2025届高三新概念压轴背景下的数学选填压轴试题汇编 含解析

新概念压轴背景下的选填压轴汇编一．基本原理1．新概念导向的压轴概念是数学的核心之一，一个概念的产生往往需要经历一个完整的探究过程，教材上案例比比皆是.17分的综合压轴由于是考试，可能不会侧重于概念的探究，而是转为给出相关概念，利用有关概念（定义）来解决问题，这就涉及到将抽象问题具体化，从一般到特殊.考察学生的数学抽象素养和完整的数学表达能力.于是，备考时，一定要侧重对概念的理解，这一方面要求我们在高一高二新课讲解过程中不应该只顾“捞干货”，忽视概念的引入，生成等环节.另一方面，在高三复习中，遇到相关题目讲解时，注意耐心感受概念的形式，必要时候，完全可以通过简单的枚举，找特例来理解概念的具体含义，最后就是特别注意相关的表达与应用.2．新运算导向的压轴运算是数学的灵魂，相关题目以符号，新运算为背景，就是要考察运算素养和完整的数学表达，新课标指出，数学运算素养包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，设计运算程序，求得运算结果等.3．新性质为导向的压轴新性质问题综合了前面两个的一些特色，然后让我们判断题干所给的问题是否满足相关性质，完整的解答过程涉及到理解性质，准确运算和完整表达，对学生的各方面能用要求都很高.4．新背景为导向的压轴这种背景主要指的是高观点或者依托于教材的背景性资料，有的问题可能纯属背景建构，高中内容解决，有的问题则可能需要对材料中的新背景做分析整理，数学抽象，并在解题中利用相关内容解决，有的则需要你掌握很多的知识.5．新公式为导向的压轴新公式为导向结合了运算素养，需要准备的理解公式与运算形式，代入公式以后求得相关问题，理解公式是关键，完整表达是重点.综上，新情境压轴虽然没有满满的“套路”可循，但也并非没有一点规律，一方面要求我们在高一，高二教学中尽可能回归学的本质，注重情境和探究，减少以前课堂形式的“捞干货，讲例题，模仿练习”的形式，另外，高三备考中也要注意总结，刚开始做慢一点，这类题目的通法就是具体问题具体分析，所以，先慢一点，注重我刚才上面分析的方式方法，积累信心，尽可能多拿分！二．典例分析1．新概念导向的压轴例1．（2025·湖北武汉·二模）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（

）A．B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.同理，中含个元素的子集也不满足.综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.对于满足“阶完美集”的所有，属于所有或不属于所有，均可视为同一情形，即退化为“阶完美集”的情况，总个数为.又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，故C错误，D正确.故选：ABD.例2．（2025·江西·一模）如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则下列命题正确的是（

）A．异面直线与所成的角为B．平面C．该多面体外接球的表面积为D．直线与下底面所成角的正弦值为【详解】对于A，设，在下底面的射影分别为，，则平分，为等边三角形，所以异面直线与所成的角为，故A错误．对于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因为平面，所以平面，从而平面，故B正确．对于C，设的中点为，在下底面上的射影为，上、下两底面间的距离为，外接球的半径为，则，，所以，，从而所求外接球的表面积为，故C正确．对于D，设直线与下底面所成的角为，由上面可知，所以，故D正确．故选：BCD.例3．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（

）A．是“广义等差集合”B．是“广义等差集合”C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13【详解】对于A,取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，对于B，取故B正确，对于C，当时，，如时，设，由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，故选：ABC例4．（2025·贵州六盘水·一模）定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，已知集合，则（1）集合中的元素个数为；（2）若中的元素个数为56，则p的值为_________．【详解】（1）集合中的元素满足，且，列举满足条件的组合，共有5种，，即集合中有5个元素；（2）中的元素满足，且，利用组合数公式，将问题转化为将个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，应用隔板法即有种分法，既有个元素，已知中有56个元素，即，当时，，因此.故答案为：5；9.例5．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为.【详解】如图：补全正四面体，连接,取分别为大正四面体棱的中点，连接,由于均为大四面体的棱的三等分点，故.平面，平面，平面，平面，故平面,平面.且平面，故平面平面，由于平面，因此平面，故点的轨迹为线段，由于,故点的轨迹长度为，故答案为：2．新运算导向的压轴例6．，运算“”为，则（

）A． B．C． D．若，则【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，若，则，，要证，只需要证，即证，即证，即证，即证，因为，，所以上式成立，所以，故D正确.故选：ABCD.3．新性质为导向的压轴例7．（2025·湖南永州·模拟预测）已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：①；②；③当时，，其中下列说法正确的是（

）A．若，，则B．恰有两个整数解C．若，，则，，中至少有两个相等D．若，则【详解】A：令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函数；因为，，所以，A正确；B：假设选项正确，对于任意除1和以外的整数，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B错误.C：，所以，若，结论显然成立；若，则，即或，结论依然成立，C正确；D：，，，D错误.故选：AC4．新背景为导向的压轴例9．（2023年新高考2卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD5．新公式为导向的压轴例10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.则（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC例11．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒