2025届中考数学专项复习：圆的常考模型（解析版）

2025届中考复习专题:圆的常考模型归纳

目录

【题型1】弦切角定理与切割线定理

【题型2】中点弧模型

【题型3】内心模型

【题型4】线段和差问题（构造手拉手）

【题型5】阿基米德折弦定理

【题型6】平行弦与相交弦，垂直线，割线模型

【题型7】垂径图

【题型8】等腰图

【题型9】双切图

【题型10】射影图

【题型11】切割图

【题型12】圆与三角函数综合

【题型13］圆与相似综合

圆的基本模型（一）：圆哥定理

1.弦切角与切割线

弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的/I,等于它们所

夹的弧缶所对的圆周角N2

2.圆塞定理

①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

②切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

③割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D,则有PA•PB=PC•PD。

【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线/1、h,/1与圆交于A、B（可重合，即切线），/2与

圆交于C、D（可重合），则有以FE二”「尸。

【模型图解】

统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两

个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有R4PB=

圆塞定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值

（定值尸厂"1称做点P对。O的“幕”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）

PA・PB=r3-0尸CP在圆内）

PA»PB=OP2-户（P在圈外）

PA»PB=>OP3-r2=Q（P在晓上）

【问题】求证9无由=83-/（点在圆外）

【证明】由切割线定理推论得：PAPB=PCPD,

又,/PCPD=(PH-CH)(PH+CH)=PH2-CH2

=(OP2-OH2)-(^-OH2)

=OP2-r2

【例题】如图，已知PAB是。。的割线，P0=14cm,PA=4cm,AB=16cm„求。。的半径。

圆的基本模型（二）：中点弧模型

点P是优弧上一动点，则

［以下五个条件加一根四】

_____5正上RCB以公共角-三母^根（以_______________________________________________________

【补充】⑥PE・PC=PA・PB,注意：⑥不能反推出前五项

【例】如图，四边形ABCD内接于。0,对角线AC、BD交于点P,且AB=AD,若AC=7,AB=3,则

BC<D=

,940

AB2=ACAP=^AP=-CP=——八/i〃

易知7,贝u7,CBCD=CACP=4Q

圆的基本模型（三）：内心模型与等腰

【模型讲解】外接圆+内心=得等腰

如图，圆。是△4BC外接圆圆心，/是三角形ABC的内心，延长4交圆。于D,贝1JD/=DC=BD

【简证】Z1=Z4+Z5,Z4=Z3,Z2=Z5.,.Z1=Z2+Z3

圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中点弧与旋转

【模型解读】点P是优弧上一动点，且点C是Q的中点

邻边相等+对角互补回旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.

由于对角互补，即一尸_尸.4。-15。°,显然尸相'共线，且PC—P。，通过导角不难得出相似.

2.常见结构

（1）圆内接等边三角形结论：PB+PACC,可构造做角平分线或构造手拉手模型

P

【简析】

A

A

-------------.

p«

///it"**\

Q

睡长BP到N・使PAPA\

妫知△PAA'等边，低取PQM易知A

（2）圆内接等腰直角三角形（正方形）

情况一：有角平分线尸4+R7=S>B

Bk

*皂■

占Q

J*

fe

.

片

情况二：无角平分线

截长补短构造手拉手一一旋转相似，一转成双

在AP上取一点Q,使BP=BQ,&=PCR=6PB,PA=PC+WPB

【旋转六法】

Q

补充【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）

3.阿基米德折弦定理

【模型解读】

【问题］：已知M为］。的中点，B为血f上任意一点，且MD_LBC于D.求证：AB+BD=DC

D

证法一：（补短法）

如图：延长DB至F,使BF=B4为上「中点AAV/.Z1=Z2---------①

又•.•"（：="，，.-.Z1=Z3,.*.Z2=Z3--------②又：/3+NMBF=180°--------③

由圆内接四边形对角互补.•./2+/MB2=180°--------④

由①②③④可得：ZMBA=ZMBF

：./\MBF^/\MBA（SXS）：.MF^MA,又：MC=M4：.MF^MC

又；MD_LCF：.DF=DC：.FB+BD=DC又；BF=BA：.AB+BD=DC（ilE^）

证法二：（截长法一一两种截取方式）

如图1：在CD上截取CG=AB,则有DC=CG+DG,再证出BD=DG即可

：*=劭=-----①又是女中点，：.MA=MC---------②

'AB-CO

<N1=N2

由①②可知，在△MB力与△MGC中二A，

：.ABMA^/\GMC(SXS)：.BD=GD又：MD_LBG：.BD=DG：.AB+BD=DC

图】1*12

如图2：在CD上截取DB=DG,再证明AB=CG即可

简证：易知△MBG与△M4C均为等腰三角形，且/1=/2,可知AMEG与△M4C构成手拉手模型，

.♦.△8M力丝△GMCGSAS）C.AB^CG

常规证明：'：MD±BG：.MB=MG：.Z2=ZMGD-----①

又,；./1=/2②M是4。中点，；.=.•./1=NMC4——③

由①②③可得NMGZ）=NMC,而NMGD+NMGC=180°,ZMCA+ZMBA180°：.ZMGC

AMBA

又v£7"=必=」*3

'MB=MG

LMBA-AMGC

在△MBA与△MGC中，1-设48=一尢”「^BMA△GMC（A4S）AB=GC

：.AB+BD=DC（证毕）

证法三：（翻折）一一证共线

如图3：连接MB,MC,MA,AC,将△朋M沿BM翻折，使点4落至点E,连接ME,BE

;△MBA与aMBE关于对称，所以△MBEgAMBA：.MA=ME,ZMBA=ZMBE——①

又：M14=MC,：,ME=MC,又B,A,C四点共圆，：.ZMBA+ZMCA=180°——②

又•；K4=MC（已证）：.ZMAC^ZMCA

又：1，=（,/.ZMBC=ZMAC：.ZMBC=ZMCA-----③

由①②③得：ZMBC+ZMBE=180°：,E,B,C三点共线。又；ME=MC,MD±CE

；.DE=DC,:.EB+BD=DC,又；△MBE咨AMBA；.AB=EB

：.AB+BD=DC（证毕）

M

C

证法四：两次全等

如图4,连接MB,MA,MC,AC,延长AB,过点M作MHA.AB于点H,

•.•M为/C的中点：.AM=MC,又,：'=：.ZHAM=ZDCM

[£MHA=£MDC

£HAM=ZDCM

MC=MA

又：ZMHA=ZMDC=9Q.•.在△M/M与△MCC中

MH=MD

AMHX^AMDC(A4S)/.CD=AH——①MD=MH在RtAMHB与RtTAMDB中'e=MB

:.AMDB咨△MHB(HL)：.BD=BH5L\'AH=AB+BH,：.AH=AB+BD——②

由①②可得DC=4B+BD(证毕)

证法五：补短法(2)——两次全等

如图4,延长至H,使BH=BD,贝l]aB+BD=AH,

先证Z\BDM(HL),再证△M/M丝AMDC(HL)

圆的基本模型(五)：平行弦与垂直相交弦，割线定理

二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

即：在OO中，•.•弦AC、BD相交于点G,贝I]AG•CG=BG•DG

A

D

SSfl•AAGB-ADGC

【模型构造】

1.当圆中有相互垂直的弦时

(I)经常作直径所对的圆周角,可以得到平行弦

(II)还可以构造相似

(III)当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得用炉+乂曰+

例题：弦过圆心0作OF_LBC于F,证AD=20F

B)SAG«CD.JWeiAD-COiOF

练习：（深圳南山区模拟）如图，PC为圆的切线，弦CD，弦AB,AD=2,BC=6,求圆的半径

【简证】易知：AE〃CD,AD=EC=2,通过勾股定理可知直径EB

2.当圆中有相等的弦、弧时

（I）等弧时常作辅助线：（1）构造等弦或等角（2）构造平行

由可知t

IBC

（ID等弦时常作辅助线：（1）构造等角（2）作弦心距（3）作平行

由AB=C0可知

一/OD=OF；CDIIAB,

底【小试牛刀】试一试看能写出几种证法

乎~匕/已知AB.DC为网的直径，

且BF=DE.证NBZD

【证法1】••历=彷，福=而，.施-丽=而

D-ED,..AF=CE,.,.ZB=ZD

【证法2】

朱、~\/一¥.△FOBSAEOI)(SSS)

【证法3】

rZ"\苏.△FBASAEDC(SSS)

【证法4】

fAK：

,△OGBSAOHD(III.)

£T_D.\ZB=ZD

三、割线定理

割线PD、PC相交于点p,则.Fpmmpc

圆的基本模型（六）：垂径图

一、弧中点与垂径图

知1推5

①人评分NC4E

②遍园的中点

③DO±CB

④C5=EB

⑤ACHOD

⑥0E=\AC

二、垂径+相等的三段弧

如图，4ABC内接于。O,AB是。O的直径，C是心的中点，弦CE±AB于点H,连结AD,分别交

CE、BC于点P、Q,连结BD。

(1)证CO〃BD

(2)AD=CE

(3)证：P是线段AQ的中点

(4)证：CP•CE=AH•AB=CQ•CB

庐

(5)tanZDBC="

若AD=8,BD=6,求AH的值

15

(7)若。。的半径为5,AQ='，求弦CE的长.

【简证】

D

(3)先利用弧相等导角证AP=CP,再通过Rt^ACQ中的互余关系，得至UPQ=CP,

；.AP=PQ=CP

(4)CP=AP,CE=AD0CP・CE=AP・AD,△APH-△ABD^>AP«AD=AH«AB

D

(5)

连接AC,连接CO交ADJG,OG#BD

易知GO是△HBD的中位线（平行线分线段成比例）

可知*=；BD=3・AG=jAD=4.则半径AO=S

易证（AAS）

.-.OH=OG=3,AH=T-3=2

（6）法二

D

易知i=5,连接EO,

勾股可知HO=3,..AH=5-3=2

（7）找到对应相似三角形是关键

AQ3CO3

△SCngnk了

153

设CQ=3x.AC=Mx=>1^5x=-=>x=7

2448

AC-6=^C-3=>CH-—^CE~—

补充拓展：垂径图导子母相似

如图弦CDL直径AB于点G,E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F,CF交直线AB

于点P

（1）证。5>8・尸；（2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？

圆的基本模型（七）：等腰图（直径在腰上）

直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC,则有

结论

(1)BD=CD=ED

(2)DOHAC

2尸尼点

<3）知I推3：

3DF足切♦足

A.ZDF^BE

【补充】

E

知1推2知1推2

AB=ACDF1£C

BD=CD=ED产是EC"L点

OD#ECFD是。。的切线

圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC,则有

i夕

3线杈关奈।BD-CD,AB^AC,OD~^CE

：3》位黄关系：ADLBC.CELBC.仞||CE

④角度关金，ZBOD»/.COD«ZBAC=ZBSC

^ABO-£OAB-Z.OAC-乙OCA~ZACS,£AON-ZABD-ZACD

日全箓关系：△HAd4CD.AAOS^ZUOC

片伐角三角形相似，ZUOM-^ABD^^CD

AMQMOA

la7~MS~cx

圆的基本模型（八）:双切图

①取J.尸3,Z1=Z2

®OPLAB,AE=BE

PA.尸3是切线I

〈③BDIIOP

力。是在径

@ZC5Z)=Z2=Z1=Z3

@OE=-BD

补充：多切图

内切质芈径为为切Si半径为3-

l=#r

LC90--（a+b+cyr-b-h（h可求）

}BC=8E+8

H1OCJEF1FG

BE,BC.GC­|OC,OBIGF

R为0。的*柱

O^^OAFD

UU°C.2R—、*.3_BE/

圆的基本模型（九）：射影图

斯是直径

乙43。=90。＞=》是切线

E是8。中点

从本图形：AB拈It径.ZABC=90°

国它结论

知I推4

0E是中价战

点E是BC中点

6个角相等

DE是。。切纹

生比审理（3个号积

BE=BE

OSLBD2r=0E«AD

OE/ACIDffmCOOE

圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）

是1*1惶1i；0C〃AD：

CD处切线2RC平分®/),西=豆ZDCA^^CBA,

ADLCD\=\③OF•CD-EG-BG・CH，BH-DE-CG.OG-EF-AF-OHt

0F1AE(\：ADDE-AB；

CHI.AB5U4£+T4B=2AH=2AD.AE+AB»2ACcoz^BAC

CD是切线

AD工CD

D

[例题i]

【例题2】

巩固练亓7

/，，，'L1a«■«■--~-~~~~~~~~~---------—00■■■■■■—•——"""———

【巩固练习1]

【巩固练习2]

【巩固练习3】

【题型1】弦切角定理与切割线定理

【例题1】（2024・四川眉山・中考真题）如图，BE是。。的直径，点A在。。上，点<?在6E的延长线

上，ZA4C-ZA5C,4。平分交。。于点。，连结DE.

（1）求证：。是。。’的切线；

⑵当4c=3（芯=4时，求》的长.

【答案】（1）见解析

⑵6。

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键.

（1）连接8,根据圆周角定理得到NH<£=90*,根据等腰三角形的性质得到WC-㈤0,求得

ZOIC-90*,根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质定理得到BCT6,求得郎-匕，连接HD,根据角平分线

的定义得到求得丽=而,得到=根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接01,

Z34£-90\

ZBAO+ZQAI*90*,

'：0A~0B,

ZJLBC~^BA0,

•.­ZJUC-ZJ1BC,,

ZGLff-Za4(?,

ZC4JT+ZOXI-9(r,

Z04C-90,,

.8是。。的半径，

■以是0。的切线；

(2)解：vZJUC-ZjlfC,

:LABC^LKAC,

ACCE

BC^AC,

8_4

BC^S,

BC-16,

BE=BC-Cf=12,

连接助，

,-AD平分

Jt4D=_EAD,

BD-DE,

BD=DE,

；BE是°。的直径,

乙BD£-9(f,

DR=

【例题2】（四川泸州中考）如图，A4BC是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交班的延长线

于点F,AE是。。的直径，连接EC

（1）求证：ZACF=ZB；（2）若4B=BC,于点。，FC=4,E4=2,求4rME的值.

【解析】（1）由切线证弦切角相等；

ZE=ZOCE,ZOCE+ZCOA=ZFCA+ZOCA^\ZACF=ZB

（2）切割线相似求线段长，再找一组相似转换线段积

FC!=FA*FB^AB=6,AC=3AD*AE=AB*AC

【例题3］（湖北•黄石中考）如图，/1R是°。的直径，点。在儿P的延长线上，C、E是Q。上的两

点，CB-CB,^BCD~£CAE,延长月月交友’的延长线于点尸.

（1）求证：CD是C。的切线；（2）若员；'=）1七=6,求弦4c的长.

【答案】⑴见解析，⑵“="

【分析】（1）连接℃,由条件可证得ZHCD■乙ICO,得到NBCD-N500-90*,即可得到结论;

AD^CD_AC

（2）先证明./B-以谢，得到而=而=而，求出4O-3,XC-71BC,

.UB-3-1-2,在Rt£i3C中，由勾股定理得到/1+二―4炉，求出弦4c的长.

【详解】（1）证明：连接。。，

山是00的直径，

.•.4。3・9小，

.,.Z4CO+ZBOD-90,,

CB・CB,

.-.ZC4J-ZC4B,

■：OA~OC,

：.^CAB~ZACO,

.­.ZGi^-ZCUB-ZACO,

VZBCD-ZC45,

../.BCD-ZJLCO,

.­.ZJCD+ZSOO-PO,,

J.OCLCD,

...CD是。。的切线；

(2)VZC4D-Z5CD,ZD-ZD,

..△ACDsACBD,

ADyD_AC

：.~CD~BDBC,

AD73AC

VI1BC,

.UD-3,AC・WBC,

zMB-3-1-2,

在Rt熊C中，AC2+BC-AR,

.（而f+ME.配.1Ac3

【例题4】（湖北•十堰中考）如图，中，AB^AC,以乂。为直径的0。交友'于点。，点后为

c£CDR=lzE4C

C延长线上一点，且2

（1）求证：是°。'的切线；（2）若4B-38D,CE=1,求CQ的半径.

【答案】（1）见解析，（2）7

【详解】（1）如图，连接8AD,

•••4C是直径，

Z^DC-90,,

AD1BC,

vAB-AC,

Z.CAD=^BAD=—^LBAC

'：£CDE=-^BAC

2,

-ZCDZ-ZC4D

'：0A~0D,

/.CAD-/.ADO,

•.•Z1DO+ZODC-90*,

ZOZX?+ZCD£-90,,

Z0D5-90,,

又丁。。是。。的半径，

DK是。。的切线；

（2）解：.AB-AC.ADLBC,

BD-CD,

•.•回皿

AC-3DC,

设。。・工，则40=3%

344-父=$,

•：Z.CDE•Z.CAD.3BCnARD,

二CDE，二以F,

CB_DC_DB

DE=AD=AE,

2_xDE

即DE2^2x3T+2,

14

DH・4g,，=~T,

><C-3x-14,。。的半径为7

【巩固练习1】如图，o°是4的的外接圆，4D是。。的直径，F是心延长线上一点，连接

CD,CF,且一'二

八八AD=10,cosB=—

⑴求证：。口是。。的切线；（2）若直径5,求ED的长.

90

【答案】（1）详见解析，（2）亍

【详解】（1）证明：连接”,

•;人。是0。的直径，

.\ZJCD-9ir,

.•.ZJ8+HD-90・，

XvOC-OD,

.­.ZJDC-ZOCZ）,

又•：乙DCF.CCAD,

.­.Z2Xy+ZOCD-90%

即0C1Z,

...K是00的切线;

cosZXZX7--

5,

d/cccos^.J4£）C=—=AD=10,

•.•在用JCD中，5AD

CD=ADcos乙4D0=10*1=6.

5

:.ACNAD-CD-s,

CD3

：.AC=4,

vZ?TD-Z^C.Z7-ZT,

iFCDEC,

CD_FC_FD_3

：.ACSFA~FC~4,

设=则=AFit+10,

又..•k.QFA,

即⑷f=3"3i+l0）,

=30

解得'=’（取正值），

JD-3x--

7

【巩固练习2】（2024・四川宜宾・中考真题）如图，一儿的内接于AB-AC^IO,过点A作

AE3C,交。。的直径*的延长线于点E,连接CD.

-八tanZABE=——

（1）求证：■是00的切线；（2）若2,求8和DE的长.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）延长4。交友•于点F,连接CC,根据等边对等角可得NCAB•乙4B0,

ZQ4C-Z4CO,20BC"0CB,ZABC~^ACB,继而可得"是上A4C的角平分线，根据等边三角

形“三线合一”的性质可得49J8C,由平行线的性质可得四，继而根据切线判定定理即可求证结

论；

（2）连接4。，先求得AD,5,利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理

得到即:•。&-。方•/厅-仆，代入数据计算求得改'=43,利用勾股定理可求得CD的长，证明

D£=—

&MA4BEA,利用相似三角形的性质计算即可求得3.

【详解】（1）证明：延长4。交37于点R连接。C,

^-4^-——7E

-0A~0B~0C,

./.0AB-ZAB0,ZQiC-4100,ZOBC-ZOCB,

■AB~AC,

.一ABC=ACB,

.ABC-乙OBC•ACB-£OCB,即Z^=4C0,

.ZCMB-ZOIC,即AF是NAI。的角平分线，

-AB^AC,

.AFJ.BC,且AF平分线段R,

■ABBC,

.AFLAE,

.8是半径，

.月后是。。的切线；

(2)解:连接4D,

是0。的直径，

.•./皿£>・口6©-90*,

AAD-5,

51：'-v'.45-1A,

OA^OB^OD=-

由(i)得BC~IBF,

设OF・K,

留

x.3A…4

解得Y"亏，即

：.BC=2BF=A5

:.CD.qBD—BC'-36,

(?£=—+j

设DE=J,则2',

：月£是。0的切线，

.-.ZCUJ-90*,

VZA£D-zS£4,

_AEJ-BEA,

AEDEADI

BEABAB2,

AR=-BE

2,AE・？DE,

：BE=2DE1(5JT+y)=2j

•・一,BP-,

.=5』

解得'一~T'

【巩固练习3】(2024・四川雅安・中考真题)如图，T8是GC'的直径，点C是。。上的一点，点P是BA

延长线上的一点，连接从［'，

(1)求证：尺是00的切线;

smZB=A~_

⑵若2,求证：AC-AP；

⑶若。D"1•方于。，PA-4,BD~6,求4。的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶3?

【分析】（1）首先由直径得到乙4。3・90*,然后利用等边对等角得到N8・N3B,等量代换得到

OCLPC,进而证明即可；

.，口1

sin^8=

（2）利用2得到乙8・30・，求出/汽％=/8=30・，然后利用直角三角形两锐角互余得到

ZP-ZC^-ZPC4-3O,,进而求解即可；

PAPC

（3）设r,证明出cR4Csj>CB,得到正■两，然后表示出P8-4（IOH,然后利

用勾股定理求解即可.

【详解】（1）如图所示，连接℃,

是0。的直径，

.­.ZACB-90*,

.­.ZBCO+ZOC^-PO,,

-,-OB^OC,

.•."=々09,

•:z/a-ZB,

•••ZKM-ZJCO，

.-.ZPCA-Z.OCA-90*,

.-.OCA.PC,

是0°的切线；

/D1

sinZ.B=—

(2)证明：：2,

.-.Z5-30*,

.­.ZA?^-ZB-30%

由⑴知ZXC8-90*,

.­.ZC4B-60,,

...ZP-ZCAB-ZPCA-3伊，

.-.ZAZA-ZP,

c.AC•AP.

(3)设4。-K,

在Rt-4cB中，CDLAB,

mZBCD-ACD+々CD•9&

:.®UCD

­.ZBDC-Z4DC-9(r

:.-BDC、-CDA

BD_CD

.\CD=AD

:.CD:-lDx5D-fix,

VZP-ZP,Z?Ci-ZB,

：.i.PAC.PCB,

Zl.上

:.而■丽,

•.•PC-•PAF9-4(6+4+x)-4(l0+x)，

在Rt二PCD中，由勾股定理得RD：+C7>:"PC',

即(4+i)+6x=4|IO+xi整理得x：+10K-24-0,

解得x=2,\--13(舍去),

故2.

【巩固练习4］（成都中考）如图，力B为。。的直径，C为。。上一点，连接力C,BC,。为力B延长线上

一点，连接CD,且/BCD=N4

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若。。的半径为『，△4BC的面积为,求CO的长；

EF_1

⑶在⑵的条件下，E为。。上一点，连接CE交线段。4于点F,若CF2,求BF的长.

【思路】（1）弦切角证切线；（2）勾股+射影；（3）共线比构造平行相似+线段计算

“巧1

【答案】（1）连接oc,导角即可；（2）CD=2J5；（3）BF=1+6

（3）简证：作易知GE=1EIOG=2,由（2）可知月。・】,可得HO=OF=FG=1,BF=\+小

【巩固练习4】

【题型2】中点弧模型

【例题1】（苏州•中考）如图，项是。◊的直径，D、E为上位于四异侧的两点，连接池并延长

至点0,使得8・BD,连接AC交于点尸，连接AE、DB,DF.

（1）证明：一£=一「；（2）设川交瑟于点G,若,*5-10,£是痴的中点，求明ZD的值.

4

E

【解答】证明：（1）•••48是。。的直径，

D-9『，即AD1BC,

vCD-BD,

忿＞垂直平分次\

AB-AC,

ZB,NC,

又

A—E»i-C；

(2)连接。£,

vAB-10,

是M的中点，是。。的直径,

ZAOJ-90,,

vAO»。月■5,

AE—W,

•••£是@的中点，

Z4DJ-ZW,

MEGAD£4,

AE_DE

EG=A£,

即EGED-AE'-50.

【例题2】（深圳•中考）如图，已知。0的半径为2,AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点

M,将,年沿CD翻折后，点2与圆心0重合，延长04至P,使2P=O4连接PC

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是。0的切线；

（3）点G为I/>”的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交2B于点E.交々/于点F

（F与B、C不重合）.问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理

由.

【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF〃ZB时，求FE・FG的值

【答案】（1）8=2"；（2）证明见解析；（3）GEGF=8,理由见解析.（4）46

【详解】试题分析：（1）连接OC,根据翻折的性质求出OM,CD±OA,再利用勾股定理列式求解即

可；（2）利用勾股定理列式求出PC,然后利用勾股定理逆定理求出NPCO=90。，再根据圆的切线的定义

证明即可；（3）连接GA、AF、GB,根据等弧所对的圆周角相等可得NBAG=NAFG,然后根据两组角

AGFG

对应相等两三角相似求出4AGE和4FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得有一而'，从而得到

GE・GF=AG2,再根据等腰直角三角形的性质求解即可.

（I）连接。C,

•.•而沿CD翻折后，A与。重合，

•，n

:.CD10A,

■：0C-2,

:.CD-20/-2^0(^-QM1-2y122-1--2^1.

(2)vP4-OJ-2,AM~OM-l,

CM=-CD*>/3.__.cc.

2,ZCMzP-ZCA/C-90*,

.PC・4MC、PM：・1用+3、：V3

vOC-2,PO-2+2-4,

,.PC-+OC:=|2v/3)；+：:=16-PO'

•，

.•.NR?0=9(r,

是。。的切线.

(3)GE,GF为定值，

连接G4,AF,GB,

：.GA-GB,

/.ZJLFG,

又「ZJIG芯■Z/G4,

，“GASAKJ/,

AG^FG

：.~GE~~AG,

：.GEGF-AG:,

•.•■为直径，AP-4,

.­.Z£UG-ZX5G-45,,

：.AG-2-j2,

.-.GEGF-3.

(4)简证：因为,所以FBK1=FBFA=4"

【巩固练习1】如图，ZBAC的平分线交4ABC的外接圆于点D,交BC于点F,ZABC的平分线交AD

于点E.

(2)若NBAC=90。，BD=4,求aABC外接圆的半径；

(3)若BD=6,DF=4,求AD的长

【答案】(1)见解析；(2)2&(3)9

【分析】(1)通过证明NBED=/DBE得到DB=DE；

(2)连接CD,如图，证明ADBC为等腰直角三角形得到BC=WBD=4Q,从而得到aABC外接圆的

半径；

(3)证明△DBFs^ADB,然后利用相似比求AD的长.

【详解】(1)证明：：AD平分/BAC,BE平分/ABD,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

ZBED=Z1+Z3=Z2+Z4=Z5+Z4=ZDBE,

；.DB=DE；

；NBAC=90。，

ABC为直径，

ZBDC=90°,

VZ1=Z2,

；.DB=BC,

...△DBC为等腰直角三角形，

.*.BC=>/^BD=4^',

/.△ABC外接圆的半径为2r；

(3)解：VZ5=Z2=Z1,ZFDB=ZBDA,

，ADBF^AADB,

BDDF64

.*.DADB,即AD6,;.AD=9

【巩固练习2】（山东枣庄•中考）如图，.AB为。。的直径，点C是/1。的中点，过点C做射线8D的垂

线，垂足为£

（1）求证：CJ是。。切线；

（2）若用437,求E?的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有n的式子表示）.

【答案】（1）见解析；（2）5C・2.；（3）3”

【分析】（1）连接0C,证明00"8£,即可得到结论；

AB_BC

（2）连接AC,证明AACB-ACEB,从而可得记=应，再代入求值即可；

（2）连接。nCD,证明8AB,从而可得S-，,求出扇形COQ的面积即可得到阴影部分

的面积.

【详解】（1）证明：连接”，

:点C是4。的中点，，

：,AC-DC,

：.ZABC-ZSBC,

•：OC-OB,

:"SBC=乙OCB,

：.0C3E,

-BELCE,

半径。CICff,

是0。切线;

(2)连接4(。

；AB是。。的直径，

.­.ZJCB-ZCJB-90\

,:ABC-ABC,

.-.AACR^CEB,

空.二

4_BC

：.SC”W；

（3）连接。nCD,

,-.0C-0B~2,

•.•在R&BCE中，BC=1瓜BE=3,

cot^CBE----4—皂

BC2,

AZC5£-30,,

.\ZOOD-60,,

Z^OC-60%

vOC-OZ）,

.•.△COD是等边三角形，

£CDO-60,,

：.£CDO~£AOC,

.-.CDAB,

60rx222

360-3

【巩固练习3】(2024・四川巴中・中考真题)如图，一月SC内接于00,点。为反'的中点，连接

/D、BD,8E平分上的交4。于点后,过点D作DF"EC交4(7的延长线于点尸.

(1)求证：D尸是°。的切线.

(2)求证：BD=SD.

(3)若IMT-5,CF-4,求4