2025届中考数学复习：圆的常考模型（原卷版）

2025届中考复习专题圆的常考模型归纳

模型数梳理.................................................................................2

【题型1】弦切角定理与切割线定理..........................................................22

【题型2】中点弧模型.......................................................................26

【题型3】内心模型........................................................................29

【题型4】线段和差问题（构造手拉手）.......................................................31

【题型5】阿基米德折弦定理................................................................35

【题型6】平行弦与相交弦，垂直线，割线模型..................................................40

【题型7】垂径图...........................................................................43

【题型8】等腰图...........................................................................45

【题型9】双切图...........................................................................48

【题型10】射影图..........................................................................53

【题型11］切割图..........................................................................56

【题型12］圆与三角函数综合...............................................................60

【题型13］圆与相似综合....................................................................63

国的基本模型（一）;圆幕定理

1.弦切角与切割线

三个结论知一推二:①PC是切线；②N1=N2（弦切角定理）;③

弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的孤所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的21,等于它们

所夹的弧九巨所对的圆周角Z2

2.圆嘉■定理

①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

②切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

③割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于4、B、C、D,则有PAPB=PCPDo

【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线/卜上，八与圆交于4、B（可重合，即切线），上与圆交

于。、O（可重合），则有=PCPD

相交弦定理）

相交弦定理推论（本质一样

切割线定理］卤泉定理

割线定理）

【模型图解】

统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重

合的“交点”）于点4、B、C、D,则有PAPB=PCPD

圆幕定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值

2

（定值。产一产|称做点p对。。的“幕”,等于点p到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）

RbPB=N-OP2（p在圆内）％.「8=。?>2一"仍在圆外）2.pBuOpi-NnOp在圆上）

【问题】求证R4•PR=O产-"（点在圆外）

【证明】由切割线定理推论得:PA-PB=PC-PD,

又•••PCPD=(PH-CH)(PH+CH)=PH2-CH2

=(OP2_o?)_(/_OH2)

=OP2-r2

【例题】如图，已知PAB是◎O的割线，PO=14cm,R4=4cm，AB=16cm。求0O的半径。

3

圆的基本模型（二）:中点弧模型

点P是优弧AB上一动点，则

【以下五个条件知一推四】

①点。是的中点

②

③OCAB

④PC平分NAPB

⑤CE-CP=C耿即ACPBs&CBE）

【简证】N1=N2,NPCB为公共向，子母型相似

【补充】⑥PE・PC=RbPB,注意：⑥不能反推出前五项

NA=N。

△APEsAPCB

【例】如图，四边形ABCD内接于0O,对角线AC、BD交于点尸,且4B=4D,若AC=7,AB=3,则BC

•CD=.

易知482=a。.Ap=AP=义，则cp=普，CD=C4•CP=40

4

圆的基本模型（三）:内心模型与等腰

【模型讲解】外接圆+内心=得等腰

如图，圆。是外接圆圆心，/是三角形ABC的内心，延长47交圆。于。，则DI=DC=BD

【简证】Nl=N4+N5,N4=/3,N2=N5二/I=N2+N3

圆的基本模型（四）:线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中点弧与旋转

【模型解读】点P是优菰4B上一动点，且点。是检的中点

邻边相等+对角互补旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.

由于对角互补，即NPBC+NP4C=180°,显然P4P共线，且PC=PC,通过导角不难得出相似.

5

2.常见结构

(1)圆内接等边三角形结论：PB+K4=P。，可构造做角平分线或构造手拉手模型

延长13P到A',使PATW,截取PQ-PA易知△,47也三△24C

易知△PAA'等边，△A'AB^AF!4c

6

(2)圆内接等腰直角三角形(正方形)

情况一：有角平分线PA4-PC=®PB

Q'：

7

情况二：无角平分线PA=PC+V2PB,截长补短构造手拉手旋转相似,一转成双

在AP上取一点Q,使BP=BQ,AQ=PC,PQ=V2PB,PA=PC+V2PB

【旋转六法】

补充【托密勒定理】：ADBC+ABDC=ACBD秒杀！（选填可用）

8

3.阿基米德折弦定理

【问题］：已知M为於的中点，B为九应上任意一点，且A®_LBC于。.求证：AB+BD=DC

证法一：（补短法）

如图：延长DB至尸，使B尸=R4「A/为念中点：.AM=CM,：.Zl=Z2①

又•.•沅=病，.♦.N1=N3，AZ2=Z3------②又♦.♦N3+ZMBF=180°--------③

由圆内接四边形对角互补Z2+AMBA=180°-------@

（BF=BA

由①②③④可得：NMBA=Z.MBF,在AMBF与J^MBA中14MBA=4MBF

.•.△MB尸空△MR4（S/S）：.MF^MA,又「^=^4：.MF=MC

文•；MD_LCF:.DF=DC：.FB+BD=DC又：BF=BA；.AB+BD=DC（证毕）

9

证法二：(截长法一一两种截取方式)

如图1:在8上截取CG=4B,则有DC=OG+DG,再证出BD=DG即可

'：BM=BM：.Z1=Z2----①又•••”是/中点，：.MA=MC-------②

(AB=CG

由①②可知，在△MBA与△MGC中(N1=N2,;.^BMA^/\GMC(SAS)：,BD=GD

[MA=MC

又•••MD_LBG：.BD=DG：.AB+BD=DC(证毕)

图1图2

如图2：在CD上截取RB=DG,再证明AB=CG即可

简证：易知aMSG与△MAC均为等腰三角形，且N1=N2,可知ZkMBG与△MAC构成手拉手模型,

:.4BMA经4GMC(SAS)：.AB=CG

常规证明：/.MB=MG：.Z2=Z.MGD--®5L'：MC=MC，.\Z1=Z2--②

•rA/是念中点，二局=优；.N1=AMCA-一③由①②③可得2MGD=NMC，

而乙MGD+ZMGC=180°，/.MCA+Z.MBA=180°,/.Z.MGC=NMBA,又•.•血=BM，

：.Z.MAB=NMCG,在AMBA与^MGC中，＜Z.MBA=NMGC

{^MAB=Z.MCG

：.^BMA丝AGMC(AAS)：.AB=GC：.AB+BD=0c(证毕)

10

证法三：(翻折)--证共线

如图3：连接MB,MC,AM,AC,将△SAW沿翻折，使点4落至点E,连接ME,BE

•••△A版1与△MBE关于对称，所以△MBE名ZkA但4:.MA=ME,NMBA=NMBE一一①

又•.•AM=A/C,.•.ME=MC,又四点共圆，.•./MBA+/MC幺=180°--②

又・・・MA=（已证）.・・^MAC=Z.MCA

义•：前=前，；.4MBe=AMAC：.NMBC=ZMCA------③

由①②③得：NAffiC+NMBE=180°：.E,B,。三点共线。文•：ME=MC,MD工CE

:.DE=DC,：.EB+BD=DC,乂Y£\MBE^^MBA：.AB=EB

.•.AB+BD=DCC正毕）

E

图4

证法四：两次全等

如图4,连接A/B,MA,MC，AC，延长AB,过点M作MH_LAB于点H,

为30的中点:.AM=MC，叉•：俞=血：.Z.HAM=ADCM

NMHA=NMDC

又；NMHA=NMDC=90:.在与^MDC中Z.HAM=NDCM

MC^MA

MH=MD

AMHA望AMDC（AAS）：——①AID=在与中

.CD=AHRtAMHBRtT^MDBMB=MB

：.AMDBAA4HB（HL）：.BD=BH又；AH=AB+BH,：.AH=AB+BD一一②

由①②可得DC=4B+BD（证毕）

证法五:补短法(2)一—两次全等

如图4,延长AB至H,使BH=BD,则AB+BD^AH,先证ABliM建ABDM(HL),再证△MHA里

^MDC(HL)

11

圆的基本模型(五):平行弦与垂直相交弦，割线定理

一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。。中，•.•43〃CD,.•.布=@

二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

易知，AAGB-ADGC

即：在©O中，•.•弦AC、BD相交于点G,则AGCG=BGDG

三、模型构造

1.当圆中有相互垂直的弦时

⑴经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦

(H)还可以构造相似

12

（Ill）当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得BD2+AC2=BC1+AEP=4"

例题：弦CD_L弦,过圆心O作O尸_L于F,证AD=20尸

易知AGIICD,所以AD=CG=2OH

练习：（深圳南山区模拟）如图，PC为圆的切线，弦CD_L弦AB,AD=2,BC=6,求圆的半径

【简证】易知：AE//CD,AD=EC=2,通过勾股定理可知直径E3

2.当圆中有相等的弦、弧时

⑴等孤时常作辅助线：（1）构造等弦或等南（2）构造平行

13

（n）等弦时常作辅助线：（1）构造等角（2）作弦心距（3）作平行

由AB=CD可知：

OD=OF,CDIIAB,

【小试牛刀】试一试看能写出几种证法

已知AB,DC为圆的直径，且BF=DE,证NB=ND

FB=ED,AFB=CED,：.AFB-FB=CED-ED，：.AF=CE,:.ZB=ZD

-.△FOBSAEOD(SSS)

【证法2】

/.ZB=ZD

•.△FBA=AEDC(SSS)

【证法3】

.-.ZB=ZD

•■•△OGBSAOHD(HL)

【证法4】

.-.ZB-ZD

14

三、割线定理

割线PD、PC相交于点P,则P4•PD=PBPC

圆的基本模型(六):垂径图

1.弧中点与垂径图

①【知1推5】

②4。平分NC4B

。是圆的中点

③

④DOA.CB

⑤CE=EB

⑥ACHOD

OE=^AC

2.垂径+相等的三段弧

【例题】如图，AABC内接于。O,AB是。O的直径，。是弱的中点，弦CE_LAB于点H,连结AD,

分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。

一题七问

⑴证。O〃BD

(2)AD=CE

而证：P是线段AQ的中点

(4)证:CP.CE=AHAB=CQCB

(5)tan"BC=

(6)若4。=8,8。=6,求4〃的值

(7)若OO的半径为5,匐=号，求弦CE的长.

15

【简证】

(3)先利用弧相等导角证AP=CP,再通过及△ACQ中的互余关系，得到PQ=CP,；.AP=PQ=CP

(4)CP=AP,CE=AD^>CP-CE=AP-AD,/^APH-AABD^AP>AD=AH-AB

16

连接AC,连接CO交AD于G,OG/BD

易知GO是△43。的中位线(平行线分线段成比例)

可知OG=；8Z>3,AG=；AD=4,则半径AO=5

易证△ZOGsACO//(AAS)

：.OH=OG=3,AH=r-3=2

(6)法二

易知尸5,连接EO,

勾股可知HO=3,..AH=5-3=2

17

(7)找到对应相似三南形是关键

AQ3CQ3

△4C0~A«C^—=-=^—=-

5153

设CQ=3x,AC=4x=>/4(>5x万nx：］

2448

AC=6nBC=8nC〃=M=C£=M

补充拓展:垂径图导子母相似

如图弦CDJ_直径AB于点G，E是直线AB上一点(不与其他点重合)，OE交圆O于F，CF交直线

AB于点P

(1)证OE・OP=/2；(2)当点E在4B延长线上时，(1)的结论还成立吗？

18

圆的基本模型（七）:等腰图（直径在腰上）

1.直径在腰上:如图，已知4B是直径，AB=47,则有

结论

3BD=CD=ED

(2)00//AC

®DD±AC

②F是EC中点

（3）知1推3：，

③。尸是切线

④2DF=BE

2.补充

知1推2知1推2

AB=ACDF±EC

BD=CD=ED少是EC中点

OD/ECFD是。。的切线

3.圆心在三线上：如图，已知48是直径，48=47,则有

①弧:叁=灰

②线段关系：BD=CD,AB=AC,OD=4CE

③位置关系:ADLBC,CE工BC,AD〃CE

④角度关系：4BOD=£COD=ZBAC=4BEC

AABO=AOAB=NOAC=Z.OCA=NACE,

Z.AON=乙ABD=LACD

⑤全等关系：^ABD^^ACD,^AOB^AAOC

⑥直角三角形相似:A4ON〜〜A/1CD

⑦X型相似：给=箫=券

LylVLIVLtyC/15

19

圆的基本模型（八）:双切图

、®OP±AB,AE=BE

是切线］=③BD//OP

AD是直径/④NCBD=N2=N1=N3

⑤OE=)BD

补充:多切图

内切圆半径为r1_a+b—c翳翳径为r}=（Q+"c）…帅可求）

ZC=90°产/=-2-

@BC=BE+CO

@OB±OC,EF±FG

BE,BC,G。与。。相切,®EF//OC,OB//GF

R为。。的半径④矩形04在D

⑤加/歌7=.2R=dBCrCG-BE『

153£>Cr-t-UCrv

20

圆的基本模型（九）:射影图

AB是直径1

/480=90°是切线

E是8。中点J

基本图形：AB是直径，ZABC=90°

其它结论

知1推4

OE是中位线

点E是BC中点

6个角相等

DE是。。切线

射影定理（3个等积式）

BE-BE

OELBD2r2=OE*AD

OE/AC2DEM3DOE

国的基本模型（十）:切割图（切线和割线垂直）

AB是直径,①0cliAD；

CD是切线②ACT-令乙BAD,&=&,4DCA=4CBA；

AD±CD=>③OF=CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF=AF^OH；

OF±AE@AD+DE=ABi

CH±AB,@AB+AB=2AH=2AD,AE+AB=2AC-cosABAC.

21

AB是直径］

CD是切线}DFAFAD

~OF=~CF=~OC

ADA.CD}

AB是直径](AF_AE_EF

CD是切线CF-CM—MF

AD±CD]{.CM1MF-MB

【题型1】强切角定理与切割线定理师.„

例。（2024♦四川眉山•中考真题）如图，BE是©O的直径，点4在OO上，点。在BE的延长线上,

AEAC=AABC<AD平分ABAE交OO于点。，连结AE.

⑴求证：C4是©O的切线；（2）当47=8,侬=4时，求DE的长.

22

例❷(四川泸州中考)如图，△ABC是。O的内接三角形，过点。作。。的切线交BA的延长线于点

F,AE是G)O的直径，连接EC.

(1)求证：NACF=NB；(2)若AB=BC，4。_1_3。于点。，尸。=4,E4=2,求ADxAE的值.

例❸(湖北•黄石中考)如图，48是6)0的直径，点。在AB的延长线上，C、E是OO上的两点，CE

=CB,NBCD=NC4E,延长AS交BC的延长线于点F

(1)求证：CD是0O的切线；(2)若BD=l,CD=g,求弦4C的长.

23

例。（湖北.十堰中考）如图，△力BC中，=47,以AC为直径的。O交BC于点D,点E为。延长

线上一点,且4CDE=jNBAC.

（1）求证：AE是。。的切线；（2）若4B=3BD,CE=2,求。。的半径.

!习1如图是"BC的外接圆，40是。。的直径，尸是4）延长线上一点，连接CDC/，且

ZDCF=ACAD.

3

（1）求证：C尸是OO的切线；（2）若直径ZO=IO,cos8=］，求广。的长.

E习E（2024・四川宜宾・中考真题）如图，A4BC内接于＜90,AB=AC=10,过点4作4E〃B。，交

◎O的直径BD的延长线于点E,连接CD

（1）求证：AE是OO的切线；（2）若tan4=■，求CD和小的长.

24

E习1(2024.四川雅安・中考真题)如图，AB是。O的直径，点。是。。上的一点，点P是BA延长

线上的一点，连接AC，APCA=ZB.

(1)求证：PC是(DO的切线；

(2)若sinN3=]■，求证：AC^AP；

(3)若CDJ_AB于D,24=4,BD=6，求40的长.

I，习K1(成都中考)如图，AB为◎O的直径，。为0O上一点，连接AC,BC,D为AB延长线上一

点，连接CD,且/BCD=N4

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若G)O的半径为V5，△4BC的面积为24，求CD的长；

(3)在(2)的条件下，E为。O上一点，连接CE交线段。力于点F，若募=J，求BF的长.

25

:【题型2】中点孤模型)O

例。(苏州•中考)如图，4B是0O的直径,D、E为0O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至

点。，使得CD=BD,连接AC交OO于点F,连接AE、DE、DF.

(1)证明：ZE=NC：⑵设OE交48于点G，若48=10,E是彳逾的中点，求的值.

(深圳•中考)如图，已知。。的半径为2,为直径，CD为弦.AB与CD交于点M,将历沿

CD翻折后，点？1与圆心O重合，延长OA至P,使AP=O力，连接PC

⑴求CD的氏;

(2)求证：PC是。。的切线：

(3)点G为痛通的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交4B于点E.交百0于点尸(F与B、C

不重合).问GE-GF是否为定值？如果是，求出该定值:如果不是,请说明理由.

【拓展】(4)在(3)的条件下，当CF〃AB时，求FEFG的值

26

(习D如图，NBA。的平分线交△ABC的外接圆于点。，交BC于点尸，NABC的平分线交AD于

点E.

(1)求证:DE=DB：(2)若ABAC=90°,8。=4,求△ABC外接圆的半径；

(3)若=6,。尸=4,求4。的长

督习・(山东枣庄.中考)如图，/8为OO的直径，点。是行的中点，过点。做射线80的垂线，垂足

为E.

E

⑴求证：CE是。。切线；

(2)若3E=3,AB=4,求BC的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有兀的式子表示).

f习EI（2024・四川巴中・中考真题）如图，△AB。内接于OO,点。为后己的中点，连接A。、BD,BE

平分N4BC交4D于点E,过点。作。尸〃交AC的延长线于点P.

⑴求证：OF是。O的切线.（2）求证：8D=ED（3）若。E=5,C尸=4,求AB的长.

£为目（江苏无锡・中考）如图，"是OO的直径，C»与48相交于点E.过点。的圆O的切线。尸

〃AB，交。1的延长线于点尸，C尸=8.

（1）求NF的度数；（2）若DE-DC=8,求。。的半径.

（为目（2024•云南昆明・一模）如图，AB,CD是。O的两条直径，且AB_LCD，点E是前上一动点

（不与点B,。重合），连接DE并延长交的延长线于点F,点P在AF上，且N1=N2,连接

AE,CE分别交OR于点M,N,连接,设。。的半径为10.

备用图

（1）求证：PE是（DO的切线；

⑵当NDCE=15°时,求证：AM=2ME；

（3）在点E的移动过程中，判断CN・CE是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.

28

【题型3】内心模型)

(2024.山东烟台.中考真题)如图，AB是。O的直径，△ABC内接于G)O,点/为△ABC的内心,

连接C7并延长交O于点。，E是后。上任意一点，连接40，3。,3E,CE.

D

(1)若NABC=25°,求NCEB的度数；

(2)找出图中所有与ZV相等的线段，并证明；

⑶若67=2〃，。/=早血，求AABC的周长.

(广东省•中考)如图1,在△ABC中，AB=AC,OO是△ABC的外接圆，过点C作2BCD=

NACB交。O于点连接AD交BC于点E,延长。。至点F,使C尸=AC,连接AF.

(1)求证：E£)=EC；

(2)求证：A尸是。。的切线；

(3)如图2,若点G是AACD的内心，BCBE=25,求BG的长.

29

整习1已知：如图，在zUBC中，E是内心，延长AE交A/BC的外接圆于点。，弦4D交弦B。于点

F.

(1)求证：DE=DB：

(2)当点4在优弧B。上运动时，若OE=2,DF=y,AD=x，求y与c之间的函数关系.

(习E(湖北.孝感中考)如图,点/是△ABC的内心，BI的延长线与△4BC的外接圆。。交于点

与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F,NADF的平分线交AF于点、G.

⑴求证：DG//CA；

(2)求证：AD=ID；

(3)若DE=4,BE=5,求即的长.

30

（【题型4】线段和差问题（构选手拉手））

在。。的内接四边形4BCD中，43=6,40=10,NBAD=60°，点。为弧的中点，则47

的长是_______

.例❷（2024・山东济宁•二模）【初步感知】

如图1,点A,B,P均在。O上，若N4OB=90°,则锐角乙4PB的大小为

【深入探究】

如图2,小聪遇到这样一个问题：③。是等边三角形4BC的外接圆，点P在衣上（点P不与点AC重

合）,连接PA,PB,PC.求证：PB=R4+PC;小聪发现，延长E4至点召，使=PC,连接BE,通过

证明△PBC丝△EBA.可推得ZiPBE是等边三角形，进而得证.请根据小聪的分析思路完成证明过

程.

【启发应用】

如图3,。。是△ABC的外接圆，NABC=90°,AB=BC，点P在。O上，且点P与点B在A。的两侧,

31

例❸如图，已知AB是。。的弦，点。是弧48的中点，。是弦上一动点,且不与A、B重合，CD

的延长线交于点E，连接AE、3E,过点力作4尸_1_3。,垂足为F,44及7=30°.

(1)求证：AF是。。的切线；

(2)若BC=6,CD=3,求DE的长；

(3)当点。在弦上运动时，下墨瓦的值是否发生变化？如果变化,请写出其变化范围;如果不变,

AC/十—

请求出其值.

修习髭.如图，在。。中AB=AC，点。是日庙上一动点(点。不与重合)连接。A、DB、DC，

NR4C=120°

(1)若4C=4,求。。的半径

(2)探究之间的关系，并证明。

32

习E(吉林长春・中考)【感知】如图①，点4、B、P均在。。上，NAOB=9()°,则锐角的大小

为度.

【探究】小明遇到这样一个问题:如图②，。。是等边三角形Z8C的外接圆，点P在衣上(点P不与点

A、C重合)，连结尸/、尸8、PC.求证：P8=4+PC.小明发现，延长至点E,使4E=PC,连结

BE,通过证明△PBC丝,可推得PBE是等边三角形，进而得证.

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长H4至点E,使Z£=PC，连结BE,

•••四边形48cp是。。的内接四边形，

:.^BAP+ZBCP=\SO0.

•：ZBAP+ZBAE=\SO°,

：.4BCP=4BAE.

•.•△ABC是等边三角形.

BA=BC,

;.APBC%EBA(SAS)

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。。是“BC的外接圆，48C=90。，AB=BC，点P在。。上，且点P与点B在ZC的

PR

两侧，连结4、/W.PC.若PB=242PA,则£的值为.

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I习(2024•江苏扬州•中考真题)在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研

究特殊情况，猜想结论,然后再研究一般情况，证明结论.

如图，己知△ABC，C4=CB,0O是△ABC的外接圆，点。在。。上(4D>BD),连接

【特殊化感知】

⑴如图1，若60°，点。在40延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为；

【一般化探究】

(2)如图2,若NACB=60°，点C、。在AB同侧，判断AD—BD与CD的数量关系并说明理由;

【拓展性延伸】

⑶若乙4cB=a，直接写出AD、B。、CD满足的数量关系.(用含a的式子表示)

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o【题型5】阿基米德折弦定理o

例tl如图，AB和是。O的两条弦(即折线A3C是OO的一条折弦)，M是后心的

中点，过点Af作A/D_LBC垂足为。，求证：CD=48+BD.(阿基米德折弦定理)

己知:如图1，在0O中，。是劣弧4B的中点,直线COLB于E,易证得:AE=BE,从圆上任

一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。

(1)如图2,R4、PB组成©O的一条折弦，。是劣弧AB的中点，直线CDJ_P4于E,

求证:A£；=PE+PB

(2)如图3，R4、PB组成。。的一条折弦，若。是优弧AB的中点，直线CDJ_R4于E,则AE、PE、

PB

之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明。

图1图2图3

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©习口如图，已知等边三角形ABC内接于(DO,AB=2,点。为弧47上一点，N4BD=45°,AE

J_3。于E,求△BDC的周长。

筌;习❷如图，ZVIBC内接于00,4。VBC,点。为ACB的中点，求证AD2=ACBC+CD2

侬El已知6)0是等边△A3。的外接圆，P是。O上一点，求证R4+P34AC+3C

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E习图（山西中考）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”.如图和是OO的两

条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC>43,“是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线

的垂足。是折弦43。的中点，即CD=AB+BD.

（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分:

证明：如图2,在CB上截取CG=AB,

连接和MG.

是久比的中点，

：.MA=MC

:.MA=MC.

（2）如图（3）,已知等边△ABC内接于。O,AB=2,D为。O上一点,NABD=45°,4E_LB」D,垂足为

E，请你运用“折弦定理”求八助。的周长.

图3

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(1)求Ab的长度；

(2)在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD4E的值是否变化？若不变,

请求出A。x的值;若变化，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，过A点作AHJ_BD,求证：CD+

(4)拓展:求ZM,@3,。。之间的数量关系

A

3

备用图

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r习i已知：如图，在AABC中，。为AC边上一点，且CB.过。作AC的垂线交

△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN,交圆于N.求证：A4N为△ABC外接圆的直径.

i习R如图，△ABC是。。的内接三角形，AB=AC，RD平分N4BC交OO于点。，连接工。、

CD。作AEJ_BD与点E，若4E=3，_DE=1，求ZVICD的面积

鳖习■如图，△ABC内接于G)O,4B=47=3,cos/ABC=y,。是劣弧AC上一点，且AD=

2CD,求BD的长为.

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£"习R如图，2，二轴于点人，点B在3/轴正半轴上，24=/归，04=6,08=2,,点。是线段

PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆。M与y轴的另一个交点是。.

(1)证明：4。=工。

(2)试问：在点。运动的过程中，BD-BC的值是否为定值？若是，请求出该定值;若不是，请给出合理

的解释.

【题型6】平行段与相交强，垂直线，割线模型1O-

例(I如图，半圆O的直径BC=7，延长C8到力，直线AD交半圆于点E,。，且AE=ED=3,求48

的长.

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