2025年北京高考数学复习热点题型专练：排列组合与二项式定理（13类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题11排列组合与二项式定理

o----------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01加法计数原理和乘法计数原理综合........................................................I

题型02排队问题...............................................................................2

题型03涂色问题................................................................................3

题型04分组分配问题............................................................................4

题型05二项展开式第左项.......................................................................5

题型06求指定项的二项式系数...................................................................5

题型07二项式系数和............................................................................6

题型08求指定项的系数.........................................................................7

题型09由系数确定参数.........................................................................7

题型10系数和.................................................................................8

题型11系数最大（小）的项.....................................................................8

题型12两个二项式乘积展开式的系数问题.........................................................9

题型13三项展开式的系数问题...................................................................9

舱-----------题型探析・明规律-----------*

题型01加法计数原理和乘法计数原理综合

【解题规律•提分快招】

1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算

每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

i碗丽工ii一（2023无奈冻城三稹5一窠在成靛俵端军王血歹两下琬厕筏并看童丁茬翦福百茄以环「灰一

佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A.13种B.14种C.15种D.16种

【典例1-2]（2024•河南新乡,一模）如图，机器人从N点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每

个小正方形的一条边长为一个单位），要走到8点，不同的走法共有种.

B

_

【变式1-1］（2023•北京•模拟预测）"赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之

一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人

既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有

（）.

A.26种B.31种C.36种D.37种

【变式1-2］（2023•北京•模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女

生又要有男生，则不同的分配方案有（）种.

A.20B.40C.60D.80

【变式1-3］（2024•广东广州,模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1,2,3,4,从袋子中有放回

地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.

题型02排队问题

【解题规律•提分快招】

1、解有“相邻元秦的排列问题的方法

对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，

再考虑这个整体内部各元素间的顺序。

2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法

对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然

后将不相邻的元素进行“插空”。

3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元

素为主或以位置为主

，观新!工行~（2024：无景茜璇三稹一）一二组季王话版二推若在熹祈福盼3次币甄至万青5一互勇1E厂豆衽熹租

邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【典例1-2]（2024•浙江台州•一模）台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随

机地站到4x4的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女

生也既不同行也不同列的概率是（）

24122133

A.—B.—C.—D.­―

65356591

【变式1-1]（2023•北京•模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在

两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.32种D.40种

【变式1-2]（2024•江西新余•模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在

最左端的不同的排列方式共有（）种.

A.48B.66C.72D.78

【变式1-3]（2024•广东•模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

题型03涂色问题

【解题规律•提分快招】

7;厂露山荷1法庭蓟凝山祎前薮;一

（2）相邻区域不能同色；

（3）常采用分类讨论法，从选定两个不相邻区域开始，讨论这两块区域同色和不同色。

彳我椀[534了高三王河南曲拜5抚枳天有刘手元裁植豪万丽匐逼万的塔弗厂二不丽反演加棱桎舷

积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且

在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

【典例1-2]（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，给N8CDM六个点涂色，现有五种不同的颜色可

供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）种.

'E

A.1440B.1920C.2160D.3360

【变式1-1]（23-24高二下•安徽池州•期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注

时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻

区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）

C.340D.420

【变式1-2］（23-24高二下•江苏宿迁•期末）如图，用四种不同颜色给图中的48,C,O,E五个点涂色，要

求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有种.

【变式1-3］（23-24高二下•广西河池•阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块

地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数

为.

题型04分组分配问题

【解题规律•提分快招】

73一宪芬iT后芬希;

（2）分组包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分组后再分配

彳我栩工而一花马拓商三禾在京年各120百军5一月玉百至五百「言扃币国二币而繇在陵画釐成功率

行.峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担aB,C,。共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译

工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（）

A.480种B.240种C.120种D.4种

【典例1-2］（2024•河南周口•模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期

间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1

人.每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字

作答）

【变式1-1］（23-24高二下•北京）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区

参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的

选派方法的种数是（）

A.18B.21C.36D.42

【变式1-2］（23-24高二下•北京顺义•阶段练习）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普

通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

【变式1-3］（23-24高二上•北京）把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每个

人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有种.（用数字作答）

题型05二项展开式第左项

【解题规律•提分快招】

rn；r

对于仅+5户，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=Cna-b

【典例1-1］（23-24高三下•北京•阶段练习）在口2-：］的展开式中，第四项为（）

A.160B.-160C.160?D.-160x3

【典例1-2】（2023•河南•模拟预测）在（1+2元）4（1-的展开式中，按x的升幕排列的第三项为.

【变式1-1］（2023•西藏拉萨•一模）二项式「X-二］的展开式中的第3项为（）

8040

A.160B.—80xC.-TD.—彳

xx

【变式1-2］（2024•陕西宝鸡•一模）（工2-：］展开式中的第四项为（）

A.160x3B.-160/C.240D.-240

【变式1-3］（2023・北京•模拟预测）在的二项展开式中，第四项为.

题型06求指定项的二项式系数

【解题规律•提分快招】

rnrr

对于仅+与"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=Cna-b

【典例1-1］（24-25高三上•贵州•阶段练习）在［1-的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）

A.8B.-8C.28D.-28

【典例1-2】（2023高二下•北京房山•期中）px-}1的展开式中，X，的系数是；第四项的二项

式系数是.

【变式1-1］（23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习）已知二项式1展开式的二项式系数的和为64,则

（）

A.展开式中各项系数的和为-1B.展开式中第3项的二项式系数最大

C.展开式的常数项为-20D.展开式中第5项的系数最大

【变式1-2］（2024•北京•三模）在（x-《）4展开式中，常数项的二项式系数为（）

X

A.4B.3C.2D.1

【变式1-3］（23-24高二下•浙江•阶段练习）在-的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A.56B.-56C.70D.-70

题型07二项式系数和

【解题规律•提分快招】

（1）（a+6）'丽赢落二而式5丽:

C：+C：+...+C"..+C：=2"（neN*）；

（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

C-.Y+C+…=29eN*）

【典例1-1】（2024•北京•三模）己知-x］的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为（）

A.-240B.240C.60D.-60

【典例1-2】（2023•北京朝阳•二模）已知（l+3x）"（〃eN*）的展开式中所有项的二项式系数的和为64,则

〃=，展开式中工3的系数为.

【变式1-1］（2024•北京朝阳•二模）在（l-3x）"的展开式中，若二项式系数的和等于64,则"=,此

时Y的系数是.（用数字作答）

【变式1-2］（2023•北京密云•三模）已知（2x+l）"的展开式中，各项系数之和为81,则二项式系数之和

为.

【变式1-3］（2023•北京海淀•模拟预测）在卜2一｝］的展开式中，二项式系数和是16,则展开式中各项系

数的和为.

题型08求指定项的系数

【解题规律•提分快招】

nrnrr

对于仅+b）「嬴叁药真植质厂赢展百藏fARTr+l'=Cna-b

【典例1-1】（2024•北京•三模）已知（金-工）的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为（）

A.-240B.240C.60D.-60

【典例1-2】（2024•北京朝阳•二模）在。-3无）”的展开式中，若二项式系数的和等于64,贝U〃=,此

时/的系数是.（用数字作答）

【变式1-1］（2024•北京通州•二模）在卜的展开式中，常数项为（）

A.60B.120C.180D.240

【变式1-2］（2024•北京・模拟预测）在。-2五）5的展开式中，一项的系数为（）

A.-20B.20C.-40D.40

【变式1-3］（2024•北京门头沟•一模）的展开式中常数项为（用数字作答）

题型09由系数确定参数

【解题规律•提分快招】

nrr

对于伍+b）”,涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+i=C'na-b

【典例1-1】（2023•北京海淀•二模）若（2-x）"（〃eN*j的展开式中常数项为32,则"=（）

A.5B.6C.7D.8

【典例1-2］（24-25高三上・北京•阶段练习）在［-三：的展开式中，X”的系数为12,则。的值为.

【变式1-1］（2022•北京房山•一模）若卜+£：的展开式中的常数项为一20,则所（）

A.2B.-2C.1D.-1

【变式1-2］（2023•北京东城•一模）在的展开式中，f的系数为60,则实数0=.

【变式1-3］（23-24高三下•北京,开学考试）若（尤-“）5的二项式展开式中f的系数为10,则。=.

题型10系数和

【解题规律•提分快招】

前于伍+3"，素薮和品是令X=1（加臬还看儿那司令y=l）

（2x-l）4=“x4+tzx3+2（j/+〃4=（）

【典例1-1]（2024•北京西城,二模）设43a2x+a1x+a0,贝

A.-1B.0C.1D.2

【典例1-2】（2023•北京大兴・三模）若（l-x）s+…+%/,则⑷+同+|%|+…+|%|=.

【变式1-1】（2023・北京・模拟预测）设（21一1）5=40+43+%/+~+45/,则％+&+…+。5=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式1-21（2023•北京海淀•——模）若（％—1）4=。4/+。3丁+。2、2+。述+。0,贝一。3+。2—。1=（）

A.-1B.1C.15D.16

432

【变式1-3]（2023•北京房山•二模）若（2x-l）4=^4x+a3x+a2x+axx+aQ,则为+ax+a2+a3+a4=_.

题型11系数最大（小）的项

【解题规律•提分快招】

（1）设（+i项系数最大则：仁T,>T

/r+1—。+2

T<T

（2）设A.项系数最小则：.；

Xr+1—+2

【典例1-1]（23-24高二下•重庆•阶段练习）已知1+十]的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展

开式中系数最大的项是第（）项

A.2B.3C.4D.5

【典例1-2]（23-24高二下•浙江嘉兴•阶段练习）己知二项式，/+£=]g>o）的展开式中第二项与第四

项的系数相同.则展开式中系数最大的项是.

【变式1-1]（23-24高二下・江苏泰州•阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（）项

A.2B.3C.4D.2或3

【变式1-2]（2023•上海浦东新,模拟预测）（x+2『的二项展开式中系数最大的项为—.

【变式1-3]（23-24高二下•内蒙古赤峰•期中）已知（1+2x）8展开式的二项式系数的最大值为。，系数的最

大值为6,则2的值

a

题型12两个二项式乘积展开式的系数问题

【典例1-1】（2023•北京•模拟预测）（1-x）（l+x）5展开式中/的系数是（）

A.0B.5C.15D.20

【典例1-2】（2023•北京•模拟预测）已知（x-l）4（3x+2）3=/+4%+42%2+…+%/,贝!J

“2+〃3-----F.

【变式1-1]（23-24高二下•北京通州•期中）在（l+x）（2-xf的展开式中，龙3的系数为（）

A.-40B.-10C.10D.40

【变式1-2]（23-24高三上•重庆•阶段练习）已知（Y+x+a）（2x-l）6展开式中各项系数之和为3,则展开式

中x的系数为（）

A.-10B.-11C.-13D.-15

【变式1-3]（2024・四川成都•模拟预测）（x-1）（》+1）8的展开式中r的系数是—.

题型13三项展开式的系数问题

【典例1-1】（2024•山西太原•三模）（x+y-l）5的展开式中孙2的系数为（）

A.-20B.20C.-30D.30

【典例1-2】（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在的展开式中常数项为-

【变式1-1]（2024•湖南长沙•三模）在3+>-球的展开式中，fy的系数是（）

A.168B.-168C.1512D.-1512

【变式1-2]（2024•山东・二模）展开式中r尸2的系数为（）

A.-840B.-420C.420D.840

【变式1-3]（2024•河北沧州•二模）在（x-2y+3z）6的展开式中，孙zz3项的系数为（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

题型通关•冲高考

一、单选题

1.（2024•湖北黄冈•模拟预测）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为见6,c,当。,6,c中有两个

数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为"有缘数"（如121,213等）.现从L2,3,4,5这五个数

字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中"有缘数"的个数为（）

A.24B.27C.30D.33

2.（2025•云南昆明,模拟预测）已知（l+2x）"=旬+。］%+<22/+。3*3+…+a,x”,若q=4出，则”=（）

A.5B.8C.9D.14

3.（2024•云南・一模）在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢（H）、氧（。）、钠（N）、镁（Mg）、

铝（AI）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、钾（K）这10种，现从这10种元素中随机选取3种,

若选取的3种元素中至少包含1种金属元素，则不同选取方法种数是（）

A.60B.85C.100D.120

4.（24-25高三上・贵州•阶段练习）在［-的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）