2015秋九年级数学上册全册教案（人教版）

2015秋九年级数学上册全册教案(人教版)

九年级数学(上)(配人教地区使用)(这是边，请据需要手工删加)

第二十一一元二次方程

21.1一元二次方程

1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+=0(aN0),分清

二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.

2,了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.

重点

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+=0(a/))和一元二

次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.

难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.

活动1复习旧知

1.什么是方程？你能举一个方程的例子吗？

2.下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式.

(l)2x-l(2)x+n=0(3)lx+l=0(4)x2=1

3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解？并给出方程的解的概念.

A.0B.1.2D.3

活动2探究新知

根据题意列方程.

1.教材第2页问题1

提出问题：

(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？

(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？

(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程.

2.教材第2页问题2

提出问题：

(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有个队参赛，每个队比赛几场？一共有

20场比赛吗？如果不是2。场比赛，那么究竟比赛多少场？

(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数.

提出问题：

本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？

4.一个正方形的面积的2倍等于2,这个正方形的边长是多少？

活动3归纳概念

提出问题：

(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？

(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

(3)归纳一元二次方程的概念.

1.一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样

的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+=0(a/)),其中ax2是二次项，a是二次项系数;

bx是一次项，b是一次项系数；是常数项.

提出问题：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？

(2)为什么要限制a知,b,可以为0吗？

(3)2x2—x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？

3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程

的解(根).

活动4例题与练习

例1在下列方程中，属于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2-1=3；(3)lx2+lx=2；

(4)2x2-2x(x+7)=0

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据•：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数：(3)

含有未知数的项的最高次数是2注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为

0,这样的方程不足一元二次方程.

例2教材第3页例题.

例3以一2为根的一元二次方程是()

A.x2+2x—1=0B.x2—x—2=0

.x2+x+2=0D.x2+x-2=0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是

否相等.

练习：

1.若(a—l)x2+3ax—l=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是.

2.将下列一元一次方程化为一般形式，并分别指出它们的一次项系数、一次项系数和常

数项.

(1)4x2=81；(2)(3x-2)(x4-l)=8x-3

3.教材第4页练习第2题.

4.若一4是关于x的一元二次方程2x2+7x-=0的一个根，则的值为.

答案：2略;3略;4=4

活动堂小结与作业布置

堂小结

我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有

什么限制？你能解一元二次方程吗？

作业布置

教材第4页习题211第1〜7题212解一元二次方程

21.21配方法(3时)

第I时直接开平方法

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+=0,根据平方根的意义解出这个方程，然

后知识迁移到解a(ex+f)2+=0型的一元二次方程.

重点

运用开平方法解形如(x+)2=n(nK))的方程，领会降次——转化的数学思想.

难点

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x

+)2=n(nN0)的方程.

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题.

问题1：填空

(l)x2-8x+=(x-)2；(2)9x2+12x4-=(3x+)2；(3)x2

+px+=(x+)2

解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2p2

问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程

有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了>2=9,根据平方根的意义，直接开平方得、=心，如果x换元为2tI1,

即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢？

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t+l变为上面的x,那么2t+l=±3

即2t+l=3,2t+l=-3

方程的两根为tl=l,t2=-2

例I解方程：(l)x2+4x+4=l(2)x24-6x4-9=2

分析：(l)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=l

(2)由已知，得：(x+3)2=2

直接开平方，得：x+3=±2

即x+3=2,x+3=-2

所以，方程的两根xl=-3+2,x2=-3—2

解：略.

例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的102提高到1442,求每年人均住房面

积增长率.

分析：设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是l()+l()x=l()(l+

X)；二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(l+x)2

解：设每年人均住房面枳增长率为x,

贝I」：10(1+x)2=144

(l+x)2=144

直接开平方，得l+x=±12

即l+x=12,l+x=-12

所以，方程的两根是xl=02=2()%,x2=-22

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=—22应舍去.

所以，每年人均住房面积增长率应为20%

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为

例1用配方法解下列关于X的方程：

(l)x2-8x+I=0(2)x2-2x-12=0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；

(2)同上.

解：略.

三、巩固练习

教材第9页练习1,2⑴(2).

四、堂小结

木节应掌握：

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是

非负数，可以直接降次解方程的方程.

五、作业布置

教材第17页复习巩固2,3(1)(2).第3时配方法的灵活运用

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

通过复习上一节的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.

重点

讲清配方法的解题步骤.

难点

对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加

上的常数是一次项系数一半的平方：对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项

系数为1,再用配方法求解.

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(l)x2-4x+7=0(2)2x2—8x+1=0

老师点评：我们上一节，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程

以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.

解：略.(2)与⑴有何关联?

二、探索新知

讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为1：

(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

()变形为(x+p)2=q的形式，如果吃0,方程的根是x=-p：fcq；如果q<0,方程无实根.

例1解下列方程：

(1)2x2+l=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(l+x)-4=()

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法完成，即配一个含

有x的完全平方式.

解：略.

三、巩固练习

教材第9页练习2(3)(4)()(6).

四、堂小结

本节应掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中,

也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数，到高中学习

二次曲线时，还将经常用到.

五、作业布置

教材第17页复习巩固3(3)(4).

补充：(1)已知x2+2+z2—2x+4—6z+14=0,求x++z的值.

(2)求证：无论x,取任何实数，多项式x2+2—2X-4+16的值总是正数2122公式法

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二

次方程.

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+=0(a#0)的求根公式的

推导，并应用公式法解一元二次方程.

重点

求根公式的推导和公式法的应用.

难点

一元二次方程求根公式的推导.

一、复习引入

1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

(l)x2=4(2)(x-2)2=7

提问1这种解法的(理论)依据是什么？

提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，

不能实施于一般形式的二次方程.)

2.面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开

平方”的形式.)

(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x

(老师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).

(1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为1；

(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

()变形为(x+p)2=q的形式，如果qX),方程的根是x=-p土q：如果qVO,方程无实根.

二、探索新知

用配方法解方程：

(l)ax2—7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+=0(a#0),你能否用上面配方法的步骤求出

它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知ax2+bx+=()(a*)),试推导它的两个根xl=—b+b2—4a2a,x2=—b—b2—

4a2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a,b,也当成一个具体数字，根据

上面的解题步骤就可以一直推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-

二次项系数化为1,得x2+bax=-a

配方，得：x2+bax+(b2a)2=—a+(b2a)2

即(x+b2a)2=即一4a4a2

V4a2>0,当b2-4aZ0时，b2-4a4a2>0

A(x+b2a)2=(b2-4a2a)2

直接开平方，得：x+b2a=±b2-4a2a

即x=-b±b2-4a2a

Axl=—b+b2—4a2a,x2=—b~b2—4a2a

由上可知,一元二次方程ax2+bx+=0(a和)的根由方程的系数a,b,而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+=(),当b2-4aK)时，将a,

b,代入式子x=-b±b2-4a2a就得到方程的根.

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例1用公式法解下列方程：

(l)2x2-x-1=0(2)x2+1=-3x

(3)x2—2x+12=0(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.

补：()(x—2)(3x-)=0

三、巩固练习

教材第12页练习1(1)(3)。或(2)(4)(6).

四、堂小结

本节应掌握：

(1)求根公式的概念及其推导过程：

(2)公式法的概念；

(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，

尽量让a>0；2)找出系数a,b,,注意各项的系数包括符号；3)计算b2—4a,若结果为负数,

方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.

(4)初步了解一元二次方程根的情况.

五、作业布置

教材第17页习题4,2123因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法

解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.

重点

用因式分解法解一元二次方程.

难点

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12,12的一半应为14,

因此，应加上(14)2,同时减去(14)2(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(学生活动)请同学们口答下面各题.

(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？

(2)等式左边的各项有没有共同因式？

(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式,分解•.

因此，上面两个方程都可以写成：

(l)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于()，也就是(l)x=0或2x+l=0,所

以xl=0,x2=-12

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2(以上解法是如何实现降次的？)

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使

方程化为两个•次式的乘积等于0的形式，再使这两个•次式分别等于0,从而实现降次，

这种解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(l)10x-49x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)x2—2x-14=x2—2x+34(4)(x-1)2=(3-

2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条是什么？

解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.)

练习：下面一元二次方程解法中，正确的是()

A.(X—3)(x—)=10><2,.\x—3=10,x—=2,/.xI=13,x2=7

B.(2-x)+(x-2)2=0,A(x-2)(x-3)=0,Axl=2,x2=3

.(x+2)2+4x=0,.*.xl=2,x2=—2

D.x2=x,两边同除以x,得x=l

三、巩固练习

教材第14页练习1,2

四、堂小结

本节要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.

(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等于

0

五、作业布置

教材第17页习题6,B,10,112124一元二次方程的根与系数的关系

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.

2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.

3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.

4.培养学生去发现规律的枳极性及勇于探索的精神.

重点

根与系数的关系及其推导

难点

止确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两

根的积与系数的关系.

一、复习引入

1.己知方程x2—ax—3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值.

2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们己学过的求根公式也

反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？

3.由求根公式可知，■—元二次方程ax2+bx+=0(aM)的两根为xl=—b+b2—4a2a,x2

=-b—b2—4a2a观察两式右边，分母相同，分子是一b+b2-4a与一b—b2—4a两根之间通

过什么计算才能得到更简洁的关系？

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

方程xlx2xl+x2xl*x2

x2-2x=0

x2+3x-4=0

x2-x+6=0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

⑴关于x的方程x2+px+q=()(p,q为常数，p2—4q20)的两根xl,x2与系数p,q之间

有什么美系？

(2)关于x的方程ax2+bx+=0(a#0)的两根xl,x2与系数a,b,之间又有何关系呢?你能

证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方程xlx2xl+x2xl*x2

2x2—7x—4=0

3x2+2x-=0

x2-17x+6=0

小结：根与系数关系：

(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数，p2—4q20)的两根xl,x2与系数p,q的关

系是：xl+x2=-p,xl・x2=q(注意：根与系数关系的前提条是根的判别式必须大于或等于

零.)

(2)形如ax2+bx+=0(aR)的方程，可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.

即：对于方程ax2+bx+=0(a,0)

Va#),.•.x2+bax+a=0

/.xl4-x2=—ba,xl*x2=a

(可以利用求根公式给出证明)

例1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

(l)x2-3x-I=0(2)2x2+3x-=0

(3)13x2-2x=0(4)2x24-6x=3

()x2-1=0(6)x2-2x4-1=0

例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？

(l)x2-22x+l=0(xl=2+l,x2=2-l)

(2)2x2-3x-8=0(xl=7+734,x2=-734)

例3已知一元二次方程的两个根是一1和2,请你写出一个符合条的方程.(你有几种方

法？)

例4已知方程2x2+x—9=0的一个根是一3,求另一根及的值.

变式一：已知方程x2—2x-9=0的两根互为相反数，求；

变式二：已知方程2x2—x+=0的两根互为倒数，求

三、堂小结

1.根与系数的关系.

2.根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零.

四、作业布置

1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.

(1)x2-x-3=0(2)9xI2=x2(3)6x2-3xI2=0

(4)3x2+x+l=()

2.已知方程x2—3x+=0的一个根为1,求另一根及的值.

3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为一2,求另一根及b的值213实际问题与一元二次

方程(2时)

第1时解决代数问题

1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般

步骤.

2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求

解，熟悉解题的具体步骤.

3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去

要以是否符合问题的实际意义为标准.

重点

利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.

难点

如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率

问题中的数量关系.

一、引入新

1.列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？

2.科学家在细胞研究过程中发现：

(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3

次分裂后共有多少个细胞？

二、教学活动

活动1：自学教材第19页探究1,思考教师所提问题.

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几

个人？

(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有

人患流感.第二轮传染后共有人患流感.

(2)本题中有哪些数量关系？

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流

感，第二轮有x(l+x)人被传染上了流感.于是可列方程.：

l+x+x(l+x)=121

解方程得xl=10,x2=-12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.

变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

活动2：自学教材第19页〜第20页探究2,思考老师所提问题.

两年前生产1吨甲种药品的成本是000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生

产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本足3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600

元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？

(2)若设甲种药品年平均下降率为x,则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时

成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元.

(3)增长率(下降率)公式的归纳:设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(l±x)；

二月(或二年)后产量为a(l±x)2；

n月(或n年)后产量为a(l±x)n；

如果已知n月(n年)后总产量为，则有下面等式：=a(l±x)n

(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：

三、堂小结与作业布置

堂小结

1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、歹！、解、答.最后要检验根是否符合

实际.

2.传播问题解决的关键是传播的确定和等量关系的建立.

3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基准数是a,增长(或降低)n次后的最是b,

则有：a(l±x)n=b(常见n=2).

4.成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下

降率不一定也较小.

作业布置

教材第21—22页习题213第2—7题.第2时解决几何问题

1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.

2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.

3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否

舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

重点

通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.

难点

在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程.

活动1创设情境

1.长方形的周长，面积,长方体的体积公式.

2.如图所示：

(1)一块长方形铁皮的长是10,宽是8,四角各截去一个边长为2的小正方形，制成一

个长方体容器，这个长方体容器的底面积是，高是,体积是.

(2)一块长方形铁皮的长是10,宽是8,四角各截去一个边长为x的小正方形，制成一

个长方体容器，这个长方体容器的底面积是,高是,体积是.

活动2自学教材第20页〜第21页探究3,思考老师所提问题

要设计一本书的封面，封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩

形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等

宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到01).

(1)要设计书本封面的长与宽的比是,则正中央矩形的长与宽的比是.

(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7?试与同伴交流一下.

(3)若设上、下边衬的宽均为9x,左、右边衬的宽均为7x,则中央矩形的长为,

宽为，面积为2

(4)根据等量关系：,可列方程为：

()你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验.)

(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x和7x，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？

活动3变式练习

如图所示，在一个长为0米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积

占整块面积的7%,等宽且互相垂直的两条路的面积占2%,求路的宽度.

答案：路的宽度为米.

活动4堂小结与作业布置

堂小结

1.利用己学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决

实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.

2.根据面枳与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对

所得结果是否合理要进行检验.

作业布置

教材第22页习题213第8,10题.

第二十二二次函数

22.1二次函数的图象和性质

22.11二次函数

1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一

步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.

2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.

3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

重点

二次函数的概念和解析式.

难点

木节"合作学习''涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.

一、创设情境，导入新

问题1现有一根12枝的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？

小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样

计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型解决，今天我们学习“二次函数”(板书题).

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量与x之间的美系：

(1)圆的半径x()与面积(2)；

(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年

定期，设一年定期的年存款利率为x,两年后王先生共得本息元；

(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120,室内通道

的尺寸如图，设一条边长为x(),种植面积为(2).

(一)教师组织合作学习活动：

1.先个体探求，尝试写出与x之间的函数解析式.

2.上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨.

(l)=nx2(2)=20000(l+x)2=20000x2+40000x+20000(3)=(60—x-4)(x-2)=—x2

+8x712

(-)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法.

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有=ax2+bx+(a,b,是常数，aR)的

形式.

板书：我们把形如=ax2+bx+(其中a,b,是常数,a和)的函数叫做二次函数(quadratifuntin),

称a为二次项系数，b为一次项系数，为常数项.

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.

三、做一做

1.下列函数中，哪些是二次函数？

(l)=x2(2)=-1x2(3)=2x2-x-l

(4)=x(l-x)()=(x-|)2-(x4-l)(x-l)

2.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(l)=x2+l(2)=3x2+7x-12(3)=2x(l-x)

3.若函数=(2—1)x2—为二次函数，则的值为.

四、堂小结

反思提高，本节你有什么收获？

五、作业布置

教材第41页第1,2题2212二次函数=2乂2的图裒和性质

通过画图，了解二次函数=ax2(arO)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称

轴为何是轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性

与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题.

重点

从“数”(解析式)和“形"(图象)的角度理解二次函数=ax2的性质，掌握二次函数解析式=@*2

与函数图象的内在关系.

难点

画二次函数=ax2的图象.

一、引入新

1.下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？

(l)=3x-l(2)=2x2I7(3)=x-2

(4)=3(x-1)2+1

2.一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，乂有哪些性

质呢？

3.上节我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节我们先探究二次函数中

最简单的=@*2的图象和性质.

二、教学活动

活动1：画函数=-x2的图象.

(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线).

(2)提出问题：它的形状类似于什么？

(3)引出一•般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点.

活动2：在坐标纸上画函数=—0x2,=-2x2的图象.

(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体展示正确的画图过程.

(2)引导学生观察二次函数=-0x2,=-2x2与函数=-x2的图象，提出问题：它们有什

么共同点和不同点？

(3)归纳总结：

共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是轴；

⑤顶点都是原点(0,0).

不同点：开口大小不同.

(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数=a*2是当aVO时的情况.系数a越大，抛物线

开口越大.

活动3：在同一个直角坐标系中画函数=x2,=0x2,=2x2的图象.

类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数=

ax2(a#0)的图象和性质.

二次函数=ax2(a±0)的图象和性质

图象

(草图)开口

方向顶

点对称轴最高或

最低点最值

a>0当x=____时，

有最—一

是________

a<0当x=时,

有最—值，

是________

活动4：达标检测

(1)函数=-8x2的图象开口向,顶点是,对称轴是,当

x时，随x的增大而减小.

(2)二次函数=(2一)x2的图象如图所示，则的取值范围为.

(3)如图，①=ax2；②=bx2；③=x2；④=dx2比较a,b,,d的大小，用连接.

答案；(1)下，(0，0),x=0,>0；(2)>2；(3)a>b>d>

三、堂小结与作业布置

堂小结

1.二次函数的图象都是抛物线.

2.二次函数=@*2的图象性质：

(1)抛物线=ax2的对称轴是轴，顶点是原点.

(2)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当aVO时，抛物线的开口向

下，顶点是抛物线的最富点；|a|越大，抛物线的开口越小.

作业布置

教材第32页练习.

22.13二次函数=2仪一1])2+的图象和性质

1.经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义.

2.了解=ax2,=a(x-h)2,=a(x—h)2+三类二次函数图象之间的关系.

3.会从图象的平移变换的角度认识=a(x—h)2+型二次函数的图象特征.

重点

从图象的平移变换的角度认识=融*一切2+型二次函数的图象特征.

难点

对J：平移变换的理解和确定，学生较难理解.

一、复习引入

二次函数=@*2的图象和特征：

1.名称；2顶点坐标；3对称轴；4当a>0时，抛物线的开口

向,顶点是抛物线上的最点，图象在X轴的(除顶点外)；当a＜0

时，抛物线的开口向,顶点是抛物线上的最点，图象在x轴的(除

顶点外).

二、合作学习

在同一坐标系中画出函数=12x2,=12(x+2)2,=12仅一2)2的图象.

(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？

(2)顶点和对称轴有什么关系？

(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？

(4)由此，你发现了什么？

三、探究二次函数=a*2和=弘乂-h)2图象之间的关系

1.结合学生所画图象，引导学生观察=12(x+2)2与=12x2的图象位置关系，直观得出=

12x2的图象-----＞向左平移两个单位=12(x+2)2的图象.

教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：

(0,0)-----＞向左平移两个单位(-2,0)；

(2,2)-----＞向左平移两个单位(0,2)；

(-2,2)-----＞向左平移两个单位(-4,2).

②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并月带箭头的线段表示平移过程.

2.用同样的方法得出=12x2的图象-----H句右平移两个单位=12往-2)2的图象.

3.请你总结二次函数=a(x—h)2的图象和性质.

=ax2(a，0)的图象-----►当h＞0H寸，向右平移h个单泣当h＜0时，向左平移|h|个单位=

a(x-h)2的图象.

函数=a(x—h)2的图象的顶点坐标是(h,0),对称轴是直线x=h

4.做一做

(1)

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

=2(x+3)2

=-3(x-l)2

=—4(x—3)2

⑵填空：

①抛物线=2x2向平移个单位可得到=2(x+1)2；

②函数=一6一4)2的图象可以由抛物线向平移个单位而得

到.

四、探究二次函数二@a-11)2+和=@乂2图象之间的关系

1.在上面的平面直角坐标系中画出二次函数=12(x+2)2+3的图象.

首先引导学生观察比较=12(x+2)2与=12(x+2)2+3的图象关系，直观得出：=12(x4-2)2

的图象-----＞向上平移3个单位=12(x+2)2+3的图象.(结合多媒体演示)

再引导学生观察刚才得到的=12x2的图象与=l2(x+2)2的图象之间的位置关系，由此得

出：只要把抛物线=12x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数=12(x

+2)2+3的图象.

2.做一做：请填写下表：

函数解析式图象的对称轴图象的顶点坐标

=12x2

=12(x+2)2

=12(x+2)2+3

3总结=a(x-h)2+的图象和=ax2图象的关系

=ax2(a，0)的图象-----►当h>0时，向右平移h个单」立当hVO时，向左平移|h|个单位=

a(x-h)2的图象----->当>0时，向上平移个单位当VO时，向下平移||个单位=a(x-h)2+

的图象.

=a(x—h)2+的图象的疝称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,).

口诀：(h,)正负左右上下移(h左加右减，上加下减)

从二次函数=a(x—h)2+的图象可以看出：

如果a>0,当xVh时，随x的增大而减小，当x>h时，随x的增大而增大；如果2V0,

当xVh时，随x的增大而增大，当x>h时，随x的增大而减小.

4.练习：本第37页练习

五、堂小结

1.函数=a(x—h)2+的图象和函数=ax2图象之间的关系.

2.函数=a(x—h)2I的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质.

六、作业布置

教材第41页第题2214二次函数=@*2+6乂+的图象和性质(2时)

第1时二次函数=@*2+6乂+的图象和性质

1.掌握用描点法画出二次函数=ax2+bx+的图象.

2.掌握用图象或通过配方确定抛物线=ax2+bx+的开口方向、对称轴和顶点坐标.

3.经历探索二次函数=ax2+bx+的图象的开II方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程,

理解一次困数=ax2+bx+的性质.

重点

通过图象和配方描述二次函数=2*2+6乂+的性质.

难点

理解二次函数一般形式=2乂2+6*+伯，0)的配方过程，发现并总结=2乂2+6乂+与=弁乂一

h)2+的内在关系.

一、导入新

1.二次函数=@出一11)2+的图象，可以由函数=ax2的图象先向平移个

单位，再向平移个单位得到.

2.二次函数=2仪一h)2+的图象的开口方向,对称轴是,顶点坐标是

3.二次函数=12x2—6x+21,你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐

标，并画出图象吗？

二、教学活动

活动1：通过配方，确定抛物线=12x2—6x+2l的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点

画图.

(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；

(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势.

活动2：I不画出图象，你能直接说出函数=-x2+2x-3的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标吗？

2.你能画出函数=-x2+2x-3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；

(3)止学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开门方向有什么关系？这个值与函数

图象的顶点坐标有什么关系？

活动3：对于任意一个二次函数=@*2+6*+伯和)，如何确定它的图象的开口方向、对称

轴和顶点坐标？你能把结果写出吗？

(1)组织学生分组讨论，教师巡视；

(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师展示二次函数=

a*2+6*+(2>0)和=2*2+6乂+(2<0)的图象.

(3)引导学生观察二次函数=a乂2+6*+但视)的图象，在对称轴的左右两侧，随x的增大有

什么变化规律？

(4)引导学生归纳总结二次函数=ax2IbxI(a40)的图象和性质.

活动4：已知抛物线=x2—2ax+9的顶点在坐标轴上，求a的值.

活动：检测反馈

1.填空：

(1)抛物线=*2-2*+2的顶点坐标是；

(2)抛物线=2x2—2x—1的开口,对称轴是；

(3)二次函数=ax2+4x+a的最大值是3,则a=

2.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(l)=3x2+2x；(2)=-2x2+8x—8

3.求一次困数=x2+2x+3(>0)的图象的对称轴，井说出该图象具有哪些性质.

4.抛物线=2乂2+2*+的顶点是(一1,2),则a,的值分别是多少？

答案：1)；(2)向上，x=12；(3)—1；2(1)开口向上，x=-13,(-13,-13)；(2)

开口向下，x=2,(2,0)；3对称轴x=—1,当>0时，开口向上，顶点坐标是(-1,3一)：

4a=l,=3

三、堂小结与作业布置

堂小结

二次函数=@*2+匕乂+伯士0)的图象与性质.

作业布置

教材第41页第6题.第2时用待定系数法求二次函数的解析式

1.掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的

解析式.

2.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性.

3.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质.

重点

二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质.

难点

利用图象观察性质.

一、复习引入

1.抛物线=-2(x+4)2一的顶点坐标是,对称地是,在

侧，即x一4时，随着x的增大而增大；在侧，即x-4

时，随着x的增大而减小；当*=时，函数最值是.

2.抛物线=2(x-3)2+6的顶点坐标是,对称轴是,在

侧，即x3时，随着x的增大而增大；在侧，即x3时，

随着x的增大而减小；当乂=时，函数最值是.

二、例题讲解

例1根据下列条求二次函数的解析式：

(1)函数图象经过点A(—3,0),B(l,0),(0,-2)；

(2)函数图象的顶点坐标是(2,4),且经过点(0,1)；

(3)函数图象的对称轴是直线x=3,且图象经过点(1,0)和(,0).

说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条.一般说：任意给定抛

物线上的二个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点

坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷.

例2已知函数=x2—2x-3,

(1)把它写成=2a一h)2+的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？

(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；

(3)求出图象与坐标轴的交点坐标：

(4)画出函数图象的草图：

。设图象交x轴于A,B两点，交轴于P点，求^APB的面积；

(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①=()；②0?

说明：(1)对于解决困数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；

(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使系数的符

号图象特征

a的符号

a>0抛物线开口向

a~b2a>0

抛物线对称轴在轴的侧

b=0抛物线对称轴是轴

-b2a0抛物线与轴交于

=0抛物线与轴交于

1.总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表

述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根.

2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

3.会用计算方法估计一元二次方程的根.

重点

方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

难点

二次函数的图象与X轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

一、复习引入

1.二次函数：=ax2+bx+(a,0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？

补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成

立.

2.二次函数=2乂2+6*+g¥0)的图象和性质：

(1)顶点坐标与对称轴；

(2)位置与开口方向;

(3)增减性与最值.

当a>0时，在对称轴的左侧，随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，随着x的增大而

增大；当*=-b2a时，函数有最小值4a—b24a

当aVO时，在对称轴的左侧，随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，随着x的增大而

减小；当*=—b2a时，函数有最大值4a—b24a

二、新教学

探索二次函数与一元二次方程：

二次函数=x2I2x,=x2-2xI1,=x2-2xI2的图象如图所示.

(1)每个图象与x轴有几个交点？

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2—2x+l=0有几个根？验证一下一元二次方程x2—2x+2

=0有根吗？

(3)二次函数=2*2+匕*+的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+=0的根有什

么关系？

归纳：二次函数=@乂2+6乂+的图象和x轴交点有三种情况：

①有两个交点，

②有一个交点，

③没有交点.

当二次函数=ax2+bx+的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当=0时自变量x的值,

即一元二次方程ax2+bx+=0的根.

当b2—4a>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx

+的两个根xl与x2：当b2-4a=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点：当b2-4aV0

时，抛物线与x轴没有交点.

举例：求二次函数图象=x2—3x+2与x轴的交点A,B的坐标.

结论:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线=x2—3x+2与x轴的两个交点的横坐标.因此,

抛物线与一元二次方程是有密切联系的.

即：若一元二次方程ax2+bx+=0的两个根是xl,x2,则抛物线=a*2+5*+与x轴的两

个交点坐标分别是A(xl,0),B(x2,0).

例1已知函数=-12x2—7x+12,

(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与轴的交点关于图象对称轴的对

称点，然后画出函数图象的草图；

(2)自变量x在什么范围内时，随着x的增大而增大？何时随着x的增大而减少；并求出函

数的最大值或最小值.

三、巩固练习

请完成本练习：第47页1,2

四、堂小结

二次函数与一元二次方程根的情况的关系.

五、作业布置

教材第47页第3,4,,6题223实际问题与二次函数(2时)

第1时用二次函数解决利润等代数问题

能够理解生活中字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型.利用二次函数=2、2+6乂

+(a#))图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并

能应用这些关系解决实际问题.

重点

把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题.

难点

1.读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型.

2.理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系.

一、复习旧知，引入新

1.二次函数常见的形式有哪几种？

二次函数=2*2+6*+匕翔)的图象的顶点坐标是,对称轴是；二次函数

的图象是一条,当a>0时，图象开口向,当a<0时，图象开口向.

2.二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？

二、教学活动

活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：)与小球的运动时间t(单

位：s)之间的关系式是h=30t—t2(0&W6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动

中的最大高度是多少？

活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300,市场调查反映：

如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10；每降价1元，每星期可多卖出20,已知

该