2025春新高考数学专项复习：空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1平面的基本性质及推论】..................................................................4

【题型2点共线、点(线)共面、线共点问题】.....................................................6

【题型3等角定理】..............................................................................11

【题型4平面分空间问题】.......................................................................13

【题型5截面问题】..............................................................................15

【题型6异面直线的判定】.......................................................................19

【题型7异面直线所成的角】.....................................................................22

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】.............................................25

►考情分析

1、空间点、直线、平面之间的位置关系

考点要求真题统计考情分析

(1)借助长方体，在直观认

空间点、直线、平面之间的位置关

识空间点、直线、平面的2022年新高考I卷：第9题，

系是高考的热点内容.从近几年的高考

位置关系的基础上，抽象5分

情况来看，主要分两方面进行考查，一

出空间点、直线、平面的2022年上海卷：第15题，5

是空间中点、线、面关系的命题的真假

位置关系的定义分

判断；二是异面直线的判定和异面直线

⑵了解四个基本事实和2023年上海卷：第15题，5

所成角问题；常以选择题、填空题的形

一个定理，并能应用定理分

式考查，难度较易.

解决问题

►知识梳理

【知识点1平面的基本事实及推论】

1.四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论

(1)四个基本事实及其表示

①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)四个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

基本事实4：①判断两条直线平行.

(3)基本事实1和2的三个推论

推论自然语言图形语言符号语言

经过一条直线和这条直线

点A比Q04与力共面于

推论1外一点，有且只有一个平/V

面.平面％且平面唯一.

经过两条相交直线,有且只aC\b=P0a与b共面于

推论2

有一个平面.

平面%且平面唯一.

经过两条平行直线，有且只直线al1b台直线a,b共

推论3

有一个平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图⑴⑵所示，在N/O8与中，OA//O'A',OB//O'B',则乙4。3=/4。5

【知识点2共面、共线、共点问题的证明方法】

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【知识点3平面分空间问题】

1.平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢？

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

(1)(2)

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知识点4空间点、线、面之间的位置关系】

1.空间中直线与直线的位置关系

(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种:

(北而百纬J相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

＜八［平行直线：在同一平面内，没有公共点.

［异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)异面直线的画法

为了表示异面直线。力不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.

2.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

直线在平面内有无数个公共点

直线与平面相交aC\a—A有且只有一个公共点

-------a

直线与平面平行aIIa没有公共点

3.空间中平面与平面的位置关系

(1)两种位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

口

两个平面平行all。没有公共点

口

两个平面相交三aC\B=a有一条公共直线

(2)两种位置关系

平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线d//a,b'Hb,把"与〃所成的角叫做

异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：.

【方法技巧与总结】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所

成的角，也可能等于其补角.

►举一反三

【题型1平面的基本性质及推论】

【例1】(2024•全国•模拟预测)给出下列四个结论:

①经过两条相交直线，有且只有一个平面；

②经过两条平行直线，有且只有一个平面；

③经过三点，有且只有一个平面；

④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可.

【解答过程】根据基本事实以及推论，易知①②正确.

若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.

若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.

即正确的命题有2个，

故选：B.

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面B.四边形确定一个平面

C.三角形确定一个平面D.一条直线和一个点确定一个平面

【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可.

【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误，

四边形存在空间四边形，故选项B错误，

三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确，

当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误.

故选：C.

【变式1-2]（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）己知a,0是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A.若an/?=2,26戊且46£,则461

B.若4B,C是平面a内不共线三点，A&p,B&p,则

C.若直线aua,直线bu°,则。与6为异面直线

D.若8是两个不同的点，46a且Bea,则直线ABua

【解题思路】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断.

【解答过程】对于A,因为46a且4€3，则/是平面a和平面口的公共点，

又因为aC0=Z,由基本事实3可得4故A正确；

对于B,由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，

又因为46。，且/,B,Cea,则故B正确：

对于C,由于平面a和平面0位置不确定，

则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；

对于D,由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内，故D正确.

故选：C.

【变式1-3］（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.过三个点有且只有一个平面

B.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面

C.四边形为平面图形

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【解题思路】根据平面的基本性质可判断A,D,由推论可判断B,根据特例可判断C.

【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；

因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直

线共面，故B错误；

由空间四边形不是平面图形可知，C错误；

由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.

故选：D.

【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】

【例2】（2024•吉林•模拟预测）在长方体4BCD-4再也1。1中，直线&C与平面注当小的交点为M,0为线段

当小的中点，则下列结论错误的是（）

A.4M。三点共线B.四点异不共面

C.四点共面D.四点共面

【解题思路】由长方体性质易知441,4C四点共面且。是异面直线，再根据M与&C、面ACCr

乙、面ABrDr的位置关系知M在面4CC1&与面AB1D1的交线上，同理判断。、A,即可判断各选

项的正误.

【解答过程】

因为44i〃CCi,

则4&,Ci，C四点共面.

因为Me/liC,

则Me平面ACCrAr,

又Me平面AB^Dx,

则点M在平面4CC1&与平面的交线上，

同理，。、4也在平面ACC1&与平面AB1D1的交线上，

所以4M。三点共线；

从而M.O.Ax.A四点共面，都在平面ACC^Ax内，

而点3不在平面ACC1A1内，

所以M,。,B四点不共面，故选项B正确；

民当,。,三点均在平面881。1。内，

而点A不在平面BB1D1D内，

所以直线/。与平面BBiOi。相交且点。是交点，

所以点/不在平面8当。1。内,

即四点不共面，

故选项C错误；

BCIID1&,且BC=DM

所以BCDMi为平行四边形，

所以C4i,BDi共面，

所以B,D1cM四点共面，

故选项D正确.

故选:C.

【变式2-1］（23-24高一下•江苏•阶段练习）下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点

不共面的是（）

【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.

【解答过程】在A图中，分别连接

由正方体可得四边形4BCD为矩形，则4B〃CD,

因为P,S为中点，故PS〃4B,贝iJPS〃QR,所以P,S,R,Q四点共面.

在B图中，设E,F为所在棱的中点，分别连接PS,SR,REFQ,EQ,PE,

Q

由A的讨论可得PS〃ER,故P,S,E,R四点共面，

同理可得ER〃QF,故PS〃QF,同理可得EP〃RF,SR//EQ

故FC平面PRS,Q6平面PRS,所以P,S,R,Q,E尸六点共面.

在C图中，由P,Q为中点可得PQ〃48,同理RS〃4B,

在D图中，PQ,RS为异面直线，四点不共面.

故选：D.

【变式2-2]（2024•重庆•二模）如图所示，在空间四边形/8C。中，E,尸分别为的中点，G,H分

别在BC,C。上，且86:6。=。”:"。=1:2,则下面几个说法中正确的个数是（）

①£,F,G,〃四点共面；②EG〃FH;③若直线EG与直线FH交于点尸，则P,A,。三点共线.

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】推导出E/7/8D,GH//BD,从而EF//GH,由此能证明E,F,G,“四点共面；EFGH,从

而直线EG与直线尸〃必相交，设交点为尸，证明尸点在直线4C上.

【解答过程】如图所示，

E,P分别为AB,4D的中点，.•.EF〃BD,EF=^BD,

G,H分别在8C,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2,:.GH//BD,GH=|B。,

.■.EF//GH,则E,F,G,〃四点共面，说法①正确；

■■GH>EF,四边形FEGH是梯形，EG〃FH不成立，说法②错误；

若直线EG与直线FH交于点P,则由PCEG,EGu平面4BC,得Pe平面4BC,

同理pe平面acD,又平面4Bcn平面a。。=ac,PEAC

・••则尸，A,C三点共线，说法③正确；

说法中正确的有2个.

故选：C.

【变式2-3］（2024•四川南充•三模）如图，在直三棱柱28。一4/1的中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分别为力B、BBi、CCi、4C的中点，则下列说法中错误的是（）

^ir==----------Q

A.41C1G”

B.E、F、G、”四点共面

C.设BC=2,则平面EFCi截该三棱柱所得截面的周长为1+遮+2返

D.EF、GH、441三线共点

【解题思路】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A,根据两直线平行确定平面判断B,作出截面四边形,

根据截面边长的大小判断C,利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.

【解答过程】如图，

连接4C1/1C,由H,G分别为C4CQ中点，可得HG〃aj,

由2C=8。=441可知，侧面力&C1C为菱形，

所以41C14C1，所以41C1GH,故A正确；

连接HE,GF,因为£、F、G、〃分别为48、BB「CC^AC的中点,

所以HE〃BC,GF//BC,所以GF〃HE,所以E、F、G、〃四点共面，故B正确；

延长FE交4遇的延长线于P点，连接PCi，交4C于Q点，连接QE,CiF,

设FE,FCi确定平面为a,则P,Qea,所以PC】ua,所以JQ,QEua,

则易知三棱柱的截面四边形为FEQCi，在RtaCiaF中，C/=V22+12=G

在RtZkBEF中，EF=J（V2）2+I2=V3,而RtZXAEH中，QE>EH=1,

而射（2>的//=412+22=店,所以截面的周长大于1+遮+2而，故C错误；

由B知，GF〃HE^HE^GF,所以梯形的两腰EF、GH所在直线必相交于一点P,

因为PC平面414881，P，e平面&aCCi，

又平面力MBB1C平面A/CCi=441，所以遇，所以P'与P重合，

即EF、GH、三线共点于P,故D正确.

故选：C.

【题型3等角定理】

【例3】（23-24高一•全国•课后作业）给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断;

对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不

互补，据此判断.

【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；

对于③，如图所示，

B

P

A

BC1PB,ACLPA,ZJC5的两条边分别垂直于ZJP2的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故

③错误.所以正确的命题有1个.

故选：B.

【变式3-1］（23-24高一下•全国•课后作业）已知AB〃PQ,BC//QR,乙4BC=30。，则NPQR=（）

A.30°B.30。或150°

C.150°D.30°或120°

【解题思路】根据等角定理，即可得到结论.

【解答过程】24BC的两边与NPQR的两边分别平行，

根据等角定理易知APQR=30。或150。.

故选：B.

【变式3-2］（23-24高一•全国•课前预习）在三棱锥P—N8C中，PBLBC,E,D,尸分别是PA,AC

的中点，贝吐。所=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解题思路】由£刀,尸分别为的中点，得到DE"PB,EF“BC,结合题意得出即可求解.

【解答过程】如图所示，因为E,D,F分别为4B,P44C的中点，可得DE//PB,EF〃BC,

又因为P8_LBC,所以。E_LEF,所以NDEF=90°.

故选：D.

【变式3-3］（2024•全国•模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三

角形（）

A.全等B.相似

C.仅有一个角相等D.无法判断

【解题思路】根据等角定理，结合题意进行判断.

【解答过程】由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等,

所以这两个三角形相似.

故选：B.

【题型4平面分空间问题】

【例4】(2023•广东广州•模拟预测)三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，贝M不可能是(

A.4B.5C.6D.7

【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出n的值.

【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分；

1

4

图1图2

(3)三个平面中没有平行的平面:

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分;

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分.

图4

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分;

图5

综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分,

故选：B.

【变式4-1]（23-24高二上•四川乐山•阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（）

【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.

【解答过程】对于A,三个平面将空间分成4个部分，不合题意:

对于B,三个平面将空间分成6个部分，不合题意;

对于C,三个平面将空间分成7个部分，符合题意;

对于D,三个平面将空间分成8个部分，不合题意.

故选：C.

【变式4-2]（23-24高一下•浙江•期末）空间的4个平面最多能将空间分成（）个区域.

A.13B.14C.15D.16

【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理.前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交

线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个

截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数.

【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个

部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这

里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，

这样所有空间部分的个数为8+7=15.

故选：C.

【变式4-3]（2024•四川内江•三模）三个不互相重合的平面将空间分成几个部分，贝历的最小值与最大值之

和为（）

A.11B.12C.13D.14

【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.

【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分:

1

4

图1图2

(3)三个平面中没有平行的平面:

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分；

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分;

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分，

图3图4图5

所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分，九的最小值与最大值之和为12.

故选：B.

【题型5截面问题】

【例5】(2023•四川南充•一模)如图,正方体4BCD-力i/CiDi的棱长为2,E,尸分别为BC,CQ的中点,

则平面4EF截正方体所得的截面面积为()

39

A.-B.-C.9D.18

【解题思路】根据E,尸分别是BC,CCi的中点，得到EFIIBCi，利用正方体的结构特征，有4%||3附，从

而有EFIIADi，由平面的基本性质得到4。1万尸在同一平面内，截面是等腰梯形，再利用梯形面积公

式求解.

【解答过程】由题知连接BCi，AD1,%F,如图所示

因为E,F分别是BC,CCi的中点，所以EFIIBCi，

在正方体中AD1IIBQ,所以EF||皿,

所以4Di,E,F在同一平面内，

所以平面2EF截该正方体所得的截面为平面EFD遇，因为正方体的棱长为2,

所以EF=V^,AD、=2笆,D-^F=AE=V22+l2=V5,

则E到ADi的距离为等腰梯形EFDM的高为=乎，

所以截面面积为S=*2或+&）x苧=,故B正确.

故选：B.

【变式5-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，£为棱5c的中点,

用过点41，E,Q的平面截正方体，则截面周长为（）

C.2V2+2V5D.3V2+2^/3

【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.

【解答过程】

如图，取48的中点G,连接GE,&G,AC.

因为E为8C的中点，所以GE〃/IC,GE=\AC,

又4公〃CCI，A4i=CCi，

所以四边形accMi为平行四边形，

所以2C〃&0,AC=A1C1,

所以41CJ/GE,A1C1=2GE,

所以用过点E,好的平面截正方体，所得截面为梯形力iCiEG,

其周长为2V^+V5++V5-3y/2+2V5.

故选：A.

【变式5-2］（2024•上海黄浦•二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体ZBCD-AiBiCiDi的棱力B,BC和C/1的

中点，由点P,Q,R确定的平面6截该正方体所得截面为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【解题思路】根据题意，取4小的中点T,441的中点M,CCi的中点S,连接PMTM,RS,QS,可得过P,Q,R的

截面图形.

【解答过程】解：如图，取4外的中点7,

441的中点M，CCi的中点S,连接PM,TM,RS,QS,

由正方体的性质可知力iCi〃MS〃4C,

由中位线性质可知PQ〃4C,R77//11C1,

所以，PQ//MS//RT,

所以，由点P,Q,R确定的平面£即为截面PQSRTM,其为六边形.

故选：D.

【变式5-3］（2023•天津和平•三模）已知正方体4BCD-4/传1。1的棱长为6,点E,F分别在棱小乙，D©

上，且满足翳=霁=］点。为底面4BCD的中心，过点E,F,。作平面EFO,则平面EF。截正方体

4BCD-所得的截面面积为（）

A.8V22B.6V22C.4V22D.2V22

【解题思路】由于上下底平行，则可得平面EFO与上下底面的交线平行，则可得EF为平面EF。与上底面公历

的。1的交线，AC为平面EF。与下底面的交线，则梯形EFC4为平面截正方体的截面，可证得梯形EFC2

为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.

【解答过程】连接力GBD,4心,2C与BO交点即为。，

因为^==所以EM&Ci，

以17113

因为41C1MC,所以EFL4C,

所以E,F,O/,C共面，

所以平面EF。截正方体力BCD-a/iCiDi所得的截面为梯形EFC4

因为正方体4BCD-41B1C1D1的棱长为6,且微牛==g

口1/11zyi5

所以4c=7AB2+BC2=V62+62=6立，

在RtZXDiEF中，DrE=DrF=2,则EF=JD、E2+。俨=2鱼,

在RtZk44iE中,ArE==6-2=4,则

222

AE=yjAA1+A1E=V6+4=2y/13,

在RtZ\"iF,CiF=DrCr-DrF=6-2=4,贝！J

CF=yjccl+QF2=V62+42=2V13,

过E作EM_L4C于M,贝必IM=丝卢=先但/=2鱼，

所以EM=A/4以2—4M2=J(2V13)2-(2V2)2=2VIT,

所以等腰梯形EFC4的面积为

|x(FF+/lC)xEM=|x(2V2+6V2)x2VTT=8V22,

故选：A.

【例6】（2024•上海•模拟预测）如下图，P是正方体力BCD-4/1射。1面对角线小Ci上的动点，下列直线中,

始终与直线BP异面的是（）

A.直线DDiB.直线BiCC.直线D.直线4C

【解题思路】利用正方体的特征及异面直线的定义一一判定即可.

【解答过程】当尸位于&C1中点时，易知Pe/Di，由正方体的特征可知四边形B&DiD为平行四边形，此

时BP、DDiu面BBiDiD,故A错误；

当尸与C1重合时，此时BP、B]Cu面B&CiC,故B错误；

当尸与G重合时，由正方体的特征可知四边形48的。1为平行四边形，此时BP〃/1小，故C错误；

由正方体的特征可知四边形4CC1&为平行四边形，

而B任平面ACCMi，Pe平面"CiA，ACZ/A-iCx,AC,人心u平面"的阳BPnA1C1-P,

故力C与BP始终异面，即D正确.

故选：D.

【变式6-1］（23-24高一下•河北•期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列

直线中，与直线2D是异面直线的是（）

H-------G

~D~C-

FI---------------------

AB

-------'F

A.FGB.EHC.EFD.BC

【解题思路】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.

【解答过程】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线4。是异面直线的是EF,

其中4£）〃BC〃EH〃FG,所以an与BC共面、an与EH共面、a。与“共面.

【变式6-2］（2024•山东潍坊•模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到

了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线中，异面直线有（）

A.1对B.3对C.5对D.2对

【解题思路】作出正方体的图形，结合异面直线的定义判断可得出结论.

【解答过程】作出正方体的图形如下图所示：

贝MB与CD、AB与GH、EF与是异面直线，共3对.

故选：B.

【变式6-3］（2024・四川宜宾•二模）四棱锥P-4BCD所有棱长都相等，M、N分别为P4CD的中点，下列

说法错误的是（）

A.MN与PD是异面直线B.MN〃平面PBC

C.MN//ACD.MNLPB

【解题思路】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A、B、C的正误，由线

线垂直可判断选项D.

【解答过程】由题意可知四棱锥P-ABC。所有棱长都相等，

“、N分别为P4CD的中点，MN与PD是异面直线，A选项正确；

取PB的中点为H,连接MH、HC,

四边形力BCD为平行四边形，AB//CDS.AB=CD,

•••M、H分别为24、PB的中点，则MH//4B且=

为CD的中点，CN//MHS.CN-MH,则四边形CHMN为平行四边形，

MN//CH,且MNC平面PBC,CHu平面PBC,MN〃平面PBC,B选项正确；

若MN//AC,由于CH〃MN,贝〃4C,事实上2CnCH=C,C选项错误；

•••PC=BC,"为PB的中点，CH1PB,■■■MN//CH,.-.MN1PB,D选项正确.

p

故选：c.

【题型7异面直线所成的角】

【例7】（2024•新疆喀什•三模）已知底面边长为2的正四棱柱4BCD-4道停1。1的体积为16,则直线4C与

41B所成角的余弦值为（）

A*B.渔C.逗D.亚迈

551010

【解题思路】如图，确定N4CD1（或其补角）为直线AC与所成的角，求出CCi，进而求解.

【解答过程】如图,连接皿皿,则占8〃0道，取2c的中点0,连接。01，则。DilZC,

所以N2CD1（或其补角）为直线AC与4中所成的角，

又正四棱柱的体积为16,则该棱柱的高为CCi=悬=4,

22

又"=2y/2,AD1=CD1=V44-2=2V5,

所以

COSNACOI1=CD12V510

即直线AC与4#所成角的余弦值为笔.

故选：C.

【变式7-1］（2024•云南•二模）如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F、M、N分别是D%、。停1、BC、B

%的中点，则异面直线即与所成角的大小为（）

71

C.§D.£

【解题思路】在正方体中，作出异面直线E尸与所成的角，利用定义法求解即得.

【解答过程】在正方体4BCD—4再也1。1中，连接BiC/iD/iCi,CiD,

由2181〃48〃。。/止1=43=。。，得四边形4中修。为平行四边形，B\C〃A、D,

由E、F、M.N分别是。。1、DiCi、BC、BBi的中点,得MN〃B\C”A\D,EF//CXD,

因此/&DC1是异面直线EF与MN所成的角或其补角,

在△4中，A^D=A.\C\=C^D,因止匕NAiDC[=],

所以异面直线EF与所成的角是与

故选：C.

【变式7-2]（2024•陕西・模拟预测）如图，在直三棱柱48。一4$1小中，AB=AD=AAlt^ABD=45°,P

为当。1的中点，则直线PB与A以所成的角为（）

C.60°D.90°

【解题思路】E是30中点，连接EO1ME,易知乙为直线PB与4%所成角的平面角，根据已知条件及余

弦定理求其余弦值，即可得N4D1E的大小.

【解答过程】若E是BD中点，连接EDiHE,

直三棱柱ABD-ABiDi中PDJ/BE且PZ%=BE,贝国5口止为平行四边形，

所以PB〃/E,故直线PB与4外所成角即为N2D1E,

令4B=40=441=2,又4ABD=45。,则N4DB=45。且4E1BD,则4E=鱼，

又AD、=2五,D、E=瓜,故cosN4DiE=^|耨泮=亨，又乙e（0,兀），

所以乙4。亚=30。.

故选：A.

【变式7-3］（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在正三棱柱2BC-4i81cl中，441=48,点。是线段4〃上

靠近乙的三等分点，则直线与BiC所成角的余弦值为（）

A叵BCD—

"10-10-20'20

【解题思路】利用平移法作出异面直线射。与&C所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案.

【解答过程】

如图所示，不妨取44i=4B=3,分别取棱CCi，C/i，CB上点M,N,K,

使得CiM=CiN=CK=2,由C1M//4D,且CiM=4D,

所以四边形4DC1M为平行四边形，所以DC1//4M,

在△C\CBi中，由黑'=器，导MN〃CBI，

所以故乙4MN（或其补角）为异面直线Ci。与8停所成角，

因为NK〃BBi，所以NK1底面ABC,而4Ku底面ABC,所以NK14K,

在△力CK中，AK=y/AC2+CK2-2AC-CK-cos60°=V9+4-6=V7,

所以4N=7NK2+力K2=V9T7=4,

AM2+MN2-AN210+8-16西

在△■人中,cosZ-AMN=

-2AM-MN-2-V10-2V2-20

故异面直线的。与B1C所成角的余弦值为嘉

故选：D.

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】

【例8】（2024・上海长宁•二模）己知直线a力和平面a,则下列判断中正确的是（）

A.若a〃a力〃a,则£1〃》B.若a〃b,6〃a,贝！|a〃a

C.若a//a,61a,贝！Jal6D.若al6,b//a,贝!Jala

【解题思路】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项.

【解答过程】对于A,由0/a,b//a,贝加与b可能平行，相交，异面，故A错误；

对于B,由"/6,b//a,则＜2〃0:或aua,故B错误；

对于C,由可/a,bla,则a1b,故C正确；

对于D,由a16,b//a,贝!Ja〃。或aua或a1a,故D错误.

故选：C.

【变式8-1]（2024•浙江绍兴•三模）设加，"是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列命题中

正确的是（）

A.若al/?,m||a,贝!JmlS

B.若7nlS，mla,n||a,则九II/?

C.若mla,n1/?,m||n,则al/?

D.若=九||a,几II/?,则THIIri

【解题思路】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.

【解答过程】若a~L/?,m||a,则?n||0或mu/?,所以A错；vml/?,mla,a||/?,n||a,.・・九||/?或

nuS，所以B错；

若mJ.a,nip,m||n,则a||6，所以C错；若an/?=TH,n||a,n||P，则九与两面的交线m平行，即

m||n,故D对.

故选：D.

【变式8-2]（2024・河南•三模）已知血,九为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的

是（）

A.若mua,ncct,n///?,贝!Ja〃/?

B.若m〃a,riuq,则7n〃7i

C.若zi//m,m（^a,nua,贝!!m//优

D.若a]",mua,nu0,则相〃九

【解题思路】由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可.

【解答过程】A：由THua刀ua,TH〃夕，几〃夕，可知a、/?可能平行或相交，A错误；

B：由m〃a,九ua,可知TH、汀可能平行或异面，B错误；

C：由7i〃zn,mc^a,nua,可知m〃a,C正确；

D：由。〃6，mua,nu0,可知m、九可能平行或异面，D错误.

故选：C.

【变式8・3】（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知血、几是两条不同的直线，a、£、y是三个不同的平面.下列说法

中正确的是（）

A.若m||a,m||0,则aII/?

B.若THIIa,n||a,则zn||n

C.若a1/?,/?!y,则aIIy

D.若7nla,ml/?"IIy,则夕IIy

【解题思路】由线线，线面，面面之间的关系逐项判断即可.

【解答过程】对于选项A：若6||atm||B，则a与夕平行或相交，故A不正确;

对于选项B：若zn||a,n||a,则m与几可平行、异面或相交，故B不正确；

对于选项C：若a_L/5/J.y,则a||y或any=2,故C不正确；

对于选项D：若mla,7n1氏则a||/?,又a||y,则/?||y,即D正确.

故选：D.

►过关测试

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（）

A.三条直线最多可确定1个平面B.三条直线最多可确定2个平面

C.三条直线最多可确定3个平面D.三条直线最多可确定4个平面

【解题思路】根据平面的性质判断即可.

【解答过程】在空间中，三条直线最多可确定3个平面，

例如：三棱锥S-4BC中的三个侧面.

故选：C.

2.（2024・上海•三模）在空间中，2、方为异面直线”是％、6不相交”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【解题思路】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.

【解答过程】直线a、6为异面直线，则直线a、6不相交，

反之，直线a、6不相交，直线a、6可能平行，也可能是异面直线，

所以在空间中，％、6为异面直线”是％、6不相交”的充分非必要条件.

故选：A.

3.（2024高一•全国•专题练习）平面a,y不能将空间分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分