第七章 图形的变化 章节构建一 实践能力：尺规作图 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

章节构建一实践能力:尺规作图回归教材·过基础【知识体系】【考点清单】知识点尺规作图常考尺规作图定义在几何里,把限定用无刻度的直尺和圆规来画图,称为尺规作图(需要保留作图痕迹)作一条线段等于已知线段(1)先画一条射线;(2)用圆规量出已知线段的长;(3)再在射线上用圆规截取一条线段等于已知线段作一个角等于已知角(1)作一条射线作为角的一边;(2)在已知角上构造一个以该角为顶角的等腰三角形;(3)在所作射线上作等腰三角形的一腰;(4)再作等腰三角形的底,确定第三个顶点;(5)作另一腰所在的射线,就得到一个角等于已知角（续表）尺规作图作已知角的平分线(1)在已知角∠AOB的两边上截取点D,E,使OD=OE;(2)分别以D,E为圆心,以大于线段12(3)作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线过一点作已知直线的垂线如图1,点O在直线AB上,过点O作AB的垂线,就相当于作平角∠AOB的平分线;如图2,当点C不在直线AB上时,过点C作CO⊥AB,以点C为圆心,大于线段CO的长度为半径作弧交AB于点D,E,作线段DE的垂直平分线即可作已知线段的垂直平分线(1)分别以点A,B为圆心,以大于12(2)过C,D两点作直线CD,则直线CD垂直平分AB【基础演练】1.(2024·厦门二模)综合实践课上,小明画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.(1)分别以点B,D为圆心,大于12(2)连接AO并延长,再以点O为圆心,OA长为半径作弧,交AO延长线于点C;(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即所求.在小明的作法中,可以直接用于判定四边形ABCD为平行四边形的依据是()A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.一组对边平行且相等D.对角线互相平分2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,按下列步骤作图.步骤1:分别以点C和点D为圆心,以大于12步骤2:作直线MN,分别交AC,BC于点E,F.步骤3:连接DE,DF.若AC=8,BC=6,则线段DE的长为()A.3B.12C.2D.243.如图,一位老父亲要把一块三角形的土地均分给三个儿子,∠C=90°,∠B=30°,但老人家要求把这块三角形的地分成大小、形状都相同的三块.(1)请你帮老人家分一分,并保留作图痕迹.(2)请推理证明你分的三块地的大小形状都相同.4.(1)如图1,在图形内部求作一点P,使点P到∠DAB两边AB,AD的距离相等,且点P到点B,C的距离相等.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)如图2,△ABC为钝角三角形.①作△ABC中BC边上的高;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)②若AB=6,BC=4,∠B=30°,求△ABC的面积.图1图2真题精粹·重变式1.(2023·福建)阅读以下作图步骤:如图,①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;②分别以C,D为圆心,大于12③作射线OM,连接CM,DM.根据以上作图,一定可以推得的结论是()A.∠1=∠2且CM=DMB.∠1=∠3且CM=DMC.∠1=∠2且OD=DMD.∠2=∠3且OD=DM2.(2024·福建)如图,已知直线l1∥l2.(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.3.(2022·福建)如图,BD是矩形ABCD的对角线.(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.4.(2021·福建)如图,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)设P,Q分别为(1)中四边形ABCD的边AB,CD的中点,求证:直线AD,BC,PQ相交于同一点.5.(2019·福建)如图,已知△ABC和点A'.(1)以点A'为顶点作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B',B'C',A'C'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F'.6.(2020·福建)已知C为线段AB外的一点.(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB.(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,M,N分别为AB,CD的中点,求证:M,N,P三点在同一条直线上.7.如图,PC∥OB交OA于点C.(1)过点P作PD∥OA交OB于点D(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,若∠O=55°,求∠CPD的度数.8.如图,在△ABC中,点D在AC上,过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求作过点D且平行于AB的直线,交BC于点F(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,若BD平分∠ABC,求证:四边形BFDE为菱形.参考答案回归教材·过基础基础演练1.D2.D3.解析:(1)如图,△ACE,△AEF,△EFB为所求.(2)∵EF垂直平分线段AB,∴EA=EB,∴∠EAB=∠B=30°.∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∴∠CAE=∠EAF=30°.∵∠C=∠AFE=90°,AE=AE,∴△EAC≌△EAF(AAS).∵AF=FB,∠EFA=∠EFB=90°,EF=EF,∴△EAF≌△EBF,∴△EAC≌△EAF≌△EBF,∴△ACE,△EAF,△EBF为所求.4.解析:(1)如图1,点P为所求.(2)①如图2,AD为所求.图1图2②∵AD为BC边上的高,∴∠ADB=90°.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴AD=12AB=12×6=3,∴△ABC的面积=12真题精粹·重变式1.A2.解析:(1)如图1,直线l即所求.(2)①如图2,当∠BAC=90°,AB=AC时,∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,根据图形的对称性可知BC=2,∴AB=AC=2,∴S△ABC=12②当∠ABC=90°,BA=BC时,如图3,分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足为M,N,∴∠AMB=∠BNC=90°.∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,∴CN=2,AM=1.∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,∴∠MAB=∠NBC,∴△AMB≌△BNC(AAS),∴BM=CN=2,在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,∴AB=5,∴S△ABC=12AB·BC=5③如图4,当∠ACB=90°,CA=CB时,同理②可得,S△ABC=52综上所述,△ABC的面积为1或523.解析:(1)根据题意作图,如图1.图1(2)如图2,设∠ADB=α,☉A的半径为r.图2∵BD与☉A相切于点E,CF与☉A相切于点G,∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四边形AEFG是矩形.又∵AE=AG=r,∴四边形AEFG是正方形,∴EF=AE=r.在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BAE=∠ADB=α.在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE∴BE=r·tanα.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,又∵∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF=r·tanα,∴DE=DF+EF=r·tanα+r.在Rt△ADE中,tan∠ADE=AEDE即DE·tanα=AE,∴(r·tanα+r)·tanα=r,即tan2α+tanα-1=0.∵tanα>0,∴tanα=5-1即tan∠ADB的值为5-14.解析:(1)如图,四边形ABCD为所求.(2)证明:设PQ交AD于点G,BC交AD于点G'.∵DQ∥AP,∴GDGA=DQ∵DC∥AB,∴G'DG∵P,Q分别为边AB,CD的中点,∴DC=2DQ,AB=2AP,∴G'DG'A=DC`∴G'DG∴点G与点G'重合,∴直线AD,BC,PQ相交于同一点.5.解析:(1)如图1所示.图1(2)证明:如图2,∵D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点,图2∴DE=12BC,DF=12AC,EF=∴△DEF∽△ABC.同理可得△D'E'F'∽△A'B'C',由(1)可知△ABC∽△A'B'C',∴△DEF∽△D'E'F'.6.解析:(1)如图1,四边形ABCD即为所求.图1(2)证明:如图2,在AB,CD上分别截取中点M,N.图2∵CD∥AB,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,∴△ABP∽△CDP,∴ABCD=AP∵AB,CD的中点分别为M,N,∴AB=2AM,CD=2CN,∴AMCN=AP连接MP,NP,∵∠BAP=∠DCP,∴△APM∽△CPN,∴∠APM=∠CPN.∵点P在AC上,∴∠APM+∠CPM=180°,∴∠CPN+∠CPM=180°,∴M,