2025届高考数学解三角形十类题型（原卷版）

解三角形十类题型汇总

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年I卷第15题，13分

2024年H卷第15题，13分

2024年甲卷第11题，5分高考对本节的考查不会有大的变(1)正弦定理、余弦定理及

化，仍将以考查正余弦定理的基本其变形

2023年I卷H卷第17题，10分

使用、面积公式的应用为主.从近(2)三角形的面积公式并能

2023年甲卷第16题，5分五年的全国卷的考查情况来看，本应用

节是高考的热点，主要以考查正余(3)实际应用

2023年乙卷第18题，12分

弦定理的应用和面积公式为主.(4)三角恒等变换

2022年I卷II卷第18题，12分

2021年I卷II卷第20题，12分

模块一L热点题型解读(目录)

【题型1】拆角与凑角......................................................................2

类型一出现了3个角(拆角)..............................................................2

类型二凑角...............................................................................3

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角.....................................................4

类型四通过诱导公式统一函数名............................................................5

【题型2】利用余弦定理化简等式...........................................................5

类型一出现了角或边的平方...............................................................6

类型二出现角的余弦(正弦走不通)........................................................7

【题型3】周长与面积相关计算.............................................................9

类型一面积相关计算......................................................................9

类型二周长的相关计算...................................................................11

【题型4】倍角关系.......................................................................13

类型一倍角关系的证明和应用.............................................................13

类型二扩角降赛.........................................................................15

类型三图形中二倍角的处理..............................................................15

【题型5】角平分线相关计算..............................................................16

【题型6］中线相关计算...................................................................18

【题型7】高线线相关计算................................................................21

【题型8】其它中间线....................................................................22

【题型9】三角形解的个数问题...........................................................24

【题型10】解三角形的实际应用...........................................................25

类型一距离问题.........................................................................26

类型二高度问题.........................................................................27

模块二核心题型•举一反三（讲与练）

【题型1］拆角与凑角

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:/?:c=sinA:sin6:sinC

②大边对大角大角对大边

a>>oA>BosinA>sin3ocosAvcosB

4人、，a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比：-----------------=-----------=-----------=-----------=-----=-----=-----

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+C=TI

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOS5+Z?cosA

同理有：a=bcosC-^-ccosB,b=ccosA-^-acosC.

②一cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tanA+tanB

③斜三角形中-tanC=tan(A+B)=otanA+tan5+tanC=tanA•tan5•tanC

1-tanA-tanB

④sin也马=cos-；cos(小乌=sin-

2222

类型一出现了3个角（拆角）

,.,2b—13ccosCa_

1.在&4BC中，一件—=-----，求A的值

J3acosA

【巩固练习11AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且/?=2csin[A+,求C.

【巩固练习2】在△ABC中，内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知,二2cos『-C）,求A.

类型二凑角

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知2〃cosAcos5+6cos2A=,求角A

【巩固练习1】（2024届.广州•阶段练习）已知AABC中角A,B,C的对边分别为。，b,c,满足

ch

—cosB+—cosC=3cosC,求sinC的值

aa

【巩固练习2】在44BC中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,且—二+三=三+—，求

cosBcosCcosAcosBcosC

tanBtanC.

【巩固练习3】yf3asin=csinA,求角C的大小.

2

【巩固练习4】已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且石bcos"；'=csin5,求。

【巩固练习5】在“IBC中，内角A,B,。所对边的长分别为〃，b,c,且满足bcos——=asinB,求A.

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角

3.（深圳一模）记△A5C的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知b+c=,求A.

，.,r-.sinB+sinC

4.在VABC中，V3sinC+cosC=----------,求A.

sinA

【巩固练习1】锐角AA5c的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知〃（：05。+6。511124=/?+（:,求A.

【巩固练习2】已知。，b,。分别为AABC三个内角A,B,。的对边，且acosC+百asinC=b+c,求角A

的大小

类型四通过诱导公式统一函数名

5.在AABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,4c.已知asinB=Z2Cos(A-E)，求A的值

【巩固练习1］已知AABC中，角A,B,C所对边分别为。，b,c,若满足

tz(sin2A—cosBcosC)+bsinAsinC=0,求角A的大小.

【巩固练习2】在AASC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c.已知asinB=6cos，bcosC-ccosB,

求A的值.

【题型2】利用余弦定理化简等式

核心•技巧

余弦定理

a2=/+/-2/?ccosA;

公式Z?2=c2+tz2-2accosB;

(?=储+/_2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

2bc

_c2+O2-b2

常见变形cosB=---------------;

2ac

a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

类型一出现了角或边的平方

6.已知AABC内角A氏。所对的边长分别为Q,0,c,2jlQ2cosB+b2=2abcosC+a2+c2，求反

7.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在4ABe中，内角A8,C所对的边分别为a®c,若B=g,62=%c,

则sinA+sinC=()

A2^9R739rV7n3后

A.D.C.D.

1313213

8.记44BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=3〃+°2,则也1=____.

tanC

【巩固练习1】(2023年北京高考数学真题)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sin3),则/C=()

7i—兀-2兀_5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【巩固练习2】在AABC中，角A,8,C的对边分别为。，》，c,已知c=24

2asinCcosB=asinA-bsinB+--bsinC,求〃

2

2024届•湖南四大名校团队模拟冲刺卷（一）

【巩固练习3】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，"c,已知AABC的面积为S,

且2s（变色+理4）=（。2+片）sinA,求C的值

sinBsinC

2024*广东省六校高三第四次联考

【巩固练习4】已知AA5c的角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且

sinA（ccosB+Z?cosC）-csinB=csinC+Z?sinB,求角A

【巩固练习6】记AASC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知从一片=202,求色的值

tanA

类型二出现角的余弦（正弦走不通）

9.记AABC的内角A、B、C的对边分别为"、b、已知次:osA—acos5=〃—c,求A.

10.已知。也C分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且sin(A-3)=2sinC,证明:〃=廿+2°?.

【巩固练习1】在&4BC中，内角A,8,C的对边分别为"c,c=26,2sinA=3sin2C,求sinC.

27r

【巩固练习2】记AABC的内角ABC的对边分别为a,Z?,c,B=—,且(sinA+sinB)sinC+cos2C=l,求

证5。=3c

【巩固练习3】已知"IBC的内角A、B、C的对边分别为"、b、sin(A-B)tanC=sinAsinB,求“，

【巩固练习51AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知他一c)sin5=/?sin(A—C),求角A.

【题型3】周长与面积相关计算

核心•技巧

设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式

对于完全平方公式：+=a2+Z?+2aZ?,其中两边之和对应周长，两边平方和/十〃在余弦定理

中，两边之积在面积公式和余弦定理中都会出现

类型一面积相关计算

11.已知AABC中角A,B,C的对边分别为a,b,C,sinC=R2,a=b+®,c=3母,求AABC

3

的面积.

12.(2024新高考一卷•真题)记VA3C的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=0cosB，

々2+人2_=yf^ab

(1)求3；(2)若VABC的面积为3+百，求

【巩固练习1】记AABC的内角A氏C的对边分别为B,且5〃=3c,若AABC的面积为

15\^,c

【巩固练习2】在△,中，内角8“的对边分别为a,b,c,已知A*△板的面积为半,

b=2,求a.

【巩固练习3】记AABC的内角力,B,。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当。=4,》=6时，求

dRC的面积S.

【巩固练习4】（2024届•广东省六校第二次联考）已知中角A,B,C的对边分别为。，b,

c,sinC=^l

a=b+y[i,C=3A/2,求MBC的面积.

3

【巩固练习5】记AASC的内角力，B,。的对边分别为a,b,C,已知B=2A,当a=4力=6时，求

△ABC的面积S.

类型二周长的相关计算

13.已知在44BC中，角A,8,C的对边分别是“涉,c,且4=°,若8=9AABC的面积为4,求“RC

O

的周长.

14.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b+c)(sin8+sinC)=asinA+3/?sinC.

(1)求角A的大小；(2)若〃=且AASC的面积为g,求AASC的周长.

15.(2024.新高考二卷.真题)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+6cosA=2.

⑴求A.(2)若。=2,缶sinC=csin28,求VABC的周长.

【巩固练习1】AASC的角A,8,C的对边分别为”,瓦c,而•X^=-1,AABC的面积为0,若°=20,

求AABC的周长.

【巩固练习2】在A48C中，已知大.通=4，a=5,ZB4C=60°,贝以4天:周长为.

7T7T

【巩固练习3】在A45c中，A,8,C所对的边为a,"c,A=-,a=2,B=-,求“BC的周长.

34

【巩固练习4】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且S+c)(sin3+sinC)=asinA+3^sinC.

(1)求角A的大小；(2)若〃="，且AASC的面积为右，求AASC的周长.

【题型4】倍角关系

核心•技巧

2222

1、二倍角公式：sin2A-2sinAcosA>cos2A=2cosA-l=l-2sinA=cosA-sinA

一也C1+cosC.C1-cosC

2、扩角降氟：cos2一=--------,SHT2—

2222

C

忘记了可以用二倍惫公式推导:记一=t,则cosC=cos2t=2cos2?—1=1—2sin21

2

一cC212l+COSItc1C•2.2l-COSIt

故cos21=2cos1-l=>cost=----------,cos2t=l-2sin%=>smt------------

22

3、倍角关系证明的方法技巧

解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角

的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性0

4、图形中出行二倍角条件时可以考虑构造等腰三角形

类型一倍角关系的证明和应用

16.(黄冈中学・三模)在锐角融C中’内角ABC所对的边分别为““‘满足鲁-

且A】C,求证：B=2C.

17.在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若A=23,求证：a2-b2=bc;

【巩固练习1】（2024•吉林长春.模拟预测）AABC的内角A&C所对的边分别为久瓦。,。=血）=1,A=2B,

贝。（）

A.2B.6C.72D.1

【巩固练习2】（2024.全国.模拟预测）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c（a,b,c互不相等），

且满足6cosc=（2A-c）cos3,求证：A=2B；

【巩固练习3】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且6=4.若A=2B,且AABC的边

长均为正整数，求

【巩固练习4】（2024•全国•模拟预测）在AASC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c（a,b,c互不相等）,

且满足bcosC=（2b-c）cos3.

（1）求证：A=2B；（2）若c=0a，求cosB.

【巩固练习5】已知。，dc分别是AABC的角A&C的对边，bsinB-asinA=sinC（2bcos2B-c）.

⑴求证：A=23；（2）求一的取值范围.

a

类型二扩角降幕

18.（2023•重庆八中二模）记AABC的内角A,B，C的对边分别为。，b,c,己知

CA3.

acos2—I-ccos2-=—b,证明：sinA+sinC=2sinB

222

【巩固练习】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别。，b,c,且（acos?[+CCOS?$（a+c-6）《ac,

求角3的大小；

类型三图形中二倍角的处理

广东省六校2024届第一次联考

19.在AABC中，A8=4,O为A3中点，CD=5,ZBAC=2ZACD,求AC的长.

【巩固练习】（2024届•江苏扬州•高三统考）在AABC中，47=扇8,且3c边上的中线AD长为1.

(1)若3c=2AB,求44BC的面积；(2)若NABC=2/ZMC,求BC的长.

【题型5】角平分线相关计算

核心•技巧

△ABC中，AD平分NBAC.

ABBD

策略一：角平分线定理:

AC~CD

SBD•hAB•h.得旦世

证法1（等面积法）ABn

SACDCD.%AC-HACCD

注：4为A到BC的距离，为为D到AB,AC的距离.

证法2（正弦定理）

ABBPACCD

如图,-------=--------，而sinzl=sinZ2,sinz3=sinZ4

sinN3sinZlsinZ4sinZ2

ARBD

整理得=

ACCD

策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理

11A1A

S'ABC=S^ABD+S'ADC-XABxACxsinA=-xABxADxsin-+-xABxADxsin-,

策略三：角互补:

Z-ABD+Z-ADC=7T=>cosZ-ABD+cos乙ADC=0,

DA2+DB2-AB2

在△ZBO中,cosZ-ABD=

2DAXDB

在△4DC中,cosZ-ADC=

2DAXDC

20.（2024•辽宁丹东•二模）在△ABC中，点。在BC边上，AD平分NBAC,4c=120。，AB=2^,

AD二也,则AC=（）

3

A.2B.43C.3D.2上

222

21.已知AABC中，角A氏c所对的边分别为a,b,c,a=3b+c,且sinC=2sin8

（1）求角A的大小；（2）若6+c=6,点D在边BC上，且AD平分/BAC,求短的长度.

2023年高考全国甲卷数学（理）真题•T16角平分线相关计算

22.在44BC中，ABAC=60°,AB^2,BC=46,ZBAC的角平分线交8。于〃则AD=.

【巩固练习1】（2024•厦门第四次质检）记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，"c,已知3=g，若/,=J7,

c=2a,。是AC上一点，为角B的平分线，求BD.

2

【巩固练习2］已知ULBC的角A,B,C的对边分别为。，b,c,且4=］冗，若A。平分/区4c交线段BC

于点D,且45=1,BD=2CD,求URC的周长.

【巩固练习3】在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3叵,A=],作角A的平分线与BC

交于点Z）,且4。=6，求b+c.

【巩固练习3】（2024届•云南省昆明市五华区高三上期中）AASC的内角A,B,C的对边分别为a,〃,c,AO平

分/54C且交3C于点已知AD=1,AACD的面积为1,若CD=2BD,求tan/BAC.

【题型6】中线相关计算

核心•技巧

如图，AABC中，为BC的中线,已知AB,AC,及NA,求中线长.

E

策略一：如图，倍长中线构造全等，再用余弦定理即可

策略二：向量法，莅=:(而+/)，等式两边再进行平方

策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cosNADB+cos/ADC=0

补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“黑=2”也适用，此时需要倍长等分线构造相似

23.在AABC中，内角4,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足4=?，a=回,BAAC=?),4。是

△ABC的中线，求A。的长.

2023年新课标全国II卷真题：已知中线长

24.记AABC的内角A氏C的对边分别为a也c,已知.(?的面积为石，。为8c中点，且AD=1.

jr

⑴若/AOC=§,求tanB；⑵若〃+c?=8,求b,c.

【巩固练习1】(2024•安徽滁州•三模)在"RC中，角A,3,C的对边分别为a,6,c,26cosc-c=2a.

Jia

(1)求B的大小；⑵若a=3,且AC边上的中线长为也，求AABC的面积.

2

【巩固练习2】在AABC中，内角A,8,C的对边分别为。，"c,sinC=14,2sinA=3sin2C,

4

若M1BC的面积为逆，求AB边上的中线8的长.

2

【巩固练习3】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=丁，b2-a2+c2+3c=0,AABC

的面积为M,求边BC的中线A。的长.

4

【巩固练习4】AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,。为AB的中点，且CZ)=点.

jr

(1)证明：cfb;(2)若NACB=w，求AABC的面积.

【巩固练习5】记入4BC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,已知5=方，若c=3a,。为AC中点，50=713,

求“RC的周长.

2兀3

【巩固练习6】及43。的内角A,2,C的对边分别为a,b,c.已知8=—，c=2,。为AC的中点，BD2=-BC,

34

求AABC的面积.

【题型7】高线线相关计算

核心•技巧

策略一：等面积法：ADBC=ABACsinZBAC

策略二：AD=ABsmZABD=AC-sinZACD

策略三：a=c-COSB+bCOSC

LA

25.(2024.山东青岛•三模)设三角形ABC的内角A、8、C的对边分别为。、A、c且sin(3+C)=2立sin2-.

(1)求角A的大小；(2)若6=3,边上的高为主旦，求三角形A8C的周长.

7

【巩固练习1］已知AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=6,bsin2A=4JUsinB.

(1)若6=1,证明：C=A+p(2)若BC边上的高为孚，求AABC的周长.

【巩固练习2】已知“1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S.c-J3bsinA=cr+r~b'-b.

2c

(1)求A；⑵若b=；c,且8c边上的高为2TL求a.

【题型8】其它中间线

26.如图，在41BC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c.已知A.若。为线段3C延长线上一点，且

7T

/CAD=—,BD=3CD,求tan/ACB.

2021新高考一卷T20:三等分线相关计算

27.记"LBC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知户="，点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC,求cosZABC.

【巩固练习1】如图，在AASC中，若AS=AC,。为边3C上一点，BD=2DC,AD=2,吧幺生=石,

sinZACD

则3C=.

A

【巩固练习2】（2024•安徽芜湖•三模）已知。，"c分别为AABC三个内角A3,C的对边，且

bcosA+V3/7sinA=a+c

（1）求区；（2）若〃=2,Z\ABC的面积为6，。为AC边上一点，满足CD=2AD,求AD的长.

【巩固练习3】记AABC的内角A、8、。的对边分另IJ为。、匕、。，已知A.,点。在5C边上，且CD=2BD,

cosB=,求tanABAD.

3

【巩固练习4】已知AABC的三内角A,B,。所对边分别是。，b,c,且满足若点。是边AC上

一点，BD=^BC+^BA,‘=岳，|前|=2出，求边。的大小.

【巩固练习5］已知AABC的内角A,B,C对应的边分别为"c,AABC的面积为sinA=3sin3,点。在边BC

上，^DC=DA=-BC,求cosA.

3

AsinZAPC

【巩固练习6】如图，在ASC中，若AS=AC,。为边BC上一点，BD=2DC,AD=2,=A/3,

sinZACD

则5C=________

【巩固练习7】已知。也c分别为AABC三个内角A,8,C的对边，且i=52+2,2,若A=5,°=3,舐=3两,

求AM的长度.

【巩固练习8】在44BC中，内角A,民C所对的边分别为4"c.已知A=],若点。为边BC上的一个点,

4

且满足COS/R4£)=M，求△ABD与的面积之比.

【题型9】三角形解的个数问题

核心•技巧

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,6和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

cc

图形个A工

AB；-BAf....'B4

AB

关系式a=bsmAbsinA<a<ba>ba>ba<b

解的个数一解两解一■解一解无解

28.在AABC中，c=2,acosC=csinA,若当。二4时的AASC有两解，则/的取值范围是.

29.设在AAJBC中，角A、B、。所对的边分别为〃，b,c,若满足4=百力=刃,8=£的AABC不唯一，则

6

机的取值范围为（）

A•怜臼B.（0,g）D.加

TT

【巩固练习1】若满足/A3C=§,AC=3,BC=加的AABC恰有一解，则实数加的取值范围是.

JT

【巩固练习2】AA5C中，已知NA8C=I，AC=3,BC^m（m>0）.

（1）若恰有一解，则实数机的取值范围是;（2）若△ABC有两解，则实数机的取值范围是；

（3）若△ABC无解，则实数旭的取值范围是；

jr

【巩固练习3】在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若6=10,A=-,且融。有唯一解，则。

6

的取值范围是.

【巩固练习4】在44BC中，已知A3=x,BC=2也,C=:,若存在两个这样的三角形ABC,则无的取

值范围是.

【巩固练习5】已知AABC的内角A、B、C所对的边分别是。，b,c,4=60°,若a=也由=m（m>0）,

当AABC有且只有一解时，求实数加的范围及AABC面积S的最大值.

【题型10］解三角形的实际应用

面心展15?

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的南中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如

图①）.

视线北俨i-h/

第角及西t一代*东斗吵目标h

图①图②图③图④

（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.北

偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角