第四章 三角形 第3节 全等三角形 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第3节全等三角形

回归教材·过基础

【知识体系】

【考点清单】

知识点1全等三角形的概念

定义

能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形;

全等三角形△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等

于三角形DEF”

对应边AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边

基本元素对应顶点点A和点D,点C和点F,点B和点E是对应顶点

对应角∠A和∠D,∠C和∠F,∠B和∠E是对应角

知识点2全等三角形的性质与判定

(1)全等三角形的对应边、对应角①.

全等三角

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高②.

形的性质

(3)全等三角形的周长、面积③

ASA(两角

SAS(两边和它们

SSS(三边对和它们的夹AAS(两角和其中一个

一般三角的夹边对应相

应相等)边对应相角的对边对应相等)

形全等等)

三角形全等)

等的判定

(1)斜边和一条直角边对应相等(HL).

直角三角

形全等

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS、ASA和AAS

技巧提示

1.对应顶点应找对,书写应按顺序对应;2.注意公共边、公共角这些重要的隐含条件的应用.

【基础演练】

已知在△ABC和△DEF中,AB=DE,请回答相关问题.

(1)将两个三角形按图1所示方式放置.

①若AB⊥BF,DE⊥BF,BE=CF,求证:△ABC≌△DEF.

证明:∵AB⊥BF,DE⊥BF,

∴∠ABC=∠DEF=90°.

∵BE=CF,

∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

在△ABC和△DEF中,

AB=DE,

∠ABC=∠DEF,

∴B△C=ABECF,≌△DEF(SAS).

判定依据:.

②若∠A=∠D,∠B=∠DEF,求证:△ABC≌△DEF.

证明:在△ABC和△DEF中,

∠A=∠D,

AB=DE,

∴∠△B=AB∠CD≌EF△,DEF(ASA).

判定依据:.

(2)将两个三角形按图2所示方式摆放(点D,F分别和点A,C重合).

①添加一个条件:,利用SSS使得△ABC≌△DEF,并写出证明过程.

②添加一个条件:,利用HL,使得△ABC≌△DEF,并写出证明过程.

(3)将两个三角形按图3所示方式摆放,∠B=∠E=∠ACF,求证:△ABC≌△DEF.

真题精粹·重变式

考向1全等三角形的性质与判定6．年．3．考．

1.(2023·福建)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.

2.(2022·福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,求证:∠A=∠D.

3.(2021·福建)如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且

DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.

热点训练

4.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,OB,OC上的点,D,E,F不与O点重合,连接ED,EF,若

添加下列条件中的某一个,就能够使△DOE≌△FOE,你认为要添加的条件是()

A.OD=OE

B.OE=OF

C.∠ODE=∠OED

D.∠ODE=∠OFE

考向2特殊四边形背景下的全等三角形6．年．3．考．

5.(2024·福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.

6.(2020·福建)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.求证:∠BAE=∠DAF.

7.(2019·福建)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的一点,且DF=BE.求证:AF=CE.

热点训练

8.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求

证:OE=OF.

参考答案

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考点清单

①相等②相等③相等

基础演练

(1)①两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

②两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

(2)①BC=EF证明:在△ABC和△DEF中,

BC=EF,

AB=DE,

∴A△C=ABDCF≌,△DEF(SSS).

②∠ABC=∠DEF=90°证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,

AC=DF,

∴A△B=ABDCE≌,△DEF(HL).

(3)证明:∵∠ACE=∠A+∠B,∠ACE=∠ACF+∠FDE,∠B=∠ACF,

∴∠A=∠FDE.

在△ABC和△DEF中,

∠A=∠FDE,

AB=DE,

∴∠△B=AB∠CE≌,△DEF(ASA).

真题精粹·重变式

1.证明:∵∠AOD=∠COB,

∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,

即∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中,

OA=OC,

∠AOB=∠COD,

∴O△B=AOOBD≌,△COD(SAS),∴AB=CD.

2.证明:∵BF=EC,

∴BF+CF=EC+CF,

即BC=EF.

在△ABC和△DEF中,

AB=DE,

∠B=∠E,

∴B△C=ABECF,≌△DEF(SAS),∴∠A=∠D.

3.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,

∴∠BFD=∠CED=90°.

在△BDF和△CDE中,

BF=CE,

∠BFD=∠CED,

∴D△F=BDDFE≌,△CDE(SAS),∴∠B=∠C.

4.D

5.证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,∠B=∠D.

在△ABE和△ADF中,

∠B=∠D,

∠AEB=∠AFD,

∴A△B=ABAED≌,△ADF(AAS),

∴BE=DF.

6.证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴∠B=∠D,AB=AD.

在△ABE和△ADF中,

AB=AD,

∠B=∠D,

∴B△E=ABDEF≌,△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF.

7.证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠D=∠B