2025版新教材高中数学课时素养评价二十二函数的单调性新人教B版必修1

PAGE1-课时素养评价二十二函数的单调性(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)1.(多选题)下列四个函数中，在(-∞，0]上为减函数的是 ()A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x2C.f(x)=x+1 D.f(x)=QUOTE【解析】选AB.在A中，f(x)=x2-2x的减区间为(-∞，1]，故A正确；在B中，f(x)=2x2的减区间为(-∞，0]，故B正确；在C中，f(x)=x+1在R上是增函数，故C错误；在D中，f(x)=QUOTE中，x≠0，故D错误.2.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且f(2)=3，则满意f(2x-3)<3的x的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(-∞，3) D.QUOTE【解析】选D.由题意，f(2x-3)<f(2)，因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，则0<2x-3<2，解得QUOTE<x<QUOTE.3.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论肯定正确的是 ()A.y=QUOTE在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-QUOTE在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【解析】选D.依据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)=x，则y=QUOTE=QUOTE，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y=-QUOTE=-QUOTE，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于随意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y=-f(x)，则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0，则y=-f(x)在R上为减函数，D正确.4.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是 ()A.a=0 B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x=-QUOTE=QUOTE，要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则QUOTE若a<0，图像开口向下，要求QUOTE>2，明显不行能，所以函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是QUOTE二、填空题(每小题4分，共8分)5.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调减区间是________，最小值为________.

【解析】化简函数为：f(x)=QUOTE当x>0时，函数在区间QUOTE为减函数，在区间QUOTE上为增函数，作出图像如图所示，由图像不难得出，函数的单调减区间为QUOTE和QUOTE；最小值为fQUOTE=QUOTE-QUOTE+2=-QUOTE.答案：QUOTE和QUOTE-QUOTE6.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2，2)上的减函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是________.

【解析】由题意得：QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(共26分)7.(12分)已知函数f(x)=QUOTE，(1)画出f(x)的图像.(2)写出f(x)的单调递增区间.【解析】(1)函数f(x)=QUOTE的图像如图所示：(2)f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[2，5].8.(14分)已知函数f(x)=ax+QUOTE(a，b是常数)，满意f(1)=3，f(2)=QUOTE.(1)求a，b的值.(2)试推断函数f(x)在区间QUOTE上的单调性，并用定义证明.【解析】(1)因为f(1)=3，f(2)=QUOTE，所以QUOTE解得：QUOTE故a=2，b=1.(2)由(1)得f(x)=2x+QUOTE，任取x1，x2∈QUOTE且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=2x1+QUOTE-2x2-QUOTE=(x1-x2)QUOTE，因为0<x1<x2<QUOTE，所以x1x2<QUOTE，2-QUOTE<0，又x1-x2<0，故f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，故f(x)在QUOTE递减.(15分钟·30分)1.(4分)设函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，则 世纪金榜导学号()A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)【解析】选D.因为a2+1-a=QUOTE+QUOTE>0，所以a2+1>a，又因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)<f(a).2.(4分)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是 ()世纪金榜导学号A.[1，+∞) B.(1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=QUOTE所以函数f(x)=2|x-a|+3在区间[a，+∞)上是增函数.在(-∞，a)上是减函数，又f(x)在[1，+∞)上不单调，所以a>1，所以a的取值范围是(1，+∞).3.(4分)已知函数y=-x2+4ax在区间[-1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解析】依据题意，函数y=-x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[-1，2]上单调递减，则2a≤-1，所以a≤-QUOTE，即a的取值范围为QUOTE.答案：QUOTE4.(4分)f(x)=QUOTE在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解析】因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a-4<0①，x>1时，f(x)递减，即a>0②，且(a-4)×1+5≥2a③，联立①②③解得，0<a≤1.答案：(0，1]5.(14分)已知函数f(x)=QUOTE，且f(1)=3，f(2)=QUOTE.世纪金榜导学号(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式.(2)推断f(x)在区间[1，+∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明.【解析】(1)由QUOTE⇒QUOTE⇒QUOTE则f(x)=QUOTE.(2)任设1≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=(x1-x2)·QUOTE，因为x1<x2所以x1-x2<0，又因为x1≥1，x2>1，所以x1x2>1，2x1x2>2>1，即2x1x2-1>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在[1，+∞)上是增函数.1.已知函数f(x)=QUOTE的增区间为[-1，+∞)，则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解析】当x<0时，f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1，当-1≤x<0时，函数f(x)为增函数，当x≥0时，f(x)为增函数，要使函数在[-1，+∞)上是增函数，则满意f(0)=0+a≥-3，即a≥-3.答案：[-3，+∞)2.已知函数f(x)=mx+QUOTE+QUOTE(m，n是常数)，且f(1)=2，f(2)=QUOTE. 世纪金榜导学号(1)求m，n的值.(2)当x∈[1，+∞)时，推断f(x)的单调性并证明.(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立，求实数x的取值范围.【解析】(1)因为f(1)=m+QUOTE+QUOTE=2，f(2)=2m+QUOTE+QUOTE=QUOTE，所以QUOTE(2)设1≤x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+QUOTE+QUOTE-QUOTE=(x1-x2)