2025届高考数学考试技巧专练（核心知识背记手册）含解析

2025届高考备战数学考试技巧真题专练（核心知识背记手册）

高考数学考试技巧篇（36类核心考试技巧背记手册）

目录

高考数学考试技巧篇（36类核心考试技巧背记手册）..............................................1

考试技巧1权方和不等式的应用及解题技巧.................................................1

考试技巧2普通型糖水不等式的应用及解题技巧.............................................1

考试技巧3对数型糖水不等式的应用及解题技巧.............................................2

考试技巧4基本不等式链的应用及解题技巧.................................................2

考试技巧5"奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧....................................3

考试技巧6"奇函数+常函数”的/（a）+/（-a）解题技巧.......................................3

考试技巧7已知函数解析式判断函数图象解题技巧...........................................3

考试技巧8已知函数图象判断函数解析式解题技巧...........................................4

考试技巧9两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧................................5

考试技巧10考试技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧...........................5

考试技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧...................................7

考试技巧12函数对称性的应用及解题技巧..................................................9

考试技巧13解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧.......................................9

考试技巧14整数解的应用及解题技巧.....................................................9

考试技巧15零点的应用及解题技巧......................................................10

考试技巧16切线与公切线的应用及解题技巧..............................................10

考试技巧17端点效应（必要性探索）解题技巧..............................................10

考试技巧18函数凹凸性解题技巧........................................................12

考试技巧19洛必达法则解题技巧........................................................13

考试技巧20导数中的极值点偏移问题的解题技巧..........................................14

考试技巧21半角公式的应用及解题技巧..................................................15

考试技巧22万能公式的应用及解题技巧..................................................16

考试技巧23正余弦平方差公式的应用及解题技巧..........................................16

考试技巧24三角函数异名伸缩平移的解题技巧............................................17

考试技巧25“爪子定理”的应用及解题技巧................................................17

考试技巧26系数和（等和线）的应用及解题技巧............................................17

考试技巧27极化恒等式的应用及解题技巧................................................18

考试技巧28奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧......................................19

考试技巧29角平分线定理的应用及解题技巧..............................................20

考试技巧30张角定理的应用及解题技巧..................................................20

考试技巧31点对称问题解题技巧........................................................21

考试技巧32圆中的切线问题解题技巧....................................................21

考试技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧..........................................21

考试技巧34圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧..........................................22

考试技巧35复数的模长及最值的应用及解题技巧..........................................23

考试技巧36柯西不等式的应用及解题技巧................................................23

-1•

I考试技巧1»权方和不等式的应用及解题技巧

权方和不等式的初级应用：若alm,2/>。则且+之>”也当且仅当包=上时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀）

已知且2a+b=3测4+霜的最小值为（)

1Ma

Q1

A.1B.qC.9D.-2~

【解析】因为2a+b=3,所以4a+2b=6,由权方和不等式电+上2可得

xy（。力”+“g一

，+（2+1）2=9

a-12b-l4a-42b-l4a-4丁2b-l4a—4+2b—l

当且仅当击=即a=?公年时，等号成立.

【答案】。

例❷已知正数八V,z满足z+“+z=l,贝”言三十詈江+号的最小值为——

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数力，g满足力+p+z=l,

所以.2寸Z2>(一+」+z)2=J_

y+2zz+2xx-\-2y/y+2z+z-\-2x+x-\-2y3

当且仅当缶=-=看即-z=小时取等号,故答案为：/

*2*22

例。已知比+2g+3z+4〃+5。=30,求力2+2靖+3z+4u+5v的最小值为

【分析】应用权方和不等式即可求解.

22

r殍翁】2.02,02,J2,r2X,(2y)(3Z)2(4U)2(5”yQ+2y+3z+4"+5”)2

【评解】4+2靖+3z?+4疗+5"=1+^_+丁+^+『>__]12+3+4+5—

302

石=60

当且仅当x=y=z=u=v时取等号，故答案为：60

■考试技巧2»普通型糖水不等式的应用及解题技巧

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,则一定有学我>立

a+ma

通俗的理解:就是a克的不饱和糖水里含有b克糖,往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜;

2糖水不等式的倒数形式，设a>。，馆>。，则有黄,第篙

5445

例。(2020•全国•统考高考真题)已知5<8,13<8.设a=k>g53,b=log85,c=log138,JillJ(

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【详解】

_ln3/n3+ln春_In号,讪_In3E3+ln号_In普为8_

&F扃章—0-1^5ln5+1n-IKiT向L

55

用排除法，选Ao

•2・

・考试技巧3»对数型糖水不等式的应用及解题技巧

（1）设九eN+,且九>1,则有log„+in<logn+2（n+1）

⑵设a>b>l,m>0,则有log/<loga+m(6+m)

⑶上式的倒数形式：设a>b>1,馆>0,则有log6a>log6+m（«+m）

mm7n

（2022•全国•统考高考真题）已知9=10fa=10-ll,b=8—9,则（)

A.a>0>bB.a>b>0C.fe>a>0D.6>0>a

对数型糖水不等式

m

因为9=10,所以m=log910.在上述推论中取a=9,b=10,可得m=log910>log10ll=Igll,且m

=log910<log89.

lg11mlog99

所以a=io^-11>10-11=0,&=8-9<8-9=0,即a>0>b,选A.

|考试技巧4»基本不等式链的应用及解题技巧

>包罗>多>当且仅当吐等号成立.

基本不等式链:12(a>o,6>0),a=b

/JLIJ.

£+5

（2022•全国•统考高考真题）若，.满足炉+靖—叼=1,则（

A.x+y^lB.x+?/>—2C."+姨&2D./+姨>]

由基本不等式链：把[2[（a>0,b>0）,可得ab<（州立j&止件（a,be

原+5

⑻，

对于AB

由/+靖―/沙=1可变形为，（出+y丫—1=3政W3（彳.）,

解得一2Wz+yW2,当且仅当a;=y=—1时，a;+夕=—2,当且仅当rc=夕=1时，立+夕=2,所以力错误，

B正确；

对于。

[法一）由①之+靖—2沙=1可变形为（炉+靖）—1=立夕《，”,解得22+好&2,当且仅当；r=夕=±1时

取等号，所以。正确

【法二】由小+娟>2（三）：致《（孚）：得於―政+靖>2（^）2—（三）：

又因为"一力g+婿=1,所以）—（）&1,即1（力+W1,力+0&2.

【法三】x2-xy+y2=（x-\-y）2-3xy+y）2-3（^^-）=:（劣+疗,

又因为"—1g+g2=J,所以]（力+g）2&],力+2.

【答案】：BC.

•3・

・考试技巧5»”奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧

在定义域内，若9(①)=/(①)+A,其中/(，)为奇函数，A为常数，则最大值M,最小值馆有M+m=2A

即河+馆=2倍常数

例。(2023上•江苏•高三模拟)已知M、ni分别是函数/(6)=ax5—bx+sinN+1的最大值、最小值，则M

+m=______

M-\-馆=2倍常数=2

例❷已知函数=ax3—ln(Va；2+l+rr)+3sinN+7,力E[—2023,2023]的最大值为河，最小值为nz,

贝U7W+m.

【法一】M+Tn=2倍常数=14

【法二】M-\-m=2/(0)=14

例。函数/(,)=Je十:,①e[―5,5],记/⑶的最大值为朋■，最小值为m,则M+m=

e+e

于⑸=Je+:=ee+2

+e~xex+e~x

【法一】M-\-m=2倍常数=4

【法二】M-\-m=2/(0)=4

・考试技巧6>”奇函数+常函数”的f(a)+](一0)解题技巧

在定义域内，若F(c)=/(为+A,其中/(2)为奇函数，A为常数，有/(a)+/(—a)=24

即/3)+/(—&)=2倍常数

(全国•高考真题)已知函数/(劣)=111“1+/2—6)+l,/(a)=4,则/(—Q)=

ln(Vl+a；2—在定义域内为奇函数

所以/(a)+/(—Q)=2倍常数=2,解得/(—Q)=—2

【答案】-2

例❷已知函数/(2)=ln1^+与则/(：)+/(一!)=

/(，)=ln告+：-1,In之和:在定义域内为奇函数

-2

■考试技巧7»已知函数解析式判断函数图象解题技巧

特值与极限

①四二1.414,V3=1.732,V5=2.236,76=2.45,77=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,e+=Ve=1.65

③Ini=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=lJriVe=

•4・

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=—0.42

特别地：当/t0时sinx=x

例如：sinO.l=0.099工0.1,sin0.2=0.199x0.2,sin0.3=0.296x0.3

当力70时cos力=1

cosO.l=0.995xl,cos(—0.2)=0.980七1

例tl函数沙=/—Becosc在区间［—全’的图象大致为()

令f(x)=(3X—3-x)cosa;,a;G［—~由奇偶性定义知/(2)为奇函数，排除BD;

【法一】特值

/(0.1)=(301-3-01)cos0.1«(301-3-01)x0.995>0,故选：A.

【法二】极限法

当力T。+时COST=1,3*71+,3~xTI-

所以当力70+时。=(3。-3一")cos/>0,故选：A.

【法三】

当力G(0,-^-)时，3。-3~x>0,(%应力>0,所以/(力)>0

A

■考试技巧8»已知函数图象判断函数解析式解题技巧

[例O](2022.全国.统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数

是()

•5・

-x3+3xx3—x2/cos/2sinc

A.v=y2D.y=

x2+l,y一d+1-~x+lx2+l

【法一】特值

由图知：/(2)<0,

2X91

对于4/⑵=—[■，对于B,/⑵=9对于C,/(2)=2x2x；—0.42)<。,对于。⑵=^>0

0000

排除BD

结合函数零点位置可选A

【法二】猜测近似函数值

由图知/(I)41

分别计算四个函数值即可得到答案

【法三】

设/(2)=,则/(I)=0，故排除B-,

设h[x}=2T。芋，当力£(0,蒋)时，0vcos/<1,

所以九(£)=2亭。s/<<1,故排除C;

xz+lxz-\-l

设g⑸=翠净,则g(3)=穹兽>0,故排除D.

Xz+110

A

■考试技巧9>两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧

e-+ld'l--Liny

fin已知则⑪道的大小关系为)

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.6<a<c

6一瑞>--+i1

巳100100

型〈皿—1…

100100100

c

■考试技巧1o►考试技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧

常见函数的泰勒展开式：

27372力3/九/九十1

⑴e,=i+ir+0+需+..•+而其中

九九+

⑵瓜(1+为=力—可zy»2+可zy»3一.•+(一】)”z有y»+&，其中心=(T)%zy»+i1)!/(1耳赤\Tl+)l;

丁3zv»5丁2"—1个2k+1

(3)sin①=/一下+可------H(-l)-(21_])!+&，其中兄，=(一1)Qk+l)!,①;

个2T4丁2k-2丁2k

(4)cos/=l一方+------H(-l)-,,_X+耳，其中兄=(-1)-r—T-cosdx；

/•仇Zij'yZiKtj!

⑸J/=1+x+x2-\--\-xn+o(rcn)；

,6•

(6)(1+x)n—l+nx+"彳!1)"+。(力之)；

(7)tana;=力+专+■炉~\-----bo(j;2n)；

O-LD

n

(8)，1+力=1+4力—《靖+工炉_|---\-o(x).

2o10

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：

e'>1+/，1+/+力力2(力>0),sine>力—1•炉(%>0),

cosc>1—^-力2,inrc&力一1,e'T)/,

tanre>6+J炉(力>0),VT+x<1+-TTX,ln(l+rc)46.

常见函数的泰勒展开式：

结论1ln（l+力）&x（x>—1）.

结论2In力&力一1（力>0）.

结论31—^lnx（x>0）.

结论4f舁<In——-——3.〈山（1+力

1+x-1.

1+x

结论51+2We"；e，W(x<l)；&1H(1+N)<力(力>—1).

1—xJ.

结论60c>1+x{xER)；

结论7e~x>1—x{xGR)

]

结论8>ex(rc<l).

1—x

]

结论9Cex(x>l).

1—x

例。（2022年新1卷高考真题第7题）设（1=0.拄（）」，6=。，。=—1110.9则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解析】泰勒公式法：

ni2i

因为6°」=1+0.1+^^-=1.105,所以0.加°飞0.1：105ce=0.1ini=b,所以aVb

(X)2(X)3

因为c=-ln0.9=In^p-=ln(]+1)-I---------------1----—=-^-------+二1加2—0.006=0.105

VQ所以CVQ

综上所述：c<a<b

故选：C

例❷（2022.全国.统考高考真题）已知a=-||-,6=cos-^-,c=4sin],则（

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】泰勒展开

•7・

、几n。二in.i31i0.252入1i0.252上0.254

设/=0.25,则a=-=1-----z-,b=cos-；-21------------1----r,—,

.1

1sm40.252.0.254井管尸、入、&、%〃

c=4sm4=-—七1-------------1----—,计算付c>b>Q,故选A.

I考试技巧11＞不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧

sinxV力VtanT,xE

In6<Vx-----1（力>1）,Inx>Vx——U（0〈力V1），

y/xy/x

In/V~1■（/—!）（力＞1）,In力—!）（0〈0V1），

Inx>—，靖+21—1~（力>1）,Ini<一­，力2+2力—1~（0V/V1）

2（6一1）/“、2（X—1）Zr\

Ina7>-----——（T>1）,Inx<-----1j—（0<rc<1）

T+1T+1

放缩程度综合

1——VJ（x——）Vy/^c-----VIna?V-（工［）<—力？+26—需-<Cx—1（0V6V1）

x/'x'76xIJ.//

-

1——V—砂+2x—IV-（1）<Ina;<yTx-----V5（x—--）V/一1（1V/V2）

XNNXI7/N'X

T"+2/一,VI—!vm力〈逐一有〈2（计［）</—1（力>2）

•8・

例（I（2022.全国.统考高考真题）设a=O.leO」,b=[,c=—lnO.9/U（

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<6D.a<c<b

【解析】放缩法

因为）

c+l1—x3<1,

所以1.1―^―-=^>0.11<a=O.le0,1<0.1X--^―-=4=b,即aVb

1—u.i1—u.iy

因为IncV~1■（力一!■乂/>1）,

所以。=—ln0.9—ln^^-V----V0.11VQ,即cVa

综上所述：cVaVb,故选：C

例❷（2022.全国•统考高考真题）已知a=_||_,b=cos],c=4sin]4!j（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】【法一]:不等式放缩一,

因为当力G（0,_|~）,sin/V/,

取/=4-得：cos4-=1-2sin2-3~>1—2（"I"）二号^故》）。

o4ovo7oz

4sin[+cos]=V17sin（十+w）,其中g（0,5），且sinw，=14

当4sinJ+cos]=V17时=g■，及p=------j

a,口-4•141.1

止匕0Tsm-r=cos©=—j=,cos-r=sin©=­j=

4*V174"V17

故cos==j—<S-=sin4-<4sin4-，故bVc

4V17V1744

所以6>Q,所以。>6>Q,故选A

【法二】不等式放缩二

因为=4tan^-，因为当力G（0,~|~）,sinxV/Vtana?,所以tan]>：,即另>1,所以c>b;因为当n

E（0，D，sin力</，取力=得cos4-=1-2sin2-3->1—2（，故b>Q,所以c>b>a.

故选：A.

|考试技巧12>函数对称性的应用及解题技巧

（全国•高考真题）设函数n=f8）的图像与y=2计。的图像关于直线y=-x对称，且/（—2）+/（—4）=

1,则Q=

A.-1B.1C.2D.4

【解析】反解/（力）的解析式，可得一/=2-y+a,即g=a—log2（—⑼,

因为/（—2）+/（—4）=1,所以a—log22+a—log24=1,解得解得a=2,故选。

•9・

|考试技巧13>解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧

例❶（全国・高考真题）设函数/（切=ln（l+㈤）一鲁3，则使/（,）>/（2rc-l）成立的c的取值范围是

1+劣/

B.(-00,y)U(l,+oo)

D.(一co,—^)U(:,+co)

【解析】【特值法】

当/=1时，/⑴>/（1）不成立，排除。，当±=0时，则判断/（0）>/（-1）是否成立,

计算/（o）1）=ln2—2-0.19,不成立，故排除B、C,

【答案】A

|考试技巧14»整数解的应用及解题技巧

例［口已知关于工的不等式Inc—恰有一个整数解，则实数%的取值范围为（）

A［譬+）B.［嘴+）C.（一皿野）D.［臂,野）

【解析】【猜根法,寻找临界条件】

由题知整数解不可能为1,

若整数解为2,则整数解3不可取，代入有ln2—16k+8k=0nk=岑4,

o

ln3-81k+27k=0n%=罟，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D

考试技巧15零点的应用及解题技巧

例4.（全国•高考真题）已知函数/（力）=i-26+QG"1+e-*+i）有唯一零点，则a

A.-yB-1C.D.1

【解析】通过观察发现力2—2名关于力=1对称，e^T+e~x+1也关于N=1对称,

则唯一零点为1,解得解得Q==.故选：C.

考试技巧16切线与公切线的应用及解题技巧

[例Q]（2021.全国.统考高考真题）若过点（a,b）可以作曲线g=e/的两条切线，则（）

A.e6<aB.ea<bC.0<a<e6D.0<b<ea

【解析】画出函数曲线g=6］的图象如图所示，根据直观即可判定点（Q,b）在曲线下方和0轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知OVbVe。.

•10•

例❷（全国•高考真题）若直线g=fcr+b是曲线g=In力+2的切线，也是曲线g=ln（力+1）的切线，则6=

【解析】对函数y—In力+2求导得式=看，对g=ln（力+1）求导得y，=力；】，设直线y=k岔+b与曲线y

=Ina:+2相切于点R（力i,gj,与曲线g=InQ+1）相切于点2（磔纺）,则%=Ing+2,改=In（力2+1）,由

点RQI,%）在切线上得g—（Ing+2）=工（劣一g）,由点外（力2,%）在切线上得g—ln（g+1）——

Xi力2十J-

1=1

一22）,这两条直线表示同一条直线，所以，X'*2+1‘J,解得g=［,.♦.%=J-=2,6=

ln（g+l）=lng+^^2©

Ina：1+2—1=1—ln2.

I考试技巧17>端点效应（必要性探索）解题技巧

端点效应的类型

1.如果函数/（2）在区间［a,6］上,/Q）>。恒成立,则/（a）>0或/（b）>0.

2.如果函数/Q）在区间［a,b］上，/（⑼>0恒成立,且/（a）=0（或/⑹=0）,则（⑷>0（或广⑹40）.

3.如果函数/（⑼在区间［a,b］上,/3）>0恒成立,且/（a）=0,/'（a）=0（或/（b）=OJ'（b）W0）则产

（a）>0（或/"⑹W0）.

例。（2023•全国•统考高考真题）已知函数=ac—月华ae（04

COS6X'N

（1）当。=8时，讨论/（劣）的单调性；

⑵若/（劣）<sin2力恒成立，求a的取值范围.

【解析】【法一】端点效应一

令g（比）=/3）—sin2%，力E（0,专），得g（0）=0,且g（x）<0在xE（。昼）上恒成立

画出草图

・11•

11

根据端点效应，需要满足g'(0)<0,而g'(x)=a—1+一:7_2cos2力

cosa

则g'(O)=a-3,令g〈0)&0,得a&3

当a<3时，由于g(0)=0,只需证。'3)<0即可

而娟(力)含有参数Q,故可对g\x)进行放缩

即g，Q)=a-l+2syr_2cos2/<3-l+2s328_2cos2/=5-3-2c产_4cos2力

cos4力COS4TcosX

令t=cos2a;,其中OV1V1

设h{t}=5—3产—4t

tz

则〃U)=*>4=—4.2什6

t6tzt6

令2⑶=一4±3—2力+6

则pf(t)=-12t2—2<0,故p(t)在(0,1)上递减，得p⑶>0⑴=0

则刃⑴>0,得h(t)在(0,1)上单调递增,则从力V八⑴=0

即g'(x)<0,满足gQ)Vg(O)=0成立

当a>3时,。由于。g，(0)=0—3>0,。

故存在T0,使得在(0,g)上g\x)>0,

所以g(/)在(0,6o)上单调递增，则gQ)>g(0)=0,不成立

特上所述：Q43.

【法二】端点效应二

(2)于(x)<sin2]=>ax—,也：<sin2/ng⑸=ax—sin2力—‘皿、<Q

cos,力cos%

由于g(o)=o,且

,(\cccos2a7+3sin2x

g\x)=a—2cos2%--------；-----,

COSX

注意到当g'(0)>0,即a>3时，3rc0(。昼)使在力G(O,a;o)成立，故此时g(力)单调递减

・，.。(/)>g(0)=0,不成立.

另一方面，当Q&3时，gQ)&3N—sin2/—sin：三八(力),下证它小于等于0.

cosix

°令。九(6)=3—2cos2%———2。产力

cos%

=3cos4力+2cos2力一3—2cos2/cos4%=3(cos:/—1)+2cos2/(l—cosZ/cos、7)

COS4TCOS4X

_—(cos2a;—1)2(4COS2J;+3)

cos%<

g(x)单调递减，.,.g(力)&g(0)=0.特上所述：a<3.

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|考试技巧18»函数凹凸性解题技巧

凸函数:对于某区间内V工1,g,都有*,1)了3)</(为产\

例。在△4B。中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

【解析】因为函数y=sinx在区间(0,兀)上是上凸函数，则

-^-(sin4+sin_B+sinC)&sin("+?+。)=sin-|-=

即sinA+sinB+sinC<,当且仅当sinA=sinB=sinC时，即A=B=C=^时，取等号.

/o

上述例题是三角形中一个重要的不等式：在AABC中,sinA+sin_B+sinCW一上—.

例❷丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家,特别是在函数的凹凸性与不

等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数/(力)在(a,b)上的导函数为广(2)，((力)在(a,b)上的导函数

为/〃Q),若在(a,b)上/Q)VO恒成立，则称函数/(⑼在(Q,b)上为“凸函数”.已知/(/)=在一/In」一

号"在(J)上为“凸函数”，则实数馆的取值范围是()

A.(e-1,+oo)B.[e-l,+oo)C.[e，-],+oo)D.(e4-],+8)

【解析】因为f{x)—ex—xlnx—矍/，

所以/'(n)=e。一(1+Inj;)—mx=ex—mx—hix—1,

因为于(x)=ex—xlnx—矍力2在(1,4)上为“凸函数”，

所以/"(6)=e。一Tn—[〈Cl对于力G(1,4)恒成立，

可得m>e*—十对于/G(1,4)恒成立，

令。(①)=6。一5，则m>g(rr)max,

因为g'Q)=e"+>0,所以g(x)=e。一▲在(1,4)单调递增,

xzX

所以g(a)max<g(4)=e4-],

所以zn>e“—；，

【答案】。

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|考试技巧19>洛必达法则解题技巧

法则1若函数/(,)和g{x)满足下列条件:

⑴1船式(①)=。及更劈g(立)=0；

(2)在点a的去心邻域内，/(/)与g(力)可导且/(/)#0；

门、].广⑺—1

(3)hm—I,

Lag\x)

那么lim手■=lim*^=2。1型

LQg(x)—ag(x)0

法则2若函数/(力)和gQ)满足下列条件:

(1)lim/(j;)=oo及]im^(£c)=8；

⑵在点a的去心邻域内,于(x)与g(rc)可导且g'(，)片0;

CYT/'(♦)­

(3)hm=Z，

—g\x)

期“1.f⑸1.r⑸]

那么hm,.=hm———=L型型

i—ag[x)Lag(x)00

(全国高考)已知」陪+工*+-恒成立，求k的取值范围

例II力+1XX—1X

【解析】+里>上与+&okV；2x\nx।1、口/\2xlnx

厂溟+1记g⑻=

力+1Xx—1X1-x2+1,

2(/+l)ln/+2(l—_2(力2+1)1—x2

则g'(x)=lnrc+

(一好(1—好/+1

1-x2

3己%(6)=Inx+

T2+1

4力(I*

则"3)=!>0

(1+62)21(1+力)22

所以，h[x)在(0,+8)单调递增，且九(1)=0

所以%G(0,1)时,“力)V0,力£(1,+00)时，h{x)>0

即g{x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增

所以limgQ)=lim(2xln^+1)=lim2力吗+1=lim2+^nX+l=l-l=0

x^lx-»l\1—x21'a;-»l1—x2―2名

所以k^O

分析

上式中求lim型殍+1用了洛必达法则当2―1时分子2/ln力-0,分母1—/TO,符合4•不定

。旬1—x

形式，所以lim红丝=lim2±冬空=-1

X->11-x2X->1-2x

110(全国高考)Vxe(0,+8),e”一1—x—ax2^0恒成立，求a的取值范围

【解析lex—l—x—ax2>0QaV——~-

/\e工一x一1

记g(幻=----o—，

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贝I刈0=牝在；+生+2

Xs

记h{x）—xe*x—2ex+力+2

贝Ihr（x）=xex—e*+1

h"3）=xex＞0

所以，h\x）在（0,+8）单调递增，所以〃（力）＞"（0）=0

所以，h（x）在（0,+8）单调递增，所以九（力）＞九（0）=0

即在（0,+co）上g，（力）＞0,所以g（6）在（0,+oo）上单调递增

所以

71./\「ex—x—l1.ex-l「ex1

aWhmq（x）=nm--------=lim---=lim-^=k

工-0m0xZa；-»olx21022

所以a＜y

|考试技巧20＞导数中的极值点偏移问题的解题技巧

例❶（2022•全国•统考高考真题）已知函数/（2）=*-lnx+x-a.

⑴若/（力）＞0,求Q的取值范围；

⑵证明:若/（力）有两个零点/1，力2,则力巡2Vl.

【解析】（2）［方法