2025高考数学二轮复习 空间向量与空间角 专项训练【含答案】

第3讲空间向量与空间角

［考情分析］以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问

题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的

形式出现，难度中等.

考点一异面直线所成的角

【核心提炼】

设异面直线/,根的方向向量分别为Q=(〃l,bl,Cl),8=(〃2,岳，C2),异面直线/与根的夹

角为夕

则(l)ee(0,胃；

(2)cos(9=|cos〈〃，b)|=|^jj||

_____\a\a2-\-b\b2~\~C\c^\

d届虎+3

例1⑴如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,E为下底面圆周上一点,

满足靛=2部，则异面直线AE与BOx所成角的余弦值为()

D.

答案B

解析方法一如图，连接EQ并延长，交底面圆于点死连接尸。1,FB,易知AE〃8F且

AE=BF,

所以/EBOi为异面直线A£与BOi所成的角或其补角.

因为BE=2AE,则ZAO2£=60°,

所以△AEO2为正三角形，故AE=BE=1.

由圆柱的性质知OiF=OiB=乖百万苻=下,

驯7V5

所以在等腰△2F01中，COS/F8OI=5^=指.

方法二以A为原点，AB,A。所在直线分别为y轴、z轴，过点A的A8的垂线所在直线为

x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),2(020),01(0,1,2),£(停，0),

所以异面直线AE与801所成角的余弦值为

|cos〈翁，布;〉尸逵她

1X^5"10,

\AE\\BOi\

故选B

(2)(2023•吉安模拟)在正方体ABC。-481C1O1中，E,尸分别为AB,8C的中点，G为线段

SA上的动点，则异面直线AG与取所成角的最大值为()

答案C

解析以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，设正方体棱长为2,则G(a,a,2),ae[(),2],

Zf

因为E,尸分别为AB,BC的中点,

贝i」A(2,0,0),£(2,1,0),尸(1,2,0),

故G=(a—2,a,2),EF=(-l,l,0),

设两异面直线的夹角为a,其中ae(0,

_|启斜2_]

C°S(Z|AG||EF|^/(«-2)2+«2+4XV2N(aT)2+3'

因为ad[O,2],则当。=0或a=2时，cosa取得最小值，最小值为今

又因为y=cosa在(0,方上单调递减，则a的最大值为生

规律方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,f,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的

余弦值的绝对值.

跟踪演练1(1)如图，在直三棱柱ABC—A1B1G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也。为

的中点，E为AQ的中点，尸为BG的中点，则异面直线8E与AP所成角的余弦值为()

A—且B且「-亚D近

答案B

解析在直三棱柱ABC-AiBiCi中，

AAi=AC=AB=2,BC=2吸,

所以AC2+AB2=BC2,即AC1AB,

又AAi_L平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以AAi_LAC,AAi±AB,

如图，以A为坐标原点，AB,AC,A4i所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),8(2,0,0),Ci(0,2,2),2(1,0,2),破0,1),尸(1,1,1),

所以第施=©,0,—1),

।赤丽标

所以|cos(AF,EB)1=

|前向|39，

即异面直线BE与AF所成角的余弦值为嘤.

(2)(2023•石嘴山模拟)在正四面体ABC。中，M,N分别为AC,AD的中点，则异面直线

CN所成角的余弦值为()

A-3B-4C-5D-6

答案D

解析方法一取AN的中点E,连接ME,BE,则旌〃CN,所以或其补角就是异

面直线BW,CN所成的角.

设43=4,

则BM=CN=2小，ME=小,

BE=^AB2+AE--2AB-AECOS60°=y[13,

ME?+BM2—BE2

cosZBME=

2MEMB

3+12-131

―2X4X2/一《

方法二不妨设正四面体ABCD的棱长为2,以｛&,CB,无｝为基底，则前=周一无=

^CA-CB,CW=1(CA+Cb)，

则BM-GV=^1CA2+1CA-Cb-CB&-CBCD^

^X22—1X22XCOS60。)=—

又说=|两=小，

设异面直线BM,CN所成的角为仇。6(0,

\BM-CN\1

所以cos9=|cos(BM,CN〉|=

6,

\BM\\CN\

所以异面直线CN所成角的余弦值为今

考点二直线与平面所成的角

【核心提炼】

设直线/的方向向量为“，平面a的法向量为凡直线/与平面。所成的角为仇

则⑴0,.；(2)sin8=|cos〈a,〃〉|=］；渭.

例2(2022•全国甲卷)在四棱锥P—45C。中，尸。_1底面48。。，CD//AB,AD=DC=CB=

1,AB=2,DP=p

K

(1)证明：BDLPA-,

⑵求PD与平面PAB所成角的正弦值.

⑴证明在四边形ABCD中，作。E_L4B于点E,CF_LAB于点足如图.

因为CO〃A8,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=8尸=3，

故DE=^,

BD=、D疹+BE?=3,

所以人少十^^二人序，

所以AO_LBD

因为尸£)_L平面ABCD,BDU平面A8C。，

所以PDLBD,

又PDCAD=D,PD,AQU平面以。，

所以BD_L平面PAD.

又因为HU平面PAD,

所以BD±PA.

（2）解由（1）知，DA,DB,两两垂直,

如图，以。为原点，DA,DB,。尸所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,A（1,0,0）,

3（0,小，0）,尸（0,0,小），

则还=（—1,0,小），

丽=（0,f,小）,

5>=（o,o,6）.

设平面必B的法向量为"=（无，y,z）,

n-AP=0,

则有，.

ji-BP=0,

-x+/z=0,

可取〃=（小，1,1）,

一小y+小z=0,

则|cos〈"，DP）|=^^=W，

\n\\DP\

所以尸。与平面PAB所成角的正弦值为专.

易错提醒（1）线面角。与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的关系是〈0,

JTJT

〃〉+0=5或〈。，〃〉—（9=2，所以应用向量法求的是线面南的正弦值，而不是余弦值.

（2）利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.

跟踪演练2（2023・海口模拟）如图，在四棱锥尸一A8CD中，AB//CD,AB1AD,平面力O_L

平面PCD.

p

c

(1)证明：平面B4Z)_L平面A8CQ；

(2)若AO=2AB=2,PB=yf2,PD=y[5,BC与平面PC。所成的角为0,求sin6的最大值.

⑴证明过点A作AHLPD于H,

因为平面B4O_L平面PC。，平面E4DC平面PCZ)=PZ),所以A8_L平面PC£),

又CDU平面PC。，所以C£)_LAH,

由4B〃O),ABLAD,可知C£)_LA。，

而4»nAO=A,AH,4OU平面E4。，

所以CO_L平面PAD,

因为CDU平面ABC。，

所以平面E4O_L平面ABCD.

(2)解方法一由(1)知，平面融。，

因为以u平面加。，所以CZ)J_B4,

又AB〃C。，所以

所以EA=y/PB2—AB2=l,B42+A£)2=PD2=5,所以B4_L4。，

所以A8,AD,AP两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，则8(1,0,0),P(0,0,D，0(0,2,0),

设C(w,2,0)(m>0),

设平面PC。的法向量为〃=(尤0,刃，zo),所以〃_L而，n±DC,

百)=(0,2,-1),虎=(根,0,0),

nPD=0,

即，

nDC=0,

f2yo—zo—0,

得彳令yo=l,得"=(0,1,2),

[mxo—0,

BC=(m—1,2,0),

所以sin。=庭包=7=4^~~『，

\BC\\n\A/(,W—1)+4义小

显然，当m=l时，[(加-iy+4取得最小值,

综上，当C£)=l时，sin。的最大值为坐.

方法二设点8到平面PCD的距离为“，

因为A8〃CD,COU平面PCD,ABC平面PC£),

所以AB〃平面PCD,所以点A到平面PCD的距离也为d,

由(1)知，⑺,平面出。，所以CD_LE4,

又AB〃CZ),所以A3_LE4,

所以出="尸22TB2=1,

所以B42+AZ)2=尸£)2=5,所以m_LAO,

由(1)知，AHJ_平面PCD,

缶z„PAAD2^5

所以d-AH-「口—5，

由sin6=g=芈在四边形A3CD中，当3C_LCZ)时，BC取最小值,

nC3nC

此时四边形ABC。为矩形，BC=2,

所以sin0的最大值为

考点三平面与平面的夹角

【核心提炼】

设平面a,£的法向量分别为“，V,平面a与平面£的夹角为(9,

兀

则⑴6*e[0,2J；

,.\u-v\

(2)cos0=|cos〈〃，1=而而.

例3(2023・新高考全国I汝口图，在正四棱柱A8C£>—A18C1O1中，AB=2,44尸4.点A2,

&,Cz,2分别在棱AAi,BBi，CCi,OP上，AA2=1,BB?=DD2=2,CC2=3.

G与

(1)证明：82c2〃42。2；

⑵点尸在棱上，当二面角尸一A2c2—。2为150。时，求&P.

(1)证明以C为坐标原点，CD,CB,CG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图，

则C(0,0,0),C2(0,0,3),&(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

.•.起=(0,—2,1),

碰=(0,-2,1),

入B2c2,人2。2不在同一条直线上，

：.B2C2//A2D2.

(2)解设尸(0,2,2X0W2W4),

则京=(—2,—2,2),M=(0,—2,3—2),演=(—2,0,1),

设平面阴2。2的法向量为〃=(%,y,z),

“•A2c2=—2x—2y+2z=0,

则＜_

、〃・尸Q=_2y+(3—A)z=0,

令z=2,得y=3—九x=X—l,

H—(A—1,3—A,2),

设平面A2c2。2的法向量为帆=(〃，b,c),

2c2=—2a—2Z?+2c=0,

则j

jn,D2c2=—2Q+C=0,

令a=l,得6=1,c=2,

"=(1,1,2),

6

-V6A/4+(2-1)2+(3-^)2

=|cos150°|=^-,

化简可得，M—42+3=0,

解得A=1或A=3,

・・・P(023)或尸(0,2,D，

:.B2P=I.

7T

易错提醒平面与平面夹角的取值范围是0,2＞两向量夹角的取值范围是［0,兀］,两平面

的夹角与其对应的两法向量的夹角不一^定相等，而是相等或互补.

跟踪演练3(2023・新高考全国n改编)如图，三棱锥A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=60°fE为3C的中点.

⑴证明：BC-LDA；

(2)点F满足庠=而，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值.

⑴证明如图，连接AE,DE,

因为E为BC的中点，DB=DC,

所以DE1BC,

因为DA=DB=DC,ZADB^ZADC^6Q0,

所以△AC。与△AB。均为等边三角形，

所以AC=AB,从而AE_LBC,

又AECDE=E,AE,OEU平面AOE,

所以8C_L平面4DE,而AOU平面AOE,

所以BCLDA.

(2)解不妨设DA=DB=DC=2,

因为8£)_LC£),

所以BC=2吸，DE=AE=p

所以4层+。/=4=&£)2,

所以AELLOE,

又AE_LBC,DEDBC=E,DE,8CU平面BC£),

所以AEJ_平面BCD.

以£为原点，ED,EB,EA所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则D（y[2,0,0）,A（0,0,立），B（0,®0）,£（0,0,0）,

设平面A3。与平面A2尸的法向量分别为“1=（即，yi,zi）,"2=（x2,yi,z2）,

平面ABD与平面A8F夹角为仇而通=（0,也，一柩,

因为雄=函=（一也，0,陋），

所以F（—小,0,也），

则病=（一g，0,0）.

mDA=0,

由＜

^i-AB=0,

一爽xi+gzi=0,

市yi—pzi=0,

令xi=1,得yi=1,zi=1,

所以“1=(1,1,1).

«2-AB=0,

由＜

MT.-AF—Q,

，肝y2fz2=0,

{-y[2x2=o,

则及=0,令丁2=1,得Z2=l,

所以"2=(0」,1),

|〃1•避2|2#

所以|cos0\=

M\n2\~y[3Xyj2~3

从而sin0=

所以平面ABD与平面ABF夹角的正弦值为坐.

专题强化练

1.(2023・榆林统考)如图，在四棱锥产一ABC。中，平面E4Z)_L底面A8CDAB//CD,ZDAB

=60°,PALPD,且出=尸£)=也，A8=2CZ)=2.

(1)证明：ADLPB.

⑵求平面PAD与平面P2C夹角的余弦值.

⑴证明取AD的中点G,连接8。，BG,PG.

因为以=尸。=&,所以AO_LPG

又R1_LP£),所以AO=2.

又A8=2,ZBAD=60°,

所以△A3。为正三角形，所以AOLBG

因为PGABG=G,PG,BGu平面PBG,

所以AD_L平面PBG.

又尸8u平面尸8G,所以AOJ_PA

(2)解以G为坐标原点，GA,GB,(声的方向分别为尤，y,z轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系,

则尸(0,0,1),B(0,y[3,0),«一I，坐，0),

逐=(o,小,-1),正=(一|，坐,-1)

设平面的法向量为加=(x,y,z),

小y—z=O,

则z=0,

令得/w=(-19y[3,3).

由题可知，平面B4O的一个法向量为〃=(0,1,0).

设平面PAD和平面PBC的夹角为仇

\m-n\

则cos6

—I向川—〈15—13,

所以平面以。与平面PBC夹角的余弦值为曙.

2.(2023•锦州模拟)如图一，ZsABC是等边三角形，CO为A8边上的高线，D,E分别是CA,

C8边上的点，AD=BE=^AC=2；如图二,

将△CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置,

尸0=3.

(1)求证：OP_L平面ABED；

(2)求平面BPE与平面PEF夹角的正弦值.

⑴证明因为△ABC为等边三角形，

AD=BE^AC,DE//AB,

CO为A8边上的高线，DELOF,DE±PF,

XOFC\PF=F,OF,PFu平面FOP,

所以OE_L平面FOP.

因为OPu平面FOP,所以DELOP.

在中，OF=y[3,OP=3,PF=2y[3,

所以。尸+0尸=尸产，OPLOF,而。Eu平面A3E£),OFu平面ABED,0FCDE=F,

故OP_L平面ABED

(2)解分别以5*,OB,[办的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

z

y

则尸(0,0,3),2(0,3,0),E4,2,0),F巾,0,0),

则无=(小，2,一3),BE=(y[3,-1,0),

EF=(0,-2,0).

设平面3PE1的法向量为“1=(x1,yi,zi),

平面PEF的法向量为“2=(X2,>2,Z2),

ni-PE=y/3xi~\~2yi—3zi=0,

则]一

MvBE=y[3xi—yi=09

U2-PE=y[3x2+2y2—3z2=0,

且<_

ji2EF=-2y2=3

取Xl=l,%2=小，

得到平面5PE的一个法向量“1=（1,小,小），平面尸所的一个法向量敢=（,，0,1）,

设平面5尸E与平面PEF的夹角为仇

讪@⑶,改I2s小

财c°sa一阿网一于义2一"

所以sin3=-\11—cos23=^p-.

所以平面BPE与平面PEF夹角的正弦值为平.

3.（2023•济宁模拟妆口图，在四棱台ABCD-AiBiQDj中，底面ABCD为平行四边形，平面

1兀

ABCD,。£>1=。4=4山1=/=2,ZBAD^.

（1）证明：。。1〃平面ABC；

⑵若BiA=BiC,求直线BCi与平面ABC所成角的正弦值.

⑴证明连接5D交AC于点O,连接。修，BiDi,

如图所示，

由题意得，四边形ABC。与四边形AiBiGA相似且都为平行四边形,

JT

且NSAi£>i=/a4D=Q,OD/ZBiDx,

所以BD=2/,即。。=暴。=小，

B[DX=AIBI+AID1—2AIB\-AIDICOSZBIAIDI=3,B\Di=yf3,

所以OD=BD,

所以四边形。21。1。为平行四边形，

所以OBi〃DDi,

又DDid平面ABiC,0B1U平面ABiC,

所以。。1〃平面ABC

(2)解因为BiA=2iC,。为AC的中点，

所以08」AC,

又平面ABiCJ_平面ABC。，平面ABiCC平面ABCD=AC,OBg平面ABC,

所以O8i_L平面ABCD,

又OBJ/DLh,所以。平面ABCD,

在△A3。中，4。=；42=2,

ZBAD=^,BD=25

则AD2+BD2=AB2,所以AD_L2。，

如图，以。为原点，DA,DB,。。所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A（2,0,0）,81（0,小，2）,c（—2,2小，0）,

8（0,2事,0）,Ci（-1,小，2）,

所以8c1=（-1,一小，2）,481=（—2,小,2）,

元=（-4,2^3,0）,

设平面ABC的法向量为〃=（x,y,z）,

n-ABi=-2x+/y+2z=0,

则有_

_n-AC=-4x+2V3y=0,

取X=A/§,则y=2,z=0,所以"=(小，2,0),

则|cos(BCx,n)|=噂,所以直线8cl与平面ABC所成角的正弦值为噂.

|BG|I«I

jr

4.如图，