高考备考资料之数学人教A版全国用课件第八章立体几何与空间向量82

§8.2

空间几何体的表面积与体积第八章

立体几何与空间向量基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是____________________，表面积是侧面积与底面面积之和.知识梳理所有侧面的面积之和

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝________2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝___锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝____台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝_____V＝______3.柱、锥、台、球的表面积和体积Sh4πR21.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.【知识拓展】2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(

)(2)锥体的体积等于底面积与高之积.(

)(3)球的体积之比等于半径比的平方.(

)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(

)(5)长方体既有外接球又有内切球.(

)(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

)题组一思考辨析基础自测√××√12456×3×2.[P27T1]已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

A.1cm B.2cm C.3cm D.cm题组二教材改编12456解析3答案√解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.12456答案3.[P28A组T3]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.31∶47所以V1∶V2＝1∶47.解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，解析题组三易错自纠4.(2017·西安一中月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋4

解析12456答案√3解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.5.(2016·全国Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A.12π B.πC.8π D.4π12456答案√3解析6.(2018·大连调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_____.解析12456答案31∶1解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1.题型分类深度剖析1.(2016·全国Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是

，则它的表面积是

A.17π B.18π C.20π

D.28π

题型一求空间几何体的表面积自主演练解析答案√解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，2.(2017·黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

答案√解析解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示.则CC′⊥平面ABC，上、下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，过A作AD⊥A′C′于点D，过D作DE⊥A′B′，空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.思维升华命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例

(2017·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是

解析题型二求空间几何体的体积多维探究答案√命题点2求简单几何体的体积典例

(2018·广州调研)已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF的体积为_____.解析答案解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H.因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1—B1EDF的高.因为△B1O1H∽△B1DD1，方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，由题意得，空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.思维升华解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，跟踪训练

(1)(2017·新乡二模)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

答案√解析√(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为

解析答案∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H，连接DG,CH,题型三与球有关的切、接问题师生共研典例

(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是

解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为

.解析答案√解将直三棱柱补形为长方体ABEC—A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC—A1B1E1C1的外接球.∴体对角线BC1的长为球O的直径.1.若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.解答引申探究故S球＝4πR2＝169π.解如图，设球心为O，半径为r，2.若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积.解答空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.思维升华跟踪训练

(2018·深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝

，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为

解析答案√解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.三视图(基本的、和球联系的)高频小考点三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体.考点分析典例1

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于

解析答案√解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，典例2

某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________.解析答案解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，课时作业1.(2017·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

基础保分练12345678910111213141516解析由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，解析答案√2.(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.12 B.18C.24 D.30

答案12345678910111213141516√解析由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，如图所示，解析12345678910111213141516答案√解析设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，解析∴R＝2，∴S球的表面积＝4π×22＝16π，故选B.4.(2017·昆明质检)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.24π B.30πC.42π D.60π

解析答案12345678910111213141516√5.(2018·九江一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为

解析答案12345678910111213141516√解析直观图是四棱锥P—ABCD，如图所示，6.(2017·广州市高中毕业班综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

A.8π B.12πC.20π D.24π解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析方法一将三棱锥P—ABC放入长方体中，如图(1)，三棱锥P—ABC的外接球就是长方体的外接球.因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，

则球O的表面积为4πR2＝20π，故选C.12345678910111213141516方法二利用鳖臑的特点求解，如图(2)，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，所以球O的表面积为4πR2＝20π，故选C.7.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____.解析12345678910111213141516答案123456789101112131415168.(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_____.解析解析设正方体棱长为a，则6a2＝18，答案9.(2017·南昌一模)如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为__________.12345678910111213141516答案解析解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示.12345678910111213141516则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，

10.(2018·长沙质检)如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则

＝_____.12345678910111213141516答案解析11.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

12345678910111213141516证明证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，由已知得，三棱锥E-ACD的体积1234567891011121314151612.(2018·贵阳质检)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝

.(1)求证：DE⊥平面ACD；

12345678910111213141516证明证明∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.12345678910111213141516解答解∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.13.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—PAC的体积比为A.1∶2 B.1∶8C.1∶6 D.1∶3

技能提升练12345678910111213141516答案√解析123456