2025年北京高考数学复习热点题型专练：三角函数的图象与性质（8类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题04三角函数的图象与性质

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01三角函数单调性.........................................................................I

题型02周期...................................................................................3

题型03对称轴与对称中心.......................................................................4

题型04奇偶性..................................................................................5

题型05最值与值域（可化为一元二次函数型）....................................................6

题型06图象平移与伸缩变化.....................................................................6

题型07根据图象求解析式.......................................................................8

题型08与。有关的问题........................................................................10

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01三角函数单调性

【解题规律•提分快招】

函数y=smxy=cosxy=tanx

在\7^\3TT4K

图象"2(V\\2r

2；n：2

Rk兀一%,2k兀+eZ(kn-gk兀+y),keZ

递增区间[2k7i-肛2k兀]9keZ

nCT3兀、.〜

递减区间[2左乃+—,2k兀H—左£Z[2k兀,2k兀+»],左eZ无

【典例1-1]（22-23高一下•北京怀柔•期末）已知/（x）=2sin2x则〃X）满足（)

A.周期是2兀，在上单调递增B.周期是2兀，在0胃上单调递减

C.周期是兀，在口右上单调递增D.周期是无，在0胃上单调递减

【典例1-2]（23-24高一下•北京•阶段练习）设函数〃x）=—则可断定函数（）

tanx+1

TT

A.最小正周期为兀，奇函数，在区间（0,1上单调递增

7T

B.最小正周期为71,偶函数，在区间（0,5）上单调递减

TTTT

C.最小正周期为T，奇函数，在区间（0,3上单调递增

D.最小正周期为金IT，偶函数，在区间（0,JT/上单调递减

【变式1-1］（23-24高一下•北京顺义・期末）下列函数中，以无为最小正周期，且在区间（ogj上单调递增

的是（）

A.y=tan［x+；）B.y=|sinx|

C.y=cos2xD.y=sinx

4

【变式1-2］（23-24高二下•北京•期末）已知函数/(x)=2sin(Gx+°),xER,其中。>0,-Tt<(p<Ti,若

的最小正周期为6兀，且当时，/（%）取得最大值，则（）

A.〃x）在区间［-2兀,0］上是减函数B./（%）在区间［-3兀,-兀］上是减函数

C./（x）在区间［-2兀,0］上是增函数D.一兀

【变式1-3］（24-25高三上•广东江门•阶段练习）下列函数中，以兀为周期，且在区间无J上单调递增的

是（）

A.^=sin|x|B.j^=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cosx|

题型02周期

【解题规律•提分快招】

函数y=44口（。/+0）y=Acos（d;x+（p）y二"4tan（0x+0）

周期TT*T*

⑷囱

函数y=\石口（如+0）|y=|Ncos（sr+0）|y=|Atan（ox+0）|

周期T

T=—T=—T=—

⑷

函数y=|」4sin（0x+0）+b|y=（Zcos（©x+0）+b|y=j/4tan（0x+0）+b|

（6工0）（MO）（6工0）

周期TT3T*

T=—

其它特艇散，可通过画图直财蜥周期

【典例1-1］（23-24高一下•北京,期中）下列函数中，周期为兀且在10$J上单调递增的是（）

A.y=tan|x|B.^=sin|x|

C.y=|sinx|D.y=|cosx|

【典例1-2］（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）以下函数中最小正周期为兀的个数是（）

X

y=|sinx|y=sin|x|y=cos|x\y=tan—

2

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1］（22-23高一下•北京西城・期末）下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是（）

A.ksin［x+；］

B.y=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

函数/（x）=sinxcos［x-|^,则（）

【变式1-2］（23-24高一上•北京丰台・期末）

A./（x）是最小正周期为2兀的奇函数B.〃x）是最小正周期为2兀的偶函数

C./（X）是最小正周期为71的奇函数D.f（x）是最小正周期为ir的偶函数

题型03对称轴与对称中心

【解题规律•提分快招】

JT

⑴函数V=Zsin（0x+。）的图象的对称轴由0x+0=左乃+万（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

ox+0=左乃（左eZ）解得；

（2）函数y=Acos（（t>x+9）的图象的对称轴由0X+。=左万（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

JI

①x+（p=k兀+—（左wZ）解得；

2

k冗

（3）函数y=Ntan（0x+。）的图象的对称中心由（yx+0=；-左eZ）解得.

【典例1-11（24-25高三上•北京・开学考试）已知函数/Gj=fsin0x+cos0x«>0,。>0）的最小正周期为

兀，最大值为行，则函数/（x）的图象（）

A.关于直线x=1对称B.关于点对称

C.关于直线x=E对称D.关于点对称

【典例1-2]（24-25高三上•北京海淀•阶段练习）若函数f（x）="cosx-sinx（/>0）的最大值为2,则

A=,f（x）的一个对称中心为

【变式1-1]（24-25高二上•贵州贵阳•阶段练习）已知函数/（司=28510工+三）。>0）的部分图象如图所

示，则下列结论错误的是（）

A.CD-I

5TT

B.函数的图象关于直线工=三对称

C.函数/（X）的图象关于点中心对称

27rjr

D.函数〃x）的单调递减区间为kn-—,kn--化eZ）

5o

【变式1-2]（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=tan（ox+9）（0>0,阐<曰图象相邻的两个对称

中心间的距离为兀，若/（。）=1,则函数/（x）图象的一个对称中心为（）

A.g,o]B.go]UHD.（7t,0）

【变式1-3]（24-25高三上•北京朝阳•阶段练习）己知函数"x）=2sin（2x+W，则下列命题正确的是（）

A.“X）的图象关于直线x=1对称

B.7（x）的图象关于点对称

TT

c.“X）在0,—上为增函数

D.7'（x）的图象向右平移刍个单位得到一个偶函数的图象

题型04奇偶性

【解题规律•提分快招】

JI

⑴函数V=Nsin（（yx+。）是奇函数=。=左乃（左eZ）,是偶函数u>0=左乃+万（左eZ）；

JI

（2）函数y=Zcos（0x+。）是奇函数=。=上万+万（左eZ）,是偶函数。。=左万（左eZ）；

（3）函数y=Ntan（0x+9）是奇函数=。=bz'（keZ）.

丽iZij一（右;正高三王五京二瓶维石5一下疥南函用厂京文域为R商春菌薮息一厂一5一

A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx

【典例1-2]（23-24高一下•北京•阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于（jo]对称的是（）

A.y=cos（2x+W）B.>=sin（2x+5）

C.y=cos（x+兀）D.y=sin（x+7i）

jrjr

【变式H】⑵-24高一下•北京,期中）函数k8.々内/（»7）是（）

A.最小正周期为T的偶函数B.最小正周期为兀的偶函数

TT

C.最小正周期为T的奇函数D.最小正周期为兀的奇函数

【变式1-2］（23-24高一下•北京顺义•期中）下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是（）

A.y=cos2xB.y=tanxc.y=sin［无+：］D.y=sinlx

【变式1-3］（23-24高一下•北京•期中）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,/）单调递增的是（）

A.y=tanxB.y=sinxC.y=cosxD.y=xsinx

题型05最值与值域（可化为一元二次函数型）

【解题规律•提分快招】

『通过换元，一转换为二五三次函薮录值城;注熹搅元后百变毫的取值指函一

i

JT

【典例1-1］（23-24高一下•河南南阳•阶段练习）已知关于％的方程l-sidx-sinx+2a=0在（0刁上有解,

那么实数。的取值范围为（）

A.B.--<a<0C.--<a<—D.--<tz<0

82222

【典例1-2］（23-24高一下•上海浦东新•期中）函数〃x）=tan2xTanx,xe的最大值与最小值之

和为

【变式1-1］（23-24高一下•江苏常州•期末）函数/（x）=cos2x-4sinx-l的值域是（）

A.(-吟2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-6,2]

【变式1-2］（22-23高一下•江苏扬州•期中）函数/(x)=cos2x-6cosx+2的值域是().

7、77

A.[r--,+co)B.[--,-3]C.[-3,9]D.[--,9]

【变式1-3］（24-25高一上•上海•课后作业）函数y=sin2x+2cosx,值域是.

题型06图象平移与伸缩变化

【解题规律•提分快招】

（1）不改变函数名

（2）改变函数名（结合诱导公式变形）

一【欣丽1二11一（24125篇三工互点「瓶琮牙丁嘉理初法薮［二方s：n37码面豪「浜濡嬉苗薮了二盂3；一，益3；

的图象（）

A.向左平移£个单位长度B.向右平移£个单位长度

44

C.向左平移自个单位长度D.向右平移自个单位长度

【典例1-2］（23-24高一上・北京大兴・期末）要得到函数y=sin（；x-：）的图象，只需将函数y=sinx图象

上的所有点（）

A.先向右平移^个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍

B.先向右平移^个单位长度，再将横坐标缩短到原来的;

42

C.先向右平移?个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍

D.先向右平移弓个单位长度，再将横坐标缩短到原来的;

【变式1-11（24-25高三上・北京•阶段练习）已知函数/（"=sin/x-j（xeR,®>0）的最小正周期为

兀.将>=/（x）的图象向左平移。（°>0）个单位长度，所得图象关于》轴对称，则。的一个值是（）

71371_71_71

A.—B.—C.—D.—■

2848

冗

【变式1-2123-24高一下•北京东城•期中）把函数y=situ的图象向左平移三个单位后，再把图象上所有点

的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（）

.（X71>1.「X兀）

A.y=sm—+―B.y=sin—+—

U3j（39）

C.y=sin^3x+y^D.y=sin^3x+^

【变式1-3］（23-24高三上・北京通州•期中）已知函数〃x）=/cos（2x+0（/>0,冏〈兀）是奇函数，且

/将/（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为

g（x）,则（）

A.g（x）=sinxB.g（x）=-sinx

C.g(x)=cos

题型07根据图象求解析式

【解题规律•提分快招】

求了（X）=4sin（0X+。）+B解析式

43求法U+5=/（x）fflax

,°方法二：读图法3表示平g时遗；/

表示振幅

。制方法一：图中读出周期T,利用了二‘27T求解：

<y

方法二若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取

舍答案

0梃方法一：将最高（低）点代入/（x）=4sm3x+°）+5求解；

方扛：高（低）点，可他特幅ft\/（x）=HWn（0X+p）+8

踊3但需演懒具体痛取络案.

【典例1-1]（24-25高二上•北京海淀•开学考试）函数了=/sin（（yx-9）（/>O,0>O,O<9<7i）的部分图象如

B.y=2sinl2x-y

D.y=2sin12x+g

【典例1-2]（23-24高一下•北京昌平•期末）函数〃x）=/tan（8+°）（0>O,冏昔）的部分图象如图所示,

13K

则/~n

C.3D.373

【变式1-1］（2024•北京海淀三模）函数/（%）=2852（勿+9）+6的部分图象如图所示，则以下说法正确

A.a)=—,b=\B.co=-,b=-l

22

C.CD—71,b=1D.a)=Ti,b=-1

己知/'（x）=sin（s+e）（0>0,同<兀）的部分图象如图所

V3V2V6+V21

A.B.C.D.——

V2~42

1,0>0,网<5的部分图象如图

【变式1-3】（23-24高一下•北京海淀・期末）函数/（x）=/sin（0x+e）［A>0.

所示，则其解析式为（）

yt

i5兀

o\

・血

;in(2x+；B./(x)=Vising

A.f(x)=Vis;X+

7171

C./(x)=V2sin|x+^D./(x)=V2sinX+-

3

题型08与0有关的问题

【解题规律•提分快招】

「一1

。与单调性

(2)。与对称性

(3)①与最值

(4)。与零点

(5)。与极值

丫一2

【典例1-1］（24-25高三上•北京朝阳•开学考试）已知函数"x）=sins+*^（0>O）在［0,2］上恰有4个

不同的零点，则实数。的取值范围为（）

里,2兀二2兀2兀，9兀2兀,*兀

A.B.C.D.

2222

【典例1-2］（2024,西藏拉萨,一模）若函数〃x）=|sin0x|+sin3|（o>O）在（-1,1）上恰有9个极值点，则。

的取值范围是（）

13兀17兀13719兀13n13K17K

A.B.--------,+00C.D.

22222

【变式1-1］（24-25高三上•北京•阶段练习）已知函数〃x）=/sin（@x+0）/>0.1,0>0,网<：,T是

函数的一个零点，且》=:是其图象的一条对称轴.若/（x）在区间K上单调，则外的最大值为（）

4

A.18B.17C.14D.13

71

【变式1-2］（22-23高三上•北京通州•期中）设函数/（x）=sin（ox-6+左（。>0）,若/⑴"对任意的实

数x都成立，则g的一个可取值为（）

A.4B.5C.7D.8

【变式1-3](2023•四川泸州,一模)已知函数/(x)=2sin[s-鼻(o>0)在卜三；上存在最值，且在(三，兀

上单调，则。的取值范围是()

(2115-58"-ll17-

A.0a,-B.l,-C.———D.——

l3J3_2'3__4'3_

*>----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(24-25高三上•北京•阶段练习)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减的是()

A.y=\wcB.j=x2C.vjgj1D.〉=cosx

2.(2024•北京顺义三模)已知函数/(x)=cos2；sin1,贝I」()

A./(x)为偶函数且周期为4兀B./(x)为奇函数且在卜£山上有最小值

C.为偶函数且在[上单调递减D.4X)为奇函数且为一个对称中心

3.(2024•北京•三模)下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.〃力=百B./(x)=sin|x|

C.f(x)=2X+2~xD,f(x)=tanx

4.(2024•北京通州三模)已知函数7'(x)=cos(@x+e)(®>0<0<<P<^)的图象在y轴上的截距为;，三

2212

是该函数的最小正零点，则()

71

A.(p=—

6

B.”x)+/'(x)42恒成立

C.〃x)在(0,9上单调递减

D.将V=/(x)的图象向右平移弓个单位，得到的图象关于〉轴对称

5.(24-25高三上•福建•期中)将函数y=cos(x+e)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数y=的图象.若了=〃x)的图象关于点[—

对称，则|。|的最小值为()

6.(2024•四川德阳•模拟预测)把函数/(x)=sin2x图象上所有点先向左平移1个单位长度，再将所得曲线

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g("的图象，则g(x)=()

.(A2兀).一兀、.(兀、.(2兀)

A.sm4%+——B.sm4x——C.smx+—D.smxd

I3)I3)I3；I3J

7.(2024•陕西商洛•模拟预测)若将函数/(x)=2cosx(cosx+sinx)-1的图象向左平移?个单位长度得到g⑺

的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标是()

A.1-^■+而,0)(左eZ)B.1-1+配,。］(左eZ)

C.1事+手。＞阳D.日+筝。卜叼

8.(2024•浙江杭州一模)将函数y=sinx的图像向左平移°(0＜夕＜2兀)个单位，得到函数y=g(x)的图像,

则"kg(x)是偶函数"是"夕=5"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.(2024•广东韶关•一模)已知函数/(x)=2sin(0x+o)(0＞O,O＜e＜］］的部分图象如图，4吕是相邻的

最低点和最高点，直线N8的方程为＞=2x+g,则函数/(x)的解析式为()

171

B.f(x)=2sin—x+—

26

7171

C.f(x)=2sinD.f(x)=2sin—x+—

26

10.(2024,黑龙江佳木斯•模拟预测)如图，将绘有函数/(x)=Msin(Wx+eJ(M＞0,0＜9＜兀)部分

图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为此时42之间的距离为岳，则。=()

5兀

D.

~6~

(.2024•上海长宁■一模)已知函数昨sin"+升。>0)在区间W上单调递增’则④的取值范围

是()

A.(0,1]B.(0,1)

0

12.(2024•