2025届福建省泉州市高中毕业班模拟检测数学试题（一模）含解析

2025届福建省泉州市高中毕业班模拟检测数学试题（一模）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，

超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

^=（xeN*|X2-4X<0}5=lxeZ||x-l|<21

1.已知集合I1d产LJ,则R（）

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4）

2.若复数z满足（l+i）z=a—i（其中i是虚数单位，aeR）,则z|=1"是“。=1”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.等差数列{4}的首项为2,公差不为0.若出,%，%成等比数列，则公差为（）

22

A.—B.----C.1D.—1

55

4.若sin（N+a]二±,贝！）cos|2a--\=（）

U2）516）

127712

A------B.------C.—D.—

・25252525

5.已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为空、6兀的球面上，该圆

3

柱的侧面积为（）

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

6.已知忖=2同，若,与彼的夹角为60。，则2G-B在不上的投影向量为（）

1r1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

7.已知函数/（X）的定义域为（0,+力）,且（x+y）/（x+y）=M（x）/（券），〃l）=e,记

a=/Q]'b=/（2），c=/（3），则（）

Aa<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

8.已知函数/（x）=lnx-加/+4若不等式/（x）＞0的解集中恰有两个不同的正整数解,

则实数加的取值范围是（）

2+ln23+ln3]（3+ln32+ln2

.8?9J

3+ln32+ln21（2+ln23+ln3

9'4J

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,

整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这

100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90/00）内的同学成绩方

差为10.则（）

频率

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32

10.已知［x+泰］(〃eN*)展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是()

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为［9］

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

11.设函数/(x)=2/—3"2+1,贝IJ()

A.当。〉1时，/(x)有三个零点

B.当"0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线歹=/(X)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量J〜N(23),若P信＜a—3)=P传＞2a+1),则实数a的值为

13.圆(x—Ip+V=25的圆心与抛物线/=2px(,〉0)的焦点厂重合，A为两曲线的交点,

则原点到直线AF的距离为.

14,数列｛4｝满足q=1,且a“+i=a"+”+l(〃eN*),则数列｛'｝的前2024项和为.

an

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

CA3

15.记V45c的内角A、B＞。的对边分别为。、b、c.已知QCOS?—+ccos2—=—b.

222

(1)证明:sin^+sinC=2sin5；

,LiumLILIUI,、，，—一

(2)若6=2,AB-AC=3＞求V48C的面积.

16.如图，在四棱锥尸—48CD中，PD=PC=CB=B4=LAD=2,AD〃CB,

2

NCPD=ZABC=90°,平面PCD1平面ABCD,£为中点.

(1)求证：平面PC4；

(2)点。在棱尸Z上，CQ与平面PQC所成角的正弦值为逅，求平面尸CD与平面C。。夹

3

角的余弦值.

17.己知点P为圆C：(x—2)2+/=4上任意一点，/(—2,0),线段我的垂直平分线交直

线PC于点设点M的轨迹为曲线"

(1)求曲线”的方程；

(2)若过点M的直线/与曲线X的两条渐近线交于S,T两点，且M为线段ST的中点.

⑴证明：直线/与曲线〃有且仅有一个交点；

21

(ii)求磔^+0用的取值范围.

18.己知函数/(x)=ae*,g(x)=\nx+b(a,beR).

(1)当6=1时，/(x)Ng(x)恒成立，求实数°的取值范围；

⑵证明：当°=「，6<1时，曲线V=/(x)与曲线V=g(x)总存在两条公切线；

(3)若直线/-4是曲线v=/(x)与v=g(x)的两条公切线，且4,，2的斜率之积为1，求

a,b的关系式.

19.已知无穷数列｛an｝,给出以下定义：对于任意的〃eN*，都有%+22%+1，则称数

列小｝为“T数列”；特别地，对于任意的“eN*，都有%+%+2>2%,则称数列｛%｝为“严

格T数列”.

(1)己知数列｛%｝,｛九｝的前n项和分别为4,Bn,且%=2〃—1,bn=—2"T,试判断数

列｛4｝,数列｛8“｝是否为"T数列”，并说明理由；

(2)证明：数列｛an｝为"T数列''的充要条件是''对于任意的k,m,〃eN*，当上<加<〃时，

有(，一加)怎+(加一女)%N(n-k)a/；

(3)已知数列｛b｝为“严格T数列”，且对任意的〃eN*，bneZ,bx=-8,兀8=—8.求数

列｛6n｝的最小项的最大值.

2025届福建省泉州市高中毕业班模拟检测数学试题

（一模）

本试卷共19题满分150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,

超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

^=（xeN*|x2-4x<0）8=beZ||x-l|<2,m

1.已知集合I।1llxI-/,则（）

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出两个集合后根据交集定义求解.

【详解】幺=卜eN*,2-4xWo]={xeN*WxV4}={1,2,3,4}；

5={xeZ||x-1|<2}={xeZ|-2<x-1<2}={xeZ|-1<x<3}={-1,0,1,2,3}；

Nc8={1,2,3}.

故选：C.

2.若复数z满足（l+i）z=a-i（其中i是虚数单位，awR）,则是“。=1”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的运算结合模长公式求出。，再由充分必要条件定义判断.

Q—1("i)”i)〃一1〃+1

i,|z|=l

【详解】由（I+DZST得，2=下"I-

解得a=1或a=-1.

故"Iz|=1”是“a=1”的必要不充分条件.

故选：B

3.等差数列｛4｝的首项为2,公差不为0.若2，%，生成等比数列，则公差为（）

22

A.—B.——C.1D.-1

55

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比中项可得《=%"5，结合等差数列的通项公式运算求解.

【详解】设等差数列｛斯｝的公差为dwO,

若出,&，生成等比数列，则d=。2用5，即（2+3d『=（2+1）（2+4d）,

整理可得5/+21=0,解得d=—|或4=0（舍去）,

所以公差为—.

5

故选：B.

714(c3兀)

—+a|=—，贝。cos

12J5(2a-----6--=J()

12

D.

25

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解.

【详解】cos12a-=-cos12a-弋+兀J=-cos12cr+.

故选：C

5.已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为丝行兀的球面上，该圆柱的侧面积

3

为（）

A.8兀B.6TIC.5兀D.4兀

【答案】A

【解析】

【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解.

【详解】球的体积为g成3=?氐，可得其半径火=布,

圆柱的底面直径为2,半径为r=l,在轴截面中，可知圆柱的高为7=25氏2—井2=4,

所以圆柱的侧面积为2兀泌=8兀.

故选：A.

6.已知|可=2同，若）与否的夹角为60。，贝U21—3在往上的投影向量为（)

1-1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

【答案】B

【解析】

【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.

【详解】因为忖=2同,2与万的夹角为60。,

1

所以晨3=同忖cos60°=同x2同X—=团2

2

则（21_孙3=2晨3_庐=2同2_4同2=_2同2,

2a-b}-bb—2a26_lr

所以21-3在往上的投影向量为1~HX•：—r--f----丽-=一”

\b\W2a

故选：B.

7.已知函数/(x)的定义域为(0,+功，且(x+y)/(x+y)=xW(x)/(y),/(l)=e,记

«=/[1]^=/(2),c=/(3),则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数/(x)满足的表达式以及/(l)=e,利用赋值法即可计算出仇。的大小.

【详解】由(》+))/(》+》)=M(力/(歹),/(1)=6可得,

令x=y=：，代入可得=即口=/；］=±2痴，

2

令x=y=l,代入可得2/(2)=/2(i)=e2,即/,=/■⑵=万，

23

令x=l/=2,代入可得3/⑶=2/⑴/⑵=2exe5=e3,即c=/⑶=］e；

由e土2.71828…可得±2八<J<J,

23

显然可得。<b<c.

故选：A

【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函

数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.

8.已知函数/(x)=hw-znf+x,若不等式/(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数加的取

值范围是()

2+ln23+ln31(3+ln32+ln2

19，4

3+ln32+ln2)f2+ln23+ln3]

,954JD.I859J

【答案】C

【解析】

］nYInY

【分析】不等式/(x)>0可化为mx-1<—,利用导数分析函数g(x)=一的单调性，作函数

XX

1nY

h(x)=mx-l,g(x)=—的图象，由条件结合图象列不等式求式的取值范围.

JC

【详解】函数/(x)=Inx-加/+x的定义域为(0,+8),

不等式/(x)>0化为：—.

X

1-lnx

=mx-l,g(%)=——g'(x)

x

故函数g(x)在(o,e)上单调递增，在(e,+。)上单调递减.

当X>1时，5(%)>0,当x=l时，g(%)=0,

当0<x<l时，5(%)<0,

当xf+8时，g(x)f0,当x>0,且x—0时，g(x)-—。,

画出g(x)及h(久)的大致图象如下,

因为不等式/(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,

故正整数解为1,2.

/(2)<g(2)

［力⑶"⑶'

c,ln2

2m-1<---

2

即《

.,ln3

3m-1>---

3

3+ln32+ln2

故<m<

9-4~

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如

图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于

[80,90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则()

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32

【答案】BC

【解析】

【分析】利用小长方形面积和为1得A项错误；面积等于0.5的值即为中位数，可知B正确；利用直方图

中平均数和方差公式可得C正确，D错误.

【详解】A项，（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=l,.•.。=0.005,A项错误；

B项，[50,70]内频率为：5x0.005x10=0.25<0.5,

[50,80]内频率为：12x0.005x10=0.6>0.5,

则中位数在[70,80]内,设中位数为X,则0.25+(x-70)x7x0.005=0.5,

则x=77.14,B正确；

31

成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为：x85+：x95=87.5分，

44

31

方差为:X[12+(87.5-85)2]+：X[10+(87.5-95)2]=30.25,C正确,D错误.

44

故选：BC.

）展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

【答案】AD

【解析】

【分析】先根据展开式的项数确定〃的值，根据二项式系数的性质判断A；令x=l可得所有项的系数和从

而判断B,利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD.

【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以〃=7.

故所有项的二项式系数和为27=128，故A正确;

B项，令x=l,可得所有项的系数和为11+；]，故B错误;

因为二项展开式的通项公式为：

C项，当reN*,l＜rV6,设l+i项系数最大,

且x4=^-x4,第3项系数为

当「=0时，7]=/,系数为1；

「二1二1

当一7时，X2=---X2，系数为---；

1128128

由，＜21,1＜红，故第3项的系数最大；故C错误；

12844

3r

D项，由7为整数，且尸=0，1,2,・一,7可知，尸的值可以为：0,2,4,6,

2

所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.

故选：AD.

11.设函数/(x)=2/—3o?+i,贝i]()

A.当。〉1时，/(x)有三个零点

B.当.＜0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线＞=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/。))为曲线J=/(X)的对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=O,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断出/(x)在

(-1,0),(0,。),伍,2口)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存

在这样的d6,使得x=b为/(x)的对称轴，则/(x)=/(26-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若

存在这样的。，使得(1,3-30为/(x)的对称中心，则/(x)+/(2-x)=6-6a,据此进行计算判断，亦

可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a〉l,

故xe(-oo,0)u(a,+e)时f\x)>0,故/(x)在(―。,0),(a,+。)上单调递增，

xe(0,a)时,f\x)<0,/(x)单调递减，

则/(X)在X=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则/(0)/(a)<0,

根据零点存在定理/(x)在(0,a)上有一个零点，

又/(-1)=T-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,则/(-1)/(0)<0,/W(2a)<0,

则/(x)在(T,0),(a,2a)上各有一个零点，于是。〉1时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项,f\x)=6x{x-a),a<0时，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)单调递减,

xe(0,+oo)时f\x)>0,/(x)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的6,使得x=b为/(x)的对称轴，

即存在这样的6使得/(x)=/(26-x),

即2x3-3axi+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有丁的项为2C；(2b)°(-x)3=-2d,

于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的见6,使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3a,若存在这样的。，使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，

则/(x)+/(2—x)=6—6a,事实上，

/(x)+/(2—x)=2x3-3ax-+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18—12a,

于是6-6。=(12—6a)x2+(12。—24)x+18—12。

12-6a=0

即12"24=0,解得。=2,即存在a=2使得(1,7(1))是/(x)的对称中心，D选项正确.

18-12。-6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax，/"(%)=12%-6〃,

由/〃(x)=0=x=_|,于是该三次函数的对称中心为

由题意(1,/⑴)也是对称中心，故■|=loa=2,

即存在a=2使得(1J⑴)是/(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/(x)的对称轴为x=6o/(x)=/(26—x)；(2)/(x)关于(a,6)对称

o/(x)+/(2a—x)=2b；(3)任何三次函数/(x)=ax3+云2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次

(1/7\\

函数的拐点，对称中心的横坐标是/〃(x)=0的解，即-「，/-「是三次函数的对称中心

13aI3a〃

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量J〜N(23),若尸(J<a—3)=?(J>2a+l),则实数a的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解.

【详解】由题意得，a—3+2a+l=2x2,解得a=2.

故答案为：2

13.圆(x—厅+/=25的圆心与抛物线/=2.(P〉0)的焦点厂重合，A为两曲线的交点，则原点到直

线力尸的距离为.

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及/尸的方程，从而可求原点

到直线/尸的距离.

【详解】圆（x—1）2+/=25的圆心为尸（LO）,故5=1即P=2,

<(：—1)+y—?5可得好+2%—24=0，故x=4或x=—6(舍),

由

y=4x

故幺（4,±4）,故直线=

故原点到直线AF的距离为dM=-

55

4

故答案为：—

14.数列｛a“｝满足%=1,且“1=%+〃+l(〃cN'）,则数列｛'｝的前2024项和为

7an

4048

【答案］-----

2025

【解析】

【分析】由=%+〃+1运用迭代法求出%=〃（〃；1）122（：+）,利用裂项相消

，则不许

,1、

法即可求得｛—｝的前项和.

an2024

［详解】由%+i=%+〃+1可得4+1—%=n+l,

n(n+1)

则%=(%—%_i)+(%_iH---H(tZ+=1+2H---F(«-1)+n=----

22

12”11、

贝!J----------=2(------------),

an〃(〃+1)nn+1

故数列｛2｝的前2024项和为2(1-1)+2(|-1)+---+2(11

20242025

生田方二4048

故答案为：----.

2025

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

QN3

15.记人ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知acos—Fccos"—=—b.

222

(1)证明：sin+sinC=2sin5；

(2)若b=2,AB-AC=3>求△NBC的面积.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立；

（2）利用平面向量数量积的定义可得出bccos/=3,结合余弦定理以及4+c=26=4可求得。、0的值,

由此可求得△NBC的面积.

【小问1详解】

「、，2C243,…a(l+cosC)+c(l+cosZ)2b,

因为6ZC0S--+CC0S--=—6,则--------』~--------->-=

22222

即a+c+acosC+ccosA=3b,

由正弦定理可得3sin3=sin/+sinC+(sin/cosC+cosAsin(1)=sinN+sinC+sin(N+C)

=sin4+sinC+sin(兀-5)=sin24+sinC+sin5,

因止匕，sin/+sinC=2sinB.

【小问2详解】

因为sin4+sinC=2sin5,由正弦定理可得a+c=26=4,

由平面向量数量积的定义可得=cbcosA=3，

+02_24+/_2

所以，2c.==3,可得。2一力=2，

2bc2

即(c-a)(c+a)=4(c-a)=2,所以，c—a=；,则c=；,c7

I—

一4,

,332

「CVA——________—,/

所以，beg93，则A为锐角，且sin/=Jl-coi

J7呜哼

4

田叱c1_1_375

K1止匕，3△[=—besinA————x2x—x---=----.

“BC222434

16.如图，在四棱锥尸一48CD中，PD=1^C=CB=BA=-AD=2,AD//CB,

2

NCPD=/ABC=90°，平面PCD1平面ABCD,£为PQ中点.

/c>\

------------------74

（1）求证：尸。，平面尸C4；

（2）点0在棱P4上，C0与平面尸。。所成角的正弦值为也，求平面尸CD与平面8。夹角的余弦

3

值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

5

【解析】

【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直；

（2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可.

【小问1详解】

由题意：BC=AB=2,ZABC=90°,/.AC=^AB'+BC2=272-同理CD=2夜，

又AD=4,CD2+AC2=AD2,:.CD1NC.而C£）=242=-JPD2+PC2，即尸C，PD

又平面PCD1平面ABCD,平面PCDA平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,

.•.NC，平面PCD,PDu平面PCD,:.PDLAC,又PC上PD,且PCu面尸C4,ZCu面

尸C4,尸。口2。=。,；.尸。，平面尸。.

【小问2详解】

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

必，__________2sM

则C（0,0,0）,^（0,2V2,0）,D（2V2,0,0）,P（V2,0,V2）,

CD=（272,0,0）,CF=（V2,0,V2）,^4=卜加,2四,-&b

设所=4秒(0＜力＜1),有质=丽+几可=(枝(1—4),2仞,企(1—4)),

取面尸CD的一个法向量/=(0,1,0)，

，目,

2y[2x-0

n-CD=Q

令方=(xJ,z)是平面CD。的一个法向量，贝卜_，即冬+凡+*=0

n-CQ=Q

令尸1,有为=(0,1,-2),则向伍砌=^=¥,

故平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为叵.

5

17.已知点尸为圆C：(x—2尸+/=4上任意一点，2(—2,0),线段尸/的垂直平分线交直线尸c于点

M,设点〃的轨迹为曲线H.

(1)求曲线”的方程；

(2)若过点M的直线/与曲线〃的两条渐近线交于S,7两点，且〃为线段S7的中点.

⑴证明：直线/与曲线〃有且仅有一个交点；

21

(ii)求口可+0用的取值范围.

2

【答案】(1)x2-^=l

3

(2)(i)证明见解析，(ii)[V2,+coj

【解析】

【分析】(1)由双曲线的定义进行求解；

⑵(i)设仅天,%)，&占，匕)，7(入2，〃2)，求出与7=也，由直线/与曲线〃方程进行求解；

%

5)由网|0小也；+/枇+)=4回|=4'配片=4,则向+向=向+苧利用

基本不等式求解.

【小问1详解】

M为PN的垂直平分线上一点，则,

则||M4|-|MC||=||7WP|-|MC||=2<\AC\=4

...点M的轨迹为以4c为焦点的双曲线，且2a=2,c=2,

2

故点M的轨迹方程为〃：V一2L=i.

3

【小问2详解】

（i）设仅天,%），可占,匕），灭入2，无），双曲线的渐近线方程为：y=tMx，

如图所示：

则必=百西①，y2=-V3X2②，

①+②得,必+%=，（占一工2），

①-②得，%-%=6（%+々），

制%+必_6（西—/）%+必_3（再一/）

则/—r—，付—

。3（z占+%）%一%苞+々%

由题可知\MS\=\MT\,则X；+x2=2x0,y1+y2=2y0,

得%=3门一％）,即心=逛，

/%—%y»

r.直线ST的方程为「一%）=二乜（%一5）*即3xox-yoy=3%g-需,

又：点M在曲线■上，贝Ij3x；—y；=3,^3xox-yoy=3,

L

将方程联立3，得。;-3焉卜2+6工0》_3=0,

3xox-yoy=3

得—3x~+6xox—3XQ=0,

由A=（6x0,一4x（―3）x（―3x；）=0,可知方程有且仅有一个解,

得直线/与曲线〃有且仅有一个交点.

y=y/3xy/3V3

（ii）由（i）联立《，可得匹=~~j=------，同理可得，X2=­r=-------

^ox-yoy=3V3x0-j0-V3x0+70

则10slm=jn=4X37；=4,

故3工㈣〉23x网-亚

阿47，

\OS\\OT\|OS|4

23

当且仅当网V'即3=2近时取等号.

21

故网+西的取值范围为［逝,+00）.

【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中,先要计算|。5卜|。7|=4,再由基本不等式求解范围.

18.已知函数/(x)=ae“，g(x)=lnx+6(a,6eR).

（1）当6=1时，/（x）2g（x）恒成立，求实数a的取值范围;

（2）证明：当口=b1,6<1时，曲线y=/（》）与曲线y=g（x）总存在两条公切线;

（3）若直线小4是曲线>=/（》）与v=g（x）的两条公切线，且小4的斜率之积为1，求。，6的关

系式.

【答案】（1）［-,+◎.

e

（2）证明见解析（3）6=—Ina

【解析】

【分析】（1）参变量分离可得"》以'设尸a）=M'利用导数求出/（X）的最大值‘从而可得”的

e

取值范围;

L

(2)设两个函数的切点，由点斜式求解切线方程，利用公切线联立可得6=—-lnx1+l,再构造函数

Inx

h(x)=——lnx+1,利用导数即可证明b<l,即可求证；

x

(3)根据公切线得了'(s)=g'(/)=一g(’),化简整理可得Ina=-ln"s=Tm-1+•+("),题目转

s-t

化为M0=7n-l+=M+S-l)”ln”有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为加，由

m

11_/

〃(")=〃(一)可得〃，b的关系，代入中，可得b-1=1」必有两个不等实根，代入化简即可求解.

mt+1

【小问1详解】

]nY-I-1

由/(x)»g(x)得ae*»lnx+l，则——,

e

、几厂/xlux+1—lux—1

设尸(无)=丁，FV)=Z-------'

ex

由于y=,，y=-Inx均为(0,+oo)上的单调递减函数，故y=lnx-1为(0,+8)上的单调递减函数，结

XX

合〃(1)=0,

.•/'(x)在(0,1)为正，在(1,+8)为负，故尸(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，

•1E(X)max=E(1),则口2/(1)=L,

e

即a的取值范围是[士+00).

e

【小问2详解】

设直线/是〃吗应(久)的公切线，设g(x)的切点为(石,为演+与，/(x)的切点为卜2，起切，

/,(x)=ae\gV)=->

x

1nX2X2

所以切线方程为y='(X-X1)+xi+b,y=aQ(x-x2)+ae,

X1

x1

rX2

因止匕ae2=—且In再+b—1=ae巧一ax2e

x\一

结合a=eT，故e"2T='=>%2-1=-1口芭，故lnXi+b—l=aB(1_/)=也

西一苞

,,In%,y

进而可得6=-----In%】+1,

事

令/z(x)=U吵-lnx+1,故l(x)=l-卜：7,

XX

由于V=1-为单调递减函数，且〃'(1)=0,

故当xe(O,l),A,(x)>O,/z(x)在(0,1)单调递增；

当X£。,+8),/(%)<0,A(x)在(1,+8)单调递减;

故⑴=1,

又当X-+0,/z(x)->—00,且x->0,〃(x)->—00,

故6=3-In%+1总有两个不相等的实数根，因此直线/有两条,

再

【小问3详解】

由题意得：存在实数s,f,使/(x)在x=s处的切线和8(外在工=/处的切线重合,

/'⑻=g'(t)=/⑸一g⑺,即1,e"-Inf-6_?一出"6,

S—tUC———--------------------

tS~tS-t

则s—二1-八n”4，5=1-t\nt-(b-1)^,

又•「Qe，=-=>ln(2