2025届高考数学第一轮专项复习：椭圆及其性质（含解析）

2025届高考数学第一轮专项复习—椭圆及其性质

目录

01考情透视•目标导航.............................................................2

02知识导图•思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：椭圆的定义............................................................4

知识点2：椭圆的方程、图形与性质................................................4

解题方法总结....................................................................7

题型一：椭圆的定义与标准方程....................................................8

题型二：椭圆方程的充要条件.....................................................13

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题.................................15

题型四：椭圆上两点距离的最值问题...............................................20

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题.............................................25

题型六：离心率的值及取值范围...................................................28

方向1：利用椭圆定义去转换.....................................................28

方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式.......................................31

方向3：利用最大顶角。满足eVl......................................................................................33

方向4：坐标法.................................................................36

方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................39

方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................42

方向7：利用基本不等式.........................................................44

方向8：利用焦半径的取值范围为[a-c,a+c]...........................................................................47

方向9：利用椭圆第三定义.......................................................49

题型七：椭圆的简单几何性质问题.................................................52

题型八：利用第一定义求解轨迹...................................................58

题型九：椭圆的实际应用.........................................................64

04真题试卷练习•命题洞见........................................................71

05课本典例•高考素材............................................................73

06易错分析•答题模板............................................................76

易错点：椭圆焦点位置考虑不周全.................................................76

答题模板：求椭圆的标准方程.....................................................77

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考点要求考题统计考情分析

2024年II卷第5题，5分

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要

2023年甲卷（理）第20题，12分

（1）椭圆的定义及其标考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及

2023年I卷II卷第5题，5分

准方程椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求

2023年北京卷第19题，15分

（2）椭圆的几何性质解，更是高考的热点问题，因方法多，试题

2023年甲卷（理）第12题，5分

灵活，在各种题型中均有体现.

2022年甲卷（理）第10题，5分

复习目标：

（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.

（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

（3）掌握椭圆的简单应用.

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匐2

椭圆及其性质

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知识固本

知识点1:椭圆的定义

平面内与两个定点£,月的距离之和等于常数2。(2。>|月8|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫

做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|FyF2|=2c>0)}

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

【诊断自测】已知点N(TO),5(1,0),动点P(xj)满足|尸』+|依|=1,则动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

【正确答案】D

由题设知网|+|网=1<|/耳=2,

则动点P的轨迹不存在.

故选：D

知识点2：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示.

焦点

焦点在X轴上焦点在V轴上

的位置

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图形

4HloAXAI

标准

fv2

/+序=1(»>0)…)

方程

统一

mx2+ny2=l(m>0,n>0,m

方程

参数\x=acos0、rAW,/、

[x=acosO、，A%,、，。为参数(。£[0,2刈)

\，。为参数(。£[0,2刈)[y=bsin0

[y=bsin0

方程

第一到两定点F、、F］的距离之和等于常数2a,即|〃玲+|血里|=2。

定义(2a>|耳耳|)

范围-a<x<aS.-b<y<b-b<x<bB.-a<y<a

A](—0)、A20)A](0,—a)、A，2(0,Q)

顶点

B](O,—b)、B2(O,6)B1(-"0)、B2(6,0)

轴长长轴长二2〃，短轴长二26长轴长=2Q,短轴长=2b

对称

关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

性

焦点片(-0)、7%(c,0)片(0,-c)、月(0，。)

焦距但居=2c(c2=a2~b2)

离心

e/_乌(0<e<!)

a〃N—/J[I

率

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准线

方程C

点和

22'I「外

2＞1］外

椭圆咚+普=1=点（X。,%）在椭圆上2

4+兽=10点（%,%）在椭圆上

ab,

〔＜1〔内ab,

的关〔＜1〔内

系

+碧^=1((%Jo)为切点)驾。*~=1（（%Jo）为切点）

abab

切线

对于过椭圆上一点（x0,%）的切线方程，只需将椭圆方程中V换为/x,/换

方程

为JV可得

切点

弦所在的誓+誓=1（点（％,%）在椭圆外）理+等=1（点（X。,%）在椭圆外）

abab

直线方程

2h2

①COS*-----I%=4%（3为短轴的端点）

16上m焦点在X轴上

②SAP尸内=5/sin8=/tan万=

c|x0|,焦点在了轴上

P®,y。）

焦点

三角形面

积当P点在长轴端点时，（？2）min%2

当P点在短轴端点时，（八々）max=a2

焦点三角形中一般要用到的关系是

'\MFl\+\MF2\=2a(2a>2c^

、S-=1|PF1||PF2|sinZF1PF2)

2

解工|=|尸耳「+1PF21-21*||尸居|c「"/线

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左焦半径：用+叫）上焦半径：|儿阴|=4-00

焦半

又焦半径：=下焦半径：\MF1\=a+eyQ

径

焦半径最大值Q+C,最小值

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2a（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为4（国,必），kAB=k,

贝（］弦长［4同=J］+左2|再_引=J］+左2"（/_%）2—4再入2

弦长

=+_.2）2=，］+左2*

公式

Vk\a\

（其中Q是消）后关于X的一元二次方程的X2的系数，A是判别式）

【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是片（-3,0）,工（3,0）,椭圆上的点尸到两焦点的距离之和等于8,

则该椭圆的标准方程为（）

x2/_x2j2x2j2_x2y2_

AA.-----1----=1B.-----1-----=1C.-----1------1D.-----1----=1

642816716943

【正确答案】B

椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,故2。=8,°=4,

且耳（-3,0）,故c=3,/=a?一/=7,

22

所以椭圆的标准方程为土+匕=1.

167

故选：B

解题方法总结

2b2

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为生.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

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（2）椭圆的切线

22

①椭圆'+4=1>6>0）上一点尸（尤0,%）处的切线方程是警+理=1；

abab

22

②过椭圆二+2=1（。>6>0）外一点尸（方,%）,所引两条切线的切点弦方程是岑+绰=1；

abab

22

③椭圆A+4=l（。>6>0）与直线Nx+8v+C=0相切的条件是+4〃=,2.

ab

题型一：椭圆的定义与标准方程

【典例1-1】（2024•全国•模拟预测）过四点（0』），用j，1L苧］中的三点的一个椭圆标

准方程可以是—，这样的椭圆方程有一个.

【正确答案】二+/=1或a+型=1（写一个即可）2

4-1313

因为点W1-同关于X轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有（0,1）,1一同和

卜一手|两种情况.

设椭圆方程为冽—+町2=1Qmwn,m>0,〃>0).

当椭圆过（0,1）,一--三点时，将（0,1）,的坐标代入椭圆方程，得

7

n=l

31解得1,所以椭圆的方程为土+v=l.

m+—n=1m=—4

4I4

同理可得当椭圆经过i,-三三点时，代入椭圆方程有，得

I2）

-m+n=\

412

3「得m=一,n=一

1313

4

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该椭圆的方程为a+型=1.

1313

故《+/=1或曳匚+空=1（写一个即可）；2

41313

【典例1-2】已知片，月是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PFJPF”且俨£|:|次|=2:5,

则C的长轴长与焦距的比值为（）

A.LB.2C.变D,2^9

27729

【正确答案】D

由忸团+|尸阊=2a,结合题设有忸凰=，，\PF2\=ya,

由助,桃，则

化简得29/=49-故C的长轴长与焦距的比值为||=£=息=甯

故选：D.

【方法技巧】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定/I?的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在X轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出

。，瓦c的方程组，解出。2,万,从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为//+为2=1（/>0,8>0,Zw8）.

2222

②与椭圆土+匕=1共焦点的椭圆可设为——+——=1（左>-m,k>—n,m手n）.

mnm+kn+k

2222

③与椭圆二+2=1（。>6>0）有相同离心率的椭圆，可设为「+==匕（左>0,焦点在无轴上）或

abab

—r+^-Y=k2（左2〉0，焦点在y轴上）.

ab

【变式1-1】方程J（X-3）2+>+J（X+3）2+y2=10表示的曲线是,其标准方程是.

【正确答案】椭圆—

2516

方程J（X-3）2+/+J（x+3）2+/=io,

表示点PO,y）到/（3,0）,8（-3,0）两点的距离之和等于10,而10>6,

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所以方程7(x-3)2+y+正+3>+1=10表示的曲线是椭圆,

且长轴长2〃=10,焦星巨2。=6,所以〃=5,。=3,

所以半短轴长b=02=4

22

所以其标准方程为二十匕=1.

2516

22

故椭圆；二+匕=1.

2516

【变式1-2】已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过N(-g,-2)和8(-26,1)两点，则椭圆。的标准方

程为—.

22

【正确答案】二+匕=1

155

设所求椭圆方程为：mx2+ny2=l(m>0,〃>0,冽。将A和5的坐标代入方程得：

3冽+4〃=1

-1,解得

1

n=—

5

22

所求椭圆的标准方程为.土+匕=1

155

2

故答案为.,L+匕v=1

155

【变式1-3】已知椭圆C:，+，■=l(。>6>0)的左、右焦点为片此(1,0),且过点则椭

圆标准方程为.

22

【正确答案】土+匕=1

43

由题知：c=l,①

又椭圆经过点尸(1=］，

9

所以_1+苴=1，②

a2b2-

又/一斤=02,③

联立解得：。2=4方=3,

故椭圆的标准方程为.《+且=1

43

故答案为.工+金=1

43

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22

【变式1-4](2024・高三・广东揭阳•期末)已知椭圆£：[+与=1(q>6>0),歹是£的左焦点，过

ab

£的上顶点N作/9的垂线交£于点次若直线的斜率为-百，尸的面积为走，则£的标准方程

为一

22

【正确答案】TX-

416

设。为坐标原点，直线交x轴于点C,如图所示:

由题意知：ABLAF,直线48的斜率为-右，即如=-百,

所以NNC/=60°,ZAFC=30°.

由椭圆的性质知:\O^\=b,\OF\=c,则M尸|=a,所以|0司

2

则,故直线的方程为y=-G尤+$

X2

=1

46a

■x=0x=----

13

联立y=_®*,解得：■Q或〈

y=—1la

2y=----

26

4百。1\a、

所以8故网=

13

4

1a1二+乙一1

又0>0,所以a=：,即6=2=；,则E的标准方程为1+1T.

2244

巨+匚1

故答案为.7+工一】

416

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【变式1-5］过点,-6）,且与椭圆（+弓=1有相同的焦点的椭圆标准方程是

【正确答案】—+

204

22

由题意设椭圆的方程为^^+上=1,0<A<9,

25-29-2

53

将点（后,-百）代入,-------------1-----------

25-29-2

整理可得：万-26；1+105=0,

解得2=5或4=21（舍），

22

所以椭圆的方程为:W,

204

22

故工+匕=1.

204

【变式1-6］（2024・山西太原•三模）已知点号月分别是椭圆C的左、右焦点，尸（4,3）是C上一点,

△尸6月的内切圆的圆心为/（刈,1）,则椭圆C的标准方程是（）

.x2y2x2j2x2y2

242728215213

【正确答案】B

丫2t2169

依题意，设椭圆C的方程为=+《=1（。>6>0）,由P（4,3）在。上，得二+言=1,

abab

显然片的内切圆与直线片心相切，则该圆半径为1,而名晔=；（2a+2c）/=a+c,

又色小=、2C-3=3C，于是a=2c，b2=a2-c2=-a2,因此"+耳■=1，解得/=28万=21,

1224aa

所以椭圆C的标准方程是《+上=1.

2821

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题型二：椭圆方程的充要条件

【典例2-1】（2024•山西吕梁•二模）若函数y=log〃（尤-2）+1（。>0,且a/1）的图象所过定点恰好在椭

22

圆土+匕■=1（机>0,〃>0）上，则机+"的最小值为（）

mn

A.6B.12C.16D.18

【正确答案】C

由题意得，函数y=bg“（x-2）+l（a>0,且的图象所过定点为（3,1）,则2+^=1,

mn

所以机+〃=（机+/2+口=10+4叱10+16,

n）mnn

9HTYl

当且仅当也=生，即加=12,”=4时等号成立.

mn

故选：c.

22

【典例2-2】方程=1表示椭圆的充要条件是（）

4+m2-m

A.-4<m<-\B.m>-\

C.-4<m<2D.一4〈加v—l或一1<加〈2

【正确答案】D

4+m>0

22

若表示椭圆，则有2-加>0,

4+m2-m.。

4+加w2-m

施牟得一4<冽<—1或一1<加<2.

故选：D.

【方法技巧】

22

上+匕=1表示椭圆的充要条件为：m>0,n>0,m^n；

mn

—+—=1表示双曲线方程的充要条件为：mn<0；

mn

—+^=1表示圆方程的充要条件为.加=">0

mn

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）命题“实数pe（1,3）”是命题，曲线

（3-p）尤2=（3-p）（?-1）表示椭圆,，的—一个（）

A.充要条件B.充分不必要条件

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C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

22

由题意“曲线(3-°)/+(2-1)/=(3-0(0-1)表示椭圆”等价于“曲线口+4=1表示椭圆”，

p-\3-p

>0

221

而“曲线J+d=l表示椭圆”，等价于3-。>0,解得l<p<2或2<?<3,

PT3~P—2

p-1^3-p

所以命题“实数pe(l,3)”是命题“曲线(3-0)/+(/?-1)廿=(3-0(0一1)表示椭圆，，的一个必要不充分

条件.

故选：C.

【变式2-2](2024•高三・辽宁大连•期末)已知曲线“。：(1呜2024片2+(1(^2024)「=1表示焦点在歹轴

上的椭圆”的一个充分非必要条件是()

A.0<a<bB.l<a<b

3

C.—<a<bD.l<b<a

2

【正确答案】C

2

若C:(log,2024)X+(log62024)/=1表示焦点在V轴上的椭圆，

log。2024>0a>\

则有log&2024>0,即6>1,即1<.<6,

loga2024>logfc2024a<b

故A、D选项为既不充分也不必要条件，B选项为充要条件，

C选项为充分非必要条件，故C选项符合要求.

故选：C.

【变式2-3】对于方程/+小强=18一封卜示的曲线。，下列说法正确的是()

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B.若a为负角，则曲线C为双曲线

C.若口为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在x轴上

【正确答案】B

对A,当a=0,即sina=0时，曲线。的方程为-=1,%=±1,

此时曲线。为两条平行的直线，故A错误；

7T

对B,若a为负角，即一一<a<0,则sine<0,

2

此时曲线C为双曲线，故B正确；

rr7T

对C,若。为正角，即0<a4一，当1=—时，sina=l,

22

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则曲线C的方程为》2+丁=1,是圆，故c错误；

2

对D,若。为椭圆，贝ljO<sina<l,^—>1,又一+小后。=1可变形为11

sina——

sina

则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选：B.

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

【典例3-1】已知双曲线G：/一方=19>0）与椭圆&：有公共的焦点片，月，

且G与。2在第一象限的交点为"，若2的面积为1,则。的值为—.

【正确答案】V3

设片，片分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义|A可/E得|+|心A/F笳,|==22Q,

所以|孙|=.+1,|5J=a-1,

所以1Mli峥|=.2-1,

由余弦定理可得阳闾2=（I儿园+W闾）2-2|〃耳|四闾-21阿I的封cos/用*=4（/-1）,

2-n2

所以COS/不鸣=F—，

2

故sinZF.MF2="；-8,

12a2-l

因此工的面积为；|Aff；|M|sinNGA%=T（d_1）”2—丁=-yj4a2-8=1，

解得4=6.

故答案为.百

【典例3-2］（2024・广东惠州・模拟预测）已知椭圆的方程为二+心=1,过椭圆中心的直线交椭圆于/、

94

2两点，耳是椭圆的右焦点，则工的周长的最小值为（）

A.8B.6+2百C.10D.8+2百

【正确答案】C

22

22

椭圆的方程为1_+==1，则。=3,6=2,c=^a-b=7?>

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连接/《，BF、,

则由椭圆的中心对称性可知\O^\OB\=\OF^\OF^,

可知/488为平行四边形,则照|=防,

可得△，此的周长为|盟|+忸阊+|居|=|/耳|+|/阊+|居|=2.+|/邳,

当位于短轴的端点时，|ZB|取最小值，最小值为2b=4,

所以周长为2。+|/同26+4=10.

故选：C.

【方法技巧】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常

用定义，即|尸耳|+|尸鸟|=2a.

22

【变式3-1］（2024・高三•广东深圳•期中）已知片分别为椭圆土+匕=1的左、右焦点，尸为椭圆上一

1810

点且归耳|=2归阊，则以7^的面积为.

【正确答案】2岳

22

由椭圆二+乙=1可知0=3亚/=Ji&c=二百=2a,

1810

故归周+|尸阊=2a=6痣,结合|尸照=2|尸用，

可得|尸耳|=4行,|尸闾=2尬，而内闾=2c=40，

故△尸££为等腰三角形，其面积为:x28xj（4亚＞_（亚＞=2而.

故答案为.2折

22

【变式3-2】该椭圆C:„l的左右焦点为4,与，点尸是C上一点，满足/月产工=90。，则

ARP6的面积为.

【正确答案】9

22________

解法一由C:—1,得/=36万=9,则a=6,6=3,c=Ja?—I_3^/3,

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设忸耳卜叫P阊=",则由题意得

[m+n=2a=\2

\m2+n2=4c2=108'

由加+〃=12,得加之+/+2加〃=144,

所以108+2加〃=144,得冽〃=18,

所以△片尸乙的面积为:m〃=9

22

解法二：由C:'+2=1,得。2=36万=9,

369

因为/片尸耳=90°

QO°on0

所以由焦点三角形的面积公式得加tan—=9tan—=9.

22

故9

2记

【变式3-3]（2024•云南昆明•昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆C:r]+方=1（0<。<3）的左、

右焦点分别为片区，尸为椭圆上一点，且4PB=60。，若耳关于4P月平分线的对称点在椭圆C上，则

△耳盟的面积为（）

A.6A/3B.373C.273D.3

【正确答案】C

22

设椭圆会+==1（0<6<3）的长半轴为则。=3

设耳关于4;尸£平分线的对称点为Q,

由椭圆对称性及角平分线性质可知P,匕，。三点共线且归。|=|咫|

JT

又因为/耳尸所以左。片是正三角形，

设|尸耳1=1。周=|PQ|=%,

由椭圆定义可得|P片|+1尸闯=2a=6,回刊+10阊=6,

^\PQ\=\PF2\+\QF2\,

所以I尸0|=12-归周一心娟=12-2机，

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所以机=4,即阿|=4,|尸工|=2,

所以△用里的面积S=制尸闾sin/耳尸£x4x2=2/3,

【变式3-4](2024・河北唐山・统考三模)已知椭圆C：3+，=l的两个焦点分别为耳£,点M为。上

异于长轴端点的任意一点，/片上阴的角平分线交线段4鸟于点N,则解=()

--怩N|

A.1B.巫

V2D.V2

55~2

【正确答案】D

因为的角平分线交线段于点，

ZFXMF2FXF2N

所以/F[MN=/NMF2,

MF1F】NMF_FN

所以由正弦定理得22

sinZMNF~sinZFMN

sin4MNF[sinZFXMN22

又因为sin/MNF、=sinAMNF2,sin/F】MN=sinZF2MN,

所以篝=等,即:=需，不妨设质g，网=",如图:

则”二=已，解得》=巡辿,

xc+nc

a(c+n)

所以xc_aa

EMc+nc+nc7a2-b2

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,.L〜\MF7\V2r

由题属a=0,6=1,所以1cl.=匹^=6，

因N|V2-1

故选：D

【变式3-5］（2024•高三・河北秦皇岛•开学考试）已知椭圆C:三+仁=1的上顶点为A,左焦点为片,

43

线段/4的中垂线与C交于两点，则A/MN的周长为.

【正确答案】8

设椭圆的右焦点为耳，连接"耳，A网,NF、,

依题意可得长半轴长0=2,半焦距c=l,且，周=|/"|=|耳司=2,

所以为等边三角形，则直线过用,

所以C，M=|/M|+HN|+|MV卜|町|+|g|+|吟|+|叫|

=(|A^；|+|MF,|)+(|A^|+|M^|)=2a+2a=4a=8,即AZMV的周长为8.

故8

【变式3-6】设用用分别是离心率为暂的椭圆C：「+/=l（a>6>0）的左、右焦点，过点耳的直线

交椭圆C