2025届高三数学上学期开学测试卷（学生版+解析）

第01卷2025届高三数学上学期开学测试卷

（综合测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

一g<%Wl},N={x2尤EZ},则A/P|N=()

1.已知集合

b-H4}c-d-

A.{0,1}

2.若复数z=©-1+占，则复数z的虚部为（）

A.1

B.-iC.--iD.--

2222

3.已知向量2,B，Z=5,*4,Z与B的夹角为120。，若住一2可乂£+可，则k=（)

A.」3-43

B.--C.-D.-

5555

22

4.椭圆*+上1…＞。）的两焦点分别为耳A是椭圆E上一点，当店和的面积取得最大值

时，N月4入=（）

n-2〃

A.-B.-C.D.——

62T3

已知尸)=))：

5.sin(a—2cos(a+£,tan(a-£=,贝Utana-tan6=()

4

A.—B.-C.D.9

5375

6.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和4百，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为)

A.lOOnB.128TIC.144TTD.192TI

7.已知数列｛g｝的前〃项和为S,，则（）

A.若｛4｝为等差数列，且ScSg.ScSm则用>0,几<0

B.若｛%｝为等差数列，且4>0,几<0,则出>。，/<。

C.若｛%｝为等比数列，且&>。，则S202ao

D.若｛4｝为等比数列，且为>°，则邑侬>。

8.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项

比赛至少一位同学参加，事件A="甲参加跳高比赛”，事件8="乙参加跳高比赛”，事件C="乙参加跳远比

赛”，则（）

A.事件A与2相互独立B.事件A与C为互斥事件

C.尸（。力］

D.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的

样本均值元=500,样本方差$2=400.己知原品种玉米的亩产量X服从正态分布N（430,202）,假设新品种玉

米的亩产量¥服从正态分布N（5,S2）,则（）（若随机变量Z服从正态分布NJ。?），则

P（Z<//-cr）«0.1587）

A.P（X>480）<0.2B.P（X<480）>0.8

c.P（y<480）<0.2D.P（r>520）>0.2

10.已知非常数函数“X）及其导函数/（X）的定义域均为R,若“2-X）为奇函数，〃2x+4）为偶函数，

贝I（）

A./（2）=1B./（2024）=-/（2020）

c.7,（-l）=f,（7）D.1（一2021）=广（2025）

22

11.已知b为双曲线C:=-==l（a>0,b>0）的右焦点，过尸的直线/与圆O：/+y2=a2相切于点”，且

ab

/与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则下列说法正确的是（）

A.直线/的斜率为

b

B.直线加是C的一条渐近线

c.若阿耳刊，则c的离心率为近

D.若刊刊，则C的渐近线方程为y=±/

3，

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.］的展开式中常数项为.(用数字作答)

13.已知函数/(x)=2sin8+：［0＜。＜6)的图象向左平移卷个单位后关于y轴对称，若/(x)在-＞

上的最小值为-1,则t的最大值是.

14.已知实数天，＞满足尤2+丁2=2忖+2仅|,则占的最大值为.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

A_A/3

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4zsin2sinA(Z?cosC+ccosB).

22

(1)求A；

⑵若NA4C的角平分线交5。于点D,且AD=1,求VABC面积的最小值.

2

16.已知数列｛4｝的各项均为正数，q=l,S"为｛可｝的前〃项和，且仁2).

)〃十»1

(1)求｛《,｝的通项公式;

S；+S；M

⑵设2=,记也｝的前〃项和为求证:

17.如图，在三棱锥尸一ABC中，PA=BC=26,PC=AB=6,PB=而,/ABC=90。,。为AC上的动点.

(1)若4。=百，求证：PD_L平面ABC；

TT

(2)若平面FAD与平面?友)的夹角为:，求CO的长.

18.已知函数/(x)=lnx+x2-2办MER,

⑴当a>0时，讨论/(x)的单调性；

⑵若函数/(无)有两个极值点百,％&<%),求2/(七)-〃々)的最小值.

22

19.定义：若椭圆宗+左=l(a>6>0)上的两个点4(%,%)，矶%,%)满足卓+第=。，则称4B为

22

该椭圆的一个“共辗点对”，记作[AB].已知椭圆C："誉=1上一点4(3，1).

⑴求“共利点对”[A引中点B所在直线/的方程.

(2)设。为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ//Q4,(1)中的直线/与椭圆C交于两点瓦,鸟.

①求点用,Q的坐标;

②设四点瓦，P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形与尸与。的面积小于

第01卷2025届高三数学上学期开学测试卷

（综合测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合"=卜一g<xW“,N={x|2xeZ},则（）

V!cd-

【答案】D

【分析】由交集的定义求解.

【详解】集合M="—|;<XW1，,N={N2X£Z},则=

故选：D

2.若复数z=|Gi-1|+5，则复数z的虚部为（）

11.1.1

A.一B.—1C.—1D.

2222

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则，化简得复数z=2-1i，结合复数的概念，即可求解.

22

【详解】由复数z=|后一1|+==2+肃A=所以复数Z的虚部为

故选：D.

3.已知向量B，口=5,4,£与B的夹角为120。，若传一2B）_L（Z+B）,贝！|后=（）

4343

A.——B.--C.一D.

5555

【答案】C

【分析】先利用数量积的定义求出7B=-io,再根据垂直关系的向量表示列式解方程即可.

【详解】因为卜|=5,忖=4,£与B的夹角为120。，所以Q-B=|a||B|cosl20。=5x4x(_w)=_10.

由(左a—2石)_!_(〃+,

得(左2—23・(£+石)=化/一232+伏一2)£.3=25左一2><16—10(左一2)=15左一12=0,

4

解得无=二.

故选:C.

22

4.椭圆的两焦点分别为《B，A是椭圆E上一点，当西和的面积取得最大值

时，

ZFXAF2=()

2%

D.

【答案】C

【分析】利用三角形面积公式得当点A位于椭圆的上下端点时，面积最大，再利用特殊角的三角函

数即可得到答案.

【详解】c=7¥力=1,所以闺阊=2c=2,

所以&=；x2x|yj=|%|，则当|力|最大时，△月Ag面积最大,

此时点A位于椭圆的上下端点,

则/片4。=9=今7T

,因为/々AOe0,1所以=J

O

7T

所以/耳4居=1.

故选：C.

5.已知sin(a-〃)=2cos(a+〃),tan(a-£)=；,则tana-tan〃=()

【答案】C

【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除cosacosA，得至hana.tan6=]_tana二tan£.再利用

两角差的正切公式展开tan(。-/)，将tana-tan£换成,化简即可得到答案.

【详解】sin(cz-^)=2cos(a+/?),所以sinacos/7-cosasin/7=2(cosacos/7-siiiasinP),

两边同除cosacos4,得至!Jtancr-tan/J=2—2tana-tan/7,gptana-tan/3=1-tan6Z^tan^

t(a_tana_tan尸_tan-tan_14

'l+tano・tan£-1「tan。—tan尸—2，tana—tan分==.

i+i------------------s

2

故选：c.

6.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和4』，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为()

A.IOOTIB.128KC.144TID.19271

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径4,4,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径

之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小々所以女二口邑二弓二上叵-,即可=3透=4,设球心

1sin60。-sin600

到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为R,所以&=收一9，d2=JR?-16，故同-蜀=1或4+4=1，

即府一9一收一16,1或+=解得长=25符合题意，所以球的表面积为

S=4TTH2=IOO瓦.

故选：A.

7.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,则()

A.若｛%｝为等差数列，且怎，与品>儿,则%>0,儿<0

B.若｛4｝为等差数列，且17>°，几<。，则如>0，/<。

C.若｛%｝为等比数列，且4>0,贝|S2024>0

D.若｛4｝为等比数列，且%>°，贝1星际>。

【答案】D

【分析】根据等差数列的前〃项和与等差数列的性质，判断S,与。，正负，判断A,B；根据等比数列的前〃项

和与等比数列的通项公式，分类讨论判断S“与正负，判断C,D；

【详解】设等差数列｛〃“｝的公差为〃，

对于A,若为等差数列，且Sg>$8，$9>10，Ss+ag>S8,a9>0,S9>S9+aw,aw<0,

则d<0,与=当空义17=引17=17%>0,

每8=七维乂18=9（的+%。），无法判断符号，A错误;

对于B,若57>0,S18<0,S18=517+«18<O,6Z18<0,

So="丁灯7=学><17=17%>0,则%>0，

儿="x]8=9(%+qo)<0,贝IJqoVO,贝！jq>0,d<0,%7<0，B错误;

设等比数列｛4｝的公比为以4*0),

对于C,若｛。〃｝为等比数列，且。4=出/>0，丁/>0，，〃2>0，

若4=_1时，则q<0,1—q>0,1—/。24=0,邑期=4(1-4~"4)=0,故c错误；

i-q

对于D,若｛%｝为等比数列，且为=4]>。吗>。，

当q=1时，则S2023=2023%>0,

Z1_2023\

当#1时，则％23=；

1-4

Z1_2023\

若q<0时，l_q>0,q2023<0,1-^2023>0,S=―>0

20231-q:

若0<4<1时,]-q>0,0<12023<],l_g2023>0,$2023="O"~->0;

i-q

20232023

若4>1时,1-^<0,<7>1,1-q<O,S2O23=>0;D正确.

i-q

故选：D.

8.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项

比赛至少一位同学参加，事件A="甲参加跳高比赛”，事件3="乙参加跳高比赛"，事件C="乙参加跳远比

赛"，则()

A.事件A与8相互独立B.事件A与C为互斥事件

C.尸(。⑶4D.尸(同可」

【答案】C

【分析】根据条件求出P(A),尸(3),P(AB),P(AC),由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公

式进行逐一判断即可

c；c；c：

【详解】对于A,每项比赛至少一位同学参加，则有=36不同的安排方法,

A；

事件A="甲参加跳高比赛"，若跳高比赛安排2人，则有A；=6种方法;

若跳高比赛安排1人，则有C；C：A；=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6+6=12种,

121121

则尸⑷=犷寸同理尸所/院

若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有A；=2

21

种不同的安排方法，所以「缶坊二外二百，

3618

因为P(AB)丰P(A)P(B),事件A与2不相互独立故A错误；

对于B,在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A

与C不是互斥事件，故B错误；

对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有C；+C；=5种，所以

尸（AC）=[,所以尸（.R=号黑=平=（,故C正确;

JO士iz

1

对于D,P（MA）=£箸=宇=:,故D错误.

3

故选：C

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的

样本均值元=500,样本方差？=400.已知原品种玉米的亩产量X服从正态分布N（430,202）,假设新品种玉

米的亩产量y服从正态分布N（.d）,则（）（若随机变量Z服从正态分布则

尸（Z<〃-b）20.1587）

A.P（X>480）<0.2B,尸（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

【答案】ABC

【分析】根据正态分布的性质及3b原则，以及条件一一判断即可.

【详解】依题可知，K-2V（5OO,2O2）

P（Y<480）=P（y<500-20）=P（Y>500+20）»0.1587<0.2,故C正确，D错误.

因为X~N（430,202）,所以P（X>450）=P（X>430+20）=P（X<430-20）工0.1587,

P（X>480）<P（X>450）<0.2,A正确.

因为P（X<450）=1-尸（X>450）»1-0.1587=0.8413,所以尸（X<480）>P（X<450）>0,8,B正确.

故选：ABC

10.已知非常数函数〃x）及其导函数/'（x）的定义域均为R,若〃2-力为奇函数，〃2x+4）为偶函数，

贝I（）

A./（2）=1B./（2024）--/（2020）

C./（-1）=r（7）D.尸（一2021）=尸（2025）

【答案】BCD

【分析】根据〃2-力为奇函数可求出“2）判断A,再由〃2-力为奇函数，/（2x+4）为偶函数求出

/（x）=-/（4-x）可得周期，据此可判断B,根据函数/（尤）的周期可求尸（x）的周期判断CD.

【详解】因为非常数函数/'（X）及其导函数/'（X）的定义域均为R，

若〃2-x)为奇函数，则/(2+x)=-/(2-x),则“尤)的图象关于点(2,0)对称，且〃2)=0,故A错误;

因为〃2尤+4)为偶函数，所以〃2x+4)=〃—2x+4),即"x+4)=〃—x+4),

则/(x)"(8-x),又〃2+x)=—"2-x),所以“x)=—44r),

所以〃8—x)=—〃4—x),gp/(x+4)=-/(%),所以/(x+8)=/(x),

故〃x)的周期为8,所以〃2024)=〃0),/(2020)=/(4),在〃x+4)=一/⑺中,令x=0,得

/(4)=-/(0),所以“2024)=-42020),故B正确；

对〃x+8)=〃x)两边同时求导,得广(尤+8)=/(无)，

所以导函数尸(x)的周期为8,所以『'(-1)=广⑺，故C正确；

由广(力周期7=8,得/'(-2021)=尸⑶，/'(2025)=期(1),对〃劝=一〃4-同两边同时求导，得

r(x)=r(4-x),令x=i,得尸⑴=尸(3),

所以『'(—2021)=/'(2025),故D正确.

故选：BCD.

22

11.已知产为双曲线C:工-马=l(a>0,b>0)的右焦点，过尸的直线/与圆O：Y+y2=/相切于点且

ab

/与C及其渐近线在第二象限的交点分别为尸,。，则下列说法正确的是()

A.直线/的斜率为-/

B.直线是C的一条渐近线

C.若刊=；|。司，则C的离心率为友

D.若巴=。尸司，则C的渐近线方程为l=±『

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断

C,D,

【详解】对于A,根据题意，F(c,0),设直线/:y=依-既n履-丫-笈=0次<0,

又因为直线/与圆0：/+、2=°2相切于点”,

所以a=-j^Lna2(]+/)=/c2,..方=°2一/，A正确；

Jl+%2b

b

对于B,根据题意可知可得自M

a

b

所以直线OM:y=—x是C的一条渐近线，B正确;

a

b

对于C,若眼司=jo刊，根据题意尸（c,0）,联立，y=­x

a,解得M（一,一）,

x2+y2=a2cc

b

y-——x

aa2cabc

同理联立＜,解得。（-■))

aacr-b^a2-b2

y=——x+—c

bb

abc

由于M尸尸I，故-=3x—,即0?=3,2-1),/=36,

a2-b2

化简得e?=3,则C的离心率为C错误;

对于D,设PG。,%）,依题意知=尸产I，则丽=3丽,

(2

故)=3;ab4日3〃_3ab

c,—得为=----2c,y0=-----,

c7CC

2

3a2°3abix2

故尸丁-2c,丁I，代入。得

a,2b2,1

b2

所以「彳2=1u3,则a2+b213b29

a14a24a24

b33

得g=则。的渐近线方程为y=±；%,D正确;

a22

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母

参数的运算，计算量大，很容易出错.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

9

12.的展开式中常数项为.（用数字作答）

【答案】84

【分析】根据二项展开式的通项公式求解.

【详解】根据通项公式；

令加5羽=0，解得〃=6,所以（=（-1）6C；=84,

故答案为：84.

13.已知函数小）=25m"+口0＜。＜6）的图象向左平移自个单位后关于y轴对称，若/（元）在-%

上的最小值为-1，贝"的最大值是.

【答案】/5兀

（TTTT]TT

【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：y=2sin[ox+石。+利用对称性求得。=2,由xe--,t

JIJI'11

时，可得2%+工£--,2r+-,由正弦函数的性质列式求解即可.

363_

【详解】函数/。）=2而"+，（0＜。＜6）的图象向左平移展个单位长度后，

图象所对应解析式为：y=2sin^x+^+|-=2sin"+10+|J,

因为＞=2$皿〔0X+尚0+々]图象关于y轴对称，所以白0+g=E+g,keZ,

可得刃=12左+2,keZ,又0＜。＜6,所以。=2,即/（%）=2sin（2x+§],

要使）在一夕,上的最小值为则〉=皿[苫+方）在TT1

"X-1,52--,t上的最小值为

当XW

所以一?42/+刍42,解得一工，即/的最大值是

63641212

5兀

故答案为：

14.己知实数羽y满足丁+丁=2国+2忖，则占的最大值为.

【答案】1

【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将士看作曲线上的点与坐标为（4,0）的点连线的斜率，求出

最大值.

【详解】由"T"和"代入方程仍成立，所以曲线d+y2=2W长|关于x轴和y轴对称，故只需考虑xNO,

y2。的情形，

此时方程为/+V=2x+2y,BP(x-l)2+(y-l)2=2,所以(x,y)的轨迹如下图,

=上三，表示点(％y)和(4,0)连线/的斜率，由图可知，当/曲线第四

x—4

象限部分半圆(圆心为(1,-1),半径为血)相切时，斜率最大.

=&,解得左=1或(舍去),

设/：y=k(x-4)f则J】，2

所以3的最大值为L

A—4

故答案为：1.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin2g=^^sinA(bcosC+ccosB).

⑴求A;

⑵若SBAC的角平分线交8C于点。，且AD=1,求VABC面积的最小值.

【答案】⑴A号

(2)73

【分析】(1)借助降嘉公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解.

(2)借助等面积法及基本不等式即可得解.

1-cosA

【详解】(1)cos--=---

22

sinA(1-cosA)~J3

由正弦定理可知:sinA(sinBcosC+sinCcosfi),

2~^2

又sinA>0,化简得：1一cosA=A/3(sinBcosC+sinCcosB),

即l-cosA=6sin(8+C)=若sinA,

所以，J5sinA+cosA=2sin[A+2)=1,

nn-I,71I1EAL471I7171『IN,27t

即sinAA+工=%,因为A+z，？7K)，所以A+2=-5K^,从而A=-^；

oyzo16oJoo3

(2)由题意可得：SABAD+SMAD=8AABC,

L,i].兀1.兀17.2兀

i±AD=l13BrPt—/?sin—+—csm—=—bcsm——,

9232323

化简得b+c=Z?c,

而b+c=bcN2版,解得历24,等号成立当且仅当Z?=c=2,

VABC的面积S=—bcsinA=——Z?c>\/3，等号成立当且仅当6=c=2,

24

综上所述，VABC的面积的最小值为逝.

2

16.已知数列｛4｝的各项均为正数，%=1,S〃为｛4｝的前〃项和，且%522).

⑴求｛q｝的通项公式;

S；+S2

(2)设2=，记也｝的前〃项和为I,求证:

sF£

p,«=l,

【答案】⑴a"~[-2〃-1--2〃-3,n>2.

（2）证明见解析

【分析】（1）由题意知，当“22时，an=Sn-Sn_x,代入题干表达式可得5；-晓1=2522）,通过计算数

列｛S；｝的通项公式即可计算出前〃项和S“的表达式，最后结合公式〃>2,即可计算出数列

｛即｝的通项公式；

（2）由（1）计算出数列｛%｝的通项公式，再运用裂项相消法计算出前“项和1的表达式，最后根据不等式

的性质即可证明结论成立.

22

【详解】⑴由。”=〈工〈,得S”一1-=[,即S；-S3=2（〃N2）；

又S；=。;=1,

所以｛s；｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以S；=1+2（〃—1）=2〃—1,又是正项数列，所以S.=7^.

当〃22时，an=Sn-Sn_｛=,2〃-1-，2〃-3,

又当〃=1时，%=1不符合2时。〃的形式.

1,n=1,

所以4n

yJln-i-j2〃-3,n>2.

（2）证明:

b_S；+S3_2w-l+2〃+l_4w_11________1___

"S：&i（2n-l）2-（2n+l）2（2n-l）2.（2n+l）22（2n-l）2（2n+l）2

（=4+e+…+2=g111111

F-7+37-F+，"+（^zi7"（^7

1

<-.

22

17.如图，在三棱锥尸—ABC中，尸4=BC=2g,尸C=A8=6,尸8=闻,/ABC=901D为AC上的动点.

⑴若4。=石，求证：PD_L平面A3C；

TT

⑵若平面PAD与平面P8D的夹角为才，求C。的长.

【答案】⑴证明见解析

（2）C£）=i^

4

【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明PD,AD,PDYBD,即可得证；

（2）由（1）问可知，确定空间直角坐标系的原点位置，然后建系，利用已知的二面角建立等式关系，求

出动点。的坐标，即可得出答案.

在RtZXABC中，AB=6,BC=2瓜贝！JAC=4VL

又PA=2石,PC=6,所以4。2=尸。2+以2

由勾股定理可得aAPC为直角三角形，ZAPC=900,

PCr-

所以tan/PAC=—=V3,所以NPAC=60。

PA

在中，因为AD=C，由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cosZPAD=(273)2+(厨-2x273x退xcos60°=9

贝Ijp/y+A£>2=92,所以POLAD,

又CD=3,ZACB=60°,在ADCB中由余弦定理可得：

BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZACB=(2厨+(3同-2x2岛3岛cos60。=21,

则PEr+BD2=PB?，所以P£>_L,

又ADcBD=D,XDu平面ABC,即u平面ABC,

所以尸£>_!_平面ABC

(2)在AC上取一点。，使4。=代由(1)可得平面A3C,作OELAC,

如图以0为坐标原点，OE,OGOP所在的直线分别作为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系.

则点。(0,0,0),以1,0,0),尸(0,0,3),网3,2也,0),。(0,/,0),

因为OE_L平面APQ,所以砺=(1,0,0)为平面AP£＞的一个法向量，

设平面PDB的一个法向量为"(x,y,z),而=(3,2"-3),而=(3,2有T,0b

«PB=0「3X+2岛-3Z=0

_.可得《,广\，取丁=3,贝lj%=,—2A/3,z=t,所以力=,一2班,3,。，

n-DB=03x+(2J3-/)y=0

\n-OE\|f-2国

L,、71=*解得:乎,

因为rcos：=

4同悭|J(r-2后+9+产

即。。=且，又OC=AC-AO=4如-0=3陋,所以。。=0。一0。=34一走=^^

444

所以当时，则二面角A-PD-3的大小为夕

44

18.已知函数/(x)=lnx+x2-2dxMER,

⑴当。＞0时，讨论〃”的单调性；

（2）若函数/（x）有两个极值点石，々（e＜赴），求2/（%）-/（々）的最小值.

【答案】⑴答案见解析

,、l+41n2

⑵——；-

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论AVO与公＞。两种情况即可得解；

（2）利用（1）中结论，利用韦达定理得到百•％=；，2axi=2尤：+1,2ax2=2xf+1,利用消元法将

2/（石）-/（%）表示成关于月的函数，再利用换元法和导数求得所得函数的最小值，从而得解.

【详解】（1）因为/1（%）=111%+/一2依,彳＞0,

所以f\x）=-+2x-2a=2入2办+1,

XX

令g（x）=2x2-2ax+1,贝ljA=4a2-8=4（4—2）,

因为〃＞0,

当时，A＜0,贝iJgQRO,即/（%）之0,

此时/（%）在（0,+8）上单调递增，

当Q＞五时,A＞0,由g（%）=。’Wx3=-----———,x4=--———,且毛＜工4,

22

当0＜工＜%3或工＞14时，g（x）＞。，即/'（尤）＞0;

当天vxv%4时，g（%）＜0,Bpfr（x）＜0,

所以f（x）在（。,天）,（%4，+00）上单调递增，在（毛,％4）上单调递减；

综上，当时，/（©在（0,+8）上单调递增，

当4〉加时，/（%）在（0,毛）,（程位）上单调递增，在（无3，乂）上单调递减，

^2市a-Ja2—2〃+Ja2-2

（2）由（1）可知，工3，X4为八%）的两个极值点，且％3＜%4,

所以玉=%3，工2=%，且不，工2是方程2炉—2依+1=0的两不等正根,

此时。〉友，玉+工2=。＞°，玉,々=；，

r、

所以不G0,—,XG,+00,且有2axi=2x；+1,2ax=2考+1,

222

I)7

则2于(王)—/(%)=2(ln再+町—23)—(in9+元;—2ax^

-2(in再+片—2%；—1)—(inx?+x；—2x；-1)=-+2In石_Inx2+x；—1

2

113

—%2-2+2In-----InX?-1—x；--------Inx；—21n2—1

[,+(»],令g(r)=21n2-1,

令，=%;，贝

则，

当te1,1）时，g'（/）＜0