2025届高中数学三轮冲刺高考模拟卷（三）（含解析）

高考仿真卷（三）

（时间：120分钟分值：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.若全集U=R，集合A={x[0Wx<3},B={x\l<x<4],则AC（1亦）等于（）

A.[0,1）B.[0,1]

C.（-8,1）D.（-8,J]

2.已知2=与干，贝吃的虚部为（）

1—1

A.2iB.-2iC.-2D.2

3.已知两个非零向量a,b'^\a+b\=\a-b\,则在B上的投影向量为（）

A.bB.-bC.-bD.--b

22

4.已知球的半径为1,其内接圆锥的高为|,则该圆锥的侧面积为（）

5.已知函数«x）=ln（ax+2）在区间（1,2）上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.a<0B.-1WQV0

C.-l<a<0D.a^-1

6.已知tana=2,tan（a+0=-l,则等于（）

A二1B.-2C.21D二

235

7.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标以数字1到8,将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的

数字依次为为，必事件A=".=3"，事件5="双=6"，事件C="XI+%2=9"，贝！J（）

A.AB=CB.A+B=C

C.A,B互斥DB。相互独立

22

8.已知椭圆C力l=l（a>6>0）的左、右焦点分别为B，F2,A3为过点B的弦，M为AR的中点，

3丽=4瓦瓦AB±MF2,则C的离心率为（）

A.5-B.4-C.-3D.2-

7777

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知函数“x）=sin（（3x+m）go）的最小正周期大于若曲线月㈤关于点停，0）中心对称，则下列

说法正确的是（）

^.y=f（x+看）是偶函数

C.x=V是函数兀t）的一个极值点

D.©在（0,D上单调递增

10.设抛物线C：V=4y的焦点为N尸是C上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.点P到尸的距离比到x轴的距离大2

B.点P到直线y=x-3的最小距离为四

C.以尸尸为直径的圆与龙轴相切

D.记点尸在C的准线上的射影为H,则△尸尸“不可能是正三角形

11.设xi，X2（xi<%2）是直线广。与曲线«x）=x（l-lnx）的两个交点的横坐标，贝!J（）

A.%iX2<e

B.x21n%i>xilnxi

C.m〃e（0,1）,

D.V〃e（0,1）,xilnx\+xi>a

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

n

12.设（l+x）〃=ao+aix+42X2+…+〃病"（几，1,〃金N）,若仪5>。4，且贝U2a尸.

i=1

13.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为白每步上两个台阶的概率为;，设该人从第1个台阶出发,

44

到达第3个台阶的概率为.

14.在梯形A3CD中，AB//CD,DA=DB=DC=1,则该梯形周长的最大值为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为Sn,且2S„=a„（a„+l）.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；（6分）

（2）证明：2+白+…+三<2.（7分）

16.（15分）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如表:

样本号i12345

第乐天12345

参观人数%2.42.74.16.47.9

55

并计算得，2%少尸85.2,2步=55,x=3,9=4.7.

i=1i=1

⑴求y关于尢的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数；（7分）

⑵已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离

校的概率为（从另一处门离校的概率为I.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名

参观者都从1号门离校，求他们从不同门进校的概率.（8分）

n

AA2（修一制（"一/A

AAA

附：经验回归方程y二比r+a,其中力二匹与--------,a=y-bx.

i=l

17.（15分）正四棱台A3CDA131C1A的下底面边长为2VLA1B^AB,M为3c的中点，已知点P满足

AP=（l-^AB+^ADUAA1,其中入6（0,1）.

(1)求证：DiP±AC；(6分)

（2）已知平面AMG与平面A3C。夹角的余弦值为?当力=|时，求直线DP与平面AMG所成角的正弦

值.（9分）

22

18.（17分）已知双曲线C：*白=1（0>0,>>0）的左、右焦点分别为尸1，F2,焦距为4,C上一点P满足

cosZFiF2P=-y,且△尸分上的面积为2近.

（1）求C的方程；（5分）

（2）过C的渐近线上一点T作直线/与C相交于点M,N,求17Mlim的最小值.（12分）

19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,

为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数»=i（x>0）,次x）在区间m，切上的图象连续不断,

从几何上看，定积分Jl5dx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=F所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）

的面积，根据微积分基本定理可得e（ck=lnb-lna,因为曲边梯形A3Q尸的面积小于梯形A3QP的面

积，即S由边梯形4B°P<S梯形ABQP，代入数据，进一■步可以推导出不等式：

⑴请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：需就〈詈；（4分）

（2）已知函数於Aaf+bx+xin],其中a,Z?£R.

①证明：对任意两个不相等的正数xi，兄2，曲线y力（%）在点（X1，«¥1））和。2，八]2））处的切线均不重合；（6

分）

②当人=-1时，若不等式八x）22sina-l）恒成立，求实数〃的取值范围.（7分）

答案精析

1.B[由B={x|l<x<4},

得CuB={x[%Wl或l24},

而A二{x|0W]<3},

所以An（Q/3）=[0,1].]

2.D1由—R誓陪二消署11垃

=-2-2i,

贝匹=-2+2i,2的虚部为2.]

3.B[^\a+b\=\a-b\,得|a+肝=依肝,

即(r+2ab+b2=(r-2ab+b2,整理可得ab=O,

所以a-b在6上的投影向量为[写史田=(2%=0]

4.C[因为球的半径R=1,其内接圆锥的高力=|,

所以圆锥的底面圆半径r=Jl2-g-l)24,母线长/=佰『+(I?=V3,

所以侧面积S=itrl=nx—xV3.]

22

5.B[因为函数兀r)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，

且y=lnx在定义域内为增函数，所以广依+2在(1,2)上单调递减，且恒大于0,

所以｛葭+°22。解得一.＜。]

6.D[因为tana=2,

所以tan.=tan[(a+S)-a]=tan(a：0)；：ana=:t-：二3

y'~l+tan(a+0)tana14-(-l)x2

所以sin(a-^)_sinacosj?-cosasin^_tana-tan^5_2-3_1

cos(a+0)cosacosp-sinasinpl-tanatan£1-2x35，J

7.D[对于A,事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错误；

对于B,当xi=l,检=8时，事件C发生，但事件A+3不发生，所以B错误；

对于C,当xi=3,X2=6时，A,B同时发生，所以C错误；

对于D,P(B)上,P(Q=-,P(BC)==,P(B)xP(C)=P(BC),所以D正确.］

8864

8.A［设|A~|=4x,因为3丽=4朋，用为AFi的中点，

所以|BR|=3x,|MFi|=2x.

由椭圆的定义可得|8/1|+|3凡|=2〃,\AF}\+\AF2\=2a,

所以|4码=24-4犬,\BFo\=2a-3x.

又因为AB±MF2,M为AR的中点，

所以附园2=|尸匹|2-|四川2=|3尸2|2-|创『,|AF2|=|F1F2|,

设椭圆的半焦距为C,

所以4c2-4尤2=(2a-3元)2-25f,2a-4x=2c,

所以c2=a2-3<2A：-3x2,x=~^~,

所以(c-a)(c+a)+3〃x——1-3^-^—^=0,

所以(5a-7c)(a-c)=0,

因为a>c,所以5a=7c,

所以椭圆c的离心率e=£=引

a7

9.ABC［因为危)=sin(3x+g)(0>O)的最小正周期大于］,

所以空>工，即0<w<4.

0)2

又广加)关于点信,。)中心对称，

所以三①=析(Z&Z),

所以①=-1+3%,因为0<co<4,所以当k=\时，CD=2,

所以九)二sin(2%+欧.

对于A,/。=5皿(2x/+］)=-sin^=-y,故A正确；

对于B,f(x+,=sin[2(%+5)+翡sin(2x+|)=cos2x,

由cos（-2x）=cos2x且％£R,

所以y=f（x+是偶函数，故B正确；

对于C,/Xx）=2cos（2x+,

令八x）=0得，左GZ,

当在（一冷自时，八》）>0,外）单调递增，

当处《,3）时，八斗。，外）单调递减,

所以x=卷是函数兀o的极大值点，故C正确；

对于D,由一为2加0+沙+2E，左©Z,

得一净专+E，止Z,

函数加）的单调递增区间为［―工+加，2+对，,

当公。时”卜工，那

当上1时”得,答］,

显然函数«x）在（0,以上不单调，故D不正确」

10.BC［由抛物线C：炉=4y,可得焦点F（0,1），准线方程为y=-l,

设P(xo,yo),

因为|P4州=加+1-yo=1<2,因此A不正确；

因为凶=学,

4

L0_^_3|

则点P到直线尸-3的距离d=L。£」=曲焉型的磊,

当x0=2时取等号，可得点P到直线y=x-3的最小距离为企,因此B正确；

设尸尸的中点为M,则加=等=*尸|,于是以P/为直径的圆与x轴相切因此C正确；

H(x0,-1),^\PH\=\FH\,

贝llyo+l=Jx\+(-1-,

又篇=4加，解得州=3,

此时|PH]=|尸曰=尸”|=4,/H是正三角形，

因此D不正确.]

11.ACD[由函数危)=x(l-lnx)的定义域为(0,+8),可得八x)=」nx,

令八x)=0,

可得x-1,

当0<x<l时,f(x)>0,八尤)在(0,1)上单调递增；

当x>l时，八x)<0,兀r)在(0,1)上单调递减，

所以当x=l时，可得函数兀r)的极大值为丸1)=1.

当天一0时，火x)f0；当xf+8时，兀v)f-8,

结合函数1x)的单调性可得图象如图所示.

对于A,由图可知0<%i<l,l<X2<e,所以xiX2<e,所以A正确；

对于B,构造函数g(x)=^,可得g'(x)=注丝，

当0<x<e时,gQ)>0,g(x)在(0,e)上单调递增,

又0<X1<1<X2<C,所以g(Xl)<g(X2),可得In久i<ln犯,

X1x2

可得%21n%i<xilnX2,所以B错误；

对于C,由图可知,当a>0且0时，e,初->0=%2-»fe,

又因为当Qf0时，e"f1,

所以mad(0,1),X2-xi>ea,所以C正确；

对于D,因为,所以Mnx\=x\-a,所以工血为+工2>1等价于即+X2>2〃,

要证Va£(0,1),xilnxi+%2>〃成立,BPuEx\+xi>2a,因为2a<2,故只需证为+、2>2,

因为0<即<1,l<%2<e,只需证12>2-即且12与2-即均大于1.

又因为人划在(1,+8)上单调递减，

只需证八%2)勺(2-X1),

即证«X1)勺(2-为),

令下(%)可2力2㈤”(0,1),

可得F\x)=f(x)+f(2-x)=-1nx-ln(2-x)=-lnx(2-x)>0,

所以网x)在(0,1)上单调递增，

且F(xi)<F(l)=0,

所以於1)勺(2-为)成立，所以D正确.]

12.1023

解析因为(1+1)〃=40+〃逮+〃2^2+3+斯以〃三1,〃£]>1),

若45>〃4,且15>〃6,

贝(In=10,令X=1,〃()+〃1+〃2+“叶斯=21°,

n10

10

又ao=l,所以2ai=S6iz=2-l=l023.

i=1i=1

13.-

16

解析到达第3个台阶的方法有两种：

第一种，每步上一个台阶，上两步，则概率为三x.2；

4416

第二种，只上一步且上两个台阶，则概率为工，

4

所以到达第3个台阶的概率为白+匕抵

16416

14

14—17

4

解析设N3A£)=a,a6(0,,

贝!,NADB=n-2a.

在△ABO中，由余弦定理得3cosNAO3

=2-2cos（兀-2a）=2+2cos2a=4cos2a,

所以AB=2cosa.

在△BCD中，由余弦定理得5。2=002+052_20。.。氏05/瓦）。=2-2。05。=4$皿25,

所以BC=2sin

2

贝ljAB+BC=2cosa+2sin-=-4sin2-+2sin-+2

222

.（.a1\29

二-4sm------+-,

V24/4

因为aG（0,,所以罗（0,,sin罗（0,亨）,

则当sin9=工时，A3+BC取得最大值？，

244

所以梯形ABC。周长的最大值为2+2=4.

44

15.⑴解因为2S*诙（。〃+1）,①

所以2sl+尸。〃+1（期+1+1）,②

2sl=,③

由③得413-1）=0,又斯＞0,

所以ai=l,

②-①得2斯+尸（忌_+1-。:）+（即+1-斯），整理得（a〃+i+斯）（a〃+i-a八-1）二°,

又因为｛斯｝各项均为正数，

所以an+i-an=l,

所以｛斯｝是公差d=l的等差数列，斯=〃i+(〃-l)d=l+(〃-l)=〃.

(2)证明由(1)得

n（a+a）_n（n+l）

S=-1n

n22

所以号=•,2、22

Snn（n+l）nn+1

2

所以+...+工，）+6，）+…+仁_3）—2-----<2.

Sn\12/\23/\nn+lJn+l

55

AZ(Xi-x)(yi-y)zxtyt-Sxy

16.解(1)依题意,b=『----------------------------------85.2-Xx4,7,

=bb-5bX33=1

Z(%j-x)2Zxf-Sx2

i=li=l

AAA

a=y-bx=Q.29,所以y=1.47%+0.29.

当x=10时，)=14.99,

故第10天入校参观的人数约为14.99千人.

⑵记“甲、乙两名参观者从不同门进校”为事件A,“甲、乙两名参观者都从1号门离校”为事件3,

则P(B)=ixixixi+ix-xix-+ixixix-x2=-,

v/2323232323234

P(AB)=1-x1-1x-2x-x2=1-,

'723239

所以尸(A|B尸瑞=:

故所求的概率为^

17.⑴证明方法一VAiBi=|AB,

/.AA^-AB=AA^-AD=2V2x^-=2.

'：D1A=-^AD-AA1,

二帝石1+存=(1U)而+("-1)前+(人1)砧,

.,.印.据[(1-A)AB+Q/l-|)AD+(2-1)A4^]-(AB+AD)

=(1-A)XB2+Q2-而2+(人1)相丽”i)而研

=8(1Q+8d)+4(九1)=0.

：.D^P±AC,即AP_LAC.

方法二以底面正方形ABC。的中心O为原点，以通方向为y轴正方向，过。点平行于51方向为x轴正

方向，

以过点。垂直平面ABC。向上方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设正四棱台的高为h,

则有A(鱼,-V2,0),B(V2,V2,0),C(-V2,V2,0),D(-V2,-V2,0),

A停-T,%)，G(-冬看九)'。1(-今-今/I),M(0,V2,0),

AC=(-2V2,2V2,0),AP=(14)(0,2V2,0)+

今(-2企,0,0)+0苧,九)=(-苧;I,2/一苧九Ah),

于傍，一今i),

印=取+而=(一乎4+娱一.4+芋，Ah-/1).

故称印=-2岳(-苧4+苧)+2岳(-苧4+苧)=0,

所以DtP±AC.

⑵解同(1)方法二建立空间直角坐标系.设平面A3C。的法向量为n=(0,0,1),

平面AMG的法向量为m=(x,y,z),

AM=(-V2,2V2,0),宿=(一手，娱八)，

则有理皿=0,

14cl.m=0,

(-V2%+2V2y=0,

即J3V23V2,

x+—y+hz=0f

令x=2y[2h,贝I]m=(2^l2h,y[2h,3).

又题意可得|cos(m,n>|=曾%，可得h=2-

\m\\n\48九2+2九2+97

因为2=1,所以费=(四,-V2,0)+(—VLV2,3=(0,0,,

故P(0,0,|),DP=(V2,V2,I).

将h=2代入，可得平面AMG的法向量雨=(4鱼,2V2,3).

设直线DP与平面AMC\所成的角为0,

贝Usingeos(DP,m)|=制=至=誓―

3

18懈(1)在△尸尸1尸2中，

因为COsZFiF2P=-y,

所以sin/B产2尸=J1-cosZ/F2Pq.

所以SAPSgx|"2Hpp2|sin//i/2294*『码义与=2迎，

解得/巳|=旧.

在中，由余弦定理，

得『碎2=『场|2+尸1尸2|2-2|尸尸2画尸2爪///2尸=19+2*仔4乂牛=27,

所以|PR|=3V1

因为尸在双曲线上，

所以2a=|PFi|-|PF2|=2V3,

得〃2=3,b2=c2-a2=l.

2

所以C的方程为5-y2=i

v2

（2）方法一设T（x0,y0）,则年M=0,

当直线/_Ly轴时，设直线I:产必与C交于点M（x\,州），N（-xi,州）,

所以羽=1,即宿-3据=3,

所以17Mli77Vl=|xi-xolM+xol=l%%诏|=|淄-3羽|=3.

当直线,与y轴不垂直时，设直线/的方程为x=my+n,M（X[,y）,N（x?,小）,利用对称性不妨设T（x0,加）

在直线x-V3y=0上.

联立卜鸟。=°，

0―得知=看？

（%o—myo+九，

/—3y2=3,并消去

联立

%=my+n)x

得(苏-3))/+2根〃y+〃2-3=0,

'm2—3W0,

4=(2mn)2—4(m2—3)(n2—3)>0,

所以《-2mn

71+72

m2-3

九2一3

\yiy2=m2-3

贝二Vl+血2|州_。1|,

同理，得|力V]=A/1+m21yo

所以|力训小=(1+源)|加加|四-竺|

=(1+m2)|y^-yo(yi+y2)+yiy2l

2、I九2n-2mn,n2-31

=(Z1l+m用于-京X靛二+启

=l呼箸卜日+意T却当且仅当加=0时，取等号,满足/>0),

综上，ITMI7R的最小值为L

方法二设T(xo,州)，

-.2

则停九=0,

当直线/J_x轴时，则直线/的方程为x=xo(|x()|>V3),设M(xo,力),N(xo,-yi),

贝lj|力V|=|yo-y帆+y11=|九-比|.

yi=1,

因为3两式相减，得羽-*=1,所以|TMITM=1.

仁2-九=0，

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为广网尤-尤0)+州,

M(x\,yi),Ng,72),利用对称性不妨设T(xo,刃)在直线x-y/3y=0上，故yo=^-xo,

(x2—3y2=3,

叫」、,a

y=k(x-x0)+—x0,

消去y并化简，

得(l-3M)d+(6S-2V^)xox+(-3M+2V5hl)就-3=0.

；1-3k2。0,

4=4[3(%o—3)k2—2^3xok+%o+3]>0,

所以.(2V3k-6k2)x

Xl+X2--一0，

(—3/f2—1)%Q—3

(石"2=-

贝+42品_即|,

同S|TN\=y/l+k2\xo-X2\.

所以|177V|=(1+2)仅0-西|IXOEI

=(1+^2)|%Q-X0(^1+X2)+X1X2|

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