2025高考数学一轮复习：双曲线方程及其性质（学生版）

第05讲双曲线方程及其性质

（6类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无

由递推关系证明等比数列

2024年新II卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标

向量夹角的坐标表示

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

2023年新I卷，第16题,5分无

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

直线的点斜式方程及辨析

2023年新II卷,第21题,12分根据.、b、c求双曲线的标准方程

双曲线中的定直线问题

求双曲线中三角形（四边形）的

2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程面积问题

根据韦达定理求参数

求双曲线中的弦长

由中点弦坐标或中点弦方程、

2022年新II卷,第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程

斜率求参数

根据韦达定理求参数

双曲线中的轨迹方程

2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程

双曲线中的定值问题

由双曲线的离心率求参数的取

2021年新新卷,第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程

值范围

二元二次方程表示的曲线与圆

判断方程是否表示双曲线

2020年新I卷，第9题,5分的关系

判断方程是否表示椭圆

二元二次方程表示的曲线与圆

判断方程是否表示双曲线

2020年新II卷，第10题,5分的关系

判断方程是否表示椭圆

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算

3.能熟练计算双曲线的离心率

4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用

5.会求双曲线中的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解,

需重点强化训练

12•考点梳理

考点3双曲线的几何性质

核心考点考点4双曲线的离心率

考点5双曲线中的最值问题

考点6双曲线的简单应用

知识讲解

1.双曲线的定义

平面上一动点w（x,y倒两定点双-c,0）,乙（G0的距离的差的绝对值

为定值2a（且小于耳闾=2c%勺点的轨迹叫做双曲线

这两个定点耳，鸟叫做双曲线的焦点两焦点的距网耳闾叫做双曲线的焦距

2.数学表达式:

2

M月I-M闻=2a<|耳阊=2c

3.双曲线的标准方程

焦点在x轴上的标准方程焦点在y轴上的标准方程

4.双曲线中。，b,c的基本关系

(c2=a2+b2)

5.双曲线的几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

于

B|z

图形

2222

标准方程号一%=>(^>0,/?>0)号-a=1(a>0,b>0)

x<—a^x:>ay<一。或y>a

范围

yeRxwR

A(—。,0),(62,0)4(0,—a),A2(0,ci)

顶点坐标

B2(0,b)B](-b,0),B2(b,0)

实轴|4阕=2。实轴长，,。=应。|=。实半轴长

3

虚轴悔封=2万虚轴长，内a=忸2a=人虚半轴长

焦点片(―c,0),

F2(C,Q)4(0,—c),F2(0,C)

焦距困司=2c焦距，山a=|耳a=c半焦距

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为（0,0）

丁=±，

渐近线方程y=+—x

ab

C/、、

e=—(e>1)

a

离心率

aaa\a)\\aJ

离心率对双曲线的影e越大，双曲线开口越阔

响e越小，双曲线开口越窄

6.离心率与渐近线夹角的关系

1

e=------

COStt

7.通径：

（同椭圆）

2b2

通径长：=—,

半通径长：|町|=加团=怛工|=上用=了

8.双曲线的焦点到渐近线的距离为匕

考点一、双曲线的定义及其应用

典例引领

22

1.（2024•河北邢台•二模）若点尸是双曲线C：上一2L=1上一点，月，F?分别为C的左、右焦点，则"|尸制=8"

169

是1尸闾=16"的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

2.（2023•全国•模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为环月，过^的直线交双曲线左支于48两点，且

|AB|=5,若双曲线的实轴长为8,那么8的周长是（）

4

A.5B.16C.21D.26

3.（2024高三•全国•专题练习）若动点PQ,y）满足方程J（尤+2）2+「一/"一2）2+r=3,则动点P的轨迹

方程为（）

1.（2024・陕西榆林•模拟预测）设6，F,是双曲线C:反-仁=1的左，右焦点，过K的直线与y轴和c的右

48

支分别交于点。Q,若尸是正三角形，贝力尸£1=（）

A.2B.4C.8D.16

22

2.（23-24高三下•山东青岛•阶段练习）双曲线=-匕=l（a>0）的两个焦点分别是K与歹2,焦距为8;M是

a12

双曲线上的一点，且|加耳1=5,则|力㈣卜.

3.（23-24高二上•四川凉山•期末）已知点M（2,0）,N（-2,0）,动点尸满足条件|尸河|-|例|=2,则动点尸的

轨迹方程为（）

A.3—丁=1（彳2石）B.=l^x<-V3）

C.x2--^-=l（x>l）D.x2-^1-=l（x<-l）

考点二、双曲线的标准方程

典例引领

22

1.（2024高三下•全国•专题练习）双曲线方程为网三+&=1,则k的取值范围是（）

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.—2vk<2或k>5

2.（2023高三上•湖北孝感・专题练习）过点（2,2）且与椭圆9/+3丁=27有相同焦点的双曲线方程为（）

A/B丁Lc/产TD/丁一1

68682424

3.（22-23高二下•甘肃武威•开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）〃=4,经过点A[1,胆];

5

（2）焦点y轴上，且过点卜,-40）

即时检测

22

1.（23-24高三上•河北张家口•开学考试）"左＞2"是"」----J=1表示双曲线”的（）.

k+1k-2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•辽宁•二模）己知双曲线C：/-丁=；1（；170）的焦点为（0,±2）,则C的方程为（）

A.x2-y2=lB.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-%2=2

3.（2022高三・全国・专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点尸（3,26），。卜6亚，7）,求该双曲

线的标准方程.

考点三、双曲线的几何性质

典例引领

1.（2024•福建福州•模拟预测）以〉=±3犬为渐近线的双曲线可以是（）

C.尤2=1D.=1

39

22

2.（2024•广西柳州•模拟预测）双曲线二一L=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.75B.4C.号D.20

22

3.（2024•河南新乡•三模）双曲线石:4------。=1的实轴长为4,则。=_______.

a+〃+22〃+3

4.（2024•湖南益阳•模拟预测）已知双曲线£一£=1（机＞0,〃＞0）与椭圆《+二=1有相同的焦点，则3

mn43mn

的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

2

5.（2022•福建三明•模拟预测）已知双曲线G：f+上=1（7什0）与共焦点，则G的渐近线方

m

程为（）.

A.x±y=0B.yf2x±y=0C.尤±"y=0D.瓜土y=0

6

6.（2024・贵州•模拟预测）我们把离心率为®1的双曲线称为〃黄金双曲线〃.已知〃黄金双曲线〃

2

C:-夫=13>0）,则。的虚轴长为________

b

即时性测

1.（24-25高三上•江苏南通•开学考试）过点尸（2,3）的等轴双曲线的方程为.

2

2.（2024•安徽合肥•一模）双曲线C:尤2一2=1的焦距为%则C的渐近线方程为（）

A.y=±\/15xB.y=±yfix

_.V15一包

Cr.y—±xDn.y—±--x

153

3.（23-24高三上•河南漠河•期末）已知双曲线C:nvc-y12=34Km>0）的一条渐近线方程为如+、Qy=0,贝"C

的焦距为.

22

4.（24-25高三上•山东泰安•开学考试）若双曲线1r一方=1（〃>0,6>0）的一个焦点以5,0）,一条渐近线方

程为y=~x，则a+b=______.

4

2222

5.（2024•河南新乡,模拟预测）（多选）已知。>0,6>0,则双曲线C］：J-A=1与C,:=4有相同的

abab

（）

A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线

考点四、双曲线的离心率

典例引领

1.（2023•北京•高考真题）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为及，则C的方程为.

2.（2024・上海•高考真题）三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲

线的离心率为.

3.（2024•全国•高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,T）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲

线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.&

尤2y2b

4.（2022•浙江•高考真题）已知双曲线3—2r二人〃〉。/〉。）的左焦点为尸，过尸且斜率为丁的直线交双曲

ab4〃

线于点交双曲线的渐近线于点3伍，%）且玉<0<%.若|EB|二3|E4|,则双曲线的离心率

7

是.

5.（2022・全国•高考真题）双曲线C的两个焦点为片,鸟，以C的实轴为直径的圆记为。，过K作。的切线

3

与C交于M,N两点，且cos/4M=,,则C的离心率为（）

A逐2c屈D而

A.RD.L.---L）.---

2222

22

6.（2024•广东江苏•高考真题）设双曲线C:二-当=1（。>0,6>0）的左右焦点分别为可、耳，过F?作平行于

ab

y轴的直线交C于A,8两点，若|£A|=13,|A8|=10,则C的离心率为.

即时检测

22

1.（2024•河南周口•模拟预测）已知双曲线C:二-当=l（a>0,b>0）的焦距与其虚轴长之比为3：2,则C的

ab

离心率为（）

A.45B.述C.35D.8

552

2.（2024•四川成都•模拟预测）双曲线C:反-丁=1（m>0）的一条渐近线为氐+畋=0,则其离心率为（）.

m

A2A/3r76「Mn2新

3333

V?I"2571

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）己知双曲线讶-1r=1（。>0]>0）的一条渐近线的倾斜角为不，则此双曲

线的离心率为（）

A.y/2B.y/3C.2D.75

22

4.（2024•山东•模拟预测）已知双曲线E：》一方=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为K，F2,过F2的直

线与E的右支交于A,8两点，且忸闾=2|A6若物.钻=0,则双曲线E的离心率为（）

AGR后C26D所

A.LJ.------------L/.---

333

22

5.（2024•福建泉州•一模）。为坐标原点，双曲线E:鼻-2=1（。>0,匕>0）的左焦点为耳，点尸在E上，直

ab

线尸片与直线版+ay=0相交于点^\PM\=\MF^=7\MC\,则E的离心率为.

考点五、双曲线中的最值问题

8

典例引领

1.（22-23高三上•湖北黄冈•阶段练习）P为双曲线X?-V=［左支上任意一点,所为圆C:（x-2）2+y=4的

任意一条直径，则0.赤的最小值为（）

A.3B.4C.5D.9

22

2.⑵-23高三下•江苏淮安・期中）已知斗鸟分别为双曲线??=1的左、右焦点，尸为双曲线右支上任一

点,则用产最小值为

A.19B.23C.25D.85

22

3.（22-23高二上•浙江湖州•期末）双曲线--±=的离心率是2,左右焦点分别为片，耳，尸为

mn

双曲线左支上一点，则\P息F2\的最大值是（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

即时检测

1.（22-23高三下•福建泉州•阶段练习）双曲线C：/->2=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点，直

线B4,尸2与尤=:分别交于N两点,则|肱V|的最小值为.

22

2.（2022高三・全国•专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线土-匕=1的右支上，则ZB中点M

916

的横坐标的最小值为（）

751333

A.—B.—C.—D.一

510102

22

3.（23-24高二下•江苏南京•期中）己知分别是双曲线C:土-工=1的左、右顶点，尸是双曲线C上的

95

一动点，直线P4,直线P8与x=2分别交于两点，记，.尸MN,一八"的外接圆面积分别为R,S?,则1k

d2

的最小值为（）

31Ji25

A.—B.—C.--D.—

1681481

考点六、双曲线的简单应用

9

典例引领

1.（23-24高三上•江西•期末）阿波罗尼斯（约公元前262年〜约公元前190年），古希腊著名数学家，主要

著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，

此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦

22

点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：3-多=1（。>0,

ab

b>0）的左、右焦点分别为乙，F2,其离心率6=石，从尸2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反

射，反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则sinN6GE=（）

a56r402百

A•D.------L.U.--------

6555

2.（22-23高二上•山东德州•期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所

示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印

得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），

则笔筒最细处的直径为（）

AA/574V287际nA/287

A-----cmB.-----cmC.-----cmD.-----cm

8844

3.（2023•浙江杭州•二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光

22

学性质.例如，点P为双曲线出身为焦点上一点，点尸处的切线平分“附.已知双曲线C,与=1,

o为坐标原点，/是点尸处的切线，过左焦点K作/的垂线,垂足为则10M卜

即照测

1.（2024•全国•模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射

出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.如图，已知双曲

线的离心率为2,则当入射光线为尸和反射光线PE互相垂直时（其中尸为入射点），cos/耳名尸的值为（）

10

2.（2024•吉林延边•一模）祖晒是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幕势既同，则积不

容异"的体积计算原理，即"夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如

果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等".某同学在暑期社会实践中，了解到火电

厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷

2

却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为V一匕=1（-24y41）,内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学

4

利用"祖胞原理"算得此冷却塔的体积为.

3.（2023•广东茂名•三模）我国首先研制成功的"双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：耳,F2

是双曲线的左、右焦点，从FZ发出的光线机射在双曲线右支上一点P,经点尸反射后，反射光线的反向延长

22

线过与；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点尸处的切线平分/月「工•若双曲线c的方程为土-匕=1,则

916

C.当"过点Q（7,5）时，光线由F?到P再到。所经过的路程为13

D.若点T坐标为（L0）,直线PT与C相切，则附|=12

11

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（23-24高三下•重庆•期中）已知双曲线=1（6>0）的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为（

12b2

D.y=±@x

A.y=±1xB.y=±3xC.y=±yf3x

3

2.（2024•湖南邵阳•模拟预测）若点（-3,4）在双曲线C:'-%=l（4>0,b>0）的一条渐近线上，则C的离心

率为（）

252555

A.—B.—C.—D.一

91634

22__

3.（2024•全国•模拟预测）设双曲线二一与=1（4>0*>0）的一个顶点坐标为（-加,0）,焦距为2退，则双

ab

曲线的渐近线方程为（）

A.y=±42xB.y=±2x

]/?

C.y=±-xD.y=±—x

22

4.（2024高三上•全国•专题练习）已知双曲线。的左、右焦点分别是耳,K，P是双曲线。上的一点，且

归国=5,|帆|=3,4/第=120°,则双曲线C的离心率是（）

777

A.7B.-C.—D.一

234

5.（2024•全国•模拟预测）若双曲线，■-/=1（。>0,6>0）的右焦点尸（c,0）到其渐近线的距离为争，则

该双曲线的离心率为（）

A.-B.—C.J2D.2

22

6.（2024・四川•模拟预测）已知我1,F?分别为双曲线C的左、右焦点，过^的直线与双曲线C的左支交于4

B两点,若|做|=2国理,|明=|明则cos/耳吟（）

1122

A.—B.-C.—D.一

18993

2222

7.（2024•全国•模拟预测）设椭圆3+工=1（〃>6>0）和双曲线斗=1的离心率分别为华多，若

abab

G£,则出的取值范围是（）

12

二、填空题

8.（2024•湖南岳阳•三模）已知双曲线C过点（1,"）,且渐近线方程为'=±2》，则C的离心率为.

9.（2024高三•全国•专题练习）在平面直角坐标系四中，己知点川-后,。）、❷（、/行,0），眼图一眼周=2,

点M的轨迹为C,则C的方程为.

三、解答题

10.（2024高三・全国•专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：

⑴过点A（右⑵和点8（2g,l）的椭圆；

（2）焦点在x轴上，离心率为&,且过点（-2,0）的双曲线.

能力提升

.-________

一、单选题

22

1.（2024•江西•模拟预测）已知我-F,分别是双曲线C:二-2=1（。＞0,b＞0）的左、右焦点，过与的

ab

4

直线交双曲线左支于A,5两点，AB±AF2,tanZA^B=-,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.y=±-|xB.y=±^/3xC.y=±—■尤D.y=±^--x

2.（2024・山西太原•模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（0,-6）,若动点尸位于y轴右侧，且

到两定点耳（-3,0）,鸟（3,0）的距离之差为定值4,则月周长的最小值为（）

A.3+4百B.3+6百C.4+4占D.4+6指

22

3.（2024•广东广州•模拟预测）己知双曲线C：^-4=1（稣0，6＞。）的右焦点为八一条渐近线的

ab

方程为y=2x,直线y=自与C在第一象限内的交点为R若1PH=|尸。|,则左的值为（）

A石R百,2下4班

2255

4.（2024,湖南长沙•二模）已知AB分别为双曲线C:/-E=l的左、右顶点，过双曲线C的左焦点尸作

3

直线尸Q交双曲线于P、。两点（点P、Q异于A、B）,则直线4尸、3。的斜率之比右.：即°=（）

13

A.——B.--2C.-3D.——

332

13

5.（2024・河北•三模）已知。是坐标一原点，〃是双曲线X二2-七V2=1（。>0/>0）右支上任意一点，过点M作

ab

双曲线的切线，与其渐近线交于A,3两点，若VAOB的面积为:〃，则双曲线的离心率为（）

A.72B.6C.75D.2

22

6.（2024・陕西商洛•模拟预测）己知双曲线。:3-1=1（“>0,6>0）的左、右焦点分别为K，F2,过工作

ab

Q1

直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,3两点.若闻，且cosN7/K="则双曲线。的离心

率为（）

54

A.2B.-C.-D.3

33

22

7.（2024•宁夏银川•二模）已知双曲线C:5点8的坐标为（0力），若C上存在点尸使

ab

得「到vb成立，则。的离心率取值范围是（）

B.

D.

二、填空题

22

8.（2024・浙江•模拟预测）已知双曲线C：2一方=ig>0,6>0）的左、右焦点分别为片，F,,“为双曲

线渐近线上的点，且耳M书M=0,若周=2|M词，则该双曲线的离心率e=.

22

9.（2024・辽宁•模拟预测）设O为坐标原点，耳鸟为双曲线0：土—匕=1的两个焦点，点P在。上，

96

4

cosN片尸耳二《，贝iJ|QP|=

22

10.（2024・广西来宾・模拟预测）已知双曲线C:^—彳=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为£、8，若双曲线

azoz

的左支上一点P满足当案去=3,以外为圆心的圆与耳尸的延长线相切于点M,S.FlM=3FlP,则双曲

线的离心率为.

真题感到—

22

1.（2024・天津・高考真题）双曲线二-1=1（“>0,6>0）的左、右焦点分别为丹、耳.尸是双曲线右支上一点,

ab

且直线尸工的斜率为2.2月区是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

14

22

A*y_RxDY

A.------------=1D.c

8284<4-48

22

2.（2023•全国，高考真题）已知双曲线C：3-2=l（a>0,6>0）的离心率为百，C的一条渐近线与圆

ab

（尤—2尸+。一3尸=1交于A,B两点,则|AB|=（