安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2024/2025（上）九年级数学期末检测试卷温馨提示：试卷满分150分，考试时间为120分钟．一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A B. C. D.3.如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（）A. B. C. D.4.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A. B. C. D.5.第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（）A. B. C. D.6.如图，在中，，，则的长是（）A.3 B.6 C.8 D.97.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B.C. D.8.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.29.关于的二次函数的图象可能是（）A. B. C. D.10.如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（）A. B. C. D.二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________12.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．13.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，，，在同一平面内，点，在同一水平线上．从点测得杨树底端点的仰角是，长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为，则杨树的高度为___________米．14.在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：(1)若，则值为________；(2)若点恰好为的中点，则的值为________．三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简，再求值：，其中16.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．18.观察下面的等式：（1）写出结果．（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．20.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：（1）求的长；（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）六、（本题满分12分）21.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球离地面最大高度为，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．七、（本题满分12分）22.如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．（1）若平分，求证：；（2）找出图中与相似的三角形，并说明理由;（3）若，，求的长度．八、（本题满分14分）23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．（1）求二次函数的解析式及点的坐标；（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

2024/2025（上）九年级数学期末检测试卷温馨提示：试卷满分150分，考试时间为120分钟．一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．【详解】解：1582亿．故选：C．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；B、，选项计算错误，不符合题意；C、，选项计算错误，不符合题意；D、，选项计算正确，符合题意；故选：D．3.如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，故选：B．4.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．5.第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，设，则，由全等三角形的性质结合正方形的性质可得，，从而可得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得解．【详解】解：∵，∴设，则，∵，四边形为正方形，∴，，∴，即，∴，∵，∴，∴，故选：C．6.如图，在中，，，则的长是（）A.3 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．【详解】解：如图，过点A作于点D．∵，∴．在中，，∴，∴，∴．故选B．7.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了比较反比例函数值大小，根据反比例函数性质即可判断．【详解】解：，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，点，都在反比例函数的图象上，，．∵，在反比例函数的图象上，∴，∴.故选：B．8.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：B．9.关于的二次函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数，∴抛物线顶点坐标为，与轴交点为，∵，∴，∴顶点坐标在第四象限，与轴交点在轴正半轴上，∴选项图象符合题意，故选：．10.如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，当时，在上，菱形中，，，∴，则是等边三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴当时，在上，∴，综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键．证明，利用对应边成比例即可求解．【详解】解：如图，∵点D是边的中点，，∴，∵，，∴，∴，∴，解得：（舍负），故答案为：．12.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；当时，，解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为．故答案为：13.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，，，在同一平面内，点，在同一水平线上．从点测得杨树底端点的仰角是，长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为，则杨树的高度为___________米．【答案】##【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，延长交于，则，由直角三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，由等腰直角三角形的性质可得米，即可得解．【详解】解：如图，延长交于，，则，∵，米，∴米，米，∵，∴米，∴米，故答案为：．14.在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：(1)若，则值为________；(2)若点恰好为的中点，则的值为________．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】（1）根据折叠可得，由已知可得，进而可得，证，，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．（2）连接，证，可设，；进而可用表示出、的长，根据折叠的性质知，即可得到的表达式，由可知，那么，由此可求出的表达式，进而可在中，根据勾股定理求出、的比例关系，即可得到的值．【详解】解：（1）连接根据翻折变换的性质得，，，，，∴，∵折叠，∴又，∴∴，∴∴，在中，∴∴∴即，故答案为：．（2）连接根据翻折变换的性质得，，，，，，设，，则有，，，，，在中，，即，.故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的折叠，翻转变换的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识．三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【详解】解：===，当时，原式=．16.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，将解集表示在数轴上如图：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．【详解】解：，，，四边形是正方形，，，，，又，．18.观察下面的等式：（1）写出的结果．（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题干的规律求解即可；（2）根据题干的规律求解即可；（3）将因式分解，展开化简求解即可．【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】．【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．【答案】（1）见详解（2）40（3）(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出．（2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．（3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．【小问1详解】解：如下图所示：【小问2详解】连接，，∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，∴，，∴四边形是平行四边形，∴．【小问3详解】∵根据网格信息可得出，，∴是等腰三角形，∴也是线段的垂直平分线，∵B，C的坐标分别为，，∴点，即．（答案不唯一）20.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：（1）求的长；（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．【小问1详解】解：在中，，∴，∴，【小问2详解】解：由题可知，∴，又∵，∴，∴．六、（本题满分12分）21.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）小明的说法不正确，理由见解析【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.【小问1详解】解：，∴当时，h最大，故答案：；【小问2详解】解：根据题意，得当时，，∴，∴（负值舍去）；【小问3详解】解：小明的说法不正确．理由如下：由（2），得，当时，，解方程，得，，∴两次间隔的时间为，∴小明的说法不正确．七、（本题满分12分）22.如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．（1）若平分，求证：；（2）找出图中与相似的三角形，并说明理由;（3）若，，求的长度．【答案】（1）证明见解析（2），与相似，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据得出，根据得出，联立