第十六章二次根式 考点分类练 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十六章二次根式考点1二次根式的概念和性质1．(2021广东)若|a－eq\r(3)|＋eq\r(9a2－12ab＋4b2)＝0，则ab＝()A．eq\r(3) B．eq\f(9,2) C．4eq\r(3) D．92．若eq\f(\r(4x),6－|x|)在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．3．若实数a，b满足(2a＋b)2＋eq\f(|2a2－32|,\r(3－a))＝0，则a＝__________，b＝__________．4．实数a，b在数轴上的位置如图1所示，则化简eq\r(a2)－eq\r(b2)－eq\r(（a－b）2)的结果是__________.图15．在解决数学问题的过程中，我们经常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答【知识迁移】中的问题．【提出问题】若代数式eq\r(（a－1）2)＋eq\r(（a－3）2)的值是2，求a的取值范围．【解决问题】解：原式＝|a－1|＋|a－3|.当a＜1时，原式＝(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)；当1≤a≤3时，原式＝(a－1)＋(3－a)＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去).综上所述，a的取值范围是1≤a≤3.【知识迁移】请根据上面的解题思路解答下列问题：(1)当2≤a≤5时，化简eq\r(（a－2）2)＋eq\r(（a－5）2)＝________；(2)若等式eq\r(（3－a）2)＋eq\r(（a－7）2)＝4成立，则a的取值范围是________；(3)若eq\r(（a＋1）2)＋eq\r(（a－5）2)＝8，求a的值．考点2二次根式的运算6．下列二次根式中，与eq\r(ab)(a>0，b>0)可以合并的是()A．eq\r(\f(b,a)) B．eq\r(\f(a2b2,4)) C．eq\r(a2b3) D．eq\r(\f(2,ab))7．对于实数a，b，设min{a，b}表示a，b两个数中的较小数，例如：min{3，－5}＝－5.已知min{eq\r(40)，a}＝a，min{eq\r(40)，b}＝eq\r(40)，且a和b为两个连续正整数，则2eq\r(14)×eq\r(\f(a,b))的值为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3) C．2eq\r(14) D．88．计算eq\r(－\f(1,2)a3b)·eq\r(\f(2b2,a))的结果是________．9．已知x＋eq\f(1,x)＝3，则eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))＝________．10．已知m为正整数，若eq\r(189m)是整数，则根据eq\r(189m)＝eq\r(3×3×3×7m)＝3eq\r(3×7m)可知m有最小值3×7＝21.若已知n为正整数，eq\r(\f(300,n))是大于1的整数，则n的最小值为________，最大值为________.11．如图2所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a，b，c三个实数的积为________．图212．计算：(eq\r(3)＋eq\r(5)－eq\r(10))(eq\r(3)－eq\r(5)＋eq\r(10)).13．先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2ab－b2,a)))÷eq\f(a2－b2,a)，其中a＝eq\r(2)－1，b＝eq\r(2)＋1.14．已知x＝2－eq\r(3)，y＝2＋eq\r(3)，求下列代数式的值：(1)x2－xy＋y2; (2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y).考点3二次根式的应用15．如图3，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32.(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；(2)求阴影部分的面积．图316．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，即摆针的长度，g≈9.8m/s.若一台座钟的摆针摆长为0.49m.(1)求该座钟摆针摆动的周期；(结果保留根号和π)(2)若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，在1min内，该座钟大约发出多少次嘀嗒声？(结果保留整数．参考数据：eq\r(5)≈2.24，π取3.)考点4与二次根式有关的阅读理解17．定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab＋a＋b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．(1)若a＝eq\r(2)，b＝1，求a，b的“如意数”c.(2)若a＝m－4，b＝－m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0.(3)已知a＝eq\f(1,2－\r(3))，且a，b的“如意数”c＝5＋4eq\r(3)，求b的值．18．阅读下述材料：我们在化简二次根式时，经常用到分母有理化，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．例如eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(（\r(7)－\r(6)）（\r(7)＋\r(6)）,\r(7)＋\r(6))＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6)).分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如：比较eq\r(7)－eq\r(6)和eq\r(6)－eq\r(5)的大小．做法如下：解：eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5)).∵eq\r(7)＋eq\r(6)＞eq\r(6)＋eq\r(5)，∴eq\r(7)－eq\r(6)＜eq\r(6)－eq\r(5).也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：求y＝eq\r(x＋2)－eq\r(x－2)的最大值．做法如下：解：根据题意，得x＋2≥0，x－2≥0.解得x≥2.y＝eq\r(x＋2)－eq\r(x－2)＝eq\f(4,\r(x＋2)＋\r(x－2))，当x＝2时，分母eq\r(x＋2)＋eq\r(x－2)有最小值为2，所以y的最大值是2.请根据上面的解题思路解答下列问题：(1)比较3eq\r(2)－4和2eq\r(3)－eq\r(10)的大小；(2)求y＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)－eq\r(x)的最大值和最小值．

第十六章二次根式1．B2.x≥0且x≠63.－484.－2b5．解：(1)3.(2)3≤a≤7.(3)原方程可化为|a＋1|＋|a－5|＝8.当a<－1时，原方程化为－(a＋1)＋(5－a)＝8，解得a＝－2，符合题意；当－1≤a≤5时，原方程化为(a＋1)＋(5－a)＝8，此方程无解，故－1≤a≤5不符合题意；当a>5时，原方程化为(a＋1)＋(a－5)＝8，解得a＝6，符合题意．综上所述，a＝－2或a＝6.6．A7.B8.－abeq\r(－b)9.eq\r(5)10.37511.1812．解：原式＝[eq\r(3)＋(eq\r(5)－eq\r(10))][eq\r(3)－(eq\r(5)－eq\r(10))]＝(eq\r(3))2－(eq\r(5)－eq\r(10))2＝3－(5＋10－10eq\r(2))＝10eq\r(2)－12.13．解：原式＝eq\f(a2－2ab＋b2,a)×eq\f(a,（a＋b）（a－b）)＝eq\f(（a－b）2,a)×eq\f(a,（a＋b）（a－b）)＝eq\f(a－b,a＋b).当a＝eq\r(2)－1，b＝eq\r(2)＋1时，原式＝eq\f(\r(2)－1－\r(2)－1,\r(2)－1＋\r(2)＋1)＝eq\f(－2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)．14．解：∵x＝2－eq\r(3)，y＝2＋eq\r(3)，∴x－y＝2－eq\r(3)－2－eq\r(3)＝－2eq\r(3)，xy＝(2－eq\r(3))×(2＋eq\r(3))＝22－(eq\r(3))2＝4－3＝1.(1)原式＝(x－y)2＋xy＝(－2eq\r(3))2＋1＝12＋1＝13.(2)原式＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(（x－y）2＋2xy,xy)＝eq\f(（－2\r(3)）2＋2,1)＝12＋2＝14.15．解：(1)正方形ABCD的边长为eq\r(8)＝2eq\r(2)，正方形ECFG的边长为eq\r(32)＝4eq\r(2).(2)由(1)，得AB＝BC＝CD＝AD＝2eq\r(2)，CF＝GF＝EG＝CE＝4eq\r(2).∴BF＝BC＋CF＝6eq\r(2).∴S△BFG＝eq\f(1,2)GF·BF＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×6eq\r(2)＝24.又S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4，∴S阴影＝S正方形ABCD＋S正方形ECFG－S△BFG－S△ABD＝8＋32－24－4＝12.16．解：(1)将l＝0.49，g≈9.8代入T＝2πeq\r(\f(l,g))，得T≈2π×eq\r(\f(0.49,9.8))＝eq\f(\r(5)π,5)(s).答：该座钟摆针摆动的周期约为eq\f(\r(5)π,5)s.(2)1min＝60s.60÷eq\f(\r(5)π,5)＝eq\f(60\r(5),π)≈eq\f(60×2.24,3)＝44.8≈45(次).答：在1min内，该座钟大约发出45次嘀嗒声．17．解：(1)当a＝eq\r(2)，b＝1时，c＝ab＋a＋b＝eq\r(2)×1＋eq\r(2)＋1＝2eq\r(2)＋1.(2)当a＝m－4，b＝－m时，c＝(m－4)×(－m)＋(m－4)＋(－m)＝－m2＋4m－4＝－(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴c≤0.(3)∵a＝eq\f(1,2－\r(3))＝eq\f(2＋\r(3),（2－\r(3)）（2＋\r(3)）)＝2＋eq\r(3)，a，b的“如意数”c＝5＋4eq\r(3)，∴(2＋eq\r(3))×b＋(2＋eq\r(3))＋b＝5＋4eq\r(3).解得b＝eq\r(3).18．解：(1)3eq\r(2)－4＝eq\f(（3\r(2)－4）（3\r(2)＋4）,3\r(2)＋4)＝eq\f(2,3\r(2)＋4)，2eq\r(3)－eq\r(10)＝eq\f(（2\r(3)－\r(10)）（2\r(3)＋\r(10)）,2\r(3)＋\r(10))＝eq\f(2,2\r(3)＋\r(10)).∵3eq\r(2)＞2eq\r(3)，4＞eq\r(10)，∴3eq\r(2)＋4＞2eq\r(3)＋eq\r(10).∴eq\f(2,3\r(2)＋4)<eq\f(2,2\r(3)＋\r(10)).∴3eq\r(2)－4＜2eq\r(3)－eq\r(10).(2)根据题意，得1－x≥0，1＋x≥0，x≥0.解得0≤x≤1.y＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)－eq\r(x)＝eq\r(1－x)＋eq