2025年高考数学试题评析

一、2024年高考数学全国卷试题评析 1二、2024年高考数学全国卷试题精解 5全国甲卷(理科) 5全国甲卷(文科) 新课标I卷 附录一2023年高考数学全国卷 全国甲卷(理科) 全国乙卷(理科) 全国甲卷(文科) 全国乙卷(文科) 附录二2023年高考数学全国卷参考答案 一、2024年高考数学全国卷2024年高考数学全国卷持续深化考试内容改革，考主干、考能力、考素养，重思维、重创新、重应用，突出考查思维过程、思维方法和创新能力。新课标卷创设全新的试卷结构，减少题量，为学生预留充足的思考时间，加强思维考查，强化素养导向，为不同水平的学生提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才选拔，助推素质教育发展，助力教(一)依托高考评价体系，创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量，同时增加了解答题的总分值，优化了多选题的赋分方式，强化了考查思维过程和思维能力的功能。试卷题量减少能够增加学生的思考时间，学生不必过多地关注做题的进度和速度，可以更专注、更深入地思考，更从容地试错，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数新课标卷打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序。机动调整试题顺序有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力。引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力，灵活地整合知识解决问题。如新课标Ⅱ卷中，以往作为压轴题的函数题在试卷中安排在解答题的第2题；概率与统计试题加强了能力考查力度，安排在解答题的倒数第2题。又如新课标I卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，数列内容则结合新情境，安排在最后压轴题的量、试题难度之间的关系，统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量。应拔尖创新人才选拔需要。如新课标I卷第12题和全国甲卷理科第5方式，加强解答题部分对基本能力的考查，提升压轴题的思维量，突出析问题和解决问题的能力。如新课标I卷第19题以等差数列为知识背考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择基本方法大幅度简化计算过程；第二小问利转化为证明两条直线平行。试题充分体现了“多想少算”的设计理念，试题强化综合性考查，强调对原理、方法的深入理解和综合应用，学，培养学生形成完整的知识体系和网络结构。如新课标I卷第5题将题中考查了曲线的对称性的这一几何性质。又如新课标Ⅱ卷第6题，综合考查幂函数和余弦函数的性质；全国甲卷理科第9题将向量内容和常(三)加强考教衔接，引导中学教学标准的知识范围设定，特别是全国甲卷的文科试卷，回避了排列组合、高考数学通过创新试卷结构设计和试题风格，深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性。如新课标Ⅱ卷第8题给出的函数模型简单、基本，要求学生推断两个参数平不需要求导，不需要分类讨论，以创新设计考查学生真实的数学能力，而非刷题和训练的技巧。又如新课标I卷第14题、新课标Ⅱ卷第14题、全国甲卷理科第16题等试题不是考查学生记住了哪些知识点，而是突出考查学生的理性思维和探究能力，使得一些套路无用、模板失效，让死、2024年高考数学全国卷试题精解全国甲卷(理科)【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第1题若z=5+i,则i(z+z)=【试题分析】由z=5+i,z=5-i,得i(z+z)=i(5+i+5-i【试题亮点】试题以复数的基本运算作为考查点，考查内容回归【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第2题【试题】A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}【参考答案】D【考查目标】试题主要考查集合的表示方法以及全集、子集、交【试题分析】在全集A中的补集.试题立足基础，入手容易，体现出面向全体考生、【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第3题【试题】心心5的脉小面为【参考答案】D【考查目标】试题是带有约束条件的线性规划问题，考查考生对【试题分析】2=0,l₃:2x+6y-9=0.在直角坐标系中作出三条直线的草图，可得三条直线的两两交点.联立l₁与l₂,求得A(0,-1);联立l₂与l₃,求得B联立l₁与l₃,求得;由约束条件4x-3y-3≥0,可行域在l₁的右下方；由约束条件x-2y-2≤0,可行域在l₂的左上方；由约束条件2x+6y-9≤0,可行域在l₃的左A,B,C三点的取值，可得在点处，目标函数z取得最小思路2先根据约束条件做出可行域，然后用直线l:x-5y=k扫过可行域，l在x轴上的截距即为k的值.可以得出，l经过点A(0,-1)时，k取最大值5,l经过点【试题亮点】试题紧扣高中教学要求，选取简单的二元一次不等【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第4题【试题】【参考答案】B【考查目标】本题考查等差数列的概念、通项公式、前n项和等【试题分析】设等差数列{a}的首项为a₁,公差为d,则通项a=a₁+(n-1)d,前n项和.将a₅=a₁+4d,S₅=5a₁+10d,S₁₀=10a₁+45d低，面向全体考生，属于基本题，有利于稳定考生心态和增强考生自信心.试题设计简洁，问题明确，已知等差数列满读易懂，是常规性题目.试题强基础，考查等差数列及其通项公式、前n【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第5题2024年高考文科数学(全国甲卷)第6题【试题】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该A.4B.3【参考答案】c【考查目标】本题考查双曲线的概念、标准方程及其基本性质，【试题分析】思路1利用双曲线概念的几何定义.由题设知，c=4,故.正确选项为C..联立方程组得(a²-4)(a²-64)=0,解得a=2或.联立方程组得(b²-12)(b²+48)=0,可得b²=12,故a=2.利于考生设方程求解参数a或b,此为思路【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第6题【试题】设函数,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐口【参考答案】A【试题分析】由得曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线斜率为k=f'(0)=3,从而得切线方程为y=3x+1.该切线与两坐标轴的交点分别和(0,1),故切线与两坐标轴所【试题亮点】试题以函数曲线的切线问题为背景，考查了导数的度较低，计算量不大，重点考查了考生的基础知识和基本技能，考查了考生的必备知识和应用知识解决问题的能力，考查了考生的运算求解能力和逻辑推理能力.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第7题2024年高考文科数学(全国甲卷)第8题【试题】函数y=-x²+(e*-e*)sinx在区间[-2.8,2.8]的图像大致为1【参考答案】B【考查目标】本题考查初等函数的图像与性质，考查函数的奇偶性，考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.【试题分析】分析函数f(x)=-x²+(e*-e*)sinx的奇偶性.因为f(-x)=-x²-(e*-e*)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，选项A和选项C是错误答案.项B是正确答案，选项D是错误的.【试题亮点】初等函数是高中数学课程中的重要内容，函数图像是研究函数性质的重要工具.初等函数的奇偶性、单调性等是其基本性质.试题结合了指数函数、正弦函数和二次函数，考查考生对函数奇偶性的理解与掌握.本题中函数的单调性较为复杂，考生可以依据函数图像反推函数可能具备的性质，再结合函数的解析式，正确判断出函数图像.试题难度适中，突出了基础性考查.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第8题2024年高考文科数学(全国甲卷)第10题【试题】【参考答案】B【考查目标】试题考查考生对三角函数公式的掌握程度；考查考【试题分析】由,cosα≠0,分子、分母同除以cosα,得到关【试题亮点】试题以考生熟悉的形式呈现，题干简洁清晰，解法思路明确.在求解该题时，考生可以利用题设条件，直接求得角的正切果.本题既考查考生对三角公式的掌握，也考查考生在运用三角公式解【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第9题【试题】【参考答案】C【考查目标】本题考查向量的概念、两个向量垂直以及平行等相【试题分析】一方面，由已知，a⊥b等价于a·b=0,即x(x+1)+2x=0,解另一方面，由已知，a//b等价于2(x+1)=x²,解得x=1+√3或x=1-√3.因此x=1+√3是a//b的充分条件，不是必要条件，故选项B错误；x=1-√3是a//b的充分条件，而x=-1+√3不是a//b的充分故选项D错误.【试题亮点】本题通过向量将几何与代数有机结合起来，考查它们之间的逻辑关系，考查考生的逻辑推理素养.试题要求考生掌握推理的基本形式和规则，用逻辑语言表达数学对象，有逻辑地进行数学推理.本题难度不大，考查内容是考生熟悉的知识.本题四个选项中，选项A,C中涉及a⊥b,一般地，考生首先考虑通过向量的数量积将a⊥b转化为a与b的坐标之间的代数关系，得到关于未知量x的方程，解出x,然后判断x的取值与a⊥b之间的逻辑关系，从而得到正确选项C.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第10题2024年高考文科数学(全国甲卷)第11题【试题】②若mIn,则n⊥α或n⊥β【考查目标】试题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，以及构造反例的能力.【试题分析】命题①,若m//n,则n//α或n//β.因为m为平面α,β的交线，所以n不是两个平面的交线.n与两个平面α,β的位置关系有三种情不在平面α内，也不在平面β内.对三种情况分别应用定理：如果平面命题②,若mIn,则n⊥α或n⊥β.举出反例，正方体一个面的对角线AD₁和AB垂直，但AD₁和平面ABCD、平面ABB₁A₁都不垂直.命题②为假命题.命题③,过n做一个平面γ使γ//β,记l=α∩y,则I//n,l//m,故m//n.命题③为真命题.命题④,若n与α,β所成的角相等，则mIn.举出反例，正方体面的交线AB并不垂直.命题④为假命题.综上，命题①③是真命题，故选A.【试题亮点】试题以空间中的直线、平面的位置关系为背景，从空间元素共面、直线与直线、直线与平面的位置关系(垂直或平行等)出发，综合考查了立体几何的基础知识以及空间想象能力和逻辑推理能力.空间中线与线、线与面的垂直、平行关系是立体几何中重要的基础性内容，学生需要正确理解、熟练运用这些基础知识以解决相关问题.考生要由题中信息直观想象出相关图形，正确运用所学知识、定理进行判断，运用空间想象、逻辑推理等能力作出判定，同时，题目中有两个命题可以直接推证，而另外两个命题则需要考生构造反例，否定命题的结论，对考生的理解能力和空间想象能力提出了更高的要求.试题源于教材，贴近高中课程标准的要求，有一定的综合性，可以多侧面、多层次考查考生对相关知识的掌握程度，有效考查了考生直观想象、逻辑推理等数学核心素养.试题将多个设问进行组合，形成组合选择题，有利于发挥高考数学试题的选拔功能.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第11题【试题】则sinA+sinC=【参考答案】C【考查目标】试题考查解三角形的基本知识和方法，考查正弦定【试题分析】思路1首先利用正弦定理求出sinAsinC,再结合余弦定理求出得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-a ,由正弦定理及,因此若,同理可得【试题亮点】解三角形本质上是在三角形的正弦定理、余弦定理、从而求得三角形的全部或者部分度量关系.试题以三角形三边所满足的一个等式和一个定角为命制背景.与常见解三角形题目不同的是，本题中所给的三角形并不能由题目中的条件完全确定，而仅是一族相似三角形，所求问题也不是固定的边、角或面积等常见问题，而是两内角正弦的和.试题问法新颖，需要考生根据解三角形的知识综合判断和分析，重点考查了必备知识，深化了基础性，考生可以运用正弦定理和余弦定理，得到sinAsinC,进而求得sinA+sinC.试题结构简洁明确，指向性强，运算量适中，有助于打破复习备考中固定、僵化的训练模式，符合高考评价体系中的高考考查要求，有利于检测考生能力和素养的发展水【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第12题【试题】A.1B.【试题分析】大值.思路1由于a-2b+c=0,因此直线ax+by+c=0经过点P(1,-2).圆的方程整理为x²+(y+2)²=5,圆心为0(0,-2),半径R=√5.设0到思路2圆的方程整理后可知该圆的圆心为0(0,-2),半径R=√5.【试题亮点】直线和圆的位置关系与点到直线的距离公式是解析几何的基本知识点.试题将等差数列融入直线方程作为参数，具有创新性.解决问题的思路立足基础，将问题转化为计算弦心距的最大值后，利用平面几何的知识解决.试题体现了解析几何的基本思想，将方程信导作用.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第13题【试题】【参考答案】5【考查目标】本题考查二项式定理以及应用二项展开式解决与展【试题分析】由二项式定理..思路1对于k=1,2,…,10,有思路2对于有【试题亮点】试题依据有关二项式定理的内容和要求提炼加工而成，考查了考生对二项式定理的理解、掌握和正确运用.通过使用解题求解能力.试题设问明确，严格依据高中课程标准设题，充【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第14题2024年高考文科数学(全国甲卷)第14题【试题】已知圆台甲、乙的上底面半径均为r₁,下底面半径均为r₂,圆台甲、乙的母线长分别为2(r₂-r₁),3(r₂-r₁),则圆台甲与【参考答案】【考查目标】本题考查圆台的基本概念和基本性质，考查考生的【试题分析】如图所示，圆台的高AG=√AC²-(r₂-r₁)².因此，圆台甲的高为2√2(r₂-r₁).,所以圆台甲与乙的体积之比等于它们的高的比，故圆【试题亮点】试题设置简洁，设问清晰，考查考生的空间想象能力以及对圆台体积等基础知识的掌握.圆台是一个对称几何体，上下底面的半径和圆台的高确定了圆台的大小.试题给出了圆台母线的长，需要考生用母线得到圆台的高.根据母线与高的关系，通过勾股定理可以求出圆台的高，进而可以得出两个圆台体积的比.试题难度适中，注重【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第15题2024年高考文科数学(全国甲卷)第15题【试题】【参考答案】64【考查目标】试题考查对数、对数的换底公式、一元二次方程的【试题分析】因8与4均是2的方幂，故考虑利用换底公式将题目中出现的对数换成以2为底的对数，以方便运算和化简.设log₂a=t,由a>1可知解得t₁=6,t₂=-1,因log₂a>0,故log₂a=t₁=6,所以a=2⁶=64.【试题亮点】试题巧妙地将一个未知量放置在对数式的不同位置，等.换底公式是进行对数运算或化简对数函数表达式时的常用公式，试题考查了对基础知识的深入掌握以及灵活运【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第16题【试题】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n【参考答案】【考查目标】试题考查古典概率模型，考查概率的概念和计算；考查考生的计数能力以及运算求解能力、逻【试题分析】思路1从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a,b,c,设m为a,b的平均值，n为a,b,c的平均值，则有从6个球中无放回地随机取3次，每次取1个球，等可能的基本事la-b|=1时满足的基本事件有16个：(1,2,3),la-b|=2时满足的基本事件有8个：(1,3,2),|a-b|=3时满足的基本事件有12个：(1,4,2),la-b|=4时满足的基本事件有12个：(1,5,2),|a-b|=5时满足的基本事件有8个：(1,6,2),可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝思路2从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为c=1时满足的基本事件有2个；c=2时满足的基本事件有10个；c=3时满足的基本事件有16个；c=4时满足的基本事件有16个；c=5时满足的基本事件有10个；c=6时满足5的基本事件有2个.可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝思路3从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a+b=3时满足的基本事件有2个；a+b=4时满足的基本事件有2个；a+b=5时满足的基本事件有8个；a+b=6时满足的基本事件有8个；a+b=7时满足的基本事件有16个；a+b=8时满足b=10时满足的基本事件有2个；a+b=11时满足的基本事件有2个.可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝思路4从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a,b,c.A₁表示事件“a<b<c",A₂表示事件“b<a<c",A₃表示事件“c<A表示事件“m与n之差的绝对值不大'.则),P(A|A₅)=P(A|A₆)=1.A₁包含20个基本事件，A₁A包含4个基本事件，故则P(A)=P(B)=P(C),P(AUBUC)=1.由于AB=AC=BC=ABC=“a,b,c或b,a,c或a,c,b或c,a,b的等差数列”包含4种基本事件，因此P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC试题具有较好的开放性，解法多样，给考生提供了广阔的发挥空间.比如，考生可根据|a-b|的取值情况分类计数，也可根据c的取值情况分类计数，还可根据a+b的取值情况分类计数.此外，考生也可以运用事件的运算和概率的性质求得答案.试题的开放性还体现在试题的可扩何?如果是有放回地取出3个球，问题的答案又如何?试题有效地考查了【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第17题2024年高考文科数学(全国甲卷)第18题【试题】某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品甲车间0乙车间22优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能后抽取的n件产品的优级品率，如果,则认为该工厂【参考答案】优级品非优级品甲车间乙车间由于K²>3.841,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品又由于K²<6.635,所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优由,可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优【考查目标】试题考查列联表和独立性检验的统计思想、方法及【试题分析】(1)由题设数据可以得到列联表.由列联表中的数据，计算统计量K²的观测值，并与95%的分位数3.841作比较便可得结论：有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；与99%的分位数6.635作比较便可得结论：没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的存在差异.即可.【试题亮点】在工业生产中，智能化升级改造是提高产品质量和提高生产效率的重要举措.智能化升级改造后，产品质量是否有提高?级品作为产品质量指标，通过分析样本数据得出结论.试题设计的问题既有现实意义，也具有时代特色.试题考查了考生卡方检验的思想与方法便可得到答案.通过作答可以看出能有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，但没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.这里“有95%的把握认为甲、间产品的优级品率存在差异”的可靠性能达到95%,即得到该结论而犯错误的概率不超过5%."没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级在差异”的可靠性达不到99%,即若要求得出"甲、乙两车间产品的优级品率存在差异”之结论而犯错误的概率不超过1%,那么由现有样本还不能推断出结论：甲、乙两车间产品的优级第(2)问进一步要求考生作简单的统计推断，实际上借助了假设检验的基本思想.由于中学数学的统计知识有限用.由样本数据容易算得抽检的150件产品的优级品率为p=0.64,显然大于升级改造前的优级品率0.5,据此是否可以得出“生产线智能化升法.由于150件产品是随机抽取的，150抽检的150件产品的优级品率p相比于0.5较大的可能性会小.如果由升级改造后，产品的优级品率没有提高”,从而得出“生产线智能化升值c,使得当p>p+c时就否定前面的假设，即认为生产线智能化升级改线智能化升级改造后，产品的优级品率有提高.临界值c的确定需要应的n(n较大)件产品的优级品率p近似服从正态分布,从而,也就是说事件误的概率不大于5%.可见试题第(2)问实际上蕴含着丰富的统计思想，识解决问题的能力.试题设计的问题紧密联系生产实践，体对发展新质生产力的要求以及科技强国、教育强国建设的要求.试题很【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第18题【试题】(2)设bₙ=(-1)“⁻¹na,求数列{b。的前n项和T.【参考答案】【考查目标】本题考查数列的概念、等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力.【试题分析】(1)由已知，4a₁=4S₁=3a₁+4,解得a₁=4.(2)由(1)知ba=4n·3"-¹,故Tₙ=4(1·3°+2·3¹+…+n·3”-¹).所以T.=(2n-1)·3"+1.【试题亮点】等差、等比数列的概念、通项公式及前n项和是课【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第19题【试题】与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=【参考答案】四边形，故BM//CD,又因为BMC平因为BM=CD=AB,所以BG⊥AM,同又FB=2√3,所以FB²=BG²+FG²,即标系G-xyz,则F(0,0,3),M(0,1,0),B(√3,0,0),E(0,2,3),MB=(√3,-1,0),ME=(0,1,3),MF=(0,-1,3).设平面BMF的法向量n₁=(x,y,z),平面BME的法向量n₂=即即，,艮，可取n₂=(√3,3,-1).【考查目标】本题考查对简单几何体的认识，考查直线与直线、【试题分析】BG²+FG²,即FGIBG,所以FG,GD,GB则M(0,1,0),B(√3,0,0),C(√3,2,0),D(0,3,0),则MB=(√3,-1,0),CD=(-√3,1,0),故BM//CD,从而BM//CD,二面角F-BM-E等于二面角F-BM-A与D-BM-E之和的补角.作FG⊥AM,垂足为G,作EH⊥DM,垂足为H,二面角F-BM-A的余弦二面角F-BM-A的正弦值同理可得二面角D-BM-E的余弦值,正弦值所以二面角F-BM-E的正弦值为思路3综合法一直接法.在平面FBM中，作FG⊥BM,垂足为G.在平面EBM中，作GH⊥BM,交EB于H,连结FH,则∠FGH为二面角可知∠FBE=30°,所以由余弦定理有,cosZFGH=所以思路4综合法一直接法.在平面EBM中，取G为EB的中点，作GNIBM,垂足为N.在平可知BG=2,又所以思路5综合法一直接法.容易证明平面ADEF⊥平面ABCD.取N为BM的中点，在平面EBM中，作GN⊥BM交BE于G.在平面FBM中，作NH⊥BM交FB于H,则∠HNG为二面角F-BM-E的平面角.又,所以【试题亮点】本题主要围绕简单几何体的线线、线面和面面位置关系，以及简单几何体的度量关系设题.这些位置关系和度量关系是高中几何课程的重要内容，是考生进一步提升推理论证能力、空间想象能力和运算求解能力的重要载体.高考数学学科中的立体几何试题，不断丰富和深入揭示这些位置关系和度量关系，对于引导中学数学教学深化基础，以及选拔具有支撑未来学习能力的考生，都有重要的价值.试题结构层次清晰，设问合理，有利于考生的正常发挥.第(1)问中，证明直线与平面的平行关系，对于考生来说是熟悉的知识，所对应的论证方法也是考生熟悉的，仅需要找到满足判定定理的充分条件的直线即可.第(2)问要求计算一个二面角的正弦值，也是考生所熟悉的.求解此类问题大致有两类策略：第一类是建立空间直角坐标系，首先，求出各点坐标和有关向量的坐标表示；其次，计算两个平面的法向量的坐标表示；最后，求两个法向量的夹角.这类方法的重点是建立合适的空间直角坐标系，前提是找到三条两两垂直的直线.第二类是作出一个该二面角的平面角，利用余弦定理求出该平面角的余弦值.而一个二面角的平面角并不唯一，所以构造具体平面角的方法有多种多样.无论是第一类策略还是第二类策略，都需要考生具有较好的空间想象能力.【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第20题2024年高考文科数学(全国甲卷)第21题【试题】设椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F,点在C上，(1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两直线NB交直线MF于点Q,证明：AQ⊥y轴.【参考答案】(1)由题意得a²-b²=1,,解得a²=4,b²=3.所以C的方程(2)设直线AB的方程为y=k(x-4),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).得(4k²+3)x²-32k²x+64k²-12=0.由题设△=144(1-4k²)>0,所以,x₁≠1,x₂≠1.直线QB过所以直线QB的方程为因可得Q1,5-所以AQ⊥y轴.【考查目标】本题考查椭圆的基本概念和基本性质，考查椭圆的【试题分析】设直线AB与直线MF的交点为(1,t),则直线AB的方程为y=:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).因【试题亮点】圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，椭圆的性质和标准方程是考生熟悉的知识.试题以直线与椭圆的位置关系为背景，考查了考生的图形分析能力、运算求解能力和辩证逻辑思维能力.在考生依据题设画出参考图形后，要分析在图形的变化中谁是主动参变量，谁是变化的结果.不同的图形认知将导致不同的解题策略和解题思路.如果把直线AB的斜率k作为参变量，那么动点A,B和动点Q,都可以由参数k来确定，这就是思路1.选择直线AB与直线MF的交点的试题中的点P和直线MF具有深刻的数学意义.事实上，点P和直线MF关于给定的椭圆是极点和极线的位置关系.如图所示，点P关于⊙0的切点为M,连结OP,过M作OP的垂线，垂足为F,则直线MF果，压缩直线必须是圆心与点P的连线.椭圆的任意一对极点和极线，试【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第21题【试题】【参考答案】【考查目标】试题使用对数函数、多项式函数构造了所要研究的考查要求，利用导数就能得到函数的单调性，从而求得极值.试题的【试题分析】(1)先求出f(x)的导函数，利用导函数分析极值点.当a=-2时，f(x)=(1+2x)In(1+x)-x,f(x)的定义域为(-1,+0).求导得故f'(x)<0;类似可知，当x>0时，f'(x)>0.故f(x)在区间(-1,0)单调递减，在区间(0,+)单调递1-ax<0,这样不符合要求.若a=0,则f(x)=In(1+x)-x,在x较大时，有In(1+x)<x(事实上，对所有x>0,该不等式都成立).例如，取x=1,有ln2<1,因而f(1)<0,不符合要求.以下考虑a<0.则,①若则当x>0时，F'(x)>0,故F(x)在区间(0,+0)单,②,可得F(x)在区间单调递减，而F(0)=0,【试题亮点】试题将对数函数与一次函数结合起来，构成所研究识以及利用导数研究函数性质的方法.试题设计的函数形式简单，但对利用导数研究函数性质的通性通法考查得较为全面，既考查了分类讨论的思想、化归与转化的思想，又考查了考生寻找合适的辅助函数以解决有关问题的能力.试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到了考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第22题2024年高考文科数学(全国甲卷)第22题【试题】在直角坐标系x0y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=pcosθ+1.(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线l:(t为参数),若C与l相交于A,B两点，且【参考答案】x²+y²=x²+2x+1,即C的直角坐标方程为y²=2x+1.(2)由已知得l的直角坐标方程为y=x+a.设A(x,y),B(x2,y₂),由得x²+2(a-1)x+a²-1=0,故x₁+x₂=2(1-a),x₁x₂=a²-1,(x₁-x₂)²=8-8a,于【考查目标】本题考查简单曲线的极坐标与直角坐标的转换关系，【试题分析】(1)由极坐标与直角坐标的转换公式x=pcosθ,y=psinθ可得√x²+y²=x+1,化简得C:y²=2x+1.代入y²=2x+1得(t+a)²=2t+【试题亮点】试题考查极坐标和参数方程的基本知识、方法和技【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第23题【试题】已知实数a,b满足a+b≥3.(2)证明：la-2b²|+|b-2a²|≥6.【参考答案】a+b.因此2a²+2b²>a+b.=(a+b)(a+b-1).【考查目标】试题考查基本不等式和绝对值的性质，考查考生对置的，第(2)问在第(1)问的基础上进一步提高，体现了一定的选拔作用.【试题分析】由已知a+b≥3,可知(a+b)²>a+b.因此2a²+2b²>a+b.思路2由基本不等式a²+1≥2a,同理b²+1≥2b.再结合条件得2a²+2b²≥(2a-1)+(2b-1)=2(思路3设a+b=t,固定t≥3,左边转化为关于a的一元二次函数，求出最小值后再与右边比较.由于第(1)问结论的启发，直接去掉绝对值，我们有|a-2b²|≥2b²-a,思路1由基本不等式a²+b²≥2ab可得2a²+2b²≥(a+b)².又a+b≥3,故2a²+2b²-(a+b)≥(a+b)²-(a+b)=(a+b)(a+b-1)≥6.细地进行估计，便得到第(2)问的答案.两问的设计非常合理，第(1)问既给了考生部分得分的机会，也对第(2)问提供了适当的提示.全国甲卷(文科)【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第1题【试题】A.-2B.-√2【参考答案】D【考查目标】试题考查复数的概念、复数的基本运算.试题较为基【试题分析】思路1zz=|z|²=2,故选D.思路2因z=-√2i,所以zz=√2ix(-√2i)=2.【试题亮点】试题以复数的基本运算作为考查点，考查内容回归【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第2题【试题】A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}【参考答案】C【试题分析】【试题亮点】集合是数学的基本概念.试题以列举法给出集合A,用描述法给出集合B,首先根据集合B的构成，求出集合B={0,1,2,3,4,8},然后求集合A,B的交集.试题立足基础性，容易入手，【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第3题【试题】【参考答案】A【考查目标】本题考查向量的概念、向量的运算以及向量共线等基础知识.【试题分析】故选项A正确.【试题亮点】向量是连结代数与几何的桥梁之一，能将几何问题【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第4题【试题】日口【参考答案】C【考查目标】本题考查古典概型和古典概率计算，同时考查考生【试题分析】(甲，乙，丙，丁),(甲，乙，丁，丙),(甲，丙，乙，丁),(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，乙，丙),(甲，丁，丙，乙),(乙，甲，丙，丁),(乙，甲，丁，丙),(乙，丙，甲，丁),(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，甲，丙),(乙，丁，丙，甲),(丙，乙，甲，丁),(丙，乙，丁，甲),(丙，甲，乙，丁),(丙，甲，丁，乙),(丙，丁，乙，甲),(丙，丁，甲，乙),(丁，乙，丙，甲),(丁，乙，甲，丙),(丁，丙，乙，甲),(丁，丙，甲，乙),(丁，甲，乙，丙),(丁，甲，丙，乙),件有8个：(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，丙，乙),(乙，丙，丁，甲),(乙，(丁，乙，丙，甲),(丁，丙，乙，甲),(丁，丙，甲，乙),(丁，四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有24个，事件A包含的基本事件有4个，故类似地有由于事【试题亮点】试题情境为考生所熟悉，简单、易懂.考生只要掌握了计数的基本原理和法则便可求得问题的答案.试题设计充分体现了重基本能力，体现了对核心素养与关键能力的考查.试题考查的知识法都很基础，对考生稳定考试心态起到积极作用.考生通过对【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第5题【试题】AA【参考答案】B【试题分析】设等差数列{a}的首项为a₁,公差为d,则通项a=a₁+(n-1)d,前n项和.所以a₃+a₇=2(a₁+4d),S,=9(a₁+4d),从属于基础题.等差数列{a}完全由其首项a₁与公差d确定.设no,n₁,n₂是3个正整数，则S,an,+an均可由a₁和d表示出来.仅有S的关，则可由S的值求出a,+a·当no=n₁+n₂-1时，由S,=n。得特别地，n₀=9,n₁=3,n₂=7满足.本题通过计算得到a₃【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第9题【试题】直线2x-y-2=0与圆x²+y²-6x-8y=0交于A,B两【试题分析】思路1可以利用圆心到直线的距离来求弦长.圆的方程整理为(x-3)²+(y-4)²=25,故圆心为0(3,4),半径R=5.圆心0到直线AB的距离为直线AB恰好经过圆心，从而AB是直径，思路2可以联立方程组，通过求解A,B的坐标来求弦长.将y=则xA+xg=6,xAxg=4.从而(xA-xg)²=(xA|AB|=√(x₄-xg)²+(ya-yg)²=√20【试题亮点】本题是常规的直线与圆的解析几何问题，既可以考计算量也不大.试题考查较为基础，引导考生注重对基础知识的扎实掌握.【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第13题【试题】【参考答案】2【考查目标】试题考查考生对三角公式及三角函数知识的掌握程【试题分析】思路1将其化为f(x)=Asin(wx+φ)的形式，根据自变量的取值区最大值2.思路2利用函数的导数，求出f(x)在区间(0,π)上的极值，并与f(x)在端点x=0和x=π处的函数值进行比较，即可求出f(x)的最大值.因为f'(x)=cosx+/3sinx,令f'(x)=0,即cosx+√3sinx=0,在区故f(x)的最大值为2.清晰，解法多样.在求解该题时，考生可以利用题设条件，将所给数的最值.本题考查了考生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第16题【试题】当x>0时，曲线y=x³-3x与曲线y=-(x-1)²+a有两个交点，则a【考查目标】试题以含参数的幂函数为情境，研究了曲线交点问题，考查了基本初等函数的导数、二次函数、三次函数的图像、极值点、零点问题.本题考查了考生的逻辑推理能力、化归与转化的能力，以及综合运用函数、导数、不等式解决数学问题的能力.【试题分析】思路1曲线y=x³-3x是三次函数的图像，其性质和特点完全确定.函数y=x³-3x有三个零点，分别是x=-√3,x=0,x=√3.有两个极值点，分别是极大值点x=-1,极大值为2;极小值点x=1,极小值为-2.函数的表达式y=-(x-1)²+a中含有参数a,所以函数图像的位置是不确定的.但其图像以x=1为对称轴，在x=1处取得最大值a.所以其最大值点与函数y=x³-3x的极小值点重合，都为x=1.题设条件为当x>0时，曲线y=x³-3x与曲线y=-(x-1)²+a有两个交点，即两条曲线在y轴的右边有两个交点.首先考虑在x=0的情况，函数y=x³-3x在x=0时，函数值为0,为使两条曲线有两个交点，函数y=-(x-1)²+a在x=0时的函数值应该小于0,即-1+a<0,所以a<1.再来考虑两个函数在极值点x=1的情况，当x=1时，函数y=x³-3x取得极有交点.综上，a的取值范围是(-2,1).零点.f'(x)=3x²+2x-5,令f'(x)=0得或x=1,x=1是函数f(x)的极小值点.当x>0时函数f(x)有两个零点的充要条件是f(0)>0且f(1)<0.据此得1-a>0且-2-a<0.所以a的取值范围是(-2,1).【试题亮点】维.试题体现基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第17题【试题】(2)求数列{S,}的前n项和.【参考答案】【考查目标】n【试题分析】(1)思路1利用作差Sn+1-S=a+1消去题目条件中的S,从而得到下面求出首项a₁.由已知得2a₁=2S,=3a思路2设出首项和公比，利用条件求解方程组.设首项为a₁=a,公比为q,由条件得2a=2S₁=3a₂-3=3aq-3,2(a+aq)=2S₂=3a₃-3=3aq²-3,两式相减得2aq=3aq(q-1).显然aq≠0,故,a=1,【试题亮点】列部分的重要内容.本题给出等比数列的前n项和与数列第n+1项的关的理解和掌握.试题易于理解，考查主干知识，突出基础性，着重考查理性思维素养和运算求解能力.同时，本题作为解答题的起始题，注重【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第19题【试题】AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3,M为AD的中点.【参考答案】(1)由题意知MD=2,BC=2,MD//BC,所以四边形BCDM为平行四边形，故BM//CD,又因为BMC平面CDE,所以BMBG,FM,因为BM=CD=AB,所以BG⊥AM,同理FG⊥AM.由已知可得BG=√3,FG=3,又FB=2√3,所设M到平面FAB的距离为h,故三棱锥M-FAB的体积又因为三棱锥F-AMB的体积为,可得【考查目标】本题考查对简单几何体的认识，直线与直线、直线【试题分析】面CDE,充分条件是找到一条在平面CDE上的直线与BM平行.根据题(2)思路1等体积方法.三棱锥M-FAB的体三棱锥F-AMB的体积.容易求得思路2综合法一直接法.作MN⊥GH,垂足为N,则MN为M到平面FBA的距离.面FBA的距离.【试题亮点】试题取材于简单几何体的线线、线面和面面位置关系，以及简单几何体的度量关系，这些位置关系和度量关系是高中几何试题分层设问，设置合理.第(1)问中，对于证明直线与平面的平行关系，以及所对应的论证方法，考生较为熟悉，仅需要找到满足判定定理的充分条件的直线即可.对于绝大多数考生而言，第(1)问容易上手.出点到平面的距离.无论是第一类策略还是第二类策略，都需要考生具【试题出处】2024年高考文科数学(全国甲卷)第20题【试题】【参考答案】,则设函数即g(x)在(1,+0)单调递减.由于g(1)=0,在(1,+0)单调递减，【试题分析】f(x)的定义域为(0,+0),若a≤0,则f'(x)<0,故f(x)在(0,+0)单调递减；(2)要证明f(x)<e*-¹,等价于证数g(x)=a(x-1)-Inx+1-e-¹.由于g(1)=0,希望证明当x>1时，g'(x)<0,从而g(x)在(1,+0)单调递减，便得结论成立.思路1直接从g'(x)的表达式中观察出g'(x)<0并不容易，由故h'(x)<0,从而h(x)=g'(x)在(1,+0)单调递减.当x>1时，g'(x)<g'(1)=0.思路2如果熟悉指数函数的放缩，也可以先证明，当x>1时，时，h'(x)>0,所以h(x)在(1,+0)单调递增，故h(x)>h(1)=0,即新课标I卷【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第1题【试题】已知集合A={x|-5<x³<5},B={-3,-1,0C.{-3,-1,0}【参考答案】A【考查目标】试题借助常见函数y=x³,主要考查集合的表示方法、集合交集的概念及运算、不等式解集的概念，以及不等式的简单运算.立足基础性，考查基本的逻辑推理能力和数学运算能力.【试题分析】列举法和描述法是两种常见的表示集合的方法，前者将集合的所有元素一一列举出来，后者则利用集合中全部元素的共同特征来表示集合.试题用上述两种方法分别表示两个集合，并在此基础上求解这两个集合的交集：集合A与B的交集，即A∩B,由所有既属于A、又属于B的元素组成.思路1代入验证.此，我们只需要验证这5个元素有哪些同时属于A.简的三次方，容易得到：-3,2,3≠A,-1,0∈A.所以A∩B={-1,0},思路2排除法.考虑到这是一道单项选择题，结合思路1,实际上并不需要计算集取x=-3可判断出选项C不正确.因此正确选一方面，前述两种思路均是从集合B入手，这是自然的，因为B中元素共有5个，是一个有限集，而A中元素有无限个；另一方面，我们也可以从集合A出发，通过求解不等式的解集，分析A的等价表示方法.由三次函数性质得，不等式-5<x³<5成立的充要条件是-³/5<x<5,于是A={x|-³5<x<³5|.注意到1</5<2,可知属于开区间(-/5,³√5)的B中元素只有-1和0,这意味着A∩B={-1,0},故选A.造新的集合A'={x|-8<x³<8}.对于任意实有-8<x³<8,因此由定义知A是A'的子集，即ACA',进一步有A∩BCA'={x|-8<x³<8|={x|-2<x<2},B={-3立刻得到A'∩B={-1,0}.因此A∩BS{-1,0},观察题目选项可知应当选A.【试题亮点】试题表述简洁规范，分别使用描述法和列举法给出了两个集合，其中描述法涉及的是常见的三次合的交集.集合的概念和基本运算是中学数学的基础内容和必备知识，(1)贴近教材，突出基础性要求.本试题要求学生对教材中的知识融会贯通，并能熟练地加以运用.科学引导中学教学，促进教考衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习，落实高考评价体系重通性通法，展现学生的思维过程.本试题求解集合的交集，既可以对有限集B中元素是否属于A进行逐一验证，也可以分析A中元素共同满(3)集合是数学的基本概念和研究对象.本试题作为整套试卷的第1题，以学生最熟悉的知识呈现，考查基础内【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第2题【参考答案】C【考查目标】试题以复数为素材，考查对代数形式表示的复数的【试题分析】思路1直接解方程可得(1+i)(z-1)=z,故iz=1+i,解得z=1-i.所以选C.思路2利用比例性质求解.可知即得,故选C.设z=x+yi(x,y∈R).由已知可得x+yi=(x-1+yi)(1+i)=(x-y-1)+(故x=x-y-1,y=x+y-1,解得x=1,y=-1.所以z=1-i,正确选项是C.【试题亮点】试题把复数的概念、复数的代数表示法及其基本运算作为考查的重点，体现了课程标准对复数学习的基本要求.只要学生【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第3题【试题】已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=【参考答案】D【试题分析】知b-4a=(2,x-4),b·(b-4a)=x²-4x+4=0,故x=2,故正确选项思路2排除法.其次，取x=-2,可得b=(2,16≠0,b与b-4a不垂直，所以选项A不正确.分别取x=-1和x=1同样可得b与b-4a不垂直，故选项B和C均不正确.因此正确选项是D.【试题亮点】向量是数学研究的重要对象和工具和几何量之间的关系，也可以利用代数关系赋予几何直观严格的论证.项.不同思维能力层次的学生都可以通过自己熟悉的方法来解决问题.试题立足基本概念和方法，属于简单题目.试题设置能让学生增强自信【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第4题【试题】已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=【参考答案】A【考查目标】本题考查三角函数的恒等变形以及两角和与两角差【试题分析】设cos(α-β)=n,则有cosαcosβ+sinαsinβ=n.解得n=-3m.解得n=-3m.思路3特殊值法.令β=α,则cos2α=m,tan²α=2.故此时cos(α-β)=1=-3m.【试题亮点】三角函数的恒等变形以及两角和与两角差公式是高【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第5题【试题】则圆锥的体积为A.2√3πB.3√3πC.6√3π【参考答案】B【考查目标】试题以基本立体图形圆柱和圆锥为主干，主要考查两种图形侧面积、体积的计算，以及圆柱或圆锥中母线、高、底面半径之间的关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力.【试题分析】解题思路圆柱和圆锥是中学阶段系统学习的两种基本立体图形，不论是在理论分析，还是在实际生活中，都十分常见.圆柱可看作以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体；圆锥则可看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体.它们的体积公式、表面积公式、侧面积公式，均由相应的高、底面半径、母线长等参数给出.2πr柱l柱，其中h柱，r柱，l柱分别代表圆柱的高、底面半径、母线长.对圆柱而言，显然有h柱=l柱·圆锥的体积,表面积S=πrm(ra+维),侧面积Sm,锥=πr锥l锥，其中h锥，锥，l锥分别代表圆锥的高、底面半径、母线长.对圆锥而言，我们有知将上两式代入(*),得到r锥=3,于是总的来说，首先，已知圆锥的高，为求圆锥的体积，只需先求圆锥的底面半径，由圆锥的高、底面半径、母线长之间的关系知，又只需求圆锥的母线长；其次，根据条件圆锥与圆柱的侧面积相等，底面半径相等，得到圆锥母线与圆柱母线的长度关系；最后，由圆柱的高得到圆柱的母线长，从而回答了开始的问题.解法过程自然，思路清晰.【试题亮点】试题面向全体学生，聚焦基本立体图形.圆柱和圆锥的概念、基本几何性质、体积和面积等公式，均属于中学数学的基础内容和必备知识，属于学生熟悉的知识范畴，具体来说，本试题包含如下诸多亮点.(1)准确把握课程标准，重视数学核心素养.试题关注学生学习实际，以立体图形的常见几何量为题干，摈弃偏、难、怪题，在空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等方面对学生作了基础性考查，对引导中学数学教学起到了积极的导向作用；充分体现了高考评价体系与高中课程改革的理念衔接契合，与高中育人方式改革同向同行，进一步(2)试题给出了两个图形的三组等式关系，要求学生在熟练掌握圆柱、圆锥的基本性质及体积、面积公式的基础上，正确分析各个题设条件所蕴含的结论.试题深入考查了学生高质量地认识问题、理解问题、分析问题所必须具备的关键能力，引导学生将所学知识迁移到新情境，【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第6题【试题】已知函在R上单调递增，则a的取值【参考答案】B【试题分析】又-x²-2ax-a=-(x+a)²+a²-a,故函数y=-x²-2ax-a在x<0时单调递增，当且仅当a≤0,此时函数y=-x²-2ax-a的取值范围是(-0,-a).思路2排除法.由-x²-2ax-a=-(x+a)²+a²-a可知，二次函数y=-x²-2ax-a的图像边，所以函数y=f(x)在区间(-0,0)上不是单调递增的.故选项C,DR上单调递增矛盾.故a≠-2,选项A不正确.【试题亮点】试题以学生熟悉的指数函数、对数函数与二次函数【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第7题【试题】A.3B.4【参考答案】c【考查目标】试题主要考查三角函数的图像与性质，以及形如y=【试题分析】思路1作图求解.作图可得两条曲线交点个数为6.如果注意到sin(x+π)=-sinx,现有3个交点后，即得交点总数为6.故选C.;由-1单调递增到1;x从0增长到时，由-1单调递增到1;由1单调递减到-1;由1单调递减到-1;由-1单调递增到1;由1单调递减到-1;由-1单调递增到1;由-1单调递增到1;由1单调递减到-1;由-1单调递增到1;增长到时，由1单调递减到-1.由于当时，3√3>1,而I(sinx)'|=|cosx|≤1,所以在上述每一个区间中，要么单调递增，要么单调递减.又因为在上述每一个区间中，的值或者是从负变到正，或者是从正变到负，所以在每个区间中两个函数的图像都恰有1个交点，因此交点总数为6.故选C.【试题亮点】本题体现了试题“回归教材”和“多想少算”的设生按照作图方式作图后便可得到正确答案.熟悉函数与导数的学生也可数得到正确答案.题目中所涉及的三角函数是学生熟悉的，即便学生没猜测出正确答案.本题作为单选题第7题，不论使用哪种做法，难度都【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第8题【试题】A.f(10)>100B.f(20)>1000【参考答案】B【考查目标】试题主要考查学生对抽象函数的理解，对斐波那契【试题分析】思路1递推.f(5)>3+5=8,f(6)>5+8=13,f(7)>8+13=2f(3)=3.01,f(4)=5.02,f(5)=8.f(7)=21.16,f(8)=34.32,f(9)=5610+987>1000.容易看出f(17),f(18),f(19),f(20)均大于1000,选项B正确.思路2先构造反例.由于无法得到较大的f值的上界，所以选项C和选项D一定错误，对于选项A和选项B,可以通过比较来排除.首先容易看出f(3),100,所以f(12)>f(11)+f(10)>200.同理可得f(13)>300,f(14)>故选B.【试题亮点】本题的递推与构造部分和斐波那契数列相关.斐波那查了“常用逻辑用语”部分的内容.学生需要理解，在仅前提下是无法推出f(10)和f(20)的上界的.熟悉逻辑推理和不等式的学考题.本题以函数和斐波那契数列为载体，可的取值.本题作为单选题的最后一题，有一定的区分度，同时不会消耗【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第9题【试题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s²=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.1²),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s²),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ²),则P(Z<u+o)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5【参考答案】BC【考查目标】试题从实际应用背景入手，主要考查正态分布的基本性质，包括正态密度函数、正态密度曲线的特点，从一般正态分布到【试题分析】其中μ∈R,σ>0.特别地，当X~N(0,1),即μ=0,σ=1时，称X服P(Z>μ+t)=P(Z<μ-t),σ)≈0.8413,因此有P(Z>μ-o)≈0.8413.P(X<1.8+0.1)=P(X<1.9)P(X>1.9)≈1-0.8413=0.1587.若X>2,则X>1.9,故P(X>2)≤P(X>1.9),所以选项B正确，选项A错误.2)≈0.8413,所以选项C正确，选项D错误.设ξ~N(0,1),记中为ξ的分布函数，即对任意x∈R,Φ(x)=所述，如果Z~N(μ,o²),令,则有Z'~N(0,1),进而).于是，题设所给条件“若随机变量Z服从正态分布N(μ,o²),则P(X>2)=P(X'>2)=1-Φ(2).注意到φ(2)≥φ(1),所以P(X>2)≤1-Φ(1),而Φ(1)≈0.8413,故选项B正确，选项A错误.对于Y~N(2.1,0.1²),令,则有Y'~N(0,1),因此P(Y>2)=P(Y'>-1)=1-Φ(-1)=Φ(1).P(Z>μ+t)=P(Z<u-t)<0.5,=90-P(Z>μ-t)=P(Z<μ+t)>0.50.2)<0.5;同理，选项C中，Y~N(2.1,0.1²),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)>0.5.选项B和C正确.断，也就是在对称性之外，还需用到Φ(1)≈0.8413或其他类似条件.【试题亮点】试题由实际生产生活场景引出，通过抽样调查的方的理想信念(2)突出基础性要求，助力“双减”政策落地.高考“四翼”考查校继续学习发展提供可靠的基础支撑.本题探讨的正态分布及其基本性选项C和D关注概率P(Y>2),不同选项的推理方法可以相互启发和学思维的考查，减轻了学生的运算负担，符合“双减”政策的改革理念.【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第10题【试题】【试题分析】f'(x)=3(x-1)(x-3).解f'(x)=0得x₁=1,x₂=3.当x<1在区间(3,+)思路1当0<x<1时，0<x²<1,x>x²,故由f(x)在区间(0,1)单调思路2令函数g(x)=(x+1)²(x²-4)-(x-4).则f(x²)-f(x)=1)+3x(x-1)-2<0,故g(x)在区间(0,1)单调递减，所以g(x)<g(0)=0,即f(x)>f(x²).思路1当1<x<2时，1<2x-1<3,由f(x)在区间(1,3)24(x-1)(x-2)<0,故g(x)在区间(1,2)单调递减，又g(1)=0,个单位长度得到.故g(x)在区间(1,2)单调递减，又g(1)=0,g(2)=-4,所以-4<f(2x-1)<0.思路1当-1<x<0时，2<2-x<3,由f(x)在区间(-1,0)单调递增，且在区间(2,3)单调递减知-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x).思路2函数f(2-x)的图像和函数f(x)的图像关于直线x=1对称，由f(x)在区间(-1,0)单调递增，且在区间(2,3)单调递减知f(x)<思路3令函数g(x)=f(2-x)-f(x)=2(1-x)³.则当-1<x<0【试题亮点】本试题以学生熟悉的三次函数为载体，重点考查函大小，还可以通过构造新函数直接比较大小，体现了少算多想的命题指导思想.【试题出处】2024年高考数学(新课标I卷)第11题【试题】设计一条美丽的丝带，其造型卜可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点0,且C上的点满足：横坐标大于-2;到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.则C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1【参考答案】ABD【考查目标】试题考查曲线与方程内容中求曲线的方程以及根据方程研究曲线的性质.本题考查运算求解能力，数形结合和化归与转化的思想.【试题分析】设(x₀,yo)为曲线C上的点，则有|x₀-al√(x₀-2)²+y?=4.因为曲线C过坐标原点0,所以0(0,0)符合上述方程，带入得la|=2,又a<0,所以a=-2.又C上的点的横坐标大于-2,故曲线C的