人教A版高一下册数学必修第二册6.2.2排列数【教学设计】

第第页人教A版高一下册数学必修第二册6.2.2排列数教学设计课题6.2.2排列数课型新授课课时2课时学习目标1..能在排列的基础上给出排列数的定义和表示，并能区分排列与排列数.2.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，发展学生的数学推理与数学运算素养.学习重点排列数公式.学习难点排列数公式的探究及排列应用中“顺序”的确定.学情分析1.学情分析：这一节课之前，已经掌握了分类加法计数原理与分步乘法计数原理以及排列的概念。本节课将在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.为了激发学生的学习兴趣，教师可以通过引入生活中的排列问题，如座位排列、运动会项目安排等，让学生认识到排列知识在实际生活中的重要性。同时，教师需要注重公式推导过程的教学，让学生理解排列数公式的来源，并通过大量练习巩固公式应用。在教学设计中，教师还可以设计一些生活化的实际问题，让学生在解决具体问题的过程中，逐步构建排列模型，培养其数学建模能力。通过反复练习和巩固，学生能够更好地掌握排列与排列数的知识，提高数学应用意识和问题解决能力。核心知识排列数的公式及应用教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备环节一创设情境，引入课题环节一创设情境，引入概念问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？师生活动：（1）为了便于表达和计算排列个数，教师可以先给出排列数的定义和表示：排列数的定义：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号表示.追问1你能用排列数符号表示上节课中的问题1和问题2吗？师生活动学生独立完成，教师适当指导.“从3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，这个排列数可以记为A3“从1，2，3，4这4个数字中取出3个数字排成一个三位数”的排列个数可以记为A4追问2对排列数表达式Anm中的n，追问3“从n个不同元素中取出mm≤n个元素，并按照一定的顺序排成一列”与“从n个不同元素中取出m师生活动学生独立思考回答，教师归纳总结.排列与排列数的区别：排列是指从n个不同元素中取出mm≤n个元素排成一列的具体排法，它不是数；排列数是指从n个不同元素中取出m环节二类比探究，获得公式引导语研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷地求出排列个数，也即从n个不同元素中取出mm≤n）个元素的排列数A问题2上节课问题1、问题2中我们用“边取边排”的思路得到A3你能类比这样的思路求出An2与师生活动学生独立思考回答，教师指导并归纳总结.学生通过分析回答如下：问题1可以分两步完成，即先从3名同学中先选1名参加上午的活动，再从剩下的2名中选1名参加下午的活动，于是“从3名同学中选取2名同学”的排列数为A3问题2可以分三步完成，即先从4个不同数字中选取1个数字放在百位上，再从剩余的3个数字中选取1个数字放在十位上，最后从剩余的2个数字中选取1个放在个位上，于是“从4个不同数字中选3个数字”的排列数为A4类似地，假定有排好顺序的两个空位，从个不同元素中取出2个元素去填空，排列数的计算可分2步完成，即先从n个不同元素中取出1个元素排在第1个位置，有n种选法，再从余下的n−1个不同元素中取出1个元素排在第2个位置，有n−1种选法，如图6.2-2所示.因此，An2=n追问你能类比An2与An师生活动学生独立思考并交流，教师抽取学生回答并正确引导.类比An2与An3的求法，假设有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每种填法就得到一个排列，填空分由分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为nn−1从而得到排列数公式：A=nn−1环节三观察计算，辨析公式问题3观察排列数公式结构，回答下列问题：（1）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？（2）比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？（3）若n=m时，An师生活动学生独立思考，然后开展小组交流，推荐代表全班展示，教师引导学生评价.学生思考回答出公式的右边共有m个因数，是从n开始每项依次减1的m个因数的连乘积；由于m是从元素总数n中取出的元素数，因此m≤n，最后一个因式是n−m+1，而不是n−m.若n=m时，Anm=An全排列：一般地，从n个不同元素中取出n个元素排成一列叫做n个不同元素的全排列，记作Ann，根据排列数公式阶乘：我们把n×n−1×n−2×⋯×3×2×1叫做n的阶乘，记作n!.根据全排列数计算公式有环节四辨析理解深化概念例3计算：（1）A73；（2）A74；（3）A7师生活动学生独立计算，相互检查订正.根据排列数公式，可得（1）A7（2）A7（3）A7（4）A6追问1观察例3的运算结果，你有什么发现？你能把你的发现推广到一般情况吗？师生活动教师引导学生观察发现：（1）A73=A77A4具体证明如下：A=n×=追问2在Anm=n!n−m!中，当学生思考发现，当n=m时，分母是0!，分子是n!，为了让公式的表示和运算有意义，规定0!=1.环节五综合应用，理解巩固例4用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？师生活动通过下述问题引导学生独立思考后，先分组讨论，再交流分享，最后教师总结点评.（1）这是一个排列问题吗？（2）这里有特殊的元素和特殊的位置吗？如果有，你在完成这件事情时怎么处理这些特殊的元素和特殊的位置？（3）对于这件事情的完成，你有哪些不同的完成方式？学生分析与思路分享：这是一个含排列的复杂问题，在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素，百位是特殊位置.一般地，我们可以从特殊元素或者特殊位置入手来考虑问题.思路1：特殊位置优先法.在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此百位是一个特殊的位置.我们从特殊位置入手，先从1~9这9个数字中取出1个排在这个位置，再从剩下的其他9个数字中选2个排在其他两个位置，如图6.2-4所示.根据分步乘法计数原理，得到所求三位数的个数为A91思路2：特殊元素优先法.以“0”这一特殊元素为讨论标准，分三种情况：第一类，每一位数字都不是0的三位数；第2类，个位上的数字是0的三位数；第3类，十位上的数字是0的三位数，如图6.2-5所示.根据分类加法计数原理，得到所求三位数的个数为A9思路3：间接法.即用不考虑百位数对0的限制的排列数减去0在百位数的排列数，即所求三位数的个数为A10追问比较本题和教科书第9页例8的解答，你对用排列数公式计数有什么体会？师生活动学生思考并在组内交流，教师抽取学生展示，并引导得到：对于一些较为综合的计数问题，要清楚“是完成什么事情”，怎么确定完成事情的顺序，其中特殊位置、特殊元素分析法以及间接法是常见的处理策略.从上述问题的解答过程中还可以看到，采用排列数公式An二、排队问题命题角度1“相邻”与“不相邻”问题例5－13名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．解(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有Aeq\o\al(4,4)种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有Aeq\o\al(3,5)种排法，故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)不同的排法．(4)先排男生有Aeq\o\al(3,3)种排法，让女生插空，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144(种)不同的排法．命题角度2定序问题例5－27人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？解(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的eq\f(1,A\o\al(3,3)).故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(种)不同的排法．命题角度3元素的“在”与“不在”问题例5－3从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解(1)方法一把元素作为研究对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有Aeq\o\al(5,6)种排法．第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq\o\al(4,6)种排法．根据分步乘法计数原理，有4×Aeq\o\al(4,6)种排法．由分类加法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,6)＋4×Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．方法二把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq\o\al(1,6)种方法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq\o\al(4,6)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．方法三(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，甲在首位的情况有Aeq\o\al(4,6)种，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7)－Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)．(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq\o\al(2,6)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(3,5)＝1800(种)方法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq\o\al(2,5)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,5)＝1200(种)方法．(4)间接法．总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，减去甲在首位的Aeq\o\al(4,6)种排法，再减去乙在末位的Aeq\o\al(4,6)种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次Aeq\o\al(3,5)种排法，所以共有Aeq\o\al(5,7)－2Aeq\o\al(4,6)＋Aeq\o\al(3,5)＝1860(种)排法．反思感悟排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．(4)对于“决．跟踪训练三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法．因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq\o\al(3,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(种)不同的排法．(3)方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq\o\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．方法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq\o\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq\o\al(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(种)不同的排法．(4)方法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．环节五归纳总结反思提升问题回顾本节课所学内容，并回答下列问题：（1）排列数An（2）排列数公式是如何推导的？（4）你能总结本节课的知识结构吗？师生活动学生根据问题总结交流、相互补充，教师总结完善.（1）n是选取范围的元素总个数，m是需要选出的元素个数，An（2）从n个不同元素中取出m