2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上学期10月月考数学学情检测试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.集合的真子集的个数是（）A3 B.4 C.7 D.83.已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.4.已知集合，，若．则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.46.“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.7.某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（）A.24人 B.26人 C.36人 D.38人8.若关于不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中为真命题的是（）A，B.，C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件10.给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（）A.集合是闭集合B.已知集合是闭集合，若，则C.存在只含有101个元素的闭集合D.若集合是闭集合，且，则11.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.C.的最大值为1D.当时，设关于的方程的解分别为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“，”的否定是______．13.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．14.已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．16已知，．（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．17.一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．（1）求关于的关系式；（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？18.已知二次函数.（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集.19.已知集合.（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；（2）若，，证明：；（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数平方的形式.则称这个数为完全平方数）.2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上学期10月月考数学学情检测试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可.【详解】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．故选：C.2.集合的真子集的个数是（）A.3 B.4 C.7 D.8【正确答案】A【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解.【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是．故选：A.3.已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取，，，则，故A错误；取，，，则，故B错误；取，，则，故C错误；因为，所以，所以，故D正确．故选：D4.已知集合，，若．则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】化简集合，由集合包含关系列出不等式求解即可.【详解】由题可知或，，由，可得，所以．故选：B.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】运用基本不等式，结合乘1法计算即可.【详解】，当且仅当，时取等号．故选：B.6.“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据题意求出“关于的不等式的解集为R”的充要条件为，对比选项即可求解.【详解】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，综上，实数的取值范围为，则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．故选：C.7.某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（）A.24人 B.26人 C.36人 D.38人【正确答案】A【分析】画出韦恩图，根据容斥原理列方程即可求解.【详解】设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，所以参加运动的有：人，由题意得，解得，所以只参与两个运动项目的有24人．故选：A.8.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式的求解，结合两根大小关系，对分类讨论即可求解.【详解】不等式可化为，①时，不等式的解集为，不合题意；②当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；③当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．综上可知，正数的取值范围为或．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中为真命题的是（）A.，B.，C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件【正确答案】ABD【分析】对于A，作差即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，直接判断即可.【详解】因为，所以，，故A正确；取，则，所以，，故B正确；当时，显然成立，故C错误；因为是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．故选：ABD.10.给定非空集合，如果对于任意，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（）A.集合是闭集合B.已知集合是闭集合，若，则C.存在只含有101个元素的闭集合D.若集合是闭集合，且，则【正确答案】ABD【分析】根据闭集合的定义逐项分析判断即可.【详解】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．故选：ABD11.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.C.的最大值为1D.当时，设关于的方程的解分别为，则【正确答案】BC【分析】运用三个二次之间的关系得到系数之间的关系，结合韦达定理和基本不等式，逐个判断即可.【详解】对于A，由题意知即则，显然当时，，故A错误；对于B，，即，故B正确；对于C，，又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；对于D，方程可化为，整理得，解得，，则，当时，，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“，”的否定是______．【正确答案】，【分析】利用全称命题的否定形式变换即可得.【详解】命题“，”的否定是“，”．故答案：，.13.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．【正确答案】或【分析】若，则转化为一次函数和反比例函数有交点，联立方程有解，用计算即可.【详解】由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，集合为反比例函数上的点构成的集合，若，则方程有非零解，整理得，则，解得或．故或．14.已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．【正确答案】6【分析】首先得，进一步，从而可得，解得即可得解.【详解】因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立．由，得，整理得，即，所以．因为存在实数，使得恒成立，所以，即的最小值为．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）当时，分别求出，结合交集的概念即可得解；（2）由题意得，分是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解.【小问1详解】由，得或，由，得，所以或．【小问2详解】由，得．①当，即时，，满足，符合题意．②当，即时，若满足，则有，解得．综上所述，实数取值范围为．16.已知，．（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）分别确定为真时的范围，然后由真假，或假真得出结论；（2）根据充分不必要条件定义列不等式组求解．【小问1详解】由，得；当时，由，得．若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，当真假时，解得；当假真时，解得，综上，实数的取值范围为或．【小问2详解】由，得．因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．17.一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．（1）求关于的关系式；（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？【正确答案】（1）（2）长为248厘米，宽为124厘米【分析】（1）由题意得，化简即可得解；（2）首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解.【小问1详解】由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，则，整理得．【小问2详解】由（1）知绘画墙墙面的面积，则，由基本不等式，有，当且仅当时取等号．故，此时，故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．18.已知二次函数.（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集.【正确答案】（1）或（2）（3）答案见解析【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为，代入三角形面积公式列式计算即可.（2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可.（3）根据和、、分类讨论解不等式即可.【小问1详解】令，则有，得两点的坐标分别为，令，得点的坐标为，故的面积为，解得或.【小问2详解】不等式可化为，若不等式恒成立，则必有解得，故若关