2025年北京高考数学复习热点题型专练：导数及其应用（切线+单调性+构造函数比大小）（8类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题03导数及其应用(切线+单调性+构造函数比大小)

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01“在”型切线问题........................................................................1

题型02“过”型切线...........................................................................3

题型03求曲线上点到直线距离最小值............................................................5

题型04公切线问题.............................................................................9

题型05求切线条数求参数......................................................................12

题型06已知函数在区间上单调..................................................................16

题型07已知函数在区间上存在单调区间.........................................................18

题型08已知函数在区间上不单调................................................................21

题型09构造可导积函数........................................................................23

题型10构造可商函数..........................................................................27

♦>-----------题型探析・明规律------------o

题型01“在”型切线问题

【解题规律•提分快招】

己加函薪白编标五菽函戴73号x=/iS(x0,7(x0jj处而访装方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/(X。)(方法：把X=X。代入原函数/(X)中)，切点(4,/(%)).

第二步：计算切线斜率左=/'(x).

第三步：计算切线方程.切线过切点(4,/(4)),切线斜率左=/'(4)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：J-/(x0)=/'(x0)(x-x0).

y

【典例1-1](24-25高三上•北京房山•阶段练习)曲线y=7「在点(U)处的切线方程为()

2x-l

A.x-y-2=0B.x+y-2-0C.x+4y-5=0D.x->-5=0

【答案】B

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、导数的乘除法

【分析】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；

2x-l-2x-1

【详解】求导可得了'=

(21)2(2尤-1)21

所以切线的斜率为左=-1,

所以切线方程为＞T=-（xT），即x+y-2=0,

故选：B.

【典例1-2］（24-25高三上•北京•阶段练习）设函数〃力=£产上，则曲线＞=〃x）在（0,1）处的切线与

两坐标轴围成的三角形的面积为.

【答案】|

O

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与坐标轴围成图形的面积问题、导数的乘除法

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，从而求

得所求面积.

【详解】因为/（》）=士孚

所以/'（无）=

+X

(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0

则/'(0)==3,

所以该切线方程为y-l=3x,即歹=3x+l,

令x=0,贝!jy=l,令歹=0,则％=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=；xlx£

6

故答案为：—.

6

【变式1-1］（23-24高二下•北京・期中）曲线〃x）=e、（无2-x-l）在点（0,〃0））处的切线方程是.

【答案】y=-2x-l

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.

r2

【详解】因为〃力=於12-x-1）,所以〃0）=-1,f'（x）=e（x+x-2）,

则八0）=-2,即切点为（0,-1）,切线的斜率为，'⑼=-2,

所以切线方程为N=-2x7.

故答案为：y=-2x-l

【变式1-2](23-24高三上•北京•阶段练习)曲线y=J=在点处的切线方程是.

【答案】4x+4y-5=0

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.

【详解】y=y=,

所以曲线＞=G在点处的切线的斜率为一H

所以方程为＞-；=-1x-|J=4x+4y-5=0,

故答案为：4x+4y-5=0

题型02“过”型切线

【解题规律•提分快招】

已知：函数/(x)的解析式.计算：过点片(西,见)(无论该点是否在y=/(x)上)的切线方程.

步骤：第一步：设切点4(%,%)

第二步：计算切线斜率左=/'(/)；计算切线斜率左=上二物；

苞—与

第三步：令：左=/'(%)=旦/，解出/,代入左=/'(%)求斜率

x\~xo

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：V-%=/(％)(X-%).

一【羹祠11172024一啬三公百再施云歹)一区面装了二一最而二家而藐面(6万丁而血而茯裒康加1由加

的三角形面积为()

2

eeee2

A。2(l+e)B-*2(e2+l)D-7T1

【答案】C

【知识点】求过一点的切线方程

【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，求得直线在乂y轴上的截距，即可得三角形的面积.

【详解】设切点为伍,%)/'=1+',

则切线方程为了一%-lnx0=1l+£,x-Xo）.

,切线过点=-%-1,

.,.皿=2,%=e2,二.切线方程为k（1+jjx+l,

z

故可得切线在乂y轴上的截距为-Je,1，

e~+1

e2

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为力7元.

21e+1）

故选：C.

【典例1-2】（2024高三・全国・专题练习）过点（0,-2）作曲线〃x）=lnx-2的切线，则切线方程为.

【答案】y=-x-2

e

【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解.

【详解】设切点为伉,1叫-2）,由〃x）=lnx-2得r（x）=1,

则切点处的切线，:丁一。11^-2）=一（工一%）,

因为切线过点（0,-2）,所以1叫=1,解得x0=e,

所以切线方程为^_（_1）=：口_6）即y=：x_2.

故答案为：y=-x-2

e

【变式1-1］（2024高二•全国•专题练习）过点（3,0）作曲线/（x）=xex的两条切线，切点分别为（再J（xJ）,

（X2,/（X2））,则尤］+无2=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

【答案】D

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的乘除法

【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求解.

【详解】因为〃x）=xe",所以/'（x）=（x+l）e，，设切点坐标为住6户。），

所以/'（%）=50+1）物，所以切线方程为y-Xoe^=（毛+1）寸（%-/0）,

由切线方程过点（3,0）,则一楙*。=（/+：1）/。（3-工。），即（一只+3x0+3）e'。=0,

依题意得：关于毛的方程（-尤；+3%+3k'。=0有两个不同的解孙X〉

即关于尤0的一元二次方程-焉+3/+3=0有两个不同的解孙X],

所以西+x2=3.

故选：D.

【变式1-2](23-24高二下•江苏淮安•期末)已知〃x)=x©+l,过点(2,〃?)作〃x)的切线，若切线斜率

为1,贝!1加=.

【答案】3

【知识点】求过一点的切线方程、己知切线(斜率)求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用

导数研究方程的根

【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得(x0+l)e』=l,x0>-l,构建g(x)=r(x),x>-l,结合单调

性可得无。=0,进而可求切线方程，即可得〃?的值.

【详解】因为/(x)=x©+l,M/,(x)=ex+xex=(x+l)e\

设切点坐标为(x。,/-e'"+1),切线斜率后=+l)e*。,

由题意可知+=1,

显然当时，贝1]/+1406>0,

可得(无o+l)e%V0,不合题意，可知%>-1,

令g(x)=/<x),x>-l,则g〈x)=(x+2)e*>0,

可知g(x)在(T+8)内单调递增，Mg(0)=1,

所以关于％的方程(x°+l)e%=1的根为％=0,

即切点坐标为(0,1),切线斜率左=1,则切线方程为V=x+1,

所以机=2+1=3.

故答案为：3.

题型03求曲线上点到直线距离最小值

【解题规律•提分快招】

莉用导教的冗柯熹义莱聂面荷频丁莉再数舷磊俅麻樵方法解汰「面再方法福切缭法]

i

【典例1-1](2024高三•全国•专题练习)已知直线，：y=2x+2与函数〃x)=ln(x+l),若直线〃“=-三+6

与直线/、曲线y=f(久)分别交于点4台，则当|/同取最小值时，b=.

【答案…2-:

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数

【分析】注意到直线/：y=2x+2与直线=+6相互垂直；把直线/平行移动到与曲线y=f（x）相切,

憾川最小，即可根据导数求解斜率得x°=-g,代入直线心即可求解.

【详解】易知直线加与直线/垂直，

所以当与直线/平行的直线y=2x+a与曲线y=f（x）相切于点8时，|/却取最小值，

由/（尤）=ln（x+l）,得/，（》）=士，

设3（%,%）,则/■'（%）=£7=2,解得,

玉）+12

则为=0=«；+1]=-1112,所以-ln2）,

又切点B在直线机上，所以Tn2=[_；]x[_；]+6,贝IJ6=Tn2—

【典例1-2]（24-25高三上•湖北黄冈•阶段练习）已知B,A分别为直线y=3x-3和曲线＞=2e、+x上的点,

则必目的最小值为

【答案】叵

2

【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、导数的运算法则

【分析】利用数形结合思想可知直线N=3X+”与曲线y=2e，+x相切的切点到直线＞=3x-3的距离是最小

值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.

【详解】直线V=3x+m与曲线y=2e'+x相切于点/,

由题意M却的最小值为切点/到直线V=3x-3的距离，如图所示,

对y=2e*+x求导有y'—2e'+1,由；/=2ex+1=3可得x=0,即/（0,2）,

|3x0-2-3|710

故|/目的最小值为小心㈠）「丁.

故答案为：叵.

2

【变式1-1］（2022•山东聊城二模）实数占,工2,必，%满足：q-比石-乃=0,x2-y2-4=0f则

（再一工2丁+（必一％丫的最小值为（）

A.0B.2-72C.4-72D.8

【答案】D

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、导数的加减法

【分析】由两点坐标表示距离公式可知（网-々y+（%的最小值转化为>=公-1口必、〉0）上的点与

X-〉-4=0上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.

【详解】由4一111再一必=0,得必=工；一111再，又%-4=0,

22

:.（xl-x2）+（j^-y2）的最小值转化为

y='2—inx（x〉0）上的点与％-歹-4=。上的点的距离的平方的最小值，

由y=/一1口x,得；/=2x-L

x

与x-y-4=0平行的直线的斜率为1,

••-2x--=l,解得x=l或（舍），可得切点为（U）,

切点到直线X-V-4=0的距离的平方，即为（巧_工2）2+（%-%）2的最小值，

二.（X1-工2）2+（M一%）2的最小值为=8.

故选：D

【变式1-2］（24-25高二上•全国,课后作业）已知点P（x/）是曲线了=/上的一动点，则点P（xj）到直线

-4=0的距离的最小值为（）

V5R275r3#）n3

5555

【答案】C

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离

【分析】当曲线在点P处的切线与已知直线平行时点P到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直

线的距离公式计算即可求解.

（y=x2

【详解】联立；，c得-2x+4=0,则A=4-4X1X4=-12<0,

［2x-y-4=0

所以直线-4=0与曲线y=f不相交，

因此当曲线在点P处的切线与直线2x-y-4=0平行时，点P到该直线的距离最小.

因为V=2x,直线2x—>—4=0的斜率左=2,所以2x=2,解得x=l,则?（覃），

所以P（u）到直线2X-4=0的距离最小，最小值为d=J；2+（_I；2=于・

故选：C

【变式1-3］（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知43分别是曲线>和直线昨2x上的点，则|/却

的最小值为.

【答案】

55

【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、导数的运算法则

【分析】平移直线>=2x与曲线y=lnx-L相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离公式计算即得.

X

【详解】平移直线y=2x与曲线y=相切，设切点坐标为（Qn/-1）,

由y=lnx-L,求导得j/=J_+4.,依题意1+3_=2,即2»-/-1=0,

XXXtt

而f>0,解得f=l,因此切点坐标为（1,-1）,

|2xl-(-l)|375

所以|/目的最小值为

#+(-1)2-5

故答案为：*

题型04公切线问题

【解题规律•提分快招】

公切线问题主要有以下3类题型

(1)求2个函数的公切线

解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

(2)2个函数存在公切线，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

【典例1-11(2024高三・全国•专题练习)已知曲线＞=lnx与曲线＞有唯一交点，且在交点处有

相同的切线，则。=()

3

A.2B.-C.1D.

22

【答案】D

【知识点】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题、利用导数求函数的单调区间(不含参)、导数的

乘除法

【分析】根据两曲线交点和导数几何意义可求得切线斜率，由此可构造方程求得。的值.

【详解】当。=0时，曲线k-1=0与曲线昨Inx有唯一交点(1,0),

当awO时，因为》=龙和y=-工在(0,+8)上单调递增,

X

故函数y=。1-m=0在(0,+8)上单调，

因为曲线＞=lnx在(0,+8)上单调递增，且两曲线有相同切线,

所以函数y=a。在(0,+8)上单调递增，故。＞0,

•••(Inxy=L.•.y=lnx在(1,0)处的切线斜率左=1,

X

2

所以/（X）在（0,+8）上单调递减，故0有唯一解,

即曲线V=lnx与曲线y=a有唯一交点,满足题意.

故选：D.

【典例1-2]（24-25高三上・辽宁•期中）已知直线"=X+。是曲线＞=ln（x-l）和y=ax2_3x的公切线,

则的值为.

【答案】0

【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】令〃x）=ln（xT）,则/'（x）=工,

X-1

因为直线，=X+/是曲线＞=ln（x-l）的切线，

所以由解得尤=2,止匕时〃2）=lnl=0

所以/（X）在（2,0）处的切线为＞=工-2,所以2,

又y=x-2是广"2_3x的切线，

fy=x-2

联立\2O得Q%2-4%+2=0,

[y=ax-3x

令A=16-8〃=0解得a=2,

所以〃+%=0,

故答案为：0

【变式1-1]（2025高三・全国•专题练习）已知直线歹=去+6是曲线y=e”的切线，也是曲线》=-《一、的切线,

贝IJ左+6=（）

1

A.-B.1C.eD.1+e

e

【答案】C

【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数

【分析】设直线）=依+6与曲线N=e，的切点为（再,e'。，与曲线y=-e-x的切点为利用导数求

出曲线y=e，在x=再处的切线方程，以及曲线7=在x=X2处的切线方程，根据两切线重合可得出关于

占、%的方程组，解出这两个量的值，可得出左、b的值，即可得解.

【详解】设直线）=依+6与曲线V=e，的切点为（玉,9），与曲线＞=-e-工的切点为（％，-e』），

对函数y=e，求导得y=（e，）'=e"，对函数V=-e-"求导得/=（一尸丫=尸，

则曲线y=e"在x=w处的切线方程为了-e*1=e*（x-xj,即了=/5+炉-西炉，

曲线在工=工2处的切线方程为y+e-=e』（》一遍），

-X2X2X1

即)=ex-x2e~-e~,

ef二e-X]—1

所以(1-xJe』=(T-xJef'解得

x2=-1

故左=e"i=e,b=（l-l）e=O,所以左+6=e.

故选：C.

【变式1-2]（2024高三•全国•专题练习）曲线弘=x?-1与%=。1-£|-2向（0＞0）在交点处存在公切线,

则a=.

【答案】2

【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）

【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可，

【详解】设两曲线的公切点为（后,%）,因为乂=2x,%+

依题意得焉一1=〃J/----21nx0,2x0=6Z1+—I-----,

IxoJI/

由2xo=a1+二]一二，解得/=£,将代入x；-l=a（xo-^---21nx0,

xnxn22

2

整理得?_21n]_l=0,令t*n〉Q,则户一21nt_l=0,令/«）=»_21n/-1（，＞0）,

则广⑺=2-7,令_r«）=o,解得（舍负），

当te（o,i）时，r（o＜o；当fe（i,+“）时，r（/）＞o,

所以/⑺有最小值f（l）=o,所以方程〃一21皿-1=0有唯一解t=l,此时■!=：!,解得。=2.

故答案为：2.

【变式1-3]（24-25高三上•山西长治•阶段练习）已知函数/（x）=lnx,g{x）=ax2,存在直线过点，-g

与曲线了=/（x）和＞=g（x）都相切，则a=.

【答案】J

2e

【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的乘除法

【分析】设直线与曲线y=〃x）相切于点尸（为,必），与曲线y=g（x）相切于点。（七,％）,利用导数的几何意

义表示出切线方程，根据切线过点求出多，即可求出切线方程，再得到方程组，即可求出0.

【详解】设直线与曲线N=〃x）相切于点人再,弘），与曲线〉=8口）相切于点。（乙,%）,

由/（x）=lnx,则/（x）=L则/（再）」,则切线为y-ln西='（xf）,

X』

又切线过点£|,所以—Tn匹=：（O-xJ,即ln±=；,所以玉=1，

所以切线方程为丁=\x-；,由g（x）=ax:则g'（x）=2ax,

2、41

则:「解得a=j.

2112e

ax?-—-?=X2—

「Je2

故答案为：—

题型05求切线条数求参数

【解题规律•提分快招】

--------------------------------------------------------------------------------------------------!

设切点为P（x。，%）,则斜率左=/'（%）,过切点的切线方程为：y-y0^f\x0\x-x0）,；

又因为切线方程过点/（a,6）,所以b-%=/'（x0）（a-X。）然后解出X。的值，有多少个解对应有多少条切线.1

I1

【典例1-11（2024高二.•全国•专题练习）已知函数/（X）=妥r.若过点存在3条直线与曲线了=/（x）

相切，则实数冽的取值范围是（）

【答案】C

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根、已知切线（斜率）求参数、用导数

判断或证明已知函数的单调性

【分析】设切点坐标为（后,中］,由导数的几何意义求出切线方程，转化为“=色上［有三个不等实根,

x

IeJPo

利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可.

【详解】设切点坐标为

人行上，口,e"一(x+l)e-x

由题思得f(x)=---------

所以函数〃X)的图像在点工,誓3处的切线的斜率为/(%)=二善,

\e0/e0

所以切线方程为日3=言(无-无。),

因为切线过点尸(-1,加)，所以加-玉)+1

则拉=5+1)],由题意可知，这个方程有三个不等实根.

ex"

X?，贝UgG)=

设g(x)=

eex

由g<%)>0得一1vxvl,由g'(x)<0得％<-1或x>l.

所以函数g(x)在(-”,T)和(1,+。)上单调递减,

在(-1,1)上单调递增，又当X趋近于正无穷时，g(x)趋近于0；

4

当X趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷，且g(_l)=0,g⑴=)

所以g(x)的大致图象如图,

所以要使直线y=m与函数g(x)的图象有三个交点,

4

则0<"2<一.

e

故选：C

【典例1-2](24-25高三上•四川自贡•期中)若过点(2,6)作曲线歹=炉的切线有且仅有两条，则6的取值范

围是•

【答案】(0霜2)

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点

【分析】利用导数的几何意义得到关于瓦X。的关系式，从而将问题转化为＞=6与函数了=/(3-》)的图象的

交点个数问题，构造函数g（x）=ex（3-x）,利用导数研究其单调性与最值，数形结合即可得解.

【详解】依题意，设切点为（％,”），因为y=e）所以了=/,

则切线方程为y-eM=eM（x-x。），

将（2向代入得6-/。=6"2-苫0）,即6=e%（3-与）,

因为过点（2,6）作曲线>=e*的切线有且仅有两条，

则关于%的方程6=e'。（3-%）有两解，

可转化为直线V=b与函数.y=e'（3-x）的图象有两个交点，

令g（x）=e*（3-x）,贝ijg'（x）=（2-x）e工，

当x<2时，g'（x）>0,g（x）在（-8,2）上单调递增;

当x>2时，g'（x）<0,g（x）在（2,+“）上单调递减；

贝（］8（尤）厘=8（2）=02,又当x<3时，g（x）=e、（3-x）>0恒成立，g（3）=0,

故答案为：（。32）.

【变式1-1］（22-23高三上•辽宁,阶段练习）已知过点（。,占）可以作函数〃尤）=/-尤的三条切线，如果

〃〉0,则。和b应该满足的关系是（）

2y

A.（）</）</B.-----5--</?</—dC.—a<6<a，D.—a<6<,—。

9

【答案】D

【知识点】求过一点的切线方程、根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值

【分析】利用导数的几何意义求出过点S，6）的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条

件即可.

【详解】设切点亿户一/）,由/（x）=x3-x,求导得八x）=3--1,

则切线方程为y-（t3-t）=（3/-1）（X-）,由切线过点（。,6）,

得6-（户-f）=（3产-l）（a-f）,整理得b=-2—+3at'-a,

令函数g(，)=-2尸+3a/2-a,求导得g，(f)=-6产+,而。>0,

当f<0或时，g")<0,当0</<a时，g'(t)>0,

因此函数g«)在(-8,0),3,+s)上单调递减，在(0,。)上单调递增，

函数g«)在t=0处取得极小值g(0)=-。，在，=。处取得极大值g(a)="-a,

由过点(。，b)可以作函数=x3-x的三条切线，得6=-2t3+3/_.有3个不等实根，

即函数g«)有3个零点，所以

故选：D.

3

【变式1-2](2024•陕西榆林•模拟预测)已知过点(0,。)可作三条直线与曲线=]-Y+1相切，则实数

a的取值范围为.

【答案】[1,。)

【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值

【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点(0,“)可得“=-§x：+x；+l.构造新函数

2

g(x)=--?+x2+l,结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围.

【详解】由题意/'3=/-2》，设点(巧/(比J)为曲线y=/(x)的切点，

5

则切线方程为尸/(再)=1；-2xJ(x-尤J,整理得y=(x；-2x1)x-1xj+x；+1,

2

将点(0,。)代入可得。=+x；+1.

2

令g(x)=-§.x3+x?+1,贝!]g<x)=-2x?+2x=2x(l-x),

.,.当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

44

又g(0)=l，g(l)=§，，当1<。<§时，方程g(x)=a有3个不同的实数根，

4?

即当时，有3个不同的为满足方程。=-

即过点(0,〃)可作三条直线与曲线/⑶=、--+1相切.

故答案为：

题型06已知函数在区间上单调

【解题规律•提分快招】

⑦已知/(X，在区间。上单调递增=VxeD,/'(xj20恒成立.

②已知/(x)在区间。上单调递减=VxeD,/'(x)40恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

【典例1-1](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数〃%)=咚?-血在[L+⑹上单调递减，则实数。

的取值范围为()

A.(-*1)B.(-co,2]C.(-»,2)D.

【答案】B

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数

【分析】根据题意将问题转化为/'(x)=My-1W0(xNl)恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即

可.

【详解】因为/(X)在[1,+8)上单调递减,

所以/'(X)=2：!40(x21)恒成立,

即2°《^^=》+工+2(尤2。恒成立，

XX

而y=X+L+224(当且仅当X=1时，等号成立)，

所以只需2a44,解得aV2.经检验，当。=2时，仅有x=1使/'(无)=0,符合题意.

故选：B.

【典例1・2】(2024•广东肇庆•一模)已知函数/(x)=(x+b-l)e"+g办2+abx-l(6>0)在R上单调递增,

则好的最大值为.

a

【答案】

【知识点】由函数的单调区间求参数

【分析】r(x)20在R上恒成立，时，不合要求，。<0时，r(x)=0,解得X|=ln(-a),x2=-b,分

In(—a)<—b,一6<In(—a)和—6=In(—a)三种情况，得至Ij—6=ln(—a),化简可得a=—e",=—e*,由

a

br

基本不等式求出火的最大值为-e，

【详解】由题意，得/'(%)=e*+(x+6—l)e"+办+。6=e"(X+6)+QX+Q，=(e*+Q)(X+6),

因为/(x)在R上单调递增，所以/'(x"0在R上恒成立.

当〃20时,e"+a〉O,在(-8,一6)上,/r(x)<0,不符合题意；

当avO时，令/'(x)=0,解得玉=1口(一〃)，x2=-b.

当ln(—q)<—6时，在(ln(—a),—b)上，e”+a>0,x+6<0,/'(x)<0,不符合题意；

x

当—b<ln(—a)时，在(一“ln(—a))上，Q+a<0,x+b>0,/'(x)<0,不符合题意；

当一b=In(-口)时，在(一8,-“上，e”+Q<0,x+b<0,/<(x)>0；

在(-仇+oo),e”+a>0,x+b>0,/'(%)>0；所以/'(x)20.

]_

因此，有-6=ln(-“)，化简可得"=_e-J故如=巨=_52丑2

—b

当且仅当。=%,即6=1时，等式成立.

D

故如的最大值为Y。.

a

故答案为：-e?

【变式1-1]（23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中）若对任意的正实数为，x2e（/n,+oo）,当再<%时，

xjn4/的西〉？恒成立,则冽的取值范围（）

xx-x2

A.[e:+co）B.[e?,+8）C.[e,+<»）D.[e,e?]

【答案】A

【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题

X.Inx,-x,InxInx,-2Inx.-2,Inx-2

【分析】由」~~L>2一可得一2—<—5—,令/（幻、=上一，则/,（X、）在,（私+。、）上为减函数,

X]X[X[X]JC

即/'（X）40在（加,+8）上恒成立，求解即可.

,x.In-x.Inx,,

【详解】----二------>2,又网<々，所以再111工2-2玉<乙1!1再一2工2,

王一x2

In-2Inx-2

所以---<—!—,

x2%

/、Inx9—2Inx.-2

由已知对任意的X],X2e{m,+oo),且网</时，---<---,

设〃x）=*2,则〃x）在（加,+功上为减函数,

因为（（X）=1叱+2士坐，所以主誓《0在（办+8）上恒成立,

XX

所以lnx23在（加,+s）上恒成立，所以xZe3,所以加的取值范围为卜3,+。）.

故选：A.

【变式1-2]（2024•湖北•一模）已知函数/（耳=办2-1nx+2x是减函数，则。的取值范围为（）

A.（-<»,0]B.（-co,-l]C.（-oo,l]D.1叫一（

【答案】D

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数

1171?

【分析】求导得/'（x）=2办-―+2,根据题意可得对xe（0,+8）恒成立，求得-—-的最小值即

XXXXX

可.

【详解】由/（司="2Tllx+2x,可得/<%）=2"一,+2,

因为函数/（力="2—hu+2x是减函数，所以广（“40对X£（0,+8）恒成立，

112

即2"一一+2工0对工£（0,+8）恒成立，所以———对XE（0,+8）恒成立，

XXX

所以,又]-2=卜-「一i"i’当且仅当x=i时等号成立,

UX人ni/X（X）

所以2°4-1,所以a4-g,所以。的取值范围为卜8,-g.

故选：D.

题型07已知函数在区间上存在单调区间

【解题规律•提分快招】

⑪已知/（x）在区间。上存在单调增区间=令/'（x）〉0,解不等式，求单调增区间/,则/口。

②己知/（x）在区间。上存在单调减区间o令/'（x）<0,解不等式，求单调减区间则河口。

【典例1-1]（2025高三•全国•专题练习）已知函数/@）=（2苫2+办+1）11（。>0）在-1,-1上存在单调

递减区间，则。的取值范围为（）

A.（0,l）u（4,+co）B.（1,4）

【答案】A

【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单

调性

【分析】根据题意，只需存在区间小,心=-H，使得当x«c5］时，r(x)<0,根据导数的零点大小

分。=2,。〉2和0<。<2讨论求角军.

【详解】由题意得/''(》)=(4工+4N小+(2/+办+1)役<"=(2工+0)(办+2》"7,

要使/(x)在W上存在单调递减区间，只需存在区间［c/仁-1,-1,使得当xe［c,4］时，

r(x)<o,

当“=2时，r(x)=4(x+l)2e2-1>0,显然不存在满足条件的区间仁引；

当。>2时，/'(x)wo的解集为一万，一,，因为-■|^<-1<一5，

「11171

所以要使“X)在-不-：上存在单调递减区间，则-*>-：，解得。>4；

24Ja2

当0<"2时，/'(x)wo的解集为42,-父，因为二<一1〈二，

_a2Ja2

所以要使〃龙)在-上存在单调递减区间，则号>-；，解得0<4<1.

综上，q的取值范围为(0,1)34,+8).

故选：A.

【典例1-2］(24-25高三上•北京顺义•阶段练习)已知函数-2/+1在区间(0,1)上存在增区间，

则。的取值范围是.

【答案】［,+［

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数

【分析】由条件可得((久)>0在(0,1)上有解，分aV0,a>0讨论，列出满足要求的不等式，由此可求〃的范

围.

【详解】因为函数/'(x)=ad-2d+1在区间(0,1)上存在增区间，

所以「(吗>0在(0,1)上有解，

即不等式3a--4%>0在(0,1)上有解，

当时，由0<%<1可得3ax2_4工<0,不满足要求，

a>0

4

所以4,解得。>7，

—<13

、3。

所以。的取值范围是

故答案为：

【变式1-1](24-25高二上•全国•课后作业)若函数/(x)=lnx+a/_2在区间(1,4)内存在单调递增区间,

则实数。的取值范围是()

A•卜"JB.昌,

C.DD.1*]

【答案】C

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数

【详解】函数/(x)=欣+ax--2的定义域是(0,+8),

所以f(x\=—+2ax=^aX.

XX

当aNO时，r(x)>0,则在(0,+s)上单调递增，符合题意.

当avO时，由2办2+1=0,得x=J一--(负根舍去)，

V2a

所以当xe0,时，/'(x)>0J(x)单调递增;

当-时-，单调递减.

依题意，函数/(x)=欣+江-2在区间(1,4)内存在单调递增区间，

所以1<、F，解得一：<〃<().

V2a2

综上，a>一彳.

2

故选：C.

【变式1-2](23-24高二下•山西•期中)已知函数〃x)=(x2_2^+l)e\若函数/(x)在(-1,0)存在单调增

区间，则实数。的范围为.