2025届高考数学专项复习：平面向量中的范围与最值问题（含解析）

2025届高考数学第一轮专项复习一平面向量中的范围与最值

问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................5

题型一：利用三角向量不等式......................................................5

题型二:定义法..................................................................8

题型三：基底法.................................................................10

题型四：几何意义法.............................................................14

题型五:坐标法.................................................................19

题型六：极化恒等式............................................................23

题型七：矩形大法..............................................................28

题型八：等和线、等差线、等商线................................................31

题型九：平行四边形大法........................................................37

题型十：向量对角线定理........................................................43

03过关测试....................................................................44

1/65

亡法牯自与.柒年

//\\

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|2+斤+R—斤=2（|清+⑻2）

证明：不妨设45=d40=5,则NC=4+B,DB=a—b

|就卜衣2=（+与第2+27石+田①

^=DB=^-bj=|a|2-2a-b+|S|2②

①②两式相加得：

2/65

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：+—极化恒等式

①平行四边形模式：a^=1[|^C|2-|DB|2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

差岭

②三角形模式：a-b=\AMf-^DB^为AD的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形N5CD与所在平面内任一点,

证明：OA2+OC~=OB-+OD2.

【证明】(坐标法)设AB=a,4D=b,以N3所在直线为轴建立平面直角坐标系尤少，

则8(a,0),0(0,6),C(a,6),设。(x,y),则

OA2+OC-=(x2+/)+[(x-a)2+(y-b)2]

OB2+OD2=[(x-a)2+/]+[x2+(j;-/,)2]

OA2+OC2=OB2+OD2

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

已知03=2无+〃就，若2+〃=1,则4B,C三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底次，砺及任一向量9，OP=WA+jLiOB^,^&R),若点尸在直线上或者在平行

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于的直线上，则几+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线以及与直线N8平行的直线称为等和

线.

①当等和线恰为直线时，k=l；

②当等和线在。点和直线之间时，左e(O,l)；

③当直线48在点。和等和线之间时，左e(l,+8)；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值上互为相反数;

技巧五.平行四边形大法

1、中线长定理

2A0=|时+心「一加砰

2、尸为空间中任意一点，由中线长定理得：

2

2PO=\P^+|PC|2-|HC|2

2

2PO=|哂+阀?一3时

两式相减：\P^+|PC|2-(|P£>|2+|P5|2)==2AB-AD

技巧六.向量对角线定理

------►2*2»2*2

彳—(AD+BC)-(48+CD)

AC-DL)=-------------------------------------------------

2

4/65

D

题型归船总结

题型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知B+*2,|j|=4,则同+W的范围是

【正确答案】卜’2逐］

设同=加，W=〃，

v|s+fe|=2g+B）=+2之.B+|同=m2+n2+2a-b=4小

■.■\a-b\=4:.（a-b^=|a|2-2a-b+=m2+n2-2a-b=16②

①+②得：2（“+"）=2。，m2+«2=10,

（加+=10+2〃?〃W10+2x，"*”]

I2>（当且仅当加=〃=J5时取等号）,

则（加+"）<20,；,m+n<2^5.

■.■\a\+\b\=m+n>\a+b\=4（当且仅当）与1同向时取等号）,

..,同+忖的取值范围为［42后1

故答案为.［4,2向

【典例1-2】（2024•浙江杭州•模拟预测）已知W-2G|=|B-G|=1，M=1,则向量16的范围是

设11一2e,d=b—e,\c\=\d\=i

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所以限b=(a+2e)-(J+e)=C-d+e-(2d+1)+2①

一方面，c-d+e-(2d+c)+2<？-rf+|2J+c|+2=l+3+2=6

当且仅当5与）同向，G与（2，+-）同向时取得最大值,

=卜2)c123、1

c-d+e-(2d+c)+2>c-d-\2d+c\+2-5-£+2=-t—t-\—2—

另一方面,444

"眼+*[0,3],当且仅当|22+讣2,°与（22+1）反向时取得最小值.

其中

a-be

故

故卜卜

__5

【变式1-1】已知忖=LW=2,『1=3且。或1则\a+b+c\

的最大值为（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【正确答案】A

+2a-b+2c\a+bl+4+9+|+2c-(5+i

15

c-^5+6|c||5+6I=3x\b\+25-6=3

2，当且仅当己与G+不同向时取得等号;

51512195.5

1£+»|4J1+4+9+—+2X—=

故42

故选：A.

【变式1-2]（2024•高三,浙江金华・开学考试）已知向量满足区+同=、|”年3,贝（|后|+年|的范围

是（）

A.[3,5]B.[4,5]c.口,4]D,[4,7]

【正确答案】B

任+WNmax干+及卜一目｝=4

由于：砰和/+片+2同’性

22222

25=k+彳+忖一彳=26+b+a+b>a+t>+2问卡|

|X|L|

当且仅当I।H时等号成立.

所以补叶牛+用+*邛=25,

所以「代雨5,

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所以4眼+小5

故选：B

【变式1-3]（2024•河北保定•二模）如图，圆0和圆°2外切于点P,A,8分别为圆a和圆Q上的动点,

\PA+P51s=,­

已知圆a和圆a的半径都为i,且常.而=-1,则।।的l最大值为（）

C.2及D.26

【正确答案】D

万屈++谟）=两.他+西•西+9.他+即.印

=-1+西-^§-丽＞而型=-1

所以㈤.薄=|西.西一切上印一网

所以|丽,西卜|型『+|常『-即,取

2-OB\+20^-03-2<0

即22

解得-1-O1A-O2B<—1+也

向+画2西+如+他+现2=取+2弗•弗

=2+29•取42+2x6+6)=26

故选：D

【变式1-4]已知平面向量与勺满足k2一。卜2

^a=el+4e2,b=el+e2；若"箱必2,则1码的取值范

围为.

【正确答案】[GT石+i]

-1

b=-(a+c)

设己=6-202则2、贝U由条件141石42知2O-m+1)V4,

3<S2+5-c+—c2<5y/3<a+^-<V5,P=1

所以4,所以2|2|

故答案为.[GT，石+i]

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题型二：定义法

【典例2-1】已知向量入区满足：I"*",忖=倒可.设与£+书的夹角为夕，贝ijsin。的最大值为

2收工行

【正确答案】3/3

设则小衣，设向量2、5的夹角为。，

3f2-16

若小一4=4,贝l|片一2々％+片=3产一20rcosa=16,可得侬"2M2,

]<3/一16

<1，解得4汕一»小（亚+1）,

由题意可得"2日2

p+5|=a+2a-b+~b=3t2+ly/lt2cosa=6t2-16+©=-16

所以,

_1

|a+肝一©4A/6/2-164"J

所以,

3r；4V3J_

当t216时,即当一3时，cos6取得最小值此时sin9取得最大值,

272

故答案为.3

【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,

黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在

长江以南的时间稍晚的感泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的

图形，在图2中，圆中各个三角形（如△/CD）为等腰直角三角形，点。为圆心，中间部分是正方形且边

长为2,定点/,3所在位置如图所示，则万•衣的值为（）

8/65

8

D.

【正确答案】A

如图：连接°。

因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形,

所以400=/0£）8=45。，|°4=夜，%£）卜4,AADB=90°

所以。）W+D°^=AD+751）0+DBAD+DBDO

=42+4xV2XCOS—+0+2x^/2cos—

44=14.

故选：A

【变式2-1］已知点4,B,C均位于单位圆（圆心为。，半径为1）上，且/8=收，方.衣的最大值为

()

A.历B.C.^2+1D,G+1

【正确答案】C

设。为圆心，则砺.发1=1,因为|/为=3,

,2，,c»2，,»2

所以45=(OB-OA)=OB-2OB・OA+OA=2,所以OB.QA=0,

所以AB^AC=~AB-(OC-O4)=AB^OC-AB•OA=AB•OC-(OB-04)^04

=ABOC-OBOA+OA=卜科|(9C|cosAB,OC+l=sj2cosAB,OC+1

因为COS赤，页5e[-1,1],所以(方•就)max=1+及

故选：C.

【变式2-2】已知是半径为5的圆。上的两条动弦，园=6，|MN|=8^\PM+QN\——

则I*I最大值是

9/65

()

如图，连接MOOOORON,作尸。_LOE,MN10Dt

易知E是。尸的中点，。是的中点，由勾股定理得。回=4,OD=3,

^PM+QN=OM-OP+ON-OQ=（pM+ON）-（dP+OQ）=2（dD-OE\

故时+函=2|历一西/西+|西）=14,当萌历反向时等号成立，故,正确.

故选：C

题型三：基底法

A=1

【典例3-1］已知O5C的内角4及0的对边分别为0也0,若3,a2,。为的中点，E为C。的

中点，而=3而，则冠•万的最大值为.

1121

【正确答案】6/6

因为。为48的中点，E为C。的中点,

所以荏4@5+就）!赤+在

————,——,AF^-AB+-AC

因为8C=38尸，所以/0力8=3(/厂-/团，所以33

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AE-AFJ-AB+-Ac\\-AB+-Ad\^-AB+-AB.AC+-AC

则(42只33J6126

~AE-'AF=-c2+^bc-~+-b2=-(b2+c2\+~bc

所以612266、724

A=—,a=24=b2+c2-2bccos—

因为3,所以由余弦定理得3,

所以/+/=4+儿22儿，则AV4,当且仅当6=c=2时，等号成立,

AE-AF=-(4+bc)+—bc=-+-bc<-+-=—

所以6、72438326

当且仅当6=c=2时，等号成立.

必=一

【典例3-2】在O8C中，ZA=60°,3c=1,点。为的中点，点£为。的中点，若3,则

4E-AF的最大值为.

13

【正确答案】24

在“3C中，N/=60。，|3C|=1,点。为N8的中点，点£为°的中点，

—1——1—1—1-1-

廿।廿：AE=-(AD+AC)^-AB+-AC=-a+-b

设A8=a,/C=b,则24242,

设由=x,|就|=:

由余弦定理可得1=/+必一盯，

因为/+了注2中，可得I=x2+/_xy2x),即孙41,当且仅当工=>时取等号，

____,1____,____k,1____„1____k____,O____„1____„O1

BF=-BCAF=JB+-^C=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b

又因为3,则333333,

—►—►1—1—2—I-1—2_——c1cc5

AE-AF=(-a+-b)\-a+-b)=—(2a+5a-b+2b2)=—(2x2+2y2+-xy)

则423312122

191913

=—•(-w+2)<—(-+2)=—

12212224,

13

即力E•，厂的最大值为24.

11/65

13

故五.

【变式3・1】在中，44=60。，WC|=1,点。为45的中点，点E为8的中点，若设

LU4ILUUI____B巨=1B(j____

AB=a,AC=b,则近可用。力表示为」若3,则石•静的最大值为一

1-113

—a+—br——

【正确答案】4224.

在“3C中，N/=60。，|3C|=1,点。为N8的中点，点£为°的中点，

—►1—►—►1—►1—►「1一

%।廿JAE=-(AD+AC)=-AB+-AC=-a+-b

由/B=a,4C=b,贝|j24242,

设网/就|=y.

由余弦定理可得』x2+y2一孙，

因为中，可得I=x2+/_xy2x),即孙W1,当且仅当x=y时取等号，

BF=-BCAF=AB+-Jc=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b

又因为3,则333333

22

jAE-AF=(；。+；3).(++产)=±(2Q2+5a-b+2庐)=^(2x+2y+^xy)

191913

=一.(-A7+2)<—(-+2)=—

12212224

13

即次•万的最大值为24.

ZA=~r-

【变式3-2］在中，M是边的中点，N是线段的中点.若6,O3C的面积为百，则

斯•赤取最小值时，则22C=()

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A.2B.8a-12c.6D.4

【正确答案】D

ZA=-r--AB^ACsin-…，尻

在"3C中，由6,的面积为G,得26,贝i]/8x/C=443,

AM=-（AB+AC）

由M是边8c的中点，N是线段的中点，得2,

AN=~（AB+AM）=-（AB+-AB+-AC>）=-AB+-AC

222244,

则加方=,（万+%）.（W9+^%）=耳192+-|I4C|2+-ABAC

3—►c1—»1—"—►J?、h—►—»—>—>—»—►

=-\AB^+-\AC^+-\AB^AC\COs->^-\AB^AC\+^-\AB^AC\=^-\AB^AC\=6

oo2o442,

当且仅当e।AB目ACkBP।ABl=2,|1C|=273时取等号，

BC=yjAB2+AC2-2AB-ACCOSA=J4+12-2X2X2V3X—=2

在O5C中，由余弦定理得：V2

所以25c=4.

故选：D

【变式3-3】如图，已知等腰必8C中，MM=|/C|=3,忸C|=4,点「是边8c上的动点，则

AP（AB+AC^

B.为定值6

D.为变量且有最小值为6

【正确答案】A

设丽=人前（0《441）,因为|回=困|=3,忸牛4

AP-QiB+AC^=QLB+BPy（AB+AC^=AB2+AB-AC+ABC-QiB+AC^

所以

2前.g+kAaW1一益）«2_应『一画”0

|时+|/"_陷2

9+9-161

cosA=

IM-AC\2x3x3-9

所以方,力+就）二际+访就二网?+网.西C0s4=9+3x3xg=10

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故选：A.

题型四：几何意义法

【典例4-1】已知231是同一平面上的3个向量，满足村=3,W=2拒，a-b=-6,则向量Z与坂的夹角

为,若向量"一之与的夹角为彳，则H的最大值为

3兀

【正确答案】彳"35°底

因为同=3,同=2也，＞1=-6,

a-b-6V2

cos3,6=

|a|.|^|-3X2A/2-2

所以

又力良［0,司，所以a,b=—

4,

_r_37t_,_

因为同=3,忖=20,

一4,如图，设a="0B=bt0C=c

则c—q=OC—OA=ACc-b=OC-OB=BC,

----9ZACB=ZAOB=—

又向量c-。与c-b的夹角为4,贝U4,又4,

所以0,48,0四点共圆，又刀=彼-3,

网=寸=yja2+b2-2b-a=^32+(272J-2x(-6)=729

所以

设外接圆的半径为R,

由正弦定理42所以同的最大值为屈.

3兀

故彳；病

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【典例4-2】已知向量"分满足同=1'W=2,贝加+耳+卜-4的最小值是一最大值是一

【正确答案】42M

（几何法）：本题的关键是要挖掘隐含条件：卜+0和卜叫是以同M为邻边的平行四边形的两条对角线，

|万+5]+归一可=2（|5|2+|5|2=10

如图，1"+'和1"可是以同'W为邻边的平行四边形的两条对角线，A是以。为圆心的单位圆上一动点,

构造2个全等的平行四边形.

归+.+归一同=|西+|就|

所以

易知当4民。三点共线时，网+因最小，止匕时M+WH"

当前，死时，网+配最大，止匕时网+国=2倒=2/

（坐标法）•设之二（cos。,sin。）b=（2,0）则3+B=（cos6+2,sin。）2-B=（cos6—2,sin。）

b"5+同"V5+4cos^,|3-b\=j5-4cos。

所以।।।।

@+可+,-可）=10+2725-16cos2（9e[16,20]

则

^<\a+b\+\a-b\<?.45

所以

\a+b\+\a-b\>\（a+b}-（a-b}=\2b\=4

（不等式法）：最小值J11J厂111।.

（当且仅当a+B和方向相反,即。石时，取

匚^~2~~~~

I一||一।

最大值:可+Z卬\a+b-+--a—b=2石r（当且仅当辰*|*=括即加时，取一

（转化为二元最值问题）：令,+原题转化为/+了2=1（）,且x，蚱U，3],求，=x+y的最值.

方法1（数形结合）:直线"x+y与圆弧/+/=10且x,〉e[l,3]有交点，如图可得44t42石.

方法2（判别式法）:/+«-琢=1°化简得2x?-2比+/-10=0,得△=4f2-8（〃-10）20,所以44/42石.

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故4；2石

【变式4-1］（2024•内蒙古包头•模拟预测）已知。是O8C所在平面内一点，且W@二2

OAAC=-lf

OC-AC=\,则//BC的最大值为（)

71717171

A.6B.4C.3D.2

【正确答案】B

OC-AC-OA-AC=(dC-OAyAC=AC2=2

根据04/C=-l0cZCMI可得

即可得

即可知C点轨迹是以A为圆心，半径为血的圆，如下图所示:

由图可知，当3c与圆相切时，//3C取到最大,

又画=2,|斗也可知此时

故选：B.

【变式4-2］已知平面向量£,b,e,且M=l,忖=2.已知向量B与工所成的角为60。，且

|g_d>|g_e|\a+e\+-a-b

।1-1।对任意实数，恒成立，贝〃12的最小值为()

A.C+1B.26C.+D.2M

【正确答案】B

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b-e=b\'\ecos60°=—b\

根据题意，2|L

\b-te\>\b-e\|2+t21eI2-2tb-e>\bI2+1eI2-2b-e1帅-1+碓0

III,两边平方I।।।I।I।,整理1得n到zMI।।I

公=而-4伍+6住0(闾-2『<0ill,

对任意实数，恒成立，则I1,解得q।7,则由=2.

e

\a+e\=1a+2e1一11-

|5+e|+-a-b=-a+2e+-a-b>(-a+2e)-(-a-&)

4=2,如上图,222

由于，贝I

平+*…=而荔=26则”武力的最小值为流

一一1一

—2eb—ci

当且仅当‘’2终点在同一直线上时取等号.

故选：B.

n

【变式4-3］已知是平面向量，且工是单位向量，若非零向量之与工的夹角为彳，向量坂满足

户一44+3=0,则1"可+卜1|的最小值是（）

A.#>-2B.#C.2D.后

【正确答案】B

由庐-4»石+3=0=庐-4济3+3G2=0n@-G)g-36)=0,.\^-3e)

设OA=eQB=b,OC=a以。为原点，厉的方向为不轴正方向，建立如图所示的坐标系,

由（J）,（Je）,得点B在以°（2，°）为圆心，以1为半径的圆上,

71

又非零向量”与"的夹角为Z,设。的起点为原点，贝崎的终点在不含端点。的两条射线y=±Mx>°）上,

17/65

则卜-可+B-+国+国的最小值为国T+斥H西+西T

|cZ5|+西=^（X-1）2+X2+yl（x-2^+x2=V2X2-2X+1+一4x+4

____、

x+2

7

+J（xT）2+（0T）2

表示点（三°）到〔2'2J和（1,1）的距离之和的最小值的V2倍，

V2x

则最小值为

・•・《丽H就卜％=石-1

故选：B.

【变式4-4】（2024•山东青岛・三模）已知向量。，b,Z满足k一5,@一小侬-°）,

则打一d的最小值为（）

A.G—1B.6C.2D.1

【正确答案】A

由题意设】=03=（L°）,a=O4=（m,n）,c=OC=（x,y）

113

（（（）

则lm‘,n八\m-l,'n1}=—2,即'm——2+n=—4,且疗°+”2>=1,

由。-小侬二）可得@-今侬4）=0,即（1_3）.（3_5）=（一）2+/_1=0,

则（x-2）2+/=i,即2的终点C在以。⑵。）为圆心，1为半径的圆上，

18/65

V3

n=——即f万）

由圆的对称性，不妨令2,

如图，连接40,交圆于E,

|C4|>[AE\=\AD\-\DE\=J(--2)2+(―)2-1=V3-1

由点与圆的位置关系可知，।।।।n22

故选：A.

题型五：坐标法

【典例5-1］（2024•河北沏、卜|一模）如图，在等腰直角中，斜边48=4拒，点。在以8c为直径的

D.12

【正确答案】D

如图：以C为原点，建立平面直角坐标系.

则4(0,4),8(4,0),可设Z>(2+2cos&2s历

AB=(4,-4)AD=(2+2cos0,2sin0-4)

则,,

AB+AD=(6+2cos42sin0-8)

所以

AB+AD\1|=(6+2cos6)+(2s历8—8)=104+8(3cos0-4sin0^

所以

19/65

又因为3c°s"4s%”5,所以|万+力卜144n阿+丽V12.

故选：D

【典例5-2】已知।屈:1=2,AM=2MB,若动点尸，。与点/,M共面，且满足1/H而I,

\BQ\=\BM\,则敬丽的最大值为（）

A.0B.2C.1D.2

【正确答案】C

以点河为原点，直线N8为x轴建立平面直角坐标系，如图，则4-2,0）,8（1,0）,

由|/尸|=|/"1=2,得点尸在以A为圆心，2为半径的圆(x+2)2+r=4上,

由|%=|初=1,得点。在以B为圆心，1为半径的圆(1了+/=1上，

设P(-2+2cosa,2sina),0(1+cosB，sin/7),

则MP•MQ=(-2+2cosor)(1+cos£)+2sinasin(3

=2cosacos尸+2sinasin4+2(cosa-cos/7)-2

=2cos(a-/)+2cos117；尸+-2

=-4sin2j-4sin*sinj=-（2sinj+sin*y+sin2*4sin2*41

2222222

兀八2兀

a——p——

当33时，能取到所有等号，

所以诉屈的最大值为1.

故选：C

［变式5-1】在梯形/8C。中，ABHCD,AB=2,AD=®,CD=1,ZBAD=45\P＞。分别为线

段和线段NC上（包括线段端点）的动点，则下.质的最大值为（）

A.2不B.2亚C.屈D.3

【正确答案】D

20/65

以为x轴，过/垂直于N3的直线为y轴，

因为/。=及,40/2=45。，所以DO』），

因为。。=1,/8=2,/。48=45。，所以C（2』），

AP=AAD,O<A<1,AQ=tAC,0<t<l,

APAQ=AADtAC=At（1,1）（2,1）=勿（2+1）=3»

当4=1=1时，N,质的最大值为3.

故选：D.

兀

ZBAC=-

【变式5-2］在A42c中，BC=2,3,。为2C中点,在A45C所在平面内有一动点P满足

UUUUUUUUUUU_____.

=则/尸4C的最大值为()

V32734G

A.3B.3C.石D.3

【正确答案】D

UUUUUUUUUUU{JUULLJU1X1UUUUUU

由PB-PD=PC-PD,得PD《PC-PB)=0,即尸£>.8C=0,

ULUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

所以APBC=(AD-PD)BC=ADBC-PDBC=ADBC

21/65

因为3c=2,3,所以点/在以8c为弦的优弧上运动（不含端点）.

设历1C所在圆的圆心为连接“2、MC、MD,

“cBD百BD2百

MD=----=——,BM=-----=----

2兀713.兀3

ZBMC=—tan—sm—

则A/D13C,3,可得2。=1,3,3

以3为原点，2C所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

/1—\//~\

C（2,0）,Z）（l,0）,M1,—（无-1）+y~^~

可得I九圆〃的方程为I>

设/（丸"）,则舒=0一见一〃），结合前=（2,0）,

可彳曰ADBC=2。一机）+0=2-2机

（I）+y---=-

因为/点在圆M：I）上运动，

、2也/八2拒、2也……八273.473

所以33,可得当3时，33,达到最大值.

2734石

综上所述，当3时，/D1C有最大值3.

故选：D.

【变式5-3］在A48C中，AB=2BC=2,ZB=90°,尸是以为直径的圆上任意一点，则就•万的最

大值是（）

A,2

V5+2B,^5-2C.2也D.4

【正确答案】A

如图：以中点。为原点，建立平面直角坐标系,

22/65

则4(0,1),C(1,T),设尸(cosa,sina),«£[0,2^)；

所以4c=(1,一2)AP=(cosa,sincr-1)

所以4C•AP=(1,-2)-(cosa,sina_1)=cosa—2sina+2

因为cosa-2sina=J^cos(a+e),(其中0e(0,兀)且tan夕=2)

所以cos«-2sina=A/5COS(a+夕)V逐

从而就•万(石+2.

故选：A

题型六：极化恒等式

71

BC=4,A=--.—、一_

【典例6-1］已知“BC中,3,若所在平面内一点。满足。3+℃+2。4=°,则

。历DC的最大值为_

【正确答案】-1

如图，设3C中点为£,

DA=--+DC^=-DE

所有2

所以。为NE中点,

23/65

--►--►/--►--►、/--►--►、/--►—*\/--►--►、--》2-----------

所以O5℃=（D£+E5）（D£+EC）=@^+£B）（Z）£-£5）=OE-EB=DE-4

又BC2=AB2+AC2-