§）=0.9

D.若P（B|A）=0.2,则A与B不相互独立

【答案】B

【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,若8=4,贝1」尸（9）=尸（3）=0.2,所以A错误；

对于B,若A与B互斥，则尸（A+3）=P（A）+P（3）=0.7,所以B正确；

对于C,若A与B相互独立，可得可与后相互独立，

所以尸（而）=P（A）-P（B）=（1-0.5）（l-0.2）=0.4,所以C错误；

对于D,由P（B|A）=0.2,可得「（3|A）=^^=^^=0.2,

所以P（A3）=0.1,所以P（A3）=P（A）P（B）,所以A与8相互独立，所以D错误.

故选：B.

6.（23-24高二下•上海•期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是0.01%,则这件事.

发生（填"必然"、"可能"或"不可能"）.

【答案】可能

【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果.

【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是0.01%,

表示刮出500元的可能性是0.01%,所以这件事可能发生.

故答案为：可能

7.（22-23高三上•河南郑州•阶段练习）有下列事件：

①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；

②实数的绝对值不小于零；

③某彩票中奖的概率为正篇，则买100000张这种彩票一定能中奖；

12

④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.

其中必然事件是.

【答案】②

【分析】根据必然事件一定会发生逐个判断即可

【详解】因为在标准大气压下，水加热到100国才会沸腾，所以①不是必然事件；

因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；

因为某彩票中奖的概率为舄后，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必

然事件；

抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件

故答案为：②

8.（2020高三・全国・专题练习）"键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在

网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对"键盘侠"的认可程度进行调查：在随机抽取的

50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠"持反对

态度的有人.

【答案】6912

【解析】计算出对“键盘侠"持反对态度的频率，由此计算出该地区对“键盘侠"持反对态度的人数.

【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1-5=1|,则可估计该地区对“键盘侠"持反对态度

18

的有9600、石=6912（人）.

故答案为：6912

【点睛】本小题主要考查利用频率进行估计，属于基础题.

9.（2023•全国•模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别

的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个

白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数

吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了"是"，48人回答了

"否则问题二"考试是否做过弊"回答"是"的百分比为（以100人的频率估计概率）.

【答案】54%/0.54

【分析】计算出摸到黑球且回答"是"的人数，可求得摸到白球且回答"是"的人数，即可求得结果.

【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5,

所以，100人中回答第一个问题的人数为100x0.5=50,则另外50人回答了第二个问题，

11

在摸到黑球的前提下，回答"是"的概率为T，即摸到黑球且回答"是"的人数为50X彳=25,

22

则摸到白球且回答"是"的人数为52-25=27,

27

所以，问题二"考试是否做过弊"且回答"是"的百分比为二=0.54=54%.

13

故答案为：54%.

10.（22-23高一下•全国•课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记"向上的点数是4或5或6"为事件A,"向

上的点数是1或2"为事件"向上的点数是1或2或3或4"为事件C,"向上的点数大于3”为事件O,则

下列结论正确的是.（填序号）①A与8是互斥事件，但不是对立事件；②BgC；③A与C是互斥

事件；@A=D.

【答案】①②④

【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.

【详解】试验的样本空间O={123,4,5,6},

根据题意，A={4,5,6},3={1,2},C={1,2,3,4},。={4,5,6}.

因为AB=0,AuB={l,2,4,5,6}^Q,所以A与8是互斥事件，但不是对立事件，故①正确；

因为B={1,2},C={1,2,3,4},所以8=故②正确；

因为AC={4},所以A与C不是互斥事件，故③错误；

因为A={4,5,6},£>={4,5,6},所以A=O,故④正确.

故答案为：①②④.

能力提升

.___________

1.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如

果最高气温不低于25。（3,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20。（2,25。。内，需求量为300瓶；如果

最高气温低于2（FC,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温

数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数36253818

将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过尤

瓶的概率估计值为0.1，则彳=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【详解】命题意图本题考查用样本频率估计总体的概率.

解析由表格数据知，最高气温低于25。（3的频率为鬻=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300

瓶的概率估计值为0.1.

2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设人={2名全是男生},B={2名全是女生},

C={恰有一名男生},。={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（）

A.A=DB.B£）=0C.AVJC=DD.AUB=BUD

14

【答案】D

【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，则AuC=。，可判断A,C;事

件8与〃是互斥事件，判断B;AB表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示至少有一名男生,

由此判断D.

【详解】至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A=AVJC=D,

故A,C正确；

事件8与。是互斥事件，故BD=0,故B正确，

A8表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示2名全是女生或名至少有一名男生，

故AuB/Bu。，D错误，

故选：D.

3.（23-24高二上•四川遂宁•阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为其中

i=l,2,3,4,5,6；R="点数不大于2",2="点数大于2",2="点数大于4”下列结论是判断错误的是（）

与互斥

A.GB.£>,uZ>2=Q,DXD2=0

c.D3^D2D.C2,C3为对立事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD,由事件的运算判断B,由事件间关系判断C.

【详解】由题意G与C?不可能同时发生，它们互斥，A正确；

2中点数为1或2,2中点数为3,4,5或6,因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此。3

为不可能事件，B正确；

2发生时，2一定发生，但2发生时，2可能不发生，因此C正确；

与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；

故选：D.

4.（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件以没投中为事件C,用频率估计

概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）

A.尸（A）=0.55B.P（B）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（B+C）=0.55

【答案】ABC

【分析】求出事件42的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.

551Q

【详解】依题意，P（A）=—=0.55,P（B）=—=0.18,

显然事件A,B互斥,P（C）=l-P（A+B）=l-P（A）-P（B）=0.27,

15

事件8,C互斥，贝!JP（3+C）=P（B）+P（C）=0.45,

于是得选项A,B,C都正确，选项D不正确.

故选：ABC.

5.（2024・云南昆明•三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件A8,C发生的概率满足

P（A）=P（B）=P（C）=1,P（A8）=1,A与C互斥，则下列说法正确的是（）

A.P（AC）=1B.A与8相互独立

1Q

C.P（ABC）=-D.P（AJBUC）＜-

【答案】ABD

【分析】A选项，根据互斥得到P（AC）=0,P（AC）=P（A）-P（AC）=1；B选项，根据

P（AuB）=P（A）+P（B）—尸（AcB）求出P（AcB）=；,故P（Ac3）=P（A）P（B）,B正确；C选项，A与C

QQ

互斥,故AB与C互斥，故C正确；D选项，根据尸（Au3uC）=§-尸（2C）W§求出D正确.

【详解】A选项，A与C互斥，故AcC=0,P（AC）=0,则「包含事件A,故尸（A。）=P（A）=g,A正

确；

B选项，P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）,

即:+gp（Acg）=|,故尸（ACB”）

故P（Ac3）=P（A）P⑻,A与B相互独立,B正确;

C选项，A与C互斥，故A3与C互斥，故P（ABC）=P［（A3）cC］=0,C错误；

D选项,P（AuBuC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

33333'"9'"

QQ

因为P（3C）20,^P（AuBoC）=--P（BC）＜-,D正确.

故选:ABD

真题感知

一、单选题

1.（重庆•高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

1251201