2025高考数学专项训练：概率【含答案】

2025高考数学二轮专题复习•概率•专项训练

选择题（共7小题）

1.某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部

和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样

结果共有（）

A.广45jn15种B.「20「4。种

L400L200u400L200

C.^30广3。种D.「4口>-i20种

L400L200u400L200

2.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该

地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

3.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰

有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

4.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（x,y）I1W/+/W4｝内随机取一点，记该点为A,则直线

的倾斜角不大于三的概率为（）

4

A.AB.Ac.AD.A

8642

5.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

()

A.30种B.60种C.120种D.240种

6.莺是鹰科的一种鸟，《诗经•大雅•旱麓》日“莺飞戾天，鱼跃于渊”.莺尾花因花瓣形如莺尾而得名（图

1）,寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度和花瓣长度（单

位：c?n）,绘制对应散点图（图2）如下:

图1图2

计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为7=0.750卜+0.6105.根据

以上信息，如下判断正确的为（）

A.花萼长度和花瓣长度不存在相关关系

B.花萼长度和花瓣长度负相关

C.花萼长度为1cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm

D.若选取其他品种莺尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

7.根据所示的散点图，下列说法正确的是（）

Bo1&0170180传0

身高

A.身高越大，体重越大B.身高越大，体重越小

C.身高和体重成正相关D.身高和体重成负相关

二.多选题（共3小题）

（多选）8.有一组样本数据xi,xi,尤6,其中xi是最小值，X6是最大值，贝!）（）

A.XI,X3,X4,X5的平均数等于XI,XI,X6的平均数

B.XI,X3,X4,尤5的中位数等于XI,XI,X6的中位数

C.XI,X3,尤4,X5的标准差不小于XI,XI,X6的标准差

D.XI,X3,X4,X5的极差不大于XI,X2,X6的极差

（多选）9.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级加=20X/gH,其

P。

中常数川（po>O）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的声压级

距离/“zIdB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050-60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10机处测得实际声压分别为pi,p2,P3,则（）

A.pi\p2B./?2>10/73C.p3=lOOpoD.piW100p2

（多选）10.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为a（0<a<l）,

收至1J0的概率为1-a；发送1时，收至1J0的概率为p（0<p<l）,收至1J1的概率为1-p.考虑两种传

输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3

次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信

号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）（）

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为（1-cd（1-0）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为0（1-P）2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为p（1-p）2+（1-p）3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

三.填空题（共3小题）

11.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且

每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

12.把若干个黑球和白球（这些球除颜色外没有其他差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为

5：4：6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都

是黑球的概率为;若把所有球放在一起，然后随机摸出一球，则该球是白球的

概率为.

13.空间中有三个点A、B、C,且AB=8C=C4=1,在空间中任取2个不同的点。，E（不考虑这两个点

的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种.

四.解答题（共6小题）

14.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投

篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定

第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为05

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第，次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量X］服从两点分布，且尸（%=1）=1-尸（Xi=0）=qi,i=l,2,n,则E

nn

(£X、)=£q..记前w次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(y).

i=l1i=l1

15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查,

得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于c的

人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者

判定为阳性的概率，记为"(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概

率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+q(c).当ce[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在区间[95,105]

的最小值.

16.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另

外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段

时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).

(1)设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

(2)试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(z)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,

完成如下列联表：

<m

对照组

实验组

(而)根据(力中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的

增加量有差异？

2

附：产=n(ad-bc),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片》发)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材

质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品

的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为孙》册=1,2,…10).试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率Xi545533551522575544541568596548

伸缩率y536527543530560533522550576536

记Zi=XLyi(i=l,2,10),记Zl,Z2,…，Z10的样本平均数为Z，样本方差为s?.

(1)求52；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如

,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高，否则不认为有显著提高)

18.为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在

描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天

(I)试估计该农产品“上涨”的概率；

(II)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在

这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(IID假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下

跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19.2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观

和内饰的颜色分布如下表所示:

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件2为小明取到

棕色内饰的模型，求尸(B)和P并判断事件A和事件B是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,

给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或

仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

参考答案与试题解析

选择题(共7小题)

1.【解答】解：：初中部和高中部分别有400和200名学生，

，人数比例为400：200=2：1,

则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，

则有殷c种•

^400^200

故选：D.

2.【解答】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出

的同学爱好滑雪为事件8,

由于中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，

则尸(B)=0.5

则同时爱好两个项目的占50%+60%-70%=40%,

则P(AB)=0.4,

则P(A|B)=P(黜)=.。梃=0.8.

P(B)0.5

故选：A.

3.【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有c；=5种选法，

然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有c：・C；=12种

选法，

根据分步乘法计数原理可得共有5X12=60种选法.

故选：B.

4.【解答】解：如图，为第一象限与第三象限的角平分线，

根据题意可得构成A的区域为圆环，

而直线OA的倾斜角不大于匹的点A构成的区域为图中阴影部分，

4

所求概率为2=_1.

84

故选：C.

y

5•【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：Cl.A2=120.

故选：C.

6•【解答】解：♦..相关系数r=0.8642>0.75,且散点图呈左下角到右上角的带状分布，

•••花瓣长度和花萼长度呈正相关，且相关性较强，...A,8选项错误；

当x=7时，代入经验回归方程为y=0.7501x+0.6105,可得y=5.8612,

花萼长度为7cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm,选项正确；

若选取其他品种莺尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定是0.8642,六。选项

错误.

故选：C.

7.【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关.

故选：C.

二.多选题(共3小题)

8.【解答】解：A选项，X2,X3,X4,X5的平均数不一定等于尤1,XI,X6的平均数，A错误；

8选项，XI,尤3,X4,尤5的中位数等于士~,XI,XI,尤6的中位数等于3~,2正确；

22

C选项，设样本数据xi,XI,X6为0,1,2,8,9,10,可知尤1,XI,尤6的平均数是5,尤2,X3,

X4,X5的平均数是5,

XI,X2,■■■,X6的方差u2=—X[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+(10-5)2]

16

_50

3

Xi,%3,尤4,X5的方差u2=_Lx[(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)

242

22

S1>S2-0错误・

。选项，X6>X5,X2>Xl,.*.X6-X1>X5~XI,Z)正确.

故选：BD.

9.【解答】解：由题意得，60W20/g£lW90,lOOOpoWpiW105po,

Po

50W20/g坦W60,1।再oW/WlOOOpo,

PO

20/g&L=40,p3=100/20,

PO

可得pi》02,A正确；

p2W10p3=1000p(),B错误；

p3=100/x),C正确；

9_旦

piW]02Po=100X102poWlOOp2,piW100p2,。正确.

故选：ACD.

10•【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为：(1-p)(1-a)

(1-0)=(1-a)(1-0)2,故A正确；

采用三次传输方案，若发送1,依次收到1,0,1的概率为：(1-0)0(1-p)=p(1-P)2,故8正

确；

采用三次传输方案，若发送1,

则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1,

故所求概率为：(卜6)2+(1-6)3,故C错误；

三次传输方案发送。，译码为o的概率Pi=c：a(1-a)(i-a)3,

单次传输发送0译码为0的概率P2=l-a,

22

P2-P1=(l-a)-C3Ci(1-a)-a-a)3=(卜a)[i-c：a(1-a)-(1-a)]

=(1-a)(2a2-a)

=(1-a)a(2a-1),

当0<a<0.5时，P2-Pi<0,

故P2<P1,故。正确.

故选：ABD.

三.填空题(共3小题)

11•【解答】解:若选2门，则只能各选1门，有c：C：=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选修课选2,

贝I」有C：,2+C2cl=24+24=48,

综上共有16+48=64种不同的方案.

故答案为：64.

12•【解答】解：设三个盒子分别为甲盒子，乙盒子，丙盒子，

盒子中共有球15〃个，

则甲盒子中有黑球2w个，白球3〃个，

乙盒子中有黑球九个，白球3〃个，

丙盒子中有黑球3〃个，白球3”个，

从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为型X—X——；

5n4n6n20

将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为-二.

15n5

13.【解答］解：如图所示，设任取2个不同的点为。、E,

当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面48c的两侧分别可以做A8DE作为圆锥的底面，有2种情

况，

同理以BCE。、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；

当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于A2两侧，AO8E为圆锥的底面，只有一种情况，

同理以BOCE、AQCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有6+3=9种情况.

故答案为：9.

四.解答题（共6小题）

14.【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为尸，

由题意得尸=0.5X04+0.5X0.8=0.6；

（2）由题意设办为第"次投篮的是甲,

则尸"+i=0.6P"+0.2(1-P„)=0.4丹+0.2,

：.Pn+l--1=0.4(Pn--1),

33

又Pi-2=1-1=1^0,贝IJ{2-上}是首项为』，公比为0.4的等比数歹u,

323636

Pn--=lx(Z)"I即x(2)nl

365365

...第，次投篮的人是甲的概率为p=a+工X(2)il

365

(3)由(2)得尸产工+J1X(2)'"1,

365

n]

1n

...当〃eN*时，E(y)=Pi+P2+...+Pn=-^y——+21=殳“-(2)口,

6占431853

综上所述，E(y)=A[i-(2)«]+H,jiGN*.

1853

15•【解答】解：(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,

则(c-95)•0.002=0.5%,解得c=97.5；

q(c)=0.01X2.5+5X0.002=0.035=3.5%；

(2)当c€[95,100]时,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95A0.002+(1OO-C)・O.O1+5XO.OO2=-0.008c+0.8220.02,

当cG(100,105]时，f(c)=p(c)+q(c)=5X0.002+(c-100A0.012+(105-c)«0.002=0.01c-

0.98>0.02,

'-0.008C+0.82,95<c<10(

故/(c)=<

0.Olc-O.98,100<c<105

所以/(c)的最小值为0.02.

16•【解答】解：(1).••每只老鼠被分到对照组的概率为工，两只指定的老鼠分配到两个不同的组，可看

2

成两次独立重复事件,

指定的两只小鼠中分配到对照组的只数X〜8(2,1),

2

：.P(X=k)=c+•,)卜.(1卷)27,k=0,1,2,

；.X的分布列为:

X012

P111

121

:.E(X)=np=2X-=l；

2

(2)(力40个数据从小到大排列后，中位数加即为第20位和第21位数的平均数，

第20位数为23.2,第21位数为23.6,

,m=23.2+23.6-.

'•2-23.4,

补全列联表为：

<m2根合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

(n)由(i)可知K2=-40X(6X6-14X14),=6.400>3.841,

20X20X20X20

/.能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

17..【解答】解：(1)根据表中数据，计算(=1,2,…，10),填表如下:

试验序12345678910

号i

伸缩率545533551522575544541568596548

Xi

伸缩率536527543530560533522550576536

yi

Zi=Xi-968-8151119182012

yi

10

计算平均数为z=L)二zi~=J-X(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,

10

110

方差为S2=工厂金)2=_J^x[(-2)2+(-5)2+(-3)2+(-19)2+42+02+82+72+92+12]=

10

61.

=2^71<2a.25=5,

(2)由(1)知，z=ll,

所以,认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

IWJ.

18.【解答】解：(I)由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为凶=0.4.

40

(II)由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为工2=0.35,

40

40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为卫=0.25,

40

则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率cjX0.42XC；xo.35

Xc；X°-25=0.168.

(Ill)由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，

“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为卫，

15

“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为旦，

5

“上涨”