弹性力学 课件 第7章 温度应力的平面问题

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12温度应力的平面问题ThePlaneProblemofTemperatureStress温度应力问题的提法01位移法求解平面直角坐标系下的温度应力问题02平面直角坐标系温度应力问题的位移势函数03极坐标系下的问题应力问题04极坐标系下轴对称稳定应力问题求解05楔形坝体中的温度应力06温度应力问题的提法01Whatistheproblemoftemperaturestress(a)体心立方体(bcc)(b)面心立方体(fcc)(c)六角晶格

如Fe,V,Nb,Cr如Al,Ni,Ag,Cu,Au如Ti,Zn,Mg,Cd热胀冷缩01对于固体物质，基本单元是由质点（原子或离子）构成的点阵晶格，这些质点在晶格点阵中围绕其平衡位置非简谐振动。当固体受热时，质点振动加剧，由于非简谐效应，质点的平衡位置发生移动，从而导致相邻质点间的平均距离增大，固体体积变大。反过来，当温度降低时，由于质点振动减弱，质点之间的平均距离减小，固体体积减小。这就是物体的热胀冷缩。线膨胀系数03温度应力02基本概念产生的条件：温度改变+受到约束作用，物体不能自由变形。自由物体不产生温度应力。含义：当弹性体的温度改变时，由于受到约束作用，造成不能自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。——称为温度应力或变温应力考虑一自由物体温度升高T后，对于任意微段，可用线膨胀系数来描述材料在温度下的变形能力，定义为

，表示单位长度温度升高1oC时的伸长量，量纲为

。本章不特殊说明时，T表述变温。变温下应变变化04基本概念对于各向同性材料，各方向上的线膨胀系数相同，因此，温度变化引起的应变分量为温度应力问题的物理方程可由考虑纯力作用下的变形叠加温度作用下的变形，为（这里，T表示变温）平衡方程和几何方程不受温度变化的影响05基本概念——平衡方程——几何方程热传导问题051822年傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier,1768-1830）发表了《热的解析理论》（TheAnalyticalTheoryofHeat），建立了热传导定律，热传导方程写为求解上述方程需要初始条件和边界条件，它们合称为边值条件。初始条件：初始时刻温度变化分布某些特殊情况下，温度均匀变化，也写为——这里，T表示温度场，求出t时刻温度场，与初始温度场作差，得变温场。从下一节开始T在不做特殊说明下，都表示变温。边界条件：初始时刻温度变化分布第一类边界条件，某边界面上第二类边界条件，某边界面上特殊情况

第三类边界条件，某边界面上第四类边界条件，某边界面上位移法求解平面直角坐标系下的温度应力问题02Displacementmethodforsolvingthermoelasticityprobleminaplanecartesiancoordinate1.平面问题的位移法01平面应力问题当图示等厚薄板，在同时受到外力和变温T作用，设温度和外力均不随板厚z方向变化，此时仍有：其代入物理方程，有：（6-16）

（c）xyyztba02平面应变问题图示无限长柱体，在同时受到外力和变温T

作用，设温度和外力均不随板厚z

方向变化，即：T=T（x，y）。

其代入物理方程，有（7-5）（7-4）比较平面应力情形式（7-4）1.平面问题的位移法2.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)已有条件：物理方程（应力－应变）仍需补充：几何方程（应变－位移），平衡方程（应力分量－体力分量），边界条件

总体思路：将所有的未知数都用位移分量来表示。2.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)（7-7）将其代入平衡方程（设fx=fy=0）用位移表示的平衡方程几何方程代入物理方程3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)用位移表示的边界条件

（7-7´）几何方程代入物理方程

（7-7）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（1）将式（7-7）与式（4-14）比较

（4-14）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（2）将式（7-7´）与式（4-15）比较

（7-7´）

（4-15）3.按位移求解温度应力的基本方程(平面应力)讨论：（3）由以上比较，得到结论：在一定的位移边界条件下，弹性体中由于变温引起的位移，等于温度不变而受有下列假想载荷作用时的位移（a）体力分量：（f）（b）面力分量：（e）或法向面力：（g）（4）温度应力的实验模拟：可由上述替换，通过加载荷的方法，代替加热。把一个热学与力学的耦合问题，转变为一个单纯的力学问题。（5）对于既有温度应力，又有其它载荷引起的应力时，需将两者叠加即可。平面直角坐标系温度应力问题的位移势函数03displacementpotentialfunctionofthermoelasticityprobeleminPlanecartesiancoordinate1.按位移求解的基本方程

——位移表示的平衡方程——位移表示的应力边界条件2.求解过程（1）求方程（7-7）的一组特解。（1）求出微分方程（7-7）的任一组特解，这组解只要求满足微分方程（7-7），而不必满足边界条件。（2）不计变温T，求出微分方程（7-7）的任一组补充解，然后将两组解叠加，使其满足全部边界条件。

（6-18）代入位移势函数

简化得到基本步骤2.求解过程

简化得到注意到，

、

均为常数，若取函数

满足下列微分方程：则平衡方程能满足。（7-9）再由（7-5），用位移特解表示的应力分量为：表明能作为一组特解。式（7-9）亦可表示为：（7-10）2.求解过程（2）不计变温T，求方程（7-7）的一组补充解。

对应于补充解应力分量（由应力分量式（7-6）得到）为：2.求解过程它必须满足位移边界条件；它必须满足应力边界条件。总的位移分量：总的应力分量：说明：①当温度变化函数T已知时，方程（7-9）：通常比较容易求解。但必须先求出温度变化场T。

（7-9）（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。

2.求解过程而通常用第三章中，应力函数解法来求解。把补充解的应力直接设为：（4-20）应力函数选取方法可参考第三章的应力函数选取内容。（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。

说明：2.求解过程（3）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件。说明：③对于平面应变问题，三个材料常数须作相应的替换。但对应于位移特解的应力分量仍可式（7-10）求得，即位移势函数

所满足的方程（7-9）变为：

（7-10）2.求解过程对于有变温作用的弹性力学问题求解思路：特解＋补充解②补充解应力函数法：③叠加将上述结果叠加，以满足边界条件。①特解引入位移势函数：例题：图示矩形薄板，发生如下变温：其中：T0

为常数。试求其应力分布。解：①求特解比较,得求位移势函数

判断右边只是y的函数，所示设得，所以，求特解应力分量：相应的应力分布：（7-10）（c）代入2.求解过程②求补充解补充解为对应其次方程得通解，此解作为特解的补充，其叠加后应满足无面力边界条件。因此，需要在边界上加与上述特解相反的面力，如图。

该问题中，当a、b大小相差不大时，其精确解难于求得，通常由数值方法求解。

应力分量为2.求解过程（3）叠加以满足边界条件显然，后三个边界条件是满足的，而第一个边界不能满足。借助于圣维南原理，应有：

边界条件：

（d）

2.求解过程（3）叠加以满足边界条件温度应力问题求解步骤小结

代回应力表达式，有：应力分布如图①由温度场的条件，确定温变函数T。

④叠加特解与补充解两部分应力（或位移），使其满足问题的边界条件。③不计温变T，求解平衡方程（6-18）的补充解（位移）或对应的力。可应用第三章的应力函数法。应力边界条件，由特解在边界上的面力加以负号来确定。极坐标系下的问题应力问题04Solvingthermoelasticityproblemusingpolarcoordinates1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程01物理方程设物体具有变温：总应变=温度变化引起的应变+温度应力引起的应变（平面应力情形）（用应力表示应变的物理方程）（用应变表示应力的物理方程）1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程02平衡方程，几何方程不变——平衡方程——几何方程位移法求解：设存在位移势函数

，

做如下推导

代入

导出

代入物理方程，得

1.极坐标下温度应力平面问题的基本方程代入平衡方程，得

代入

其中，

(7-14)根据式(7-14)，可得由上式确定的应力分量可作为温度应力的一组特解：此时，只满足了温度应力问题的基本方程，边界条件还没有满足。再叠加补充解满足边界条件。极坐标系下轴对称温度应力问题求解05Solvingaxisymmetricthermoelasticityprobleminpolarcoordinatesystem1.轴对称温度应力问题的求解

相应的位移特解：

对于轴对称问题，有

式中B为积分常数。2.轴对称温度应力问题的求解对应特解的应力分量为：说明：（1）对于平面应变问题，有：（2）若上述结果不能满足全部的边界条件，则需求对应于位移平衡方程的补充解，然后将两者的应力叠加以满足全部的边界条件。b.z方向的应力：a.材料常数须作如下替换：

替换为

替换为E替换为（6-32）一般由应力函数法求解这里：积分上限为

，但下限可以任意选取。取不同的下限，结果智慧相差一个常数，这个常数又可以通过A来调整。边界条件为：（a）（b）取r=a，得相应于位移特解的应力分量：对应于补充解的应力分量为：因为是轴对称问题，边界上面力为常量，故选满足相容方程的应力函数为（c）由上式中第一式可见，边界条件（a）不能满足，需求补充解。问题的提出分析第一步：特解第二步：补充解图示圆环，内半径为a

，外半径为b，发生轴对称的变温，即第三步：叠加将特解与补充解的应力分量两者叠加得总应力，有满足边界条件，并注意到：

（d）第一步：特解第二步：补充解第三步：叠加再将其代回应力分量式（d）,有对于长圆筒，则为平面应变问题。第一步：特解第二步：补充解（f）

E替换为

替换为

第三步：叠加

由式（h）给出的是维持平面应变的应力。这种情况仅在无限长圆筒或在两端受完全约束的有限长圆筒中才可能发生。（h）

第一步：特解第二步：补充解常量

可求得常数D

为:楔形坝体中的温度应力06Temperaturestressinwedge-shapeddambody问题的提出对于混凝土坝体，其温度场受混凝土硬化放热以及水温、气温变化的影响。分布复杂且随时间变化。一般情况下，该问题的求解比较困难。但对于简单的变温分布，可用函数求解。试求解如图坝体，假定变温在中心轴上为T=T0，在两边为T=0，

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

得位移势函数为：对应于特解的应力：利用p134(6-29)

y

x分析特解导致边界上的应力为：第二步，位移补充解（依据上述边界条件确定应力势函数）由特解在边界给出的均匀面力，为满足实际问题的边界条件（无面力），应取应力函数（考虑到对称性）：

应力分量为：解：第一步，位移势函数确定特解

y

x

边界条件：求解，得：所以：

第三步：叠加应力分量，并考虑边界条件所以：

其变温及温度应力分布如图所示：坝体内的最大拉应力为：第三步：叠加应力分量，并考虑边界条件另外一种温度场

y

x解：第一步，位移势函数确定特解

h其位移势函数

可设为：代入位移势函数，并写出应力分量为：

y

x

由此确定得边界条