专题5.1 平面向量的概念及线性运算（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第五章平面向量和复数专题5.1平面向量的概念及线性运算理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点一平面向量的基本概念考点二平面向量的线性运算考点三共线定理及其应用知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)．(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．(3)单位向量：模等于1的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量基本定理如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.第一部分核心典例题型一平面向量的基本概念1．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．2．已知是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则下列说法正确的是

（）A．＋＝ B．＝C．与共线反向 D．存在正实数λ，使＝λ3．下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则4．已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形5．关于向量，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则题型二平面向量的线性运算6．已知为△所在平面内一点，，为边的中点，则（

）A． B．C． D．7．下列命题中，正确的是（）A．若，，则B．若则或C．对于任意向量，有D．对于任意向量，有8．在△ABC中，，若，，则＝（）A． B． C． D．9．如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（

）

A． B．C． D．10．已知的重心为，则向量（

）A． B．C． D．题型三共线定理及其应用11．已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（

）A． B． C． D．12．已知平面向量a，b不共线，，，则（）A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线13．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（

）A． B． C． D．14．在中，点在线段上，，则（

）A． B． C． D．115．已知，，，则（

）A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线第二部分课堂达标一、单选题1．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共线向量 D．共起点的向量2．在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形3．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（

）

A．与 B．与 C．与 D．与4．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是5．化简向量等于（

）A． B． C． D．6．在平面四边形ABCD中，E为线段CD上任一点，则（

）A． B． C． D．7．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（

）

A． B． C． D．8．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或二、多选题9．下列命题中，正确的有（

）A．若，则存在唯一的实数，使得 B．C．为单位向量，且，则 D．与共线，与共线，则与共线10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则三、填空题11．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则.12．如图，点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行.若，则当时，x的取值范围是