第11讲 直线与圆锥曲线【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第11讲直线与圆锥曲线【人教A版2019】·模块一直线与圆锥曲线的位置关系·模块二弦长公式·模块三课后作业模块一模块一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

<0直线与椭圆相离无公共点.2．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；

<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x1+x2<0x3．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【考点1判断直线与圆锥曲线的位置关系】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线y=32A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x=-136【解答过程】由y=32x+2x所以x=-又双曲线x24y=3所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B.【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线方程y2=4x，过点PA．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解题思路】考虑直线斜率存在k=0，k≠0和不存在三种情况，设直线方程为y=k【解答过程】点P在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；当直线斜率k=0时，易知y当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y=ky=kx-Δ=-42-综上所述：满足条件的直线有2条.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225+y29=1A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【解题思路】根据直线方程可得直线l过定点A3,2，判断点A3,2与椭圆C【解答过程】对于直线l:m+2令x-y-故直线l过定点A3,2∵3225+22所以直线l与椭圆C相交.故选：A.【变式1.2】（2023·全国·高三对口高考）若直线l被圆C:x2+y2=2A．x-12C．y=x2【解题思路】设出直线l的方程ax+by+c=0，根据直线l被圆C:x2+y2=2所截的弦长不小于2，由弦长公式得出d≤1，进而得出c2≤a2+b2【解答过程】由题意，圆C:x2+y设直线方程为ax+by+c=0，直线l由弦长公式得R2-d由点到直线的距离公式得，a⋅0+b对于选项A，直线l到该圆圆心的距离为a⋅取b=0,a=c=1对于选项B，当b=0时，对于直线l有a≠0，x=-联立椭圆方程得y2当b≠0时，联立直线l与椭圆方程得(Δ=所以必有公共点；故B正确；对于选项C，联立直线l与抛物线方程得bx若b=0时，则a≠0，有解若b≠0时，Δ=a2-4bc对于选项D，当b=0时，对于直线l有a≠0，x=-联立双曲线方程得y2取c=a2，则直线l：x=-故选：B.【考点2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】【例2.1】（2023秋·高二课时练习）直线x+2y=m与椭圆x2A．22 B．±2 C．±22【解题思路】联立直线与椭圆的方程，消去y，根据Δ=0即可求解【解答过程】由x+2y=mx因为直线x+2y=所以Δ=4m2故选:C.【例2.2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C:x24-y212=1的右焦点为F，点AA．±2 B．±43 C．±23 D【解题思路】根据题意分析可得直线AF与渐近线平行，结合平行关系运算求解.【解答过程】双曲线C:x24-y2所以双曲线的渐近线方程为y=±3x因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与双曲线的渐近线平行，所以kAF=m故选：B.【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C的方程为x2=12y，过点A0,-1和点Bt,3的直线A．-∞,-2C．-∞,-22【解题思路】首先求直线l的方程，与抛物线方程联立，利用Δ<0，即可求解t的取值范围【解答过程】当t=0时，直线l:x=0，与抛物线设直线AB的方程为y=联立直线与抛物线方程，得y=4t由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2-4tx+1=0故选：A.【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线L:y=12x+A．(-2,2) B．(-2,2)【解题思路】将曲线C的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线L:y=1【解答过程】由题意得曲线C:y=12当4-x2≥0时得到4当4-x2<0由以上可得曲线C的如图中所示，易知直线L:y=12把直线y=12x向上平移到0,1点时，即y=继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时，联立直线与椭圆的方程y=1Δ=16m2-84m综上可知1<m故选：C.模块二模块二弦长公式1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.2．双曲线的弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.3．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).【考点3椭圆的弦长问题】【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点，交椭圆于AA．207 B．227 C．247【解题思路】根据题意求得直线l的方程，设Ax1,y【解答过程】由椭圆知，a2=4,b所以右焦点坐标为1,0，则直线l的方程为y=设Ax联立y=x-1x则x1所以AB=即弦AB长为247故选：C.【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A．±1 B．±1C．2 D．±2【解题思路】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式AB=x1-【解答过程】由x22+得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．设A(x则x1+x由题意，得AB=解得m=±1故选:A.【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【解答过程】左焦点为(-22,0)，若直线垂直x轴，则直线为代入椭圆方程得89+y2=1所以，由椭圆性质知：AB=2故选：B.【变式3.2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1A．2 B．3 C．2 D．1【解题思路】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.【解答过程】∵直线l是圆C：x2∴圆心O到直线l的距离为1，设A(①当AB⊥x轴时，|AB②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.由已知|m|1+k2=1把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k.x∴|=(1+k=12(令t原式=≤当且仅当9t=4t即综上所述ABmax故选：B.【考点4双曲线的弦长问题】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点A，B在双曲线x2-y2=3上，线段AB的中点为MA．25 B．45 C．210【解题思路】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【解答过程】不妨设A(x1从而x12-由两式相减可得，(x又因为线段AB的中点为M1,2，从而x1+故y1-y2x直线AB的方程为：y-2=1将y=12x+从而x1+x故AB=故选：C.【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l，与双曲线交于A,BA．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解题思路】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.【解答过程】由题意得双曲线左焦点-2,0，当直线垂直于横轴时，AB=22故可设l:与双曲线联立可得y=x1由弦长公式知AB=则k=±2-故存在四条直线满足条件.故选：D.【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点A．7 B．8 C．9 D．10【解题思路】根据渐近线方程和焦点坐标可解得a2,【解答过程】∵双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，∴ba=2，即b=2a.∵左焦点F-3,0，∴c=3故选：D.【变式4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若AB=5，则CD=（A．27 B．26 C．35 D．【解题思路】由已知条件可得渐近线方程为y=±x，双曲线方程x2a2-y2a2=1(【解答过程】设双曲线方程为x2a2因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以a=b所以双曲线方程为x2a2所以直线方程为y=3(设A(x1,y8x所以x1所以AB=解得a2=4，得所以双曲线方程为x24-直线方程为y=3(由y=xy由y=-xy所以CD=故选：C.【考点5抛物线的弦长问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则A．837 B．163 C．8【解题思路】求出抛物线的焦点坐标F(1,0)，用点斜式设出直线方程：y=3(x【解答过程】解：根据抛物线y2=4x直线AB的斜率为k=由直线方程的点斜式方程，设AB:将直线方程代入到抛物线方程中，得：3(整理得：3x设A(x1，y1)由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x所以弦长|AB故选：B．【例5.2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知抛物线x2=12y的焦点为F，过焦点F的直线y=kx+m(k>0)与抛物线相交于A．2 B．2 C．22 D．【解题思路】由抛物线可得焦点F0,3，代入直线可得m=3，将直线与抛物线进行联立可得x1【解答过程】由抛物线x2=12y将F0,3代入y=kx将y=kx+3代入x设Ax1,所以y1由抛物线的定义可得AB=y1+故选：B.【变式5.1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线y2=-4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点D，且B是线段AD的中点，则ABA．92 B．72 C．32【解题思路】设点A、B在直线l上的射影点分别为M、E，设BE=mm>0，可得出AB=BD=3m【解答过程】易知抛物线y2=-4x的焦点为F设点A、B在直线l上的射影点分别为M、E，如图所示：

设BE=mm>0，因为B为线段AD的中点，BE⊥所以，AM=2由抛物线的定义可得AF=AM=2所以，BD=所以，cos∠因为BE//x轴，则∠DFO=∠DBE，设直线l交x轴于点N所以，DF=又因为DF=BF+故AB=3故选：A.【变式5.2】（2023·全国·高二专题练习）已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A,BA．1 B．32 C．3 D．【解题思路】由抛物线的定义求得B点的横坐标，代入抛物线得B点坐标，从而求得直线AB的方程，联立抛物线与直线即可得A点的横坐标，求得AF，从而可得λ的值.【解答过程】如图，过A作AA1准线于A1，过B作B

由抛物线C:y2=3x由抛物线的定义可得BF=BB1若B14,32，直线AB的斜率为kAB联立y=-3x+334则AF=若B14,-32，直线AB的斜率为kAB联立y=3x-334则AF=综上，λ=3故选：C.【考点6圆锥曲线中的面积问题】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P,Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1,k2【解题思路】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二：利用面积分割法求解面积即可.【解答过程】（1）由题意知A1又M1,32∴-a-1a-由M1,32在椭圆C上及a=2得∴椭圆C的方程为x2（2）由（1）知，右焦点为F1,0据题意设直线l的方程为x=则k1于是由k1+k2=0得2由x=my+1,3xΔ=由根与系数的关系得：y1代入（*）式得：-18m3∴直线l的方程为x-方法一：Δ=144由求根公式与弦长公式得：PQ=设点M到直线l的距离为d，则d=∴S

方法二：由题意可知S△x-2y-1=0代入3∴Δ∴S【例6.2】（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2=4x.(1)求以M(1,1)(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D【解题思路】（1）将两交点的坐标设为Px1,（2）四边形ABCD的面积为两条垂直的对角线乘积的一半，则问题转化为求解两条焦点弦的长，最后使用基本不等式求最值.【解答过程】（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于Px则y1又∵y∴所求直线方程为y-即2x（2）

依题意知,直线m,n的斜率存在且不为0,设直线m的方程为与抛物线方程联立,得y=消去y,整理得k2x2-则x3由抛物线的定义可知，|AB同理可得|CD∴四边形ABCD的面积S=当且仅当k=±1时等号成立,此时所求四边形ABCD面积的最小值为【变式6.1】（2023秋·贵州贵阳·高三校考开学考试）已知点-2,0在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点Mm,12m≠0在椭圆C内.设点A，(1)求椭圆C的方程；(2)记S△BME，S△AMF分别为△BME，△AMF【解题思路】（1）利用斜率乘积建立方程，把点代入求解椭圆方程；（2）先求出点E，F的坐标，然后求出线段比例，最后代入三角形面积公式化简求解即可.【解答过程】（1）设Ex,y，依题意A可得kEA⋅k又椭圆C过点-2,0，所以b2=1，故椭圆C（2）依题意，可知AM：y=-12整理得m2+1x又BM：y=32整理得m2+9x所以MAMEMFMB则S=m由于S△AMFS△BME【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0离心率为2，A1，A2分别是左、右顶点，点M是直线x=1上一点，且满足3tan(1)求双曲线C的方程；(2)求S1S【解题思路】（1）设M1,mm>0，可判断a>1，表示出tan∠MA1（2）由（1）可知直线MA1，MA2的方程。联立直线与双曲线方程求出xB、xC【解答过程】（1）依题意设M1,mm>0，若0<a<1，此时0<∠MA1A2<π则tan∠MA1A所以3m1+a=ma-1，解得所以双曲线C的方程为x2（2）由（1）可知直线MA1：y=m3由y=m3x+2所以xB=-21+54m由y=-mx-2所以xC=21+6m综上可得3<m所以xB+x又S1又x=3所以S1S2令m2+9=t所以S1令λ=1t，则λ所以当λ=118即m=±3时S模块三模块三课后作业1．（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）若直线y=x+m与椭圆x2A．±6 B．±6 C．±3 D【解题思路】将直线y=x+m与椭圆x【解答过程】将直线y=x+m与椭圆x2故选：B.2．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线，交抛物线于A3,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】如图所示，由题得Fp2【解答过程】如图所示，由题得Fp2,0过点A作AM垂直于准线于点M，过点B作BN垂直于准线于点N，

由抛物线定义可知，AB=∴p=3故选：C3．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2-y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A．一条 B．两条C．三条 D．四条【解题思路】方法一：右焦点为F23,0，斜率不存在时直线AB的方程为x=3，代入双曲线方程可得弦长AB，斜率存在时设Ax1,y1方法二：求双曲线过右焦点的通径，由此判断当直线与双曲线的交点都在右支上时，满足条件的直线的条数，再求双曲线的实轴长，由此判断直线与双曲线的左右两支各有一个交点时，满足条件的直线的条数，由此确定结论.【解答过程】双曲线x2-y当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=3代入双曲线x2-y28当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y-代入双曲线x2-y方程8-k2x设Ax1,y1，B所以AB=化简可得：2k2=7

所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选：C.方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为2b因为AB=16所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.又实轴长为2，16>2，所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条，所以满足条件的直线共三条.故选：C.4．（2023春·江西萍乡·高二校考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于AA．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】将x=4代入抛物线得y=±22p，结合弦长可得p【解答过程】令x=4，则y2=8p，故所以p=2，故准线为x=-1，则故选：B.5．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A．23 B．23 C．-2【解题思路】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可【解答过程】将直线y=x+m与椭圆联立y=因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36设F1到AB的距离d1,F2到AB则d1=|-S△F1ABS故选：C.6．（2023·江苏盐城·统考三模）定义曲线a2x2-b2y2=1为双曲线x2a2-y2b2=1的“伴随曲线”.在双曲线C1：x2-A．0 B．1 C．2 D．与点P的位置有关系【解题思路】根据伴随曲线的定义和坐标关系以及直线与双曲线的联立即可求解.【解答过程】双曲线C1：x2-1x设P(m,n则1m过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则M(m,0)所以直线MN:联立x2得1-n所以ΔΔ=4则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1故选：B.7．（2023秋·重庆·高二校联考期末）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，BA．直线l与OM一定垂直B．若直线l方程为y=2x+2C．若直线l方程为y=x+1，则点D．若点M坐标为1,1，则直线l方程为2【解题思路】设Mx0,y0结合弦长的求解方法求出AB=45利用点差法的结论可以求出M-13利用点差法的结论可以求出kAB=-2，进而判断D【解答过程】不妨设A,B坐标为x1,yy1+y2x对A：kAB×kOM=对B：若直线方程为y=2x+2可得：6x2+8x=0则AB=169对C：若直线方程为y=x+1，故可得y0x0×1=-2，即解得x0=-13,对D：若点M坐标为1,1,则11×k又AB过点1,1，则直线AB的方程为y-1=-2x-1，即故选：C.8．（2023春·福建厦门·高二校考期中）过抛物线C：y2=6x上一点Px0,y0作两条直线分别与抛物线相交于A，B两点，若直线AB的斜率为2，直线PA，A．154 B．5 C．152 D【解题思路】设Ay126,y1，By226,y2【解答过程】设Ay126,y因为Px0,所以1k所以2y解之，得y0故选：C.

9．（2023·天津武清·天津市校考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆与A．6 B．43 C．23 D【解题思路】结合双曲线图像对称性，可得AB⊥x轴，根据圆的性质和双曲线a，b，c的关系可计算出|OA|，AF，AD，OF【解答过程】设AB与x轴交于点D，由双曲线的对称性可知AB⊥x轴，|OA又因为OA+OB=23所以∠AOF=60°，因为点A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，点F(c,0)到渐进线y所以OA=所以AF=OAtan60°=23所以S△故选：B.10．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为

①AB=5

②四边形MNST的面积为③FS⋅FT=0

④A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③【解题思路】利用已知条件，建立平面直角坐标系，求解两条抛物线方程，求解AB的距离判断①；求解M，N的坐标，推出矩形的面积判断②，利用向量的数量积判断③；判断CD的距离的范围判断④．【解答过程】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；可得|AF抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．可得|BF|=3，所以抛物线Γ2的方程为：yΓ1和Γ2交于P、Q两点，y2=8xy2=-12(x分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，可得M(-2，26)，N(8，26四边形MNST的面积为：10×46=406又F2,0，则FT=(-4,-26)，FS=(6,-2根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设C,D在直线l1当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，CD=当C,D与A,B重合时，当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为P3,2直线CD:与抛物线Γ1的方程为y2=8设Cx1,y1所以CD∈当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设CD:与抛物线Γ1的方程为y2=8设Cx3,y3当t=0，即CD⊥AB当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，CD∈综上，CD∈5,253故选：B．11．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线（1）有两个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．【解题思路】把直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用代数法判断交点情况：（1）有两个公共点，需Δ＞0，解出m的范围；（2）有且只有一个公共点，需Δ=0，解出m的范围；（3）没有公共点，需Δ＜0，解出m的范围.【解答过程】直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y=2x+9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.（1）当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．（2）当Δ＝0，即m＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（3）当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．12．（2023·全国·高二课堂例题）设动直线y=kx+m与定椭圆x2a2+(1)求弦长AB及△OAB的面积S（用含a，b，k，m(2)试求△OAB的面积S的最大值【解题思路】（1）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，利用弦长公式及三角形面积公式求解.（2）由S的表达式，令t=m2a【解答过程】（1）设Ax联立直线y=kx+m与椭圆的方程得a2由题意Δ=4x1弦长AB=1+k原点O到直线AB的距离d=于是△OAB的面积S（2）（2