2017-2018学年物理人教版必修2讲义第5章曲线运动第5节

第5节向心加速度[学考报告]知识内容向心加速度考试要求c加试dd基本要求1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度2．知道向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算3．能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式说明1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题2．不要求掌握向心加速度公式的推导方法知识点一向心加速度的方向[基础梳理]1．圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度。2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。3．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。4．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。5．圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。[即学即练]1．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是()解析做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。答案B知识点二向心加速度的大小[基础梳理]1．向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)，②an＝ω2r。(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r，②an＝ωv，③an＝4π2n2r，④an＝4π2f2r。2．向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢。3．向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。4．(1)注意在选用物理公式解题时，一定要理解公式的含义，明确各物理量的意义。(2)由an＝eq\f(v2,r)知：r一定时，an∝v2；v一定时，an∝eq\f(1,r)；an一定时，r∝v2；(3)由an＝rω2知：r一定时，an∝ω2；ω一定时，an∝r；an一定时，r∝eq\f(1,ω2)。[典例精析]【例1】图1为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中表示质点P的图象是双曲线的一支，表示质点Q的图象是过原点的一条直线。由图象可知()图1A．质点P的线速度大小不变B．质点P的角速度大小不变C．质点Q的角速度随半径变化D．质点Q的线速度大小不变解析根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断，由a＝eq\f(v2,r)和a＝ω2r知当v一定时a∝eq\f(1,r)；当ω一定时a∝r，所以选项A正确。答案A【例2】如图2所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的eq\f(1,3)，当大轮边缘上P点的向心加速度为12cm/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？图2解析同一轮子上的S和P点角速度相同，即ωS＝ωP，由向心加速度公式an＝ω2r，可得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)所以aS＝aP·eq\f(rS,rP)＝12×eq\f(1,3)cm/s2＝4cm/s2又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)所以aQ＝aP·eq\f(rP,rQ)＝12×eq\f(2,1)cm/s2＝24cm/s2答案4cm/s224cm/[即学即练]2．如图3所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则()图3A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ≥rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ≥aN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，所以aM>aN，选项A正确。答案A1．关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度变化的物理量B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小不可用an＝eq\f(v2,r)来计算解析加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，公式a＝eq\f(v2,r)对任何圆周运动都适用，故C、D错。答案B2．如图4所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动，A、B为球体上两点。下列说法中正确的是()图4A．A、B两点具有相同的角速度B．A、B两点具有相同的线速度C．A、B两点具有相同的向心加速度D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心解析A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，选项A正确；A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直，交点为圆心，故A点做圆周运动的半径为rA＝Rsin60°；同理，B点做圆周运动的半径为rB＝Rsin30°，所以A、B两点的线速度分别为vA＝ωrA＝eq\f(\r(3),2)ωR，vB＝ωrB＝eq\f(1,2)ωR，显然vA>vB，选项B错误；A、B两点的向心加速度分别为aA＝ω2rA＝eq\f(\r(3),2)Rω2，aB＝ω2rB＝eq\f(1,2)Rω2，显然，A、B两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C、D错误。答案A3．如图5所示，一小物块以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1图5A．小物块运动的角速度为4rad/sB．小物块做圆周运动的周期为πsC．小物块在t＝eq\f(π,4)s内通过的位移大小为eq\f(π,20)mD．小物块在πs内通过的路程为零解析因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度ω＝eq\r(\f(a,R))＝2rad/s，周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，选项A错，B正确；小物块在eq\f(π,4)s内转过角度为eq\f(π,2)，通过的位移为eq\r(2)m，在πs内转过一周，通过的路程为2πm，选项C、D错误。答案B4．滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图6所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2m的eq\f(1,4)圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s。求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力图6解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小an＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2，方向为该位置指向圆心，即竖直向上。运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0。答案50m/s2，方向竖直向上1．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是()A．它描述的是线速度方向变化的快慢B．它描述的是线速度大小变化的快慢C．它描述的是角速度变化的快慢D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的解析向心加速度的方向和线速度的方向垂直，因此，它只描述线速度方向变化的快慢，对于匀速圆周运动，角速度是不变的，而向心加速度仍然存在，可见，向心加速度不是描述角速度变化的物理量，向心加速度的方向总是指向圆心，所以加速度方向时刻改变，故向心加速度不是恒定不变的。答案A2．下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B．向心加速度的方向不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化解析向心加速度指圆心，而速度沿切线方向，故二者相互垂直，A项正确；而a的方向时刻变化，B、C错；在匀速圆周运动中，a＝eq\f(v2,r)，a保持不变，D错误。答案A3．(2016·9月绍兴适应性考试)如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是()图1A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4∶1解析大齿轮与小齿轮通过链条传动，两轮沿处线速度大小相等，又因为v＝rω，所以二者角速度大小与半径成反比，B正确；又a＝eq\f(v2,r)，D错误；小齿轮与后轮共轴转动，角速度相等，A错误；因ω后＝ω小，所以eq\f(v后,r后)＝eq\f(v小,r小)，v小＝v大所以eq\f(v后,r后)＝eq\f(v大,r小)即eq\f(v大,v后)＝eq\f(r小,r后)＝eq\f(1,16)，C错误。答案B4．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则()A．小球相对于圆心的位移不变B．小球的线速度为eq\r(Ra)C．小球在时间t内通过的路程为eq\r(\f(a,Rt))D．小球做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(a,R))解析位移是矢量，方向在改变，故A错误；由a＝eq\f(v2,R)，得v＝eq\r(aR)，B正确；由a＝ω2R得，ω＝eq\r(\f(a,R))，t内路程s＝Rωt＝teq\r(Ra)，故C错误；由a＝eq\f(4π2,T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R,a))，故D错误。答案B5．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为()A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 D．9∶解析根据公式a＝ω2r及ω＝eq\f(2π,T)有eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r甲,r乙)·eq\f(T\o\al(2,乙),T\o\al(2,甲))。因为T甲＝eq\f(t,60)，T乙＝eq\f(t,45)，所以eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(3,4)×eq\f(42,32)＝eq\f(4,3)，B项正确。答案B6．如图2所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()图2A．加速度为零B．加速度恒定C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。答案D7．高速列车已经成为世界上重要的交通工具之一，某高速列车时速可达360km/h。当该列车以恒定的速率在半径为2000mA．乘客做圆周运动的加速度为5mB．乘客做圆周运动的加速度为0.5mC．列车进入弯道时做匀速运动D．乘客随列车运动时的速度不变解析乘客随列车以360km/h的速率沿半径为2000m的圆周运动，向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(1002,2000)m/s2＝5m/s2，A正确，B错误；乘客随列车运动时的速度大小不变，方向时刻变化，C、D错误。答案A8．(多选)如图3所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是边缘上的一点，左轮上的两轮共用同一转轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则()图3A．a点和b点的线速度大小相等B．a点和b点的角速度相等C．a点和c点的线速度大小相等D．a点和d点的向心加速度大小相等解析由题意可知，b、c、d是固定在同一转轴的两轮上的点，因此ωb＝ωc＝ωd，a、c为用皮带连接的两轮边缘上的点，皮带不打滑时有va＝vc，故选项C正确；由角速度与线速度的关系v＝ωr并结合题中所给各点的半径，易得ωa＝2ωc＝2ωb＝2ωd及va＝2vb，由此排除A、B两选项；由向心加速度an＝ω2r可推得ana＝and，则选项D正确。答案CD9．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬线(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方eq\f(L,2)处钉有一颗光滑的钉子。如图4所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则()图4A．小球的角速度突然增大B．小球的线速度突然减小到零C．小球的向心加速度突然增大D．小球的向心加速度不变解析由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不可能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由an＝eq\f(v2,r)知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误。答案AC10．如图5所示，一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，图5(1)此过程中轿车的位移大小；(2)此过程中轿